Логический способ Каждое возражение можно логически отразить – представить аргументы, достойные интеллекта клиента, и перевернуть его воззрения.К: У вас слишком молодая аудитория.П: Молодость – это стремительность, желание, деньги, решительность. Как вы смотрите на

Вывод в формальной логической системе является процедурой, которая из заданной группы выражений выводит отличное от заданных семантически правильное выражение. Эта процедура, представленная в определенной форме, и является правилом вывода. Если группа выражений, образующая посылку, является истинной, то должно гарантироваться, что применение правила вывода обеспечит получение истинного выражения в качестве заключения.

Наиболее часто используются два метода. Первый – метод правил вывода, или метод естественного (натурального) вывода, названный так потому, что используемый тип рассуждений в исчислении предикатов приближается к обычному человеческому рассуждению. Второй – метод резолюций. В его основе лежит исчисление резольвент.

В этой статье рассматривается метод правил вывода . В логике предикатов используется правило, которое из двух выражений и выводит новое выражение .

В разной литературе можно встретить разные названия метода правил вывода, например, правила дедуктивных выводов или более часто modus ponens . Принцип работы правил вывода хорошо иллюстрирует следующий пример:

«Если известно, что высказывание «А» влечет (имплицирует) высказывание «В» , а также известно, что высказывание «А» истинно, то, следовательно, «В» истинно»

В логике предикатов имеются универсальные правила, оперирующие с формулами, содержащими свободные переменные. Решение задач (получение выводов) в логических моделях может основываться на применении подобных правил к исходной совокупности истинных предикатов как доказательство правильности какого-либо составного предиката. Такой способ получения решения называется неаксиоматическим или другими словами – натуральным, естественным и совпадает со способами вывода в продукционных моделях.

Поскольку ответ получается как заключение из комбинации уже существующих логических формул, то по аналогии с выводами в продукционных моделях его можно назвать прямым (обратным) выводом. Однако всегда следует учитывать, что в формальной логике причинно-следственные отношения игнорируются.

Суть процедуры вывода заключается в рекурсивном применении подстановки известных значений в составной предикат. При этом принципиально гарантируется, что доказательство истинности результата можно проверить формальной процедурой.

Если в формальной логической модели механизм логического вывода использует метод правил вывода, то есть основания эту модель отнести к продукционным или логико-лингвистическим.

Пример: вывод решения в логической модели на основе правила вывода – modus ponens.

Даны утверждения:

• «Сократ – человек»;
• «Человек – это живое существо»;
• «Все живые существа смертны».

Требуется доказать утверждение «Сократ смертен» .

Решение:

Шаг 1. Представим высказывания в предикатной форме:

Шаг 2. На основе правила вывода (modus ponens) и подстановки (Сократ/X) в первом предикате получим утверждение:

«Сократ – это живое существо»

Шаг 3. На основе правила вывода (modus ponens) и подстановки (Сократ/Y) в третьем предикате получим утверждение:

«Сократ – смертен»

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ

осуществляется переход по правилам от высказывания или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К логическому выводу обычно предъявляются (совместно или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить следования логического (ту или иную его разновидность); 2) переходы в логическом выводе должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

В современной логике логического вывода определяется для формальных систем, в которых высказывания представлены формулами. Обычно выделяют три основных типа формальных систем: аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода, исчисления секвенций. Стандартное логического вывода (из множества формул Г) для аксиоматического исчисления S таково: вывод в S из множества формул Г есть такая последовательность Ai... A, формул языка исчисления S, что для каждой Ai (ÏSiSn) выполняется, по крайней мере, одно из следующих трех условий: 1) А, есть формула из Г; 2) Αι есть исчисления S; 3) А, есть формула, получающаяся из предшествующей ей в последовательности Л ι...Лд формулы или из предшествующих ей в этой последовательности формул по одному из правил вывода исчисления S. Если α есть вывод в S из множества формул Г, то формулы из Г называются посылками a, a вывод α называется выводом в S из посылок Г; если при этом А есть последняя формула а, то а называется логическим выводом в S формулы А из посылок Г. Запись “Г ,А* означает, что существует логический вывод в S формулы А из посылок Г. Логический вывод в S из пустого множества формул называется доказательством в S. Запись “ г,-4” означает, что существует в S формулы А. Формула А называется доказуемой в S, если -А. В качестве примера рассмотрим аксиоматическое Si со стандартным определением вывода, являющееся вариантом классической логики высказывании. Алфавит этого исчисления содержит только пропозициональные переменные pi, pi, ..., р„ ..., =>, 1 и круглые скобки. Определение формулы в этом языке обычное. Аксиомы?ι-ύто формулы следующих шести видов (и только эти формулы): I. (А^>А), II. ((Д55)э((Д=)С)э(^эС))), Ш. ((Л=?/”эО)эГДэ(ЛэС))), IV. ((Лэ(1Д))э(Дэ(1Д))), V. ((1(1Л)эЛ), М. (((А зВ)=,А)зА).

Определение логического вывода для Si является очевидной конкретизацией определения, данного выше. Следующая последовательность формул Ф1 - Ф6 является логическим выводом в Si формулы ((pi^pi)^) из посылок .

ΦΙ. ((Ρι^Ρι)^(Ρι^Ρι)), Ф2. Wpi-spî) э(р1 эра)) =>ό?ι =>((?, э^) з^))), ФЗ. (р1Э((р1=>й)э^)), Ф4.^, Ф5. ((pi Dpi)^pî).

Анализ: Ф1 есть аксиома вида 1, Ф2 есть аксиома вида III, ФЗ получена по правилу модус поненс из Ф1 и Ф2, Ф4 есть , Ф5 получена по правилу модус поненс из Ф4 и ФЗ. Итак, fßilhi ((р^рг)=)рг). Рассмотрев последовательность формул Ф1, Ф2 ФЗ, убеждаемся, что гл(р13р1)зрг)).

В ряде случаев логический вывод определяется так, что на использование некоторых правил накладываются ограничения. Напр., в аксиоматических исчислениях, являющихся вариантами классической логики предикатов первого порядка и содержащих среди правил вывода только модус поненс и правило обобщения, логический вывод часто определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение: любое применение правилам обобщения в α таково, что , по которой ироввдитея обобюение в этом применении правила обобщения, не входит ни в одну посылку, предшествующую в α нижней формуле этого применения правила обобщения. Цель этого ограничения обеспечить полезных с точки зрения логики свойств вывода (напр., выполнение для простых форм дедукции теоремы). Существуют определения логического вывода (как для аксиоматических, так и для исчислений других типов), которые (1) задают логический вывод не только из множества посылок, но допускают другие формы организации посылок (напр., списки или последовательности), (2) структурируют вывод не только линейно, но, напр., в форме дерева, (3) имеют явно выраженный индуктивный ; при этом индуктивное определение вывода может вестись как по одной переменной (напр., по длине вывода), так и по нескольким переменньм (напр., по длине логического вывода и по числу его посылок), (4) содержат формализацию зависимости между формулами в логическом выводе, и многие другие определения логического вывода, обусловленные иными способами формализации и аксиоматизации классических и неклассических систем логики. О некоторых из них см. в ст. Аналитических таблиц . Семиотика, Исчисление секвенций.

В. М. Попов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль . Под редакцией В. С. Стёпина . 2001 .

Смотреть что такое "ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ" в других словарях:

вывод логический - ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ рассуждение, в котором по определенным правилам осуществляется переход от высказываний или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К В. л. обычно предъявляются (разом или по отдельности) следующие… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

вывод (логический) - — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN inference …

Рассуждение, в ходе которого из к. л. исходных суждений посылок с помощью логических правил получают заключение новое суждение. Напр., из суждений Все люди смертны и Кай человек мы можем вывести с помощью правил простого категорического… … Словарь терминов логики

Логический формальный вывод в исчислении, содержащем логические правила и имеющем в качестве основных выводимых объектов формулы (интерпретацией к рых являются суждения;см. Логические исчисления. Логико математические исчисления). Поскольку… … Математическая энциклопедия

- (греч. logikos, от logos рассуждение). Согласный с логикою или основанный на законах мышления. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ЛОГИЧЕСКИЙ греч. logikos, от logos, рассуждение. Согласный или… … Словарь иностранных слов русского языка

В (традиционной) логике рассуждение, в ходе которого из некоторых исходных высказываний (суждений), называемых посылками, с помощью логических правил получают новое высказывание, называемое заключением. Напр., из высказываний «Все полноправные… … Философская энциклопедия

логический вывод - — Тематики электросвязь, основные понятия EN inference … Справочник технического переводчика

Вывод процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям заключениям. Правила преобразования исходной системы предпосылок в систему заключений называются правилами вывода… … Википедия

ЛОГИЧЕСКИЙ, логическая, логическое (книжн.). 1. прил. к логика. Логические категории. 2. (в качестве кратк. употр. логичен, логична, логично). Основанный на правильном умозаключении, отвечающий требованиям логики. Логический вывод. Логическое… … Толковый словарь Ушакова

вывод - Логически выведенное положение, умозаключение. Важный, верный, глубокий, единогласный, закономерный, значимый, категорический, категоричный, конкретный, логический, логичный, ложный, малообоснованный, мудрый, научный, неверный, необоснованный,… … Словарь эпитетов

Книги

• Искусственный интеллект. Современный подход. Руководство , Норвиг Питер. Первое издание этой книги стало классическим образцом литературы по искусственному интеллекту. Оно было принято в качестве учебного пособия больше чем в 600 университетах 60 стран мира и…

Логический вывод в Прологе

Логика предикатов и понятие логического вывода были разработаны в первой половине нашего века, но только в конце 60-х были поняты огромные возможности логического вывода для построения непроцедурных алгоритмов, тогда же и были разработаны методы резолюции, алгоритм унификации, и в конце концов язык логического программирования ПРОЛОГ. Основной вклад в логическое программирование был сделан Аланом Робинсоном (Alan Robinson), Алайном Колмерауером (Alain Colmeraurer) и Робертом Ковальски (Robert Kowalski), причем он был сделан сравнительно недавно. В этом языке исходное множество формул, для которого ищется пустая резольвента, представляется в виде так называемых “дизъюнктов Хорна ”. Хорновские дизъюнкты - это формулы одного из трех типов:

отрицание: Ø(В1,...,Вn)

импликация (правило): АÜ(В1,...,Вm),

где А, В 1 , ... - литеры - атомные высказывания или предикаты с отрицаниями или без них в нормальной предваренной форме только с (подразумеваемыми) кванторами всеобщности для всех переменных. Как мы видели из предыдущих разделов, любую логическую формулу можно привести к такому виду. Факты можно рассматривать как импликации, не имеющие посылок (антецедентов). Отрицания - как импликации, не имеющие следствий (консеквентов). Поэтому все дизъюнкты Хорна - это формулы вида АÜ(В 1 ,...,В m), которые просто являются другой записью импликации В 1 &...&В m ÞА, и знак Ü здесь может читаться как "при условии, что ". Все эти формулы представляются в виде дизъюнктов: ØВ 1 Ú...ÚØВ m ÚА, или просто множеством литер {А,ØВ 1 ,...,ØВ m }, поскольку знак дизъюнкции подразумевается. Именно к этим дизъюнктам и применяются последовательные шаги метода резолюции.

Таким образом, все задачи логического вывода можно формулировать, пользуясь только дизъюнктами Хорна, и все те задачи, которые являются в принципе разрешимыми, можно решить с помощью метода резолюции. Рассмотрим несколько примеров из .

Пусть в нотации, близкой языку ПРОЛОГ, записана программа:

Программа_1::

1: птица(Х) Ü откладывает_яйца(Х), имеет_крылья(Х)

2: рептилия(Х) Ü откладывает_яйца(Х), имеет_чешую(Х)

3: откладывает_яйца(ворона )

4: откладывает_яйца(питон )

5: имеет_чешую(питон )

6: имеет_крылья(ворона )

7:?птица(ворона )

В первой строке стоит правило, которое можно понять так: любое животное является птицей при условии, что оно откладывает яйца и имеет крылья . Очевидно, что это просто предикат в предваренной нормальной форме с опущенным квантором всеобщности (потому здусь и следует читать: любое животное ). Этот предикат задан здесь одним дизъюнктом (птица(Х), Øотладывает_яйца(Х), Øимеет_крылья(Х)), где атомные предикаты дизъюнкта просто перечисляются через запятую вместо того, чтобы перечисляться через знак дизъюнкции. Вторая строка - это правило, аналогично определяющее класс рептилий. Третья строка - “откладывает_яйца(ворона )” - это, факт, который мы считаем истинным. Часто подобные факты присоединяются к программе из базы данных. Последняя строка - это утверждение-вопрос, истинность которого процессор языка ПРОЛОГ пытается проверить с помощью метода резолюции, пользуясь фактами и правилами.

Стратегии

В любом не «игрушечном» логическом выводе мы сталкиваемся с «комбинаторным взрывом» числа возможных резолюций, поскольку обычно база данных может содержать огромное множество фактов, не обязательно относящихся к данному конкретному вопросу, и построение всех возможных резольвент в этой базе данных бессмысленно. Поэтому при автоматизации логического вывода важнейшей проблемой является проблема выбора родительских дизъюнктов и их членов для унификации. Этот выбор должен выполняться так, чтобы пустая резольвента находилась скорейшим образом. Разработано несколько стратегий такого выбора, хотя общего метода, дающего оптимальное число шагов вывода для любой задачи, не существует. Например, в качестве одной из стратегий может применяться метод выбора на каждом шаге в качестве одного из родительских дизъюнктов такого дизъюнкта, который содержит только один дизъюнктивный член.

Выполнение программы на ПРОЛОГЕ следует другой стратегии: отрицание вопроса программы принимается за цель. Далее вычисляются резольвенты, порождаемые целью и каким-либо правилом или фактом , которые просматриваются последовательно сверху вниз. Если резольвента существует при наиболее общей унификации, она вычисляется. Если пустая резольвента с помощью такой стратегии не найдена, то ответ на вопрос отрицателен. В нашем примере резольвентой утверждений: Øптица(ворона ) и птица(Х)Üоткладывает_яйца(Х),имеет_крылья(Х) является дизъюнкт, включающий отрицания двух утверждений: отладывает_яйца(Х) и имеет_крылья(Х). Эта пара становится новой целью, для которой снова ищется резольвента. Очевидно, что если в процессе вычислений найдена пустая резольвента, ответ на заданный вопрос утвердительный. Результатом программы на ПРЛОГЕ являются также и значения переменных, конкретизированные алгоритмом унификации в процессе вычислений - т.е. те значения параметров. при которых справедливо заключение. В примерах далее будем использовать прописные буквы для обозначения переменных, а строчные буквы - для имен конкретных объектов универсума.

Рассмотрим вычисление Программы 1:

Получение пустой резольвенты означает успех вычисления. Фактически, стоящий перед атомным предикатом знак вопроса означает вхождение этого предиката в дизъюнкт со знаком отрицания, и каждый такой дизъюнкт представляет собой очередную цель, которую нужно достичь (как бы проверить ее истинность).

Рассмотрим вычисление этой же программы с другой целью: 7:?птица(Х ), что означает "Существует ли (произвольная ) птица ?". Пользователя обычно интересует не только сам факт успешного вычисления программы, но и конкретное значение переменной Х, при котором это возможно:

Заметим, что здесь цель вычисления была достигнута при нахождении единственного примера, который ему удовлетворяет. В общем случае может быть необходимо найти все такие конкретизации, удовлетворяющие цели, т.е. процессор Пролога должен пытаться найти все возможные резольвенты-продолжения. Рассмотрим следующий пример.

Программа_2::

1: Grandparent(X,Y) Ü Parent(X,Z), Parent(Z,Y)

2: Parent(elizabeth, charles)

3: Parent(charles, william)

4: Parent(charles, henry)

5-а: ?Grandparent(elizabeth, henry);

5-b: ?Grandparent(elizabeth, V);

5-c: ?Grandparent(U, henry);

5-d: ?Grandparent(U, V).

Рассмотрим все возможные вычисления программы 2 при цели 5-d:

В качестве последнего примера из рассмотрим логическую программу сортировки списка. Будем считать, что если у списка L выделены начальный элемент (голова) H и весь остальной список Т (хвост), то список L будем записывать как L=H:T.

Первый оператор логической программы сортировки списка определим как утверждение, которое определяет сортировку списка как результат подходящей вставки головы списка в отсортированный хвост списка:

1. Sort(H:T,S)ÜSort(T,L),Insert(H,L,S)

Смысл этого утверждения следующий: "список S является результатом сортировки списка H:T, если L является результатом сортировки списка T и S есть результат вставки элемента H в подходящее место списка L ". Это определение справедливо для всех списков, кроме пустых; этот частный случай можно учесть указанием конкретного факта: пустой список уже отсортирован:

Теперь мы должны определить, что означает операция Insert(Х,L,S)вставки элемента Х в отсортированный список L с получением отсортированного списка S. В случае, если этот элемент Х предшествует первому элементу списка L, то список S строится добавлением Х в качестве новой головы L:

Это утверждение имеет следующий смысл: "Если элемент X предшествует по порядку элементу Н, то результатом вставки X в отсортированный список H:T является отсортированный список X:H:T" .

Если элемент H предшествует элементу X в списке H:T, то этот случай можно описать так:

что можно интерпретировать так: "Результатом вставки X в отсортированный список H:T является список H:T1, если H предшествует X и T1 является отсортированным списком, получаемым после вставки X в отсортированный список T".

Кроме того, следует определить вставку элемента в пустой список:

5. Insert(X,,[X]).

Таким образом, полная программа сортировки списка имеет пять операторов - утверждений:

Программа_3::

1. Sort(H:T,S) Ü Sort(T,L), Insert(H,L,S)

3. Insert(X,H:T,X:H:T) Ü Precedes(X,H)

4. Insert(X,H:T,H:T1) Ü Precedes(X,H), Insert(X,T,T1)

5. Insert(X,,[X]).

Эту программу мы можем использовать многими различными способами, задавая различные цели. Например, "?Sort(, )". При этой цели вычисление проверит, действительно ли список является отсортированной версией списка . При цели: "?Sort(, S)" вычислитель Пролога поместит в переменную S отсортированный список . При цели: "?Sort(S, )" в переменную типа список S будут подставляться все перестановки элементов отсортированного списка .

В этом уроке мы, наконец, переходим к теме, которая составляет ядро любого рассуждения и любой логической системы - умозаключениям. В четвёртом уроке мы говорили, что рассуждение - это совокупность суждений или высказываний. Очевидно, что такое определение не полно, ведь оно ничего не говорит о том, почему вдруг какие-то разные высказывания оказались рядом. Если дать более точное определение, то рассуждение - это процесс обоснования какого-либо высказывания с помощью его последовательного вывода из других высказываний. Этот вывод чаще всего осуществляется в форме умозаключений.

Умозаключение - это непосредственный переход от одного или нескольких высказываний А 1 , А 2 , …, А n к высказыванию В. А 1 , А 2 , …, А n называют посылками. Посылка может быть одна, их может быть две, три, четыре, в принципе - сколько угодно. В посылках содержится известная нам информация. В - это заключение. В заключении находится уже новая информация, которую мы извлекли из посылок с помощью специальных процедур. Эта новая информация уже содержалась в посылках, но в скрытом виде. Так вот задача умозаключения сделать это скрытое явным. Кроме того, иногда посылки называют аргументами, а заключение - тезисом, а само умозаключение в этом случае называют обоснованием. Разница между умозаключением и обоснованием состоит в том, что в первом случае, мы не знаем, к какому заключению мы придём, а во втором - тезис нам уже известен, мы просто хотим установить его связь с посылками-аргументами.

В качестве иллюстрации умозаключения можно взять рассуждения Эркюля Пуаро из «Убийства в восточном экспрессе» Агаты Кристи:

Но я почувствовал, что он перестроился на ходу. Предположим, он хотел сказать: «А разве ее не сожгли?» Следовательно, Маккуин знал и о записке, и о том, что ее сожгли, или, говоря другими словами, он был убийцей или пособником убийцы.

Над чертой располагаются посылки, под чертой - заключение, а сама черта обозначает отношение логического следования.

Критерии истинности умозаключений

Также как и для суждений, для умозаключений существуют определённые условия их истинности. При определении, истинное умозаключение или ложное, нужно обращать внимание на два аспекта. Первый аспект - это истинность посылок. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и сделанное заключение тоже будет ложным. Поскольку заключение - это та информация, которая была скрыта в посылках и которую мы просто извлекли на свет, то из неверных посылок невозможно случайно получить верный вывод. Это можно сравнить с попыткой сделать бифштекс из моркови. Наверное, моркови можно придать цвет и форму бифштекса, но внутри всё равно будет морковь, а не мясо. Никакие кулинарные операции не преобразуют одно в другое.

Второй аспект - это правильность самого умозаключения с точки зрения его логической формы. Дело в том, что истинность посылок - это важное, но недостаточное условие для того, чтобы заключение было правильным. Нередки ситуации, когда посылки истинны, но заключение неверно. В качестве примера неправильного умозаключения при истинности посылок можно привести умозаключение голубки из «Алисы в стране чудес» Кэрролла. Голубка обвиняет Алису, в том, что она не змея. Вот как она приходит к этому выводу:

Змеи едят яйца.
Девочки едят яйца.
Значит, девочки - это змеи.

Хотя посылки правильные, заключение абсурдно. Умозаключение в целом сделано неверно. Чтобы избежать подобных ошибок, логики выявили такие умозаключения, логические формы которых при истинности посылок гарантируют истинность заключения. Их принято называть правильными умозаключениями. Таким образом, чтобы умозаключение было сделано верно, нужно следить за истинностью посылок и за правильностью самой формы умозаключения.

Мы рассмотрим различные формы правильных умозаключений на примере силлогистики. В этом уроке мы разберём самые простые однопосылочные заключения. В следующем уроке - более сложные заключения: силлогизмы, энтимемы, многопосылочные заключения .

Чтобы было легче запомнить, какие именно типы умозаключений возможны между категорическими атрибутивными высказываниями, логики придумали специальный логический квадрат, изображающий отношения между ними. Поэтому некоторые однопосылочные умозаключения также называют умозаключениями по логическому квадрату. Посмотрим на этот квадрат:

Начнём с отношений подчинения . Мы уже сталкивались с ними в четвёртом уроке, когда рассматривали условия истинности для частно-утвердительных и частно-отрицательных высказываний. Мы говорили, что из высказывания «Все S есть P» будет логичным вывести высказывание «Некоторые S есть P», а из высказывания «Ни один S не есть P» - «Некоторые S не есть P». Таким образом, возможны следующие типы умозаключений:

• Все S есть P
• Некоторые S есть P
• Все птицы имеют клюв. Следовательно, некоторые птицы имеют клюв.
• Ни один S не есть P
• Некоторые S не есть P
• Ни один гусь не хочет быть пойман и зажарен. Следовательно, некоторые гуси не хотят быть пойманными и зажаренными.

Кроме того, по правилу контрапозиции из отношений подчинения можно вывести ещё два правильных умозаключения. Правило контрапозиции - это логический закон, который гласит: если из высказывания А следует высказывание В, то из высказывания «неверно, что В» будет следовать высказывание «неверно, что А». Вы можете попробовать проверить этот закон с помощью таблицы истинности. Итак, будут верны и следующие умозаключения по контрапозиции:

• Неверно, что все S есть P
• Неверно, что некоторые автомобили не имеют колёс. Поэтому неверно, что все автомобили не имеют колёс.
• Неверно, что все S не есть P
• Неверно, что некоторые вина не являются спиртными напитками. Таким образом, неверно, что все вина не являются спиртными напитками.

Отношение контрарности (противоположности) означает, что высказывания типа «Все S есть P» и «Ни один S не есть P» не могут быть одновременно истинными, но они могут быть одновременно ложными. Это хорошо видно из таблицы истинности для категоричных атрибутивных высказываний, которую мы построили в прошлом уроке. Отсюда можно вывести так называемый закон контрарного противоречия: Неверно, что все S есть P и в то же время ни один S не есть P.

По закону контрарного противоречия будут истинными следующие виды умозаключений:

• Все S есть P
• Все яблоки - это фрукты. Следовательно, неверно, что ни одно яблоко не является фруктом.
• Ни один S не есть P
• Неверно, что все S есть P
• Ни один кит не умеет летать. Поэтому неверно, что все киты умеют летать.

Отношения субконтрарности (подпротивоположности) означают, что высказывания типа «Некоторые S есть P» и «Некоторые S не есть P» не могут быть одновременно ложными, хотя могут быть одновременно истинными. На этом основании может быть сформулирован закон субконтрарного исключённого третьего: Некоторые S не есть P или Некоторые S есть P.

• Согласно этому закону правильными будут следующие умозаключения:
• Неверно, что некоторые S есть P
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что некоторые продукты полезны для здоровья. Поэтому некоторые продукты не полезны для здоровья.
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Некоторые S есть P
• Неверно, что некоторые ученики из нашего класса не являются двоечниками. Таким образом, некоторые ученики из нашего класса являются двоечниками.

Отношения противоречия (контрадикторности) говорят о том, что высказывания, находящиеся в них, не могут быть одновременно истинными или ложными. На основании этих отношений можно сформулировать два закона противоречия и два закона исключённого третьего. Первый закон противоречия: Неверно, что все S есть P и некоторые S не есть P. Второй закон противоречия: Неверно, что ни один S не есть P и некоторые S есть P. Первый закон исключённого третьего: Все S есть P или некоторые S не есть P. Второй закон исключённого третьего: Ни один S не есть P или некоторые S есть P.

На этих законах строятся умозаключения следующих видов:

• Все S есть P
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Все дети нуждаются в заботе. Следовательно, неверно, что некоторые дети не нуждаются в заботе.
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что все S есть P
• Некоторые книги не являются скучными. Поэтому, неверно, что все книги являются скучными.
• Неверно, что все S есть P
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что все сотрудники нашей фирмы усердно работают. Таким образом, некоторые сотрудники нашей фирмы не работают усердно.
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Все S есть P
• Неверно, что некоторые зебры не имеют полосок на коже. Следовательно, все зебры имеют полоски на коже.
• Ни один S не есть P
• Неверно, что некоторые S есть P
• Ни одна картина в этом зале не относится к XX веку. Поэтому неверно, что некоторые картины в этом зале относятся к XX веку.
• Некоторые S есть P
• Неверно, что ни один S не есть P
• Некоторые студенты занимаются спортом. Таким образом, неверно, что ни один студент не занимается спортом.
• Неверно, что ни один S не есть P
• Некоторые S есть P
• Неверно, что ни один учёный не интересуется искусством. Следовательно, некоторые учёные интересуются искусством.
• Неверно, что некоторые S есть P
• Ни один S не есть P
• Неверно, что некоторые коты курят сигары. Таким образом, ни один кот не курит сигары.

Как вы, скорее всего, заметили во всех этих умозаключениях, высказывания над чертой и под чертой несут одну и ту же информацию, просто поданную в разной форме. Важная деталь заключается в том, что смысл одних из этих высказываний воспринимается легко и интуитивно, в то время как смысл других тёмен, и над ними порой приходится поломать голову. Например, смысл утвердительных высказываний воспринимается легче, чем смысл отрицательных высказываний, смысл высказываний с одним отрицанием более понятен, чем смысл высказываний с двумя отрицаниями. Таким образом, основное назначение умозаключений по логическому квадрату состоит в том, чтобы привести сложные для восприятия, непонятные высказывания к наиболее простой и ясной форме.

Ещё одним видом однопосылочных умозаключений является обращение. Это такой тип умозаключений, при которых субъект посылки совпадает с предикатом заключения, а субъект заключения совпадает с предикатом посылки. Грубо говоря, в заключении S и P просто меняются местами.

Прежде чем перейти к умозаключениям через обращение, построим таблицу истинности для высказываний, в которых P встанет на место субъекта, а S - на место предиката.

Сравните её с той таблицей, которую мы строили в прошлом уроке. Обращение, как и другие умозаключения, может быть правильным, только когда посылка и заключение одновременно истинны. При сравнении двух таблиц, вы увидите, что таких комбинаций не так уж и много.

Итак, существует два вида обращения: чистое и с ограничением. Чистое обращение происходит тогда, когда количественная характеристика не изменяется, то есть если в посылке было слово «все», то и в заключении тоже будет слова «все»/«ни один», если в посылке слово «некоторые», то и в заключении «некоторые. Соответственно, при обращении с ограничением количественная характеристика меняется: были «все», а стали «некоторые». Для высказываний типа «Ни один S не есть P» и «Некоторые S есть P» правильным будет следующее чистое обращение:

• Ни один S не есть P
• Ни один P не есть S
• Ни один человек не может выжить без воздуха. Следовательно, ни одно живое существо, способное выжить без воздуха, не является человеком.
• Некоторые S есть P
• Некоторые P есть S
• Некоторые змеи ядовиты. Поэтому, некоторые ядовитые существа - это змеи.
• Для высказываний типа «Все S есть P» и «Ни один S не есть P» верно обращение с ограничением:
• Все S есть P
• Некоторые P есть S
• Все пингвины - это птицы. Таким образом, некоторые птицы - это пингвины.
• Ни один S не есть P
• Некоторый P не есть S
• Ни один крокодил не ест зефир. Следовательно, некоторые существа, едящие зефир, не являются крокодилами.
• Высказывания типа «Некоторые S не есть P» вообще не обращаются.

Хотя обращения, как и умозаключения по логическому квадрату, это однопосылочные умозаключения, и мы точно также извлекаем всю новую информацию из имеющейся посылки, посылку и заключение в них уже нельзя назвать просто разными формулировками одной и той же информации. Полученная информация относится уже к другому субъекту, а потому она уже не кажется такой тривиальной.

Итак, в этом уроке мы начали рассматривать правильные виды умозаключений. Мы поговорили о самых простейших однопосылочных умозаключениях: умозаключениях по логическому квадрату и умозаключениях через обращение. Хотя эти умозаключения довольно просты и даже где-то тривиальны, люди повсеместно совершают в них ошибки. Понятно, что сложно удержать в памяти все виды правильных умозаключений, поэтому, когда вы будете выполнять упражнения или столкнётесь с необходимостью проверить или сделать однопосылочное умозаключение в реальной жизни, не бойтесь прибегать к помощи модельных схем и таблиц истинности. Они помогут вам проверить, всегда ли при истинности посылок заключение тоже истинное, а это главное для правильного умозаключения.

Упражнение «Подберите ключ»

В этой игре вам нужно создать ключ правильной формы. Для этого установите засечки нужной длины (от 1 до 3, 0 – быть не может), а затем нажмите кнопку «Попробовать». Вам будут даны 2 суждения, сколько засечек выбранной длины присутствуют в ключе (для простоты значение «наличие»), и сколько из выбранных находятся на своём месте (для простоты значение «на месте»). Скорректируйте своё решение и пробуйте, пока не подберёте ключ.

Упражнения

Сделайте все возможные умозаключения из следующих высказываний по логическому квадрату:

• Все медведи на зиму залегают в спячку.
• Неверно, что все люди завистливы.
• Ни один гном не достигает роста в два метра.
• Неверно, что ни один человек не был на Северном полюсе.
• Некоторые люди никогда не видели снега.
• Некоторые автобусы ходят по расписанию.
• Неверно, что некоторые слоны летали на луну.
• Неверно, что некоторые птицы не имеют крыльев.

Сделайте обращения с теми, высказываниями, с которыми это возможно:

• Никто ещё не построил машину времени.
• Некоторые официанты очень назойливы.
• Все профессионалы опытны в своём деле.
• Некоторые книги не имеют твёрдой обложки.

Проверьте, правильно ли сделаны следующие умозаключения:

• Некоторые кролики не носят белые перчатки. Следовательно, некоторые кролики носят белые перчатки.
• Неверно, что никто не был на Луне. Таким образом, некоторые люди были на Луне.
• Все люди смертны. Поэтому все смертные - это люди.
• Некоторые птицы не умеют летать. Следовательно, некоторые существа, не умеющие летать, это птицы.
• Ни один ягнёнок не имеет пристрастия к виски. Следовательно, ни одно существо, имеющее пристрастие к виски, не является ягнёнком.
• Некоторые морские животные млекопитающие. Таким образом, неверно, что ни одно морское животное не является млекопитающим.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.