ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ - символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как (союз “и”, символические обозначения: &, л и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB), (нестрогий союз “или”, обозначается как “v”), (“если..., то”, обозначается с помощью знака отрицание (“неверно, что...”, обозначается: -ι, ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ или чертой над отрицаемым выражением). Из перечисленных отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (Логика , Логика высказываний) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический дает использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания А, В и С и означающей, что “А в случае В, и С в случае нв-?” или формально: (В з А)&(-, В э О (Сидоренко Е. А. Пропозициональное с условной дизъюнкцией.- В кн.: Методы логического анализа. М.,1977).

Классическая рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих в этой логике истинностных значе

ниях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания А и В могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных зна^ чений: , . Пропозициональная истинностная ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности - 1 или 0. Всгго таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А&.В 1 только в случае, когда как Л, так и В истинны, т. е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А&.В равно 0. Дизъюнкция Α ν В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А, так и В. Импликация А э В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А => В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А - истинно, -А - ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике логических связок позволяет дать всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А&В) = -i(-i/4v-i.ß) и (A v В) a -,(-Α&-ιΒ), именуемых законами де Моргана, а также: (A^B)s(-iA^ В), (А&В) s -,(А э -ιΒ), (Α ν В) = ((А => В) зА). Любая видаЛ = В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А =) В)&(В э А).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как -ι(Α ν В) и -(А&.В), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч. Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X. Шеффером (H. M. Shefier). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное . Антидизъюнкцию обозначают А В и называют штрихом Ше4)фера, читая выражение, как “не-Д и не-В”. Ж. Нико (J. G. P. Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции (“Неверно, что одновременно А и В”) и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т. о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная импликации вынуждает признавать верными предложения вида “Если А, то В” даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет ) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В - истинным. Поэтому из двух предложений: “Если А, то В” и “Если В, то А”, по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют “материальной”, отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная . При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные , напр., релевантные (см. Релевантная логика), в которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.

Лит.: Чёрч Л. Введение в математическую логику, т. 1. M., 1960; КарриХ. Основания математической логики. М., 1969.

Ε. А. Сидоренко

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль . Под редакцией В. С. Стёпина . 2001 .

Смотреть что такое "ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ" в других словарях:

логические связки - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN structural constants … Справочник технического переводчика

Логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов (См. Логика предикатов), содержащие переменные (См. Переменная) и обращающиеся в высказывания при… … Большая советская энциклопедия

В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и … Википедия

Логич. операторы, логич. связки, функции, преобразующие выражения логич. исчислений (формальных логич. систем); подразделяются на пропозициональные (сен тенциональные) связки, с помощью которых образуются выражения логики высказываний, и… … Философская энциклопедия

Формализации содержательных логич. теорий; выводимые объекты Л. п. интерпретируются как суждения, составленные из простейших (имеющих, вообще говоря, субъектно предикатную структуру) при помощи пропозициональных связок и кванторов. Чаще всего… … Математическая энциклопедия

Раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия

- (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… … Философская энциклопедия

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, или ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА - раздел дедуктивной логики, в котором вопрос об истинности (или ложности) высказываний (т. е. суждений, рассматриваемых без их субъектно предикатной структуры) в умозаключениях рассматривается на основе изучения следующего средства их выражения т … Современный философский словарь

Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

Логическим умножением или конъюнкцией называется операция, выражаемая связкой «и» и обозначаемая точкой « » (или знаками & или  ). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Таблица истинности функции логического умножения

		F= А  В

Логическим сложением или дизъюнкцией называется операция, выражаемая связкой “или” (в неразделительном смысле этого слова) и обозначаемая «+» (или знаком  ). Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Таблица истинности функции логического сложения

		F= А  В

Импликацией называется операция, выражаемая связками “если..., то”, “из... следует”. Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В – ложно.

Таблица истинности логической функции «импликация»

		F= А  В

В обычной речи связка “если..., то” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Высказывания А и В, образующие составное высказывание A В, могут быть совершенно не связаны по содержанию. Рассматривается только их истинность или ложность.

Логическим равенством или эквиваленцией (или двойной импликацией ) называется операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно...”, и обозначается знаком  или ~ . Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Таблица истинности логической функции «эквиваленция»

		F= А  В

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А  В = Ā  В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А  В = (Ā  В)  ( А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая будет определять его истинность или ложность при различных комбинациях исходных значений простых высказываний. Для примера рассмотрим таблицу истинности логического выражения (А  В)  (Ā  )

Таблица истинности

		А  В			Ā 	(А  В)  (Ā  )

Пример . Определите результат логической операции F = (A  B)  (C  D) при заданных значениях логических переменных A, B, C – истина, D – ложь.

Решение .

						(A  B)  (C  D)

Из построенной таблицы истинности следует, что F=1

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложны­ми суждениями, образуемыми из простых посредством логичес­ких связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанали­зируем, каким образом перечисленные логические связки выра­жаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “Ù”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и дру­гие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять суще­ствительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и кра­сиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказы­вание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

“Интересная книга лежит на столе” и “Красиво оформленная книга лежит на столе”, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъ­юнкции (а ^ b) = (b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитыва­ется последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, та­кие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с за­пятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, по­шел дождь”.

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены

символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

“Не только А, но и В Как А, так и В.

В, хотя и А.А вместе с В.

В, несмотря на А А, в то время как В”".

Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначен­ная а b и а ύ b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библио­теку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.

В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а b) и строгая дизъ­юнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а ύ b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих ви­дов дизъюнкции действует закон коммутативности.

символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как конъюнкция (союз «и», символические обозначения: &, л и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB), дизъюнкция (нестрогий союз «или», обозначается как «v»), импликация («если..., то», обозначается с помощью знака, . Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности - 1 или 0. Всгго таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А&.В значение 1 только в случае, когда как Л, так и В истинны, т. е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А&.В равно 0. Дизъюнкция В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А, так и В. Импликация А э В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А => В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А - истинно, -А - ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А&В) = -i(-i/4v-i.) и (A v В) a -,(-&-), именуемых законами де Моргана, а также: (A^B)s(-iA^ В), (А&В) s -,(А э -), (В) = ((А => В) зА). Любая эквивалентность видаЛ = В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А =) В)&(В э А).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как -(В) и -(А&.В), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч. Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X. Шеффером (H. M. Shefier). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают А В и называют штрихом Ше4)фера, читая данное выражение, как «не-Д и не-В». Ж. Нико (J. G. P. Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно А и В») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т. о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если А, то В» даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В - истинным. Поэтому из двух предложений: «Если А, то В» и «Если В, то А», по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики, напр., релевантные (см. Релевантная логика), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.