Идея экономического прогнозирования временных рядов базируется на предположении о том, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

• а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
• б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
• в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз. Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t = п + 1, /? + 2,..., п + k, где k - прогнозируемый период.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, происходит очень редко. Возникновение отклонений от прогнозного значения объясняется следующими причинами:

• модель, выбранная для прогнозирования, является не единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать другую модель, которая дает более точные результаты;
• прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Каждый исходный уровень обладает случайной компонентой, поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную составляющую;
• тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики. Отдельные наблюдения могут отклоняться от среднего уровня. Такие отклонения будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (г.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина Д^, которая для линейной модели имеет вид

где S e - стандартная ошибка (СКО от линии тренда).

Коэффициент? кр - табличное значение ^-статистики Стьюдента при заданных уровне значимости а и числе степеней свободы v.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: г/прош - Д^ - нижняя граница, г/ прогн + Д^ - верхняя граница.

Только проведя все необходимые проверки, можно утверждать, что прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами. После получения всех оценок необходимо убедиться в их непротиворечивости смыслу изучаемого экономическому процесса.

Пример 10.9

Директор интенсивно развивающейся компании планирует развитие экономической деятельности, опираясь на результаты предыдущих лет (табл. 10.24).

Таблица 10.24

Исходные данные к примеру 10.9

Требуется выполнить следующее.

• 1. Построить линейную модель зависимости результатов экономической деятельности от времени.
• 2. Оценить качество построенной модели на основе исследований:
  • а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  • б) отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по 1)1У-критерию (а = 0,05);
  • в) нормальности распределения остаточной компоненты но критерию;
  • г) относительной максимальной ошибки.
• 3. Определить размеры прогноза экономической деятельности предприятия на следующие два квартала. Построить график полученных результатов расчетов и прогнозирования.

Решение. 1. Построение модели.

Уравнение тренда ищем в виде T t = b 0 + b x t. Методом наименьших квадратов, используя инструмент «Регрессия», найдем коэффициенты уравнения тренда. Получаем уравнение Т г = 2,22 + 1,05?. Стандартная ошибка - 1,71. Коэффициент детерминации R 2 = 0,82, значимость уравнения (статистика Фишера) F= 41,7, F Kp (0,05; 1; 9) = 5,12. Значимость коэффициента уравнения b x =6,46, ? кр (0,05; 11) = 2,26. Уравнение статистически значимо.

• 2. Оценка качества модели.
• а) Проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков. Данные но остаткам приведены в табл. 10.25. На графике остатков, представленном на рис. 10.5, подсчитываем число поворотных точек р = 5. Проверяем но формуле (10.5) значение р :

Данные по остаткам к примеру 10.9

Таблица 10.25

t	y(t)			е}	(е с ~е,-) 2

Так как неравенство справедливо (5 > 3), свойство случайности выполняется.

6) Проверка отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по DlT-критерию. Исходные данные для расчета статистики приведены в табл. 10.25. Имеем

Критические значения статистики Дарбина - Уотсона для а = 0,05 равны d L = 0,93, d v = 1,32. Найденное значение статистики попадает в интервал d v - (4 - d v) автокорреляция не обнаружена.

в) Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию. Используем формулу (10.6):

Расчетное значение 2,98 попадает в интервал 2,67-3,69, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

г) Нахождение относительной максимальной ошибки проводим по формуле

Отметим, что если вычислять среднюю по модулю ошибку по формуле получим |е ср | = 1,38. Видно различие способов оценки точности модели.

Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 10.26.

Данные анализа ряда остатков

Таблица 10.26

Вывод. Построенная модель статистически адекватна изучаемому временному процессу, несмотря на недостаточную точность модели .

3. Построение точечного и интервального прогноза на два шага вперед.

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости а = 0,05 доверительная вероятность равна 95%, а значение критерия Стьюдента при v = п - 2 = 9 равно 2,26.

Ширину доверительного интервала вычисляем по формуле (10.7):

Прогнозные значения и доверительные интервалы для них приведены в табл. 10.27.

Таблица 10.27

Прогнозные значения и доверительные интервалы к примеру 10.9

			Нижняя граница	Верхняя граница

На рис. 10.6 представлены исходные и рассчитанные по уравнению регрессии данные с учетом прогнозных значений.

Рис. 10.6.

1/(0: - Упф)

Вывод. Модель регрессии имеет вид T t = 2,22 + l,05f. Модель адекватна по всем проверенным параметрам и может использоваться для краткосрочного прогноза.

На этом мы заканчиваем рассмотрение временных рядов. Существуют и другие методы сглаживания и коррекции временных рядов, но их рассмотрение выходит за рамки настоящей книги.

• Это повлияло на прогнозные значения в сторону увеличения ширины доверительногоинтервала (см. далее табл. 10.27).

Идея социально-экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называет­ся перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на сле­дующих предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;

в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Поэтому надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предполо­жения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы. Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t = n+1 , п+2 , …, n+к.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, ха­рактеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возник­новение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами.

1. Выбранная для прогнозирования кривая не является единствен­но возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

2. Прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень об­ладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту.

3. Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда ди­намики, поэтому отдельные наблюдения могут от него откло­няться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. До верительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(к), которая для линейной модели имеет вид

(3.11)

Стандартная ошибка (среднеквадратическое откло­нение от модели);

m - количество факторов в модели, для линейной моде­ли т = 1 .

Коэффициент является табличным значением t -статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюде­ний. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равной 70%, то при n = 9 = 1,12. При вероятности, равной 95%, = 2,36.

Для других моделей величина U(к) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы (3.10), величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n + k и обратно пропорциональна объему наблюдений. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза = Y прогноз (n + к) + U(к);

Нижняя граница прогноза = Y прогноз (n + к) - U(к).

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользова­телем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сло­жившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ EXCEL АНАЛИЗ ДАННЫХ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Установка Пакета анализа

Ни в одном меню стандартной конфигурации программы Excel вы не найдете указания на Пакет анализа. Даже после установки с компакт-диска Excel он не появится в меню Сервис до тех пор, пока вы не выполните следующие действия:

1) выберите команду Сервис => Надстройки;

2) в диалоговом окне Надстройки (рис. 3.2) установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку 0К;

3) выберите команду Сервис => Анализ данных. Если в меню отсут­ствует команда Анализ данных, то необходимо выполнить установку Пакета анализа с компакт-диска Excel. После этого в нижней части меню Сервис появится новая команда Анализ данных, которая предоставляет доступ к средствам анализа. Для активизации надстройки Пакет анализа следует установить соответствующий флажок.

Пример 3.1. Проверка наличия тренда.

Один из способов проверки обнаружения тренда основан на сравнении средних уровней ряда: временной ряд разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная со­вокупность, имеющая нормальное распределение. Если времен­ной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение незначительно, несуществен­но (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким об­разом, проверка наличия тренда в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распре­деленных совокупностей.

Определим наличие основной тенденции (тренда) по данным табл. 3.1 (рис. 3.3).

После установления РВД и выбора вида распределения и уровня ДВ расчет границ интервального прогноза становится чисто технической задачей. Ее решение заключается в отсечении "лишних" концов РВД соответственно принятой доверительной вероятности. Иначе говоря, находят величины

А = а + х; B = b - x ,

где x - величина, зависящая от вида распределения и вероятности неудачи (неосуществления прогноза); очевидно, что упомянутая вероятность равна 1 - ДВ. Площади под кривой распределения, отсекаемые от "хвостов", равны половине этой вероятности (см. рис. 8.2) для треугольного распределения:

Значения этой вероятности для некоторых уровней ДВ приведены в табл. 8.1.

Рис. 8.2

Таблица 8.1

ДВ, %

Из сказанного следует, что задача определения интервального прогноза сводится к расчету размера x . Методики разработаны для следующих ситуаций:

А. Объект прогнозирования - отдельная количественная характеристика. Эксперт указывает РВД, вид распределения, а для распределения Тр и интервал наиболее вероятных значений прогнозируемого показателя.

Б. Прогноз суммы показателей, . Например, сумма объемов выпуска нескольких видов продукции. Для каждого слагаемого указывается РВД и вид распределения. ДВ назначается только для итоговой суммы.

В. Прогноз произведения двух показателей, Y = vw . Например, произведение "нормативного" и объемного показателей. Эксперт указывает РВД, вид распределения и ДВ для каждого сомножителя.

На первый взгляд представляется, что обсуждаемую методику легко распространить на прогноз суммы произведений. Формально это несложно выполнить. Однако, как показали расчеты, степень "сжатия" прогнозного интервала в этих условиях весьма мала, так что применение данной методики не имеет смысла.

Покажем технику применения перечисленных методик для каждого из указанных распределений вероятностей.

Методика а. Расчет интервального прогноза отдельной характеристики

Распределение N.

Известно, что площадь под кривой нормального распределения в пределах примерно равна 99%. Отсюда

где М - средняя,

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение.

Пусть z - нормированное отклонение от средней 43 , зависящее от выбранной доверительной вероятности. Тогда нормированное значение искомой величины x составит:

u = 3 - z . (8.3)

Вероятности невыполнения прогноза в каждом "хвосте" нормального распределения составят:

. (8.4)

Заметим, что для нормального распределения ДВ = F (z ).

В табл. 8.2 44 приводятся значения z , и, в зависимости от уровня ДВ.

Таблица 8.2

Необходимое для расчета по формуле (8.2) значение находим следующим образом:

Распределение Т.

Искомая величина находится как функция от L и :

Распределение Тр.

Здесь возможны два варианта. Если , то

, (8.7)

где l = М 2 - М 1 .

Если же , то

, (8.8)

Распределение Р.

ПРИМЕР 1

Ожидается, что РВД (допустим, речь идет о годовом размере добычи минерального сырья) оценивается экспертом в объеме 1,2 - 1,8 млн. т. Определим интервальный прогноз для всех перечисленных выше видов распределений при условии, что ДВ = 80%. Для принятого уровня доверительной вероятности = 0,1.

Идея социально-экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан наэкстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называетсяперспективной , а в прошлое – ретроспективной .

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;

в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Поэтому надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы. Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t =n +1,n +2,..., n +k .

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами.

Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

Прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту.

Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая длялинейной модели имеет вид:

, (3.4.27)

- стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели),m – количество факторов в модели, для линейной моделиm = 1.

Коэффициент 5 является табличным значением t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равной 70%, то при n =9 = 1,12. При вероятности, равной 95%, = 2,36.

Для других моделей величина U(k) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы (3.10), величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n +k, и обратно пропорциональна объему наблюдений. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

– верхняя граница прогноза = Y прогноз (n +k ) + U (k );

– нижняя граница прогноза = Y прогноз (n +k ) – U (k ).

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Определение автокорреляции

Автокорреляция характеризует связь между наблюдениями одного ряда. Ее можно представить как связь между исходным временным рядом и тем же рядом, сдвинутым на l шагов. Набор коэффициентов автокорреляции при различных l называется автокорреляционной функцией.

Значение коэффициента автокорреляции для различных l можно использовать для определения оптимального периода прогнозирования. Если , то прогнозировать экономический показатель на l шагов имеет смысл. Коэффициент автокорреляции можно вычислить по формуле:

Пример:вычислить коэффициенты автокорреляции для рассматриваемого ряда.

l=1 r 1 =0.617

l=2 r 2 =0.248

l=3 r 3 =0.107

Прогнозировать па один шаг вперед в принципе возможно, так как значение коэффициента автокорреляции при l=1 близко к 0.7 и связь между соседними наблюдениями временного ряда можно считать достаточной.

Контрольные вопросы:

1.Что называется автокорреляцией?

2. Длячего используют коэффициент автокорреляции?

3. Какие значения может принимать коэффициент автокорреляции?

4. Какие значения коэффициента автокорреляции при различной

величине сдвига определяют тесную связь и оптимальный период

прогнозирования?

5.Что называется автокорреляционной функцией?

Заключительным этапом анализа и построения модели является получение прогнозных оценок исследуемого показателя. Прогноз осуществляют подстановкой в выбранную модель значений времени t , входящих в период упреждения. Поскольку для каждого значения t получают только одно значение прогнозируемого показателя, то такой прогноз называется точечным. Т.к. в большинстве случаев социально-экономические процессы носят стохастический характер, то вероятность того, что расчетное значение прогнозируемого показателя совпадет с фактическим, практически равна нулю. Поэтому в дополнение к точечному прогнозу строят доверительный интервал, который учитывает случайный характер исследуемого процесса. Верхняя и нижняя границы доверительного интервала прогноза находятся по формулам:

где - расчетное по модели значение прогнозируемого показателя в момент времени t=n+l , n – длина временного ряда, l - период прогнозирования;

Значение t-критерия Стьюдента с вероятностью (табличное);

S p - среднеквадратическое отклонение прогнозируемого показателя.

Для линейной модели:

,

где ,(p – число параметров модели);

Если выбранная модель полностью адекватна и достаточно точна, то при сохранении сложившихся закономерностей динамики развития прогнозируемая величина с вероятностью попадает в доверительный интервал.

Оптимальный период прогнозирования определяется с помощью коэффициента автокорреляции, вычисленного при разных сдвигах l.

ПРИМЕР. Построить точечный и интервальный прогнозы для моделей кривой роста и Брауна.

а) прогноз для модели кривой роста (параболы)

б) прогноз для адаптивной модели Брауна

Контрольные вопросы:

1. Какой прогноз называется точечным?

2. Как получить точечный прогноз экономического показателя на ос модели прогнозирования

3. Какой прогноз называется интервальным?

4. Как получить интервальный прогноз экономического показателя на основе модели прогнозирования?

5. Чем отличается точечный прогноз от интервального?

6. От каких факторов зависит величина интервального прогноза?