ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(16) УДК 517.511 В.И. Смагин, С.В. Смагин ФИЛЬТРАЦИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ Рассматривается алгоритм синтеза оптимального фильтра, определяющего оценку вектора состояния дискретной линейной нестационарной динамической системы с аддитивными возмущениями, содержащими неизвестную постоянную составляющую. Приводятся результаты вычислительного эксперимента. Ключевые слова: линейные дискретные нестационарные системы, фильтр Калмана, неизвестные возмущения. В работах многих авторов большое внимание уделяется разработке алгоритмов калмановской фильтрации для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями и параметрами, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями. Известные методы вычисления оценок вектора состояния базируются на алгоритмах, использующих оценки неизвестного возмущения . В работах рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи. В работах изучены алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, имеющие достаточно жесткие условия их разрешимости. В настоящей работе для дискретного нестационарного объекта с неизвестной постоянной составляющей возмущений предлагается метод оптимальной фильтрации, не использующий оценки неизвестного возмущения. Метод базируется на преобразовании модели и сведении к задаче линейной калмановской фильтрации . В настоящей статье обобщаются результаты на случай решения задачи для нестационарного дискретного объекта. 1. Постановка задачи Рассматривается дискретная система, которая описывается следующими разностными уравнениями: x(k + 1) = A(k) x(k) + f + q (k), x(0) = x0 , (1) где x(k) ∈ R n – вектор состояния; A(k) – n×n-матрица; f – неизвестный постоянный вектор; q(k) – белая гауссовская случайная последовательность с характеристиками M {q (k)} = 0 , M{q(k)q Τ (j)} = Q(k)δk , j . (2) Канал наблюдений имеет вид y (k) = S (k) x(k) + v(k) , (3) y (k) ∈ R l – вектор измерений; S(k) – матрица размерности l × n ; v(k) – белая гаус- В.И. Смагин, С.В. Смагин 44 совская случайная последовательность ошибок измерений, с характеристиками: M{v(k)} = 0 , M{q (k)v Τ (j)} = 0 , M{v(k)v Τ (j)} = V (k)δi , j ; (4) для матриц (S(k), A(k)) выполняются условия наблюдаемости. Вектор x0 является случайным и не зависит от от процессов q(k) и v(k), при этом M{x(0)} = x0 , M {(x(0) − x0)(x(0) − x0)Τ } = P0 . Для системы (1) и канала наблюдений (3) требуется синтезировать фильтр, вычисляющий оценку вектора состояния, не использующий оценки неизвестной постоянной составляющей возмущений. 2. Синтез фильтра Преобразуем дискретную систему (1). Исключаем постоянную составляющую возмущений f из описания объекта посредством вычитания из уравнения (1) такого же уравнения, но со сдвигом на один такт: x(k) = A(k − 1) x(k − 1) + f + q(k − 1) . (5) В результате получаем следующее уравнение: x(k + 1) = (A(k) + En) x(k) − A(k − 1) x(k − 1) + q (k) − q(k − 1) . (6) Расширим пространство состояний системы путем добавления к уравнению (6) тождества x(k) = x(k) . Обозначим x(k) ⎞ ⎛ q(k) − q(k − 1) ⎞ . X (k) = ⎛⎜ ⎟ ⎟ , q (k) = ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ x(k − 1) ⎠ Систему (1) представим в векторно-матричной форме X (k + 1) = A(k) X (k) + q (k), X (0) = X 0 , (7) (8) где А(k) – 2n × 2n -матрица имеет следующую блочную структуру: ⎛ A(k) + En A(k) = ⎜ En ⎝ − A(k − 1) ⎞ ⎟. 0 ⎠ (9) Случайный вектор X 0 = (x0Τ x−Τ1)Τ имеет следующие характеристики: M{ X (0)} = X 0 , M {(X 0 − X 0)(X 0 − X 0)Τ } = P0 , (x0Τ (10) x−Τ1)Τ где X 0 = . Отметим, что здесь дополнительно вводится n-мерный вектор x−1 , который является независимым от q(k) и v(k) , а характеристики (10) могут быть получены по априорной информации об объекте (1). Отметим, что в рассмотренной модели (8) процесс q (k) не является белой гауссовской последовательностью, процессы q (k) и q (k − 1) будут коррелированны: если j = k, ⎧ Q (k), ⎪ M{q (k)q (j)} = ⎨Q (k − 1), если j = k − 1, ⎪ 0, если 0 ≤ j < k − 1, ⎩ (11) Q(k) + Q(k − 1) 0 ⎞ ⎛ −Q(k − 1) 0 ⎞ . Q(k) = ⎛⎜ ⎟ , Q (k − 1) = ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (12) Τ где Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 45 Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде y (k) = S (k) X (k) + v(k) , (13) где S (k) = (S (k) 0) , v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4). В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Калмана: Xˆ (k + 1) = A(k) Xˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − S (k + 1) A(k) Xˆ (k)) , Xˆ (0) = X . (14) 0 Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки e(k) = Xˆ (k) − X (k) : e(k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))e(k) + K (k)v(k + 1) + (K (k) S (k + 1) − E2 n)q (k) . (15) В силу (11) и (15), матрица P (k) = M{e(k)eΤ (k)} определится из следующего разностного уравнения: P (k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k)) P (k)(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ + +(K (k) S (k + 1) − E2 n)Q (k)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + K (k)V (k + 1) K Τ (k) + +(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))(K (k − 1) S (k) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + (K (k) S (k + 1) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k − 1) S (k) − E2 n)Τ (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ , P (0) = P0 . (16) Оптимизируемый критерий зададим в виде J (k + 1) = trP (k + 1) . (17) Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия dJ (k + 1) =0. (18) dK (k) Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричного дифференцирования следа от матрицы , получим из условия (18) уравнение для определения матрицы K(k): − A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1) A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1)Q (k) S (k)Τ − Q (k) S (k + 1)Τ − K (k) S (k + 1)Q (k − 1) × ×S (k)Τ K (k − 1)Τ A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1)Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − − K (k) S (k + 1) A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1) A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + Q (k − 1) S (k)Τ K (k − 1)Τ × × A(k)Τ S (k + 1)Τ − Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + K (k)V (k + 1) = 0 . (19) Решение последнего уравнения относительно K(k) дает следующий результат: K (k) = P (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) P (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , (20) 46 В.И. Смагин, С.В. Смагин где P (k) = A(k) P (k) A(k)Τ + Q (k − 1)(E2 n − S (k)Τ K (k − 1)Τ) A(k)Τ + + A(k)(E2 n − K (k − 1) S (k))Q (k − 1) + Q (k) . (21) Отметим, что для вычисления коэффициентов передачи (20), в силу (21), необходимо задать начальные значения коэффициентов K(−1). Подставив в уравнение (16) выражение для оптимального коэффициента передачи (20), получим уравнение P (k + 1) = (E2 n − K (k) S (k + 1)) P(k) , P (0) = P0 . (22) Основной результат сформулируем в виде теоремы, учитывая симметричность и блочное представление матриц P (k) и P (k) : ⎛ p (k) P(k) = ⎜ 1 ⎝ p2 (k) ⎛ p (k) p2Τ (k) ⎞ , P (k) = ⎜ 1 p3 (k) ⎟⎠ ⎝ p2 (k) p2Τ (k) ⎞ , p3 (k) ⎟⎠ (23) блочные структуры матриц A(k), Q(k), Q (k), S (k) и представление матрицы K (k) в виде ⎛ K (k) ⎞ K (k) = ⎜ 1 ⎟ . (24) ⎝ K 2 (k) ⎠ Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (1) и канал наблюдений имеет вид (3). Тогда оптимальный алгоритм фильтрации определится следующими разностными уравнениями: xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1)] (25) с начальными условиями xˆ(0) = x0 , xˆ(1) = M{x(1)} = x1 . Матрица K1 (k) в (25) определяется по формуле (26) K1 (k) = p1 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , где матрица p1 (k) вычисляется из системы уравнений (27) p1 (k) = (A(k) + En) p1 (k)(A(k) + En)Τ − A(k − 1) p2 (k)(A(k) + En)Τ − −(A(k) + En) p2Τ (k) A(k − 1)Τ + A(k − 1) p3 (k) A(k − 1)Τ + Q(k − 1) S (k)Τ K1 (k − 1)Τ × ×(A(k) + En)Τ − Q(k − 1) S (k)Τ K 2 (k − 1)Τ AΤ (k − 1) + +(A(k) + En) K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − A(k − 1) K 2 (k − 1) S (k) × ×Q(k − 1) − (A(k) + En)Q(k − 1) − Q(k − 1)(A(k) + En)Τ + Q(k) + Q(k − 1) , p2 (k) = p1 (k)(A(k) + En)Τ − p2Τ (k) A(k − 1)Τ + + K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − Q(k − 1) , p3 (k) = p1 (k) , p1 (k + 1) = (En − K1 (k) S (k + 1)) p1 (k) , p1 (0) = p1,0 , p2 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p1 (k) + p2 (k) , p2 (0) = p2,0 , p3 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p2Τ (k) + p3 (k) , p3 (0) = p3,0 , K 2 (k) = p2 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 . (28) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 47 В (28) начальные условия p1,0 , p2,0 , p3,0 , являются соответствующими блоками матрицы P0 . Отметим, что для выполнения расчетов в (28) необходимо задать начальные условия для K1 (−1) и K 2 (−1) . Замечание. Управляемый объект x(k + 1) = A(k) x(k) + B(k)u (k) + f + q(k), x(0) = x0 , (29) при исключении неизвестного постоянного возмущения f объекта, необходимо преобразовать к виду, который будет отличаться от (8) одним слагаемым: X (k + 1) = A(k) X (k) + B (k)(u (k) − u (k − 1) + q (k), X (0) = X 0 , (30) где матрица A(k) приведена в формуле (9), q (k) имеет характеристики (11), (12). В (30) матрица B (k) имеет вид B (k) ⎞ B (k) = ⎛⎜ ⎟. ⎝ 0 ⎠ Тогда уравнения фильтра будут следующими: (31) xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1)) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1))] , (32) с начальными условиями (26), а матрица K1 (k) определяется в соответствии с (27) и (28). 3. Результаты вычислительного эксперимента Рассмотрим применение алгоритма фильтрации для модели второго порядка вида (1) и канала наблюдений (3) со следующими значениями параметров: 0 1 0 ⎞ ⎞ ; Q = ⎛ 0, 01 ; V = 0,9 ; A(k) = ⎛⎜ ⎟ ⎜ 0 0, 02 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 0, 05 0,925 + 0,1sin(0, 01k) ⎠ 1, 0 1, 0 0 ⎞ S = (1 1) ; x0 = ⎛⎜ ⎞⎟ ; P0 = ⎛⎜ (33) ⎟. ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Вычисление оценок вектора x(k) можно выполнить, используя двухэтапный алгоритм фильтрации . Модель измерений в этом случае с учетом (1) представляется в виде y (k + 1) = Sx(k + 1) + v(k + 1) = SA(k) x(k) + Sf + Sq(k) + v(k + 1) . (34) Рекуррентные уравнения оценивания неизвестного вектора f имеют вид fˆ (k + 1) = fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , fˆ (0) = f , 0 f Τ Τ Τ −1 K f (k) = Pf (k) S (SPf (k) S + SQS + V) , где Pf (k + 1) = (E2 − K f (k) S) Pf (k), Pf (0) = Pf0 , (35) M{ f } = f 0 , M{(f − f 0)(f − f 0)Τ } = Pf0 . (36) В.И. Смагин, С.В. Смагин 48 Оценка вектора состояния для объекта с неизвестным постоянным входом задается уравнением: xˆ (k + 1) = A(k) xˆ (k) + fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , (37) x где матрица K x (k) определяет коэффициенты передачи фильтра Калмана. При моделировании используем 0 1, 0 0 ⎞ f 0 = ⎛⎜ ⎞⎟ , Pf0 = ⎛⎜ (38) ⎟. ⎝0⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Применение расширенного фильтра Калмана для данного примера (в этом случае уравнение (1) расширяется путем добавления уравнения f(k+1) = f(k)) приводит к необходимости построения фильтра Калмана для дискретной системы со следующими матрицами динамики, канала наблюдений и интенсивностей аддитивных возмущений: Q 0⎞ ⎛ A(k) E2 ⎞ , (S 0) , ⎛⎜ (39) ⎟. ⎜ 0 E2 ⎟⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ Использование в данном примере методов, описанных в работах , невозможно в силу невыполнения условий существования оптимальных оценок неизвестного входного вектора : n≥m и l≥m. (40) В неизвестное возмущение определяется в виде f = Gd , где d – неизвестный m-мерный вектор, G – n × m -известная матрица. В рассмотренном примере G = E2 , n = 2 , m = 2, l = 1 , а это означает, что условия (40) не выполняются. Применение алгоритма фильтрации исследовалось также для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями компонент вектора f: ⎧ 1, если 0 ≤ k ≤ 9, ⎪ f1 (k) = f 2 (k) = ⎨ −1, если 9 < k < 25, ⎪ 1, если 25 ≤ k ≤ 50. ⎩ На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения K1 (−1) и K 2 (−1) задавались нулевые. x1(k) x1(k) x2(k) x2(k) 2 10 0 –10 0 3 4 20 30 40 k –10 0 4 1 0 1 10 3 10 2 10 20 30 40 k Рис. 1. Реализации процессов и оценок (1 – реализация x(k); 2 – оценка, построенная по алгоритму (25); 3 – оценка, построенная по двухэтапному алгоритму; 4 – оценка для расширенного фильтра Калмана) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 49 На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния. e1(k) 4 2 e2(k) 4 3 1 0 –2 –4 –6 0 2 2 3 1 0 2 –2 10 20 30 40 k –4 0 10 20 30 40 k Рис. 2. Графики ошибок фильтрации (1 – ошибка для оценки, построенной по алгоритму (25); 2 – ошибка для оценки, построенной по двухэтапному алгоритму; 3 – ошибка для расширенного фильтра Калмана) Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений f 0 и Pf0 . Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает среднюю ошибку в 3 – 4 раза меньшую, чем другие методы. Средние значения среднеквадратических ошибок для компонент вектора состояния Алгоритм (25) e1,ср = 0,0912 Двухэтапный алгоритм e1,ср = 0,3128 Расширенный фильтр Калмана e1,ср = 0,4103 e2,ср = 0,0945 e2,ср = 0,2917 e2,ср = 0,4296 Заключение Разработан алгоритм синтеза дискретного оптимального нестационарного фильтра для объекта, возмущения которого содержат неизвестную постоянную составляющую. Алгоритм построен на основе расширения пространства состояния и исключения из модели неизвестной составляющей. В отличие от классического фильтра Калмана, предложенный фильтр использует рекуррентные оценки, построенные на двух предыдущих тактах. Как показали результаты вычислительного эксперимента, алгоритм может быть применен для кусочно-постоянной неизвестной аддитивной составляющей возмущений. ЛИТЕРАТУРА 1. Astrom K., Eykhoff P. System identification. A survey // Automatica. 1971. V. 7. P. 123−162. 2. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1969. V. AC-14. P. 359−367. 3. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31–36. 50 В.И. Смагин, С.В. Смагин 4. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V. 33. P. 717–719. 5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1999. V. AC-39. P. 606. 6. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 111–116. 7. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1998. V. AC-43. P. 445–449. 8. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6 – 11, 2008. P. 14502–14509. 9. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. P. 2374–2378. 10. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217–220. 11. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007. P. 5118–5123. 12. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95–108. 13. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана – Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с. 14. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. 630 с. 15. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т. 45. № 6. C. 29−37. 16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3−15. Смагин Валерий Иванович Смагин Сергей Валерьевич Томский государственный университет E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 6 декабря 2010 г.

Как известно, сущность фильтрации состоит в не­прерывном оценивании изменяющихся во времени парамет­ров случайного процесса. Если сообщение является ска­лярным марковским процессом (для стационарного гауссовского процесса это означает, что ковариационная функ­ция имеет вид Aexp(-B|t-u|), то решение задачи может быть основано на следующих принципах, упрощающих дости­жение цели:

Описание интересующих нас процессов следует выполнять при помощи линейных систем с изменяющимися во времени параметрами, которые генерировали бы их при подаче на входы систем белого шума;

Линейную систему, генерирующую сообщение, следует описывать при помощи дифференциального уравнения, решением которого является искомое сообщение;

Оптимальную оценку как выходную величину линей­ной системы следует задавать как решение дифференци­ального уравнения, коэффициенты которого определяются статистикой процессов.

Линейные системы, построенные по указанным принципам, носят название фильтров Калмана-Бьюси, которым принадлежат оригинальные работы в этой области. В отличие от этих принципов в интегральной винеровской фильтрации описание процессов осуществляется с помощью ковариационных функций, линейных систем - с помощью импульсной переходной характеристики, оптимальных оце­нок - как решение интегрального уравнения Винера-Хопфа.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра Калмана в канонической форме имеет вид:

где -матричный коэффициент усиления опти­мального фильтра.

Фильтр Калмана осуществляет динамическую оптимальную фильтрацию нестационарных случайных процессов. Ре­шение задачи оптимальной фильтрации сводится к решению системы векторно-матричных дифференциальных (или раз­ностных) уравнений. Этот метод позволяет оперировать замкнутой системой уравнений в рекуррентной форме, что является наиболее удобным при технической реализации. По существу, фильтр Калмана представляет собой вычислительный алгоритм обработки информации, использующий комплекс априорных сведений об исходной системе (структура, параметры, статистические характеристики шумов состояния и шумов измерения, сведения о начальных ус­ловиях и т.д.). Такой фильтр производит статистическую обработку информации наблюдения с учетом динамических свойств модели исходной системы. Структура калмановского фильтра представляет собой модель исходной динамичес­кой системы с коррекцией ошибки фильтрации корректирую­щим сигналом

где - корректирующий сигнал вида:

В этом случае оптимальный нестационарный динамический фильтр Калмана представляет собой замкнутую автомати­ческую систему регулирования, содержащую математичес­кую модель исходной системы, причем на выходе модели вырабатывается оценка состояния, а на вход поступает сигнал коррекции с матричным нестационар­ным коэффициентом усиления K(t):

Следовательно, алгоритм динамической фильтрации основан на классическом принципе регулирования по от­клонению с матричным коэффициентом усиления K(t), обеспечивающим минимальную среднюю квадратическую ошибку фильтрации. Корректирующий сигнал состоит из текущего сигнала наблюдения z(t) за сос­тоянием исходной системы, дополненного текущим сигна­лом состояния модели исходной системы. Сигнал является сигналом коррекции ошиб­ки фильтрации и характеризует дополнительную информацию между текущими измерениями z(t) и оценками состояния, полученными по результатам оценок , предшествующих текущим измерениям z(t). Матричная cxeма оптимального фильтра Калмана имеет вид, показанный на рис. 4.18. Эта схема реализует алгоритм динамической фильтрации, когда состояние исходной системы задается дифференциальными уравнениями, правая часть которых не зависит от наблюдения.

Оптимальная дискретная фильтрация Калмана получила особенно большое распространение в связи с развитием ем дискретных методов обработки информации. Она явля­ется распространением результатов непрерывной оптимальной динамической фильтрации на дискретные динамические системы, описываемые разностными векторно-матричными уравнениями.

Рис. 4.17 . Матричная схема оптимального фильтра Калмана

Уравнение оптимального линейного фильтра позволя­ет последовательно вычислять оценки. Для вычисления оценки используются только предыдущие значе­ния оценки и номер параметра . Значе­ние оценки в момент вычисляется из оценки в мо­мент с добавлением взвешенной разности между измерением в момент и оценкой измерения в момент , Такой способ вычисления оценок называется ре­курсивным. Таким образом, дискретный фильтр Калмана в рекуррентной форме осуществляет рекурсивную процедуру вычисления последовательных оценок, требующую запоминания на каждом шаге небольшого числа результатов вычислений.

Матричная схема дискретного фильтра Калмана по­казана на рис. 4.19 совместно с моделями исходной динамической системы и измерительной системы.

Рис. 4.18. Матричная схема дискретного фильтра Калмана

Основой для вывода уравнения фильтрации являются уравнения состояния динамической системы и уравнение наблюдения (измерения). Уравнение состояния линейной динамической систе­мы описывается системой разностных уравнений в векторно-матричной форме:

где - переходная матрица состояния раз­мерности , -мерный вектор состоя­ния динамической системы; - матрица возмущения, или входного сигнала размерности ; - -мерный вектор случайной гауссовской последовательности.

Уравнение наблюдения (измерения) сигнала получаемого на выходе модели измерительной системы, описывается разностно-векторным уравнением:

где -мерный вектор наблюдения (измерения); -мерный вектор случайной гауссовской некоррелированной последовательности ошибок измерения, искажающих результат наблюдения за состоянием динами­ческой системы; матрица измерений размерности

Предположим, что известны оценка состояния системы в момент и матрица переходов ). Тогда эту оценку можно принять за начальную и вычислить оценку на момент времени в соответствии с уравнением:

Эта оценка является предсказанной (экстраполированной) по результатам предыдущих наблюдений. При ее вычисле­нии не использовалось последнее измерение сос­тояния динамической системы, проведенное в момент . Это приведет к ошибкам в оценке вектора состояния системы. Погрешность оценки в момент че­рез матрицу перехода распространяется на все последующие оценки в , и при длительном времени работы фильтра ошибки могут накопиться и привести к неудовлетворительным результатам. Оценку можно улучшить, если использовать измерения в момент времени и сформировать корректирующий сигнал: . Отсюда

Подставив в это выражение (9.14), получаем уравнение дискретного фильтра Калмана в канонической форме:

О птимальный коэффициент передачи такого фильтра должен обеспечить минимум средней квадратической ошиб­ки фильтрации в соответствии с условием (4.152).

Контрольные вопросы к Главе 4

1. Какие критерии принятия решения применяются в ГАС НК?

2. В чём сходство и отличие критериев обнаружения «Идеального наблюдателя», «Неймана – Пирсона» и «Вальда»?

3. Какова физическая сущность вероятностей правильного обнаружения, правильного необнаружения, пропуска сигнала и ложной тревоги?

4. Как соотносится вероятность ложной тревоги «в точке» и многоканальной системы?

5. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия Неймана-Пирсона?

6. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия Котельникова-Зигерта?

7. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия обнаружения Вальда?

8. В чём адекватность и особенности корреляционного приёмника и согласованного фильтра?

9. В чём суть состоятельности оценки?

10. В чём суть эффективности оценки?

11. В чём суть несмещённости оценки?

12. Что представляет собой информационная матрица Фишера?

13. Как строится пеленгационная характеристика гидролокатора?

14. Как формируется словарь признаков и алфавит образов объектов гидролокации?

15. В чём адекватность и отличие понятий классификации и распознавания гидролокационных объектов?

Глава 5 Основы теории оптимальной фильтрации

5.1. Оптимальная линейная фильтрация детерминированных и случайных сигналов

Задачей фильтрации является:

Получение из смеси сигнала и шума полезного сигнала в целом. При этом критерием оптимальности может служить минимальное искажении формы (спектра) сигнала;

Воспроизведение параметров сигнала несущего информацию. При этом критерием оптимальности может служить максимальное отношение сигнал/шум на выходе линейного фильтра или коррелятора.

Различают следующие виды фильтрации:

1. Линейную фильтрацию (сложение, усиление, дифференцирование, интегрирование и т.д.). Здесь выходной сигнал описывается линейными дифференциальными уравнениями. Основным свойством линейной фильтрации является связь между изменяющимся входным сигналом и выходным сигналом, т.е. если входной сигнал является суммой каких-то составляющих, то и выходной сигнал так же будет суммой пропорциональных составляющих (соблюдается принцип суперпозиции).

2. Нелинейную фильтрацию (возведение в степень, извлечение корня, перемножение и т.д.). Здесь выходной сигнал описывается нелинейными дифференциальными уравнениям.

На практике обойтись только одной линейной фильтрацией невозможно.

Оптимальная согласованная фильтрация. При рассмотрении критерия Котельникова-Зигерта был показан оптимальный приемник, который построен на принципе вычисления корреляционного интеграла, на интервале

Там отмечалось, что эту задачу можно решить, применяя согласованные фильтры. Однако не существует единого оптимального фильтра, поскольку все зависит от следующих факторов:

1. Какие критерии качества для нас важны, а это определяется назначением радиотехнической системы. Это может быть обнаружение сигнала, отношение сигнал/шум на выходе фильтра, форма сигнала и т.д..

2. Какие сигналы надо обнаружить (детерминированные, дискретные, непрерывные, случайные).

3. Какие шумы и помехи действуют в радиоканале (флуктуационные, импульсные, сосредоточенные).

Итак, смысл оптимальности применим лишь для конкретных моделей сигналов и шумов.

Прием дискретных сигналов на согласованный фильтр. Для сигналов с известными параметрами оптимальный фильтр должен дать на выходе максимальный критерий качества, например, максимальное отношение сигнал/шум. Эту операцию можно осуществить за счет свертки сигналов в согласованном фильтре (СФ). Для этого нужно иметь фильтр, импульсная характеристика которого соответствует именно этому сигналу.

Известно, что импульсная характеристика согласованного фильтра должна представлять собой сдвинутую на время и зеркально перевернутую во времени копию входного сигнала (рис.5.1).

Импульсная характеристика согласованного фильтра, при , равняется нулю, значениене может быть меньше длительности входного импульса. Знак минус передуказывает на зеркальность импульсной характеристики СФ по отношению к входному сигналу.

Поскольку импульсная характеристика - это тоже самое, что ипри замене переменных, то интеграл свертки (интеграл Дюамеля) может быть представлен в виде

,

где - корреляционный сдвиг.

В момент появится максимум выходного сигнала. Это значит, что весь сигнал длительностьюобработан. По сути, в моментвходной сигнал и зеркальная копия совместились, что соответствует (), а это значит, что.

Замечательным свойством согласованного фильтра является то, что он обеспечивает наибольшее отношение пикового значения выходного сигнала с среднеквадратическому значению шума, т.е. он обеспечивает максимум правдоподобия ().

Здесь обеспечивается именно максимальное отношение сигнал/шум, а не воспроизведение формы сигнала, т.е. все определяется энергией, а не формой сигнала.

Рассмотрим некоторые конкретные задачи.

Согласованная фильтрация детерминированного сигнала. В этом случае форма обрабатываемого сигнала заранее известна. Характеристики согласованного фильтра здесь полностью определяются известными значениями сигнала. Пусть нам нужно определить лишь факт, что в принятой реализации присутствует сигнал. Это критерий качества. Понятно, что согласованный фильтр может не сохранить форму сигнала, т.к. обнаружение требует от согласованного фильтра лишь обеспечить максимальное отношение сигнал/шум. Критерием качества обработки здесь является именно это отношение.

В формуле (5.2) импульсная характеристику можно представить в виде

Если фильтр линейный, то воздействие сигнала и воздействие шума на фильтр можно считать независимыми. Поэтому далее рассмотрим эти два процесса отдельно.

Подставляя в (5.2) значение (5.4), получим интеграл свертки сигнала

Таким образом, выходной сигнал с точностью до постоянного коэффициентасовпадает с входным сигналом и равен энергии входного сигнала.

Комплексная сопряженность амплитудно-частотной характеристики согласованного фильтра со спектром принимаемого сигнала приводит к компенсации взаимных фазовых сдвигов между спектральными составляющими сигнала в момент . Физически это означает, что в моментвсе спектральные составляющие сигнала складываются в фазе (синфазно), образуя выходной пик. Это называетсякомпенсацией начальных фаз . При этом длительность выброса энергии на выходе согласованного фильтра становится меньше, чем длительность входного импульса, т.е. происходит сжатие сигнала с коэффициентом, равным

Чем больше , тем уже корреляционная функция и тем больше превышение энергии сигнала над уровнем шумов.

Максимальное значение на выходе согласованного фильтра определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы. При этом коэффициент передачи согласованного фильтра велик на тех частотах, где сосредоточена основная часть энергии полезного сигнала и мал, где спектральная плотность сигнала меньше.

Сочетание компенсации начальных фаз с увеличением амплитуды сильных спектральных составляющих сигнала и обеспечивает оптимальность СФ для обнаружения сигнала на фоне белого шума.

Прохождение белого шума через согласованный фильтр. Рассмотрим действие белого шума на согласованный фильтр, импульсная характеристика которого согласована с сигналом.

Спектральная плотность шума на выходе согласованного фильтра равна произведению спектральной плотности входного шумаи квадрата модуля коэффициента передачи согласованного фильтра

,

где - коэффициент передачи согласованного фильтра.

Коэффициент это амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра, полученная как преобразование Фурье от импульсной характеристики.

Если спектральная плотность белого шума постоянна, а радиотехническая система ограничена полосой частот , то спектральная плотность шума на входе согласованного фильтра

Согласно равенству Парсеваля

Извлекая квадратный корень из (5.13), находим среднеквадратическое значение белого шума

а это не что иное, как отношение энергии входного сигнала к спектральной плотности белого шума, которое не зависит от формы сигнала.

При рассмотрении методов оптимального когерентного приема в случае неопределенности, подобной в радиолокационных системах, для реализации критерия Неймана-Пирсона используется многоканальный коррелятор.

При оптимальной согласованной фильтрации корреляторы каждого канала заменяются согласованными фильтрами (рис. 5.2). В этом случае нет необходимости привязки по времени прихода сигнала.

Отношение сигнал/шум при небелом шуме. « Белый» шум – это некоррелированный шум. В общем случае шум может быть коррелированным и иметь произвольную спектральную мощность. Для того чтобы «обелить» такой шум, применяют специальный обеляющий фильтр (ОФ) (рис. 5.3),коэффициент передачи которого выбран таким, чтобы компенсировать неравномерность спектра входного небелого шума. На выходе обеляющего фильтра будет получен белый шум со спектральной плотностьюN 0 .

Поскольку, обеляющий фильтр внесет свои изменения и в сигнал, то отношение сигнал/шум будет определяться выражением

где энергия сигнала на выходе ОФ.

Нахождение оптимального фильтра Винера основывалось на использовании интегрального уравнения Винера - Хопфа, при решении которого стационарные случайные процессы рассматривались в частотной области. В 1960 г. Р. Калман и Р. Бьюси рассмотрели проблему линейной фильтрации во временной области и, используя концепцию «пространства состояний», предложили новый эффективный метод синтеза оптимальных систем по критерию минимума математического ожидания квадрата случайной ошибки, применимый как для стационарных, так и для нестационарных марковских случайных процессов. Так как в основе используемой Калманом и Бьюси концепции «пространства состояний» лежит предположение о том, что случайный процесс является марковским, то их подход к синтезу оптимальных линейных систем иногда называют марковской теорией оптимальной линейной фильтрации.

Описывая все случайные процессы не с помощью корреляционных функций или спектральных плотностей, а с помощью дифференциальных уравнений или уравнений состояния, Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях оптимальная линейная система (оптимальный фильтр Калмана - Бьюси) должна удовлетворять некоторой системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Нахождение оптимальной системы по этим дифференциальным уравнениям намного легче, чем по интегральным уравнениям Винера - Хопфа, особенно в случае нестационарных случайных процессов.

Вывод уравнений оптимального фильтра был выполнен Калманом и Бьюси для многомерных случайных процессов. Познакомимся с основной идеей метода Калмана - Бьюси на примере более простых, но часто встречающихся на практике одномерных фильтров.

Допустим, что синтезируемая система должна воспроизводить некоторый сигнал представляющий собой в общем случае нестационарный случайный процесс. Пусть на входе системы кроме этого сигнала действует также помеха

представляющая собой в общем случае нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением. Таким образом, суммарный входной сигнал

Для вывода уравнения одномерного оптимального фильтра Калмана - Бьюси существенным является то, что случайный процесс должен быть сначала представлен дифференциальным уравнением первого порядка следующего вида:

где - некоторая функция времени, зависящая от статистических характеристик случайного процесса - нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением.

Корреляционные функции нестационарных случайных процессов имеют вид

где - непрерывные, непрерывно дифференцируемые функции времени, причем

В частном случае для стационарных случайных процессов их корреляционные функции

Если случайный процесс на выходе системы равен , то случайная ошибка системы равная разности между воспроизводимым сигналом и выходным сигналом имеет вид

Калман и Бьюси показали, что оптимальная система (оптимальный фильтр Калмана-Бьюси), обеспечивающая в любой момент времени воспроизведение сигнала при минимуме математического ожидания квадрата случайной ошибки, должна описываться неоднородным дифференциальным уравнением вида

Таким образом, при синтезе оптимального фильтра Калмана - Быоси задача сводится к нахождению таких функций времени в дифференциальном уравнении (9.140), при которых обеспечивался бы минимум математического ожидания квадрата случайной ошибки, т. е.

Предполагая, что случайный процесс представлен в виде (9.135), приведем без доказательства формулы для нахождения функций при которых обеспечивается минимум (9.141).

Прежде чем определить функции находят некоторую функцию времени равную математическому ожиданию квадрата случайной ошибки (дисперсии ошибки):

она определяется как решение следующего дифференциального уравнения Риккати:

Для решения (9.143) нужно знать начальное значение при Обычно поэтому

После нахождения функции определяют функцию по формуле

и функцию по формуле

Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров методом Калмана - Бьюси является решение уравнения Риккати (9.143). В общем случае оно требует применения ЭВМ.

Важное самостоятельное значение имеют также вопросы исследования существования решения уравнения (9.143), его единственности и устойчивости.

Учитывая (9.146), уравнение оптимального фильтра Калмана-Бьюси иногда записывают в следующем виде:

Дифференциальному уравнению (9.140) соответствует структурная схема оптимального фильтра, показанная на рис. 9.19, а; дифференциальному уравнению (9.147) соответствует структурная схема, показанная на рис. 9.19, б. Таким образом, оптимальный фильтр Калмана-Бьюси можно рассматривать как некоторую динамическую систему с обратной связью, имеющую структурную схему, приведенную либо на рис. 9.19, а, либо на рис. 9.19, б. Естественно, что обе эти структурные схемы эквивалентны.

Для нестационарных случайных процессов функции зависят от времени и оптимальный фильтр Калмана-Бьюси получается нестационарным.

Для стационарных случайных процессов функции а также в установившемся режиме функции не зависят от времени, поэтому оптимальный фильтр Калмана-Бьюси в этом случае является стационарным, определяемым дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Система описываемая (9.148), будет в установившемся режиме воспроизводить на своем выходе стационарный случайный сигнал с минимальной средней квадратической ошибкой.

Естественно, что для стационарных процессов результаты, полученные методом Калмана-Бьюси и методом Винера, совпадают. Уравнение (9.148), полученное во временной области, эквивалентно оптимальному фильтру Винера, определяемому в частотной области уравнением (9.125).

Остановимся кратко на очень существенном для фильтров Калмана-Бьюси вопросе о возможности представления случайного процесса в виде дифференциального уравнения (9,135).

Нахождение (9.135) связано с задачей определения формирующего фильтра (стационарного или нестационарного), который при воздействии на его вход белого шума позволяет получить на своем выходе заданный случайный процесс Структурную схему такого формирующего фильтра в соответствии с (9.135) можно представить так, как показано на рис. 9.20.

Для стационарных случайных процессов методы определения параметров формирующих фильтров разработаны хорошо. В этих случаях формирующий фильтр можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или соответствующей передаточной функцией формирующего фильтра . Особенно просто находится передаточная функция формирующего фильтра в том случае, когда выражение для спектральной плотности стационарного случайного процесса имеет вид дробно-рациональной функции частоты, т. е. когда выражение для спектральной плотности может быть представлено в виде произведения двух комплексно-сопряженных множителей:

Пусть на входе формирующего фильтра действует стационарный случайный сигнал типа «белый шум», имеющий спектральную плотность тогда спектральная плотность сигнала на выходе формирующего фильтра

Учитывая (9.149), можно записать

откуда частотная передаточная функция формирующего фильтра

Подставляя в последнее выражение получаем выражение для передаточной функции формирующего фильтра

Зная передаточную функцию формирующего фильтра, находим дифференциальное уравнение вида (9.135), связывающее случайные процессы

Если спектральная плотность не является дробнорациональной функцией частоты или получена экспериментально, то для нахождения формирующего фильтра ее нужно сначала аппроксимировать дробно-рациональной функцией частоты.

В заключение следует отметить, что если входные воздействия являются стационарными случайными процессами, то метод Калмана-Бьюси не имеет преимуществ перед методом синтеза оптимальных фильтров Винера. Этот метод в основном применяют для синтеза оптимальных нестационарных линейных фильтров.

Он позволяет также достаточно просто находить структуру и параметры оптимального фильтра и в том случае, когда воспроизводимый сигнал описывается полиномом со случайными коэффициентами:

где - случайные величины с известными статистическими характеристиками.

Синтез оптимальных линейных фильтров Калмана-Бьюси, проведенный первоначально для помехи в виде белого шума, был в дальнейшем развит на более общие случаи, например на случай коррелированных помех, имеющих неравномерную спектральную плотность, на случай нелинейной фильтрации и др. Заметим, наконец, что оптимальные фильтры Калмана-Бьюси, как и оптимальные фильтры Винера, позволяют решать не только задачу оптимального воспроизведения

сигнала на фоне помех (фильтрации), но и задачи статистического упреждения, статистического дифференцирования и т. д.

Пример 9.8. На входе линейной следящей системы действует стационарный случайный процесс спектральная плотность которого

и случайная помеха типа «белый шум», имеющая спектральную плотность

Числовые значения коэффициентов

Определить методом Калмана-Бьюси оптимальную передаточную функцию системы, обеспечивающую минимум средней квадратической ошибки.

1. Так как система предназначена для воспроизведения полезного сигнала то преобразующий оператор воспроизводимый сигнал , следовательно,

В соответствии с (9.149) представляем выражение для спектральной плотности в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей

и находим

2. Рассматривая заданный стационарный случайный процесс как реакцию некоторого формирующего фильтра на стационарный случайный процесс типа «белый шум», имеющий спектральную плотность находим частотную передаточную функцию этого формирующего фильтра по (9.150):

3. Находим передаточную функцию формирующего фильтра:

4. Полученной передфаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее дифференциальное уравнение, связывающее случайные процессы

Чтобы привести последнее дифференциальное уравнение к виду (9.135), примем, что спектральная плотность белого шума равна тогда и окончательно случайный процесс можно представить как