Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n ,  .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a n , следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью . Величина a n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a n = f (n ) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N  R .

Последовательность
называетсявозрастающей (убывающей ), если для любого n  N
Такие последовательности называютсястрого монотонными .

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n 0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n .

Если в некоторой последовательности для любого n  N
то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей ). Такие последовательности называются монотонными .

Пример 1 . Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член a n = n .

Пример 2 . Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член a n = 2n .

Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

Пример 4 . Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену
. Для вычисленияa 1 нужно в формулу для общего члена a n вместо n подставить 1, для вычисления a 2 − 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6 . Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

1)

2)

3)

4)

Тест 7 .
является:

1)

2)

3)

4)

Тест 8 . Общим членом последовательности
является:

1)

2)

3)

4)

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число А называется пределом числовой последовательности
:

(1)

если для любого  > 0 найдется такое число n 0 = n 0 (), зависящее от , что
приn > n 0 .

Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n 0 , что, начиная с n > n 0 , все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

Пример 5 . Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N 0 можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n 0 >имеем

Пример 6 . Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число М , что
для всехn . Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пример 7 . Последовательность
является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел
=е .

Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

Тест 9 . Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

Тест 10 . Последовательность
является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 11 . Последовательность не является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) гармонической.

Тест 12 . Предел последовательности, заданной общим членом
равен.

Колыбель. Пелёнки. Плач.
Слово. Шаг. Простуда. Врач.
Беготня. Игрушки. Брат.
Двор. Качели. Детский сад.
Школа. Двойка. Тройка. Пять.
Мяч. Подножка. Гипс. Кровать.
Драка. Кровь. Разбитый нос.
Двор. Друзья. Тусовка. Форс.
Институт. Весна. Кусты.
Лето. Сессия. Хвосты.
Пиво. Водка. Джин со льдом.
Кофе. Сессия. Диплом.
Романтизм. Любовь. Звезда.
Руки. Губы. Ночь без сна.
Свадьба. Тёща. Тесть. Капкан.
Ссора. Клуб. Друзья. Стакан.
Дом. Работа. Дом. Семья.
Солнце. Лето. Снег. Зима.
Сын. Пелёнки. Колыбель.
Стресс. Любовница. Постель.
Бизнес. Деньги. План. Аврал.
Телевизор. Сериал.
Дача. Вишни. Кабачки.
Седина. Мигрень. Очки.
Внук. Пелёнки. Колыбель.
Стресс. Давление. Постель.
Сердце. Почки. Кости. Врач.
Речи. Гроб. Прощанье. Плач.

Жизненная последовательность

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ - (sequence), числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ….… …

Научно-технический энциклопедический словарь

Определение: Числовой последовательностью называют числовую , заданную на множестве N натуральных чисел.Для числовых последовательностей обычно вместо f(n) пишут a n и обозначают последовательность так: (a n ). Числа a 1 , a 2 , …, a n,… называют элементами последовательности.

Обычно числовая последовательность определяется заданием n -го элемента или рекуррентной формулой, по которой каждый следующий элемент определяется через предыдущий. Также возможен описательный способ задания числовой последовательности. Например:

• Все члены последовательности равны «1″ . Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

• Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания. Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

При рекуррентном способе указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

• y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4,…

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , если n = 3, 4,…

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, выраженная рекуррентной формулой y n = y n-1 + 4 может быть задана и аналитически: y n = y 1 +4*(n-1)

Проверим: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Здесь нам не обязательно знать предыдущий член числовой последовательности для вычисления n-ного элемента, достаточно лишь задать его номер и значение первого элемента.

Как мы видим, этот способ задания числовой последовательности очень похож на аналитический способ задания функций. По сути, числовая последовательность является частным видом числовой функции, поэтому ряд свойств функций можно рассматривать и для последовательностей.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на . И если вы хотите более подробно изучить различные виды числовых последовательностей, жмем сюда. Ну а если вам и так все понятно и просто, но попробуйте ответить на .

Числовая последовательность и ее предел представляют собой одну из важнейших проблем математики на протяжении всей истории существования этой науки. Постоянно пополняемые знания, формулируемые новые теоремы и доказательства - все это позволяет рассматривать данное понятие с новых позиций и под разным

Числовая последовательность, в соответствии с одним из самых распространенных определений, представляет собой математическую функцию, основанием которой служит множество натуральных чисел, располагающихся согласно той или иной закономерности.

Существует несколько вариантов создания числовых последовательностей.

Во-первых, эта функция может быть задана так называемым «явным» способом, когда имеется определенная формула, при помощи которой каждый ее член может быть определен простой подстановкой порядкового номера в заданную последовательность.

Второй способ получил название «реккурентного». Его суть состоит в том, что задаются несколько первых членов числовой последовательности, а также специальная реккурентная формула, с помощью которой, зная предыдущий член, можно найти последующий.

Наконец, наиболее общим способом задания последовательностей является так называемый когда без особого труда можно не только выявить тот или иной член под определенным порядковым номером, но и, зная несколько последовательных членов, прийти к общей формуле данной функции.

Числовая последовательность может быть убывающей или возрастающей. В первом случае каждый последующей ее член меньше предыдущего, а во втором - наоборот, больше.

Рассматривая данную тему, нельзя не затронуть вопрос про пределы последовательностей. Пределом последовательности называется такое число, когда для любой, в том числе для бесконечно малой величины, существует порядковый номер, после которого уклонение следующих друг за другом членов последовательности от заданной точки в числовом виде становится меньше величины, заданной еще при формировании этой функции.

Понятие предела числовой последовательности активно используется при проведении тех или иных интегральных и дифференциальных счислений.

Математические последовательности обладают целым набором достаточно интересных свойств.

Во-первых, любая числовая последовательность есть пример математической функции, следовательно, те свойства, которые характерны для функций, можно смело применять и для последовательностей. Самым ярким примером таких свойств является положение о возрастающих и убывающих арифметических рядах, которые объединяются одним общим понятием - монотонные последовательности.

Во-вторых, существует достаточно большая группа последовательностей, которые нельзя отнести ни к возрастающим, ни к убывающим, - это периодические последовательности. В математике ими принято считать те функции, в которых существует так называемая длина периода, то есть с определенного момента (n) начинает действовать следующее равенство y n = y n+T , где Т и будет являться той самой длиной периода.

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Определение .
Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей