Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор мы рассматривали системы, которые имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом , методом Гаусса . Однако на практике широко распространены еще два случая, когда:

1) система несовместна (не имеет решений);

2) система имеет бесконечно много решений.

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Есть такая теорема, которая утверждает:«Если количество уравнений в системе меньше количества переменных , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений». И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1). На левой верхней ступеньке нам нужно получить (+1) или (–1). Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Мы поступили так. К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на (–1).

(2). Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на 5.

(3). После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную (–1) на второй ступеньке. Третью строку делим на (–3).

(4). К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований:

. Ясно, что так быть не может.

Действительно, перепишем полученную матрицу

обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида, где λ – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).

Как записать концовку задания? Необходимо записать фразу:

«В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 ». Ответ: «Система не имеет решений (несовместна)».

Обратите внимание, что в этом случае нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса, решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Снова напоминаем, что Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения, метод Гаусса не задаёт однозначного алгоритма, о порядке действий и о самих действиях надо догадываться в каждом случае самостоятельно.

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица

.

Эта матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет необходимости, так как появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок студенту, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия. Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом и его универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1). Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (–4). К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на (–2). К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1).

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: к четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1) – именно так!

(2). Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить. Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки не лишним будет вторую строку умножить на (–1), а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них. В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки , где λ ≠ 0, тоже нет. Значит, это и есть третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений.

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса. Для систем уравнений с бесконечным множеством решений появляются новые понятия: «базисные переменные» и «свободные переменные» . Сначала определим, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные - свободными . Не обязательно подробно разъяснять термины линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы . В данном примере базисными переменными являются x 1 и x 3 .

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: x 2 и x 4 – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные . Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх. Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную x 3:

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную x 1 через свободные переменные x 2 и x 4:

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные (x 1 и x 3) выражены только через свободные переменные (x 2 и x 4):

Собственно, общее решение готово:

.

Как правильно записать общее решение? Прежде всего, свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные x 2 и x 4 следует записать на второй и четвертой позиции:

.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Из общего решения системы можно найти бесконечно много частных решений . Это очень просто. Свободными переменные x 2 и x 4 называют так, потому что им можно придавать любые конечные значения . Самыми популярными значениями являются нулевые значения, поскольку при этом частное решение получается проще всего.

Подставив (x 2 = 0; x 4 = 0) в общее решение, получим одно из частных решений:

, или – это частное решение, соответствующее свободным переменным при значениях (x 2 = 0; x 4 = 0).

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим (x 2 = 1 и x 4 = 1) в общее решение:

, т. е. (-1; 1; 1; 1) – еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений, так как свободным переменным мы можем придать любые значения.

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение (-1; 1; 1; 1) и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно. Поэтому, прежде всего, более основательна и надёжна проверка общего решения.

Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно требует длительных преобразований. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

Получена правая часть исходного первого уравнения системы.

В левую часть второго уравнения системы:

Получена правая часть исходного второго уравнения системы.

И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Эта проверка дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют именно проверку общего решения.

Пример 4:

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений.

Пример 5:

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и, с помощью элементарных преобразований, приведем ее к ступенчатому виду:

(1). Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.

(2). К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–5). К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–7).

(3). Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем. Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.

Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна: .

(4). Обратный ход. Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

, , ,

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Таким образом, общее решение при одной свободной переменной x 4:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная x 4 одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , , - тоже на своих местах.

Сразу выполним проверку общего решения.

Подставляем базисные переменные , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, найдено верное общее решение.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Все переменные выражаются здесь через единственную свободную переменную x 4 . Ломать голову не нужно.

Пусть x 4 = 0, тогда – первое частное решение.

Пусть x 4 = 1, тогда – еще одно частное решение.

Ответ: Общее решение: . Частные решения:

и .

Пример 6:

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у нас уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения. Главное, чтобы совпали общие решения. Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановимся на особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах. В общее решение системы иногда может входить константа (или константы).

Например, общее решение: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Однако метод Гаусса работает в самых суровых условиях. Следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

Повторимся в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.

Решения и ответы:

Пример 2:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:

(1) Первую и третью строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–6). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–7).

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на (–1).

В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 . Значит, система несовместна. Ответ: решений нет.

Пример 4:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:

(1). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

Для второй ступеньки нет единицы , и преобразование (2) направлено на её получение.

(2). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.

(3). Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)

(4). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(5). У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

(1). Здесь – базисные переменные (которые на ступеньках), а – свободные переменные (кому не досталось ступеньки).

(2). Выразим базисные переменные через свободные переменные:

Из третьего уравнения: .

(3). Рассмотрим второе уравнение: , частные решения:

Ответ: Общее решение:

Комплексные числа

В этом разделе мы познакомимся с понятием комплексного числа , рассмотрим алгебраическую , тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять алгебраические действия с «обычными» числа, и помнить тригонометрию.

Сначала вспомним «обычные» Числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой R, либо R (утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой оси обязательно соответствует некоторое действительное число.

Тесты по физике (1 семестр 1 курс)

Вариант 1

Величину, характеризующую быстроту изменения скорости, называют: а) импульсом б) мгновенной скоростью в)средней скоростью г) ускорением

Импульс – это: а) Р 1 = б) Р= a + b + c в) Р=m v г)Р=а х

Ученик измеряет силу кисти своей руки с помощью пружинного силомера. При этом используется связь силы с … А) величиной деформации тел; Б) ускорением тел; а)Только А б) только Б в) и А, и Б г)ни А, ни Б

Идеи о том, что вещества состоят из атомов, разделенных пустым пространством, в дошедших до нас письменных свидетельствах, высказаны… а) Менделеевым б) Демокритом в) Ньютоном г) Эйнштейном

Единица измерения абсолютной температуры: а) фаренгейт б) градус в) Кельвин г)моль

Два параллельных проводника, по которым течет ток в одном направлении, притягиваются. Это объясняется тем, что… а) магнитное поле одного проводника с током действует на движущиеся заряды во втором проводнике; б) токи непосредственно взаимодействуют друг с другом; в) электростатические поля зарядов в проводниках непосредственно взаимодействуют друг с другом; г) магнитные поля токов непосредственно взаимодействуют друг с другом

Процесс изменения состояния термодинамической системы макроскопических тел при постоянной температуре называют: а) изохорным б) изотермическим в)изобарным г)изобразительным

Давление газа при его нагревании в закрытом сосуде увеличивается. Это можно объяснить увеличением… а)концентрации молекул б)расстояний между молекулами в)средней кинетической энергии молекул г)средней потенциальной энергии молекул

Значение абсолютной температуры для t=22⁰С:

а) 395К б)290К в)300К г) 295К

Положительно заряженные частицы называются: а) α – частицами б) электронами в) нейтронами г) протонами

Выделение на электродах веществ, входящих в состав электролита, называется…

а)диссоциацией б) электролизом в) ионной проводимостью г)рекомбинацией

Силовой характеристикой электрического поля является…

а)напряжение б) вектор индукции в) напряженность г) сила тока

Укажите закон Кулона: а) F=mg б) в)

г) F = k ∆ x

14. Электроемкость конденсатора равна 12 мкФ. В системе СИ она равна... а)120 Ф

б) 12 10 6 Ф в)12 10 -3 Ф г)12 10 -6 Ф

Носителями свободных зарядов в металлах являются… а)нейтроны б) электроны

в) протоны г) α-частицы

16. Автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью 20 м/с. Какой путь проходит он за 24 секунды? а) 480 м б) 48 м в) 960 м г) 480 км

Вариант 2

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю. Какова траектория движения этого тела? а) прямая б) парабола в) окружность г) эллипс

Явление огибания волнами краев препятствий называется: а)дифракцией б) дисперсией в)интерференцией г) свечением

Воздух в комнате состоит из смеси газов: кислорода, азота, углекислого газа, паров воды и др. Какие из физических параметров этих газов обязательно одинаково при тепловом равновесии? а) средний квадрат скорости теплового движения б) парциальное давление в) концентрация г) температура

На какую минимальную величину может измениться заряд золотой пылинки? а) на величину, равную заряду электрона б) на величину, равную заряду ядра атома золота в) на сколь угодно малую г) ответ зависит от размера пылинки

Как изменится сопротивление проводника, если его разрезать на три равных части и соединить эти части параллельно? а)не изменится б)уменьшится в 3 раза в)уменьшится в 9 раз г)увеличится в 3 раза

При работе радиолокатора – прибора, служащего для определения места положения тел, - используется физическое явление… а)отражения электро-магнитных волн б) преломления электромагнитных волн в) интерференции электромагнитных волн г) дифракции электромагнитных волн

Закон Ома для участка цепи: а) I= б) A = U g в) I = г) U =

При последовательном соединении проводников в цепи не изменяется… а)напряжение б)сила тока в)время г) давление

Единицей магнитной индукции является: а)Тесла б) Вебер в) Ампер г)Ом

Уравнение RT называется: а) уравнением Клапейрона б) законом Гей - Люссака в) основным уравнением МКТ г) уравнением состояния идеального газа

Какие параметры воздуха в комнате изменяются при повышении температуры? а)объем б)давление в)масса г)молярная масса

Мощность электрического тока измеряется… а)в вольтах б)в ньютонах в)в ваттах г)в джоулях

Амперметром измеряют…. а) напряжение б) силу тока в) сопротивление г)мощность

Какие три величины измеряются в джоулях? а) давление, температура, объем б) сила тока, напряжение, сопротивление в) работа, энергия, теплота г)скорость молекул, концентрация молекул, масса молекул

Автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью 30 м/с. Какой путь проходит он за 12 секунд? а) 480м б) 360 м в) 460 м г) 330 м

Потенциальную энергию вычисляют по формуле… а )E=const б ) E=

в) E = г ) = mgh

Динамика



1)  2)  3)  4) 


1) α/2 2) α 3) 2 α 4) arctg(cos α)
Инерция. Первый закон Ньютона






Взаимодействие тел. Сила. Принцип суперпозиции сил.
Динамика
А 1.Ученик измеряет силу кисти своей руки с помощью пружинного силомера. При этом используется способность силы:
I.изменять скорость тел II.вызывать деформацию
1) только I 2) только II 3) и I, и II 4) ни I, ни II
А 2.На покоящееся тело начинают действовать три силы, изображённые на рис. Куда начнёт двигаться тело?
1)  2)  3)  4) 
А 3.Чему равен угол между вектором результирующей двух одинаковых по модулю сил и осью ОХ, если одна
из сил сонаправлена с этой осью, а вторая образует с осью ОХ угол?α
1)
arctg(cos)α
α
/2 2)
α
3) 2
α
4)
Инерция. Первый закон Ньютона
А 5.Система отсчёта связана с автомобилем. Её можно считать инерциальной, если автомобиль
1) движется равномерно по прямолинейному участку шоссе 2) разгоняется по прямолинейному участку шоссе
3) движется равномерно по извилистой дороге 4) по инерции вкатывается на гору
А 6.На рис изображён график изменения модуля скорости прямолинейного движения вагона с
течением времени в инерциальной системе отсчёта. В какие промежутки времени суммарная сила,
действующая на вагон со стороны других тел, НЕ равна нулю?
1) 0 – t1 ; t3 – t4 3) t1 – t2 ; t2 – t3
2) во все промежутки времени 4) ни в один из указанных промежутков времени
Взаимодействие тел. Сила. Принцип суперпозиции сил.
Динамика
А 1.Ученик измеряет силу кисти своей руки с помощью пружинного силомера. При этом используется способность силы:
I.изменять скорость тел II.вызывать деформацию
1) только I 2) только II 3) и I, и II 4) ни I, ни II
А 2.На покоящееся тело начинают действовать три силы, изображённые на рис. Куда начнёт двигаться тело?
1)  2)  3)  4) 
А 3.Чему равен угол между вектором результирующей двух одинаковых по модулю сил и осью ОХ, если одна
из сил сонаправлена с этой осью, а вторая образует с осью ОХ угол?α
1)
arctg(cos)α
α
/2 2)
α
3) 2
α
4)
Инерция. Первый закон Ньютона
А 5.Система отсчёта связана с автомобилем. Её можно считать инерциальной, если автомобиль
1) движется равномерно по прямолинейному участку шоссе 2) разгоняется по прямолинейному участку шоссе
3) движется равномерно по извилистой дороге 4) по инерции вкатывается на гору
А 6.На рис изображён график изменения модуля скорости прямолинейного движения вагона с
течением времени в инерциальной системе отсчёта. В какие промежутки времени суммарная сила,
действующая на вагон со стороны других тел, НЕ равна нулю?
1) 0 – t1 ; t3 – t4 3) t1 – t2 ; t2 – t3
2) во все промежутки времени 4) ни в один из указанных промежутков времени

Динамика






4)во всё врем его полёта


действующих на это тело?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Третий закон Ньютона




книгой, покоящейся на столе?

этого груза?
Динамика
Второй закон Ньютона. Масса тела
А 8.Магнит прилип к вертикальной стене вагона, движущегося с постоянной скоростью 50 км/ч по прямолинейному участку
пути. Можно утверждать, что сумма сил, действующих на магнит
1) равна нулю в системе отсчёта, связанной с вагоном, и не равна нулю в системе отсчёта, связанной с Землёй
2) не равна нулю в системе отсчёта, связанной с вагоном, и равна нулю в системе отсчёта, связанной с Землёй
3) не равна нулю в обеих системах отсчёта
4) равна нулю в системах отсчёта, связанных с Землёй и с вагоном
А 9.Спортсмен совершает прыжок в высоту. Он испытывает невесомость
1) только то время, когда он летит вверх до планки
2)только то время, когда он летит вниз после преодоления планки
3) только то время, когда в верхней точке его скорость равна нулю
4)во всё врем его полёта
А 10.На левом рис представлены векторы скорости и ускорения тела. Какой из четырёх
векторов на правом рис указывает направление вектора ранодействующей всех сил,
действующих на это тело?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Третий закон Ньютона
А 12.Яблоко массой 0,3 кг падает с дерева. Выберите верное утверждение
1) яблоко действует на Землю силой 3 Н, а Земля не действует на яблоко
2)Земля действует на яблоко с силой 3 Н, а яблоко не действует на Землю
3) яблоко и Земля не действуют друг на друга
4) яблоко и Земля действуют друг на друга с силой 3 Н
А 13.На каком рис верно показаны силы, действующие между столом и
книгой, покоящейся на столе?
А 14.На полу лифта, движущегося с постоянным ускорением а,
направленным вертикально вверх, лежит груз массой m. Чему равен вес
этого груза?
1) mg 2) 0 3) m (g + a) 4) m (g – a)