1.2. Прямолинейное движение

1.2.4. Средняя скорость

Материальная точка (тело) сохраняет свою скорость неизменной только при равномерном прямолинейном движении. Если движение является неравномерным (в том числе и равнопеременным), то скорость тела изменяется. Такое движение характеризуют средней скоростью. Различают среднюю скорость перемещения и среднюю путевую скорость.

Средняя скорость перемещения является векторной физической величиной, которую определяют по формуле

v → r = Δ r → Δ t ,

где Δ r → - вектор перемещения; ∆t - интервал времени, за которое это перемещение произошло.

Средняя путевая скорость является скалярной физической величиной и вычисляется по формуле

v s = S общ t общ,

где S общ = S 1 + S 1 + ... + S n ; t общ = t 1 + t 2 + ... + t N .

Здесь S 1 = v 1 t 1 - первый участок пути; v 1 - скорость прохождения первого участка пути (рис. 1.18); t 1 - время движения на первом участке пути и т.п.

Рис. 1.18

Пример 7. Одну четверть пути автобус движется со скоростью 36 км/ч, вторую четверть пути - 54 км/ч, оставшийся путь - со скоростью 72 км/ч. Рассчитать среднюю путевую скорость автобуса.

Решение. Общий путь, пройденный автобусом, обозначим S :

S общ = S .

S 1 = S /4 - путь, пройденный автобусом на первом участке,

S 2 = S /4 - путь, пройденный автобусом на втором участке,

S 3 = S /2 - путь, пройденный автобусом на третьем участке.

Время движения автобуса определяется формулами:

• на первом участке (S 1 = S /4) -

  t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1 ;

• на втором участке (S 2 = S /4) -

  t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2 ;

• на третьем участке (S 3 = S /2) -

  t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3 .

Общее время движения автобуса составляет:

t общ = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .

v s = S общ t общ = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 км/ч.

Пример 8. Пятую часть времени городской автобус тратит на остановки, остальное время он движется со скоростью 36 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автобуса.

Решение. Общее время движения автобуса на маршруте обозначим t :

t общ = t .

t 1 = t /5 - время, затраченное на остановки,

t 2 = 4t /5 - время движения автобуса.

Путь, пройденный автобусом:

• за время t 1 = t /5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0,

так как скорость автобуса v 1 на данном временном интервале равна нулю (v 1 = 0);

• за время t 2 = 4t /5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,

  где v 2 - скорость автобуса на данном временном интервале (v 2 = = 36 км/ч).

Общий путь автобуса составляет:

S общ = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t .

Вычисление средней путевой скорости автобуса произведем по формуле

v s = S общ t общ = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .

Расчет дает значение средней путевой скорости:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 км/ч.

Пример 9. Уравнение движения материальной точки имеет вид x (t ) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) м, где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить среднюю путевую скорость и величину средней скорости перемещения материальной точки за первые три секунды движения.

Решение. Для определения средней скорости перемещения необходимо рассчитать перемещение материальной точки. Модуль перемещения материальной точки в интервале времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с вычислим как разность координат:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,

Подстановка значений в формулу для вычисления модуля перемещения дает:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 м.

Таким образом, перемещение материальной точки равно нулю. Следовательно, модуль средней скорости перемещения также равен нулю:

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 м/с.

Для определения средней путевой скорости нужно рассчитать путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Движение точки является равнозамедленным, поэтому необходимо выяснить, попадает ли точка остановки в указанный интервал.

Для этого запишем закон изменения скорости материальной точки с течением времени в виде:

v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t ,

где v 0 x = −6,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 4,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.

Найдем точку остановки из условия

v (τ ост) = 0,

т.е.

τ ост = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 с.

Точка остановки попадает во временной интервал от t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Таким образом, пройденный путь вычислим по формуле

S = S 1 + S 2 ,

где S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | - путь, пройденный материальной точкой до остановки, т.е. за время от t 1 = 0 с до τ ост = 1,5 с; S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | - путь, пройденный материальной точкой после остановки, т.е. за время от τ ост = 1,5 с до t 1 = 3,0 с.

Рассчитаем значения координат в указанные моменты времени:

x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 м;

x (τ ост) = 9,0 − 6,0 τ ост + 2,0 τ ост 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 м;

x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 м.

Значения координат позволяют вычислить пути S 1 и S 2:

S 1 = | x (τ ост) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 м;

S 2 = | x (t 2) − x (τ ост) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 м,

а также суммарный пройденный путь:

S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 м.

Следовательно, искомое значение средней путевой скорости материальной точки равно

v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 м/с.

Пример 10. График зависимости проекции скорости материальной точки от времени представляет собой прямую линию и проходит через точки (0; 8,0) и (12; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время - в секундах. Во сколько раз средняя путевая скорость за 16 с движения превышает величину средней скорости перемещения за то же время?

Решение. График зависимости проекции скорости тела от времени показан на рисунке.

Для графического вычисления пути, пройденного материальной точкой, и модуля ее перемещения необходимо определить значение проекции скорости в момент времени, равный 16 с.

Существует два способа определения значения v x в указанный момент времени: аналитический (через уравнение прямой) и графический (через подобие треугольников). Для нахождения v x воспользуемся первым способом и составим уравнение прямой по двум точкам:

t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,

где (t 1 ; v x 1) - координаты первой точки; (t 2 ; v x 2) - координаты второй точки. По условию задачи: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. С учетом конкретных значений координат данное уравнение принимает вид:

t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,

v x = 8,0 − 2 3 t .

При t = 16 с значение проекции скорости составляет

| v x | = 8 3 м/с.

Данное значение можно получить также из подобия треугольников.

• Вычислим путь, пройденный материальной точкой, как сумму величин S 1 и S 2:

  S = S 1 + S 2 ,

  где S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 0 с до 12 с; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 м - путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 12 с до 16 с.

Суммарный пройденный путь составляет

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 м.

Средняя путевая скорость материальной точки равна

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 м/с.

• Вычислим значение перемещения материальной точки как модуль разности величин S 1 и S 2:

  S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 м.

Величина средней скорости перемещения составляет

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 м/с.

Искомое отношение скоростей равно

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25 .

Средняя путевая скорость материальной точки в 1,25 раза превышает модуль средней скорости перемещения.

Положение тела (материальной точки) в пространстве можно определить, только по отношению к другим телам.

Система неподвижных тел (их количество должно совпадать с размерностью пространства), с которой жестко связана система координат, снабженная часами и используемая для определения положения в пространстве тел и частиц, в различные моменты времени, называется системой отсчета (СО)

Наиболее распространенной системой координат является прямоугольная декартова система координат .

Положение произвольной точки М характеризуется радиус-вектором , проведенным из начала координат 0 в точку М.

Кинематическим законом или кинематическим уравнением движения является зависимость:

.

Вектор можно разложить по базису , ,декартовой системы координат:

.

Вектора , ,-единичные ортогональные векторы (орты): , ,=1

Движение точки будет полностью определено, если будут заданны три непрерывные и однозначные функции времени:

x = x (t ); y = y (t ); z = z (t ).

Эти уравнения движения также называются кинематическими уравнениями движения .

1. 1. 2. Траектория. Путь. Перемещение. Число степеней свободы.

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию, назваемую траекторией . В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности и криволинейное движение.

	Длина участка линии, - траектории, между точками 1 и 2 , называется путем, пройденным частицей (S ). Путь не может быть отрицательной величиной. Вектор , проведенный из точки 1 в точку 2 (см. рис. 1.1) называетсяперемещением. Он равен изменению радиуса вектора точки за рассматриваемый промежуток времени:
Рисунок 1.1.

При движении точки ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени, поэтому для задания закона движения этой точки необходимо указать вид функциональных зависимостей от времени.

1.1.3. Скорость, мгновенная и средняя скорость. Средняя путевая скорость.

Быстрота перемещения тела в пространстве характеризуется скоростью .

В случае равномерного движения величина скорости , которой обладает частица в каждый момент времени, можно вычислить, разделив путь (S ) на время (t ).

Рассмотрим теперь случай неравномерного движения. Разобьем траекторию (см. рис. 1.2) на бесконечно малые участки длины S .

Каждому из участков сопоставим бесконечно малое приращение
. Пусть в момент времениt материальная точка M находится в положении, которое описывается радиус-вектором
.

Спустя некоторое время t она переместится в M 1 с радиус-вектором .

t получим среднюю скорость.

Т.к.
– есть функция, то по определению производной

Средней путевой скоростью
называется скалярная величина, равная отношению длины ∆S участка траектории к продолжительности ∆t прохождения его точкой:
.

При криволинейном движении
. Поэтому в общем случае средняя путевая скорость
не равна модулю средней скорости
. Здесь знак равенства соответствует прямолинейному участку траектории.

Единица измерения скорости - 1 м/с.

Разложение вектора скорости по базису прямоугольной декартовой системы координат имеет вид:

Пример

Пример: Материальная точка движется по закону . Определить закон изменения ее скорости. Решение: Имеем

Многие учащиеся, изучая математику, встречаются со средними величинами: со средним арифметическим, со средним геометрическим и т. п. В физике достаточно часто встречается понятие средней величины. Например, понятие средней путевой скорости. Давайте подробнее рассмотрим эту величину и поучимся решать задачи.

Представьте две беговые дорожки длиной каждая. На старте находятся два спортсмена. По команде спортсмены начинают бежать по дорожкам. Но бегут они по-разному. Спортсмен № 1 бежит всё время с постоянной скоростью , и он преодолевает это расстояние за время

.

Теперь рассмотрим движение другого спортсмена. Спортсмен № 2 стартовал одновременно со спортсменом № 1. Пробежав некоторое расстояние со скоростью , он вдруг споткнулся и упал. Какое-то время этот спортсмен вставал (а спортсмен № 1 бежит со скоростью ), а затем спортсмен № 2 продолжил бег со скоростью . Преодолев некоторое расстояние , спортсмен № 2 заметил, что у него развязался шнурок. Он остановился и стал зашнуровывать обувь (а спортсмен № 1 всё бежит со скоростью ). После вынужденной остановки спортсмен № 2 побежал со скоростью , и оба спортсмена пересекли линию финиша одновременно. И в этом случае будем считать, что спортсмен № 2 на всех участках беговой дорожки двигался равномерно, т. е. время разгона и торможения пренебрежимо мало по сравнению со временем движения.

А вот теперь мы подошли к самому главному. Если Вас попросят найти среднюю путевую скорость спортсмена № 2, то Вы должны будете расстояние, пройденное спортсменом № 2 , поделить на время движения этого спортсмена (время движения обоих спортсменов одинаково, т. к. они стартовали и финишировали одновременно). И получается скорость

т. е. получается, что средняя путевая скорость спортсмена № 2 равна скорости движения спортсмена № 1. Следовательно, если Вам необходимо найти среднюю путевую скорость движущегося тела, нужно просто

расстояние, пройденное телом, поделить на время движения (включая и время остановок), за которое было пройдено это расстояние! И больше ничего!!! И Вам совсем всё равно, как двигалось это тело: равномерно, или разгонялось и тормозило, или какое-то время было неподвижным, а потом поехало. Вы просто делите расстояние на время ,

Среднюю скорость мы договоримся обозначать угловыми скобками.

Ещё раз вернёмся к примеру со спортсменами. Когда Вам нужно найти среднюю путевую скорость спортсмена № 2, это означает, что Вам необходимо найти такую скорость равномерного движения, при котором спортсмен № 2 пробежал бы расстояние за время . А это и есть скорость движения спортсмена № 1.

Сделаем ещё одно дополнение: даже если бы спортсмены бежали по криволинейной траектории, формула для нахождения средней путевой скорости осталось бы такой же.

Осталось выяснить следующее: зачем в физике придумали такую физическую величину, которая, на первый взгляд, мало имеет отношения к реальности. Дело в том, что при движении тело в каждый момент времени (или в каждой точке траектории) обладает конкретной скоростью, эта скорость называется мгновенной. И для того, чтобы дать определение мгновенной скорости, как раз и нужно вначале определить, что мы понимаем под средней скоростью (если быть точнее, то речь идёт о средней скорости по перемещению). Но об этом разговор будет продолжен, а пока наш рассказ о средней путевой скорости тела закончен.

Понятие скорости формируется в нашем сознании из повседневного опыта. Наблюдая за различными процессами, происходящими в природе мы можем оценить насколько быстро они протекают. Например, вода в чайнике, заполненном наполовину, закипает быстрее, чем в полном, cахар в горячей воде растворяется быстрее, чем в холодной, велосипедист движется быстрее пешехода, а автомобилист - быстрее велосипедиста. В механике наибольший интерес представляет скорость механического движения. Прежде, чем дать точное определение скорости, рассмотрим следующую ситуацию. Два велосипедиста, поспорили, кто из них ездит быстрее. Для этого они должны были отправиться из пункта 1- на берегу озера в пункт 2 - на противоположном берегу. Первый велосипедист на высокой скорости поехал по дороге вокруг озера, а второй, не торпясь, сел на водный велосипед и прибыл в пункт 2 раньше первого. Мнения судей разошлись. Одни считали, что выиграл первый велосипедист, так как за каждый определенный промежуток времени он проходил большее расстояние, чем второй, а другие утверждали, что - второй, поскольку он быстрее достиг пункта назначения. Но самым интересным в этой истории является то, что все судьи оказались правы! Секрет заключался в том, что они пользовались различными определениями скорости. Первые судьи под скоростью движения понимали путь, проходимый велосипедистом за некоторый промежуток времени, а вторые - величину перемещения. Таким образом, скорость механического движения можно определить двояко: как скорость перемещения или как скорость прохождения пути по траектории (путевая скорость). Рассмотрим простейший случай движения тела по прямолинейной траектории, при котором за одинаковые промежутки времени тело проходит одинаковые расстояния. Этот вид движения называется равномерным прямолинейным движением.

В этом случае скоростью перемещения \(~ \vec \upsilon\) называется векторная величина, равная отношению величины перемещения тела \(~\Delta \vec r\) к промежутку времени Δt, за который оно произошло.

\(~\vec \upsilon = \frac {\Delta \vec r} {\Delta t}\) (1.4)

Путевой скоростью тела - \(~\upsilon\) называется скалярная величина, равная отношению пройденного пути к промежутку времени, за который он был пройден.

\(~\upsilon = \frac {\Delta s} {\Delta t}\) (1.5)

Как было указано выше, при прямолинейном движении численная величина (модуль) перемещения равна величине пройденного пути, т.е.:

\(~ \left|\Delta \vec r\right| = \Delta s\)

\(~|\vec \upsilon| = \frac{|\Delta \vec r|} {\Delta t} = \frac {\Delta s } { \Delta t }\) (1.6)

Cледовательно:

При равномерном прямолинейном движении модуль векторной скорости перемещения равен путевой скорости. В общем случае движение не является ни равномерным, ни прямолинейным. В этих случаях быстроту перемещения из точки А в точку В будет характеризовать, средняя скорость перемещения.

Средней скоростью перемещения \(~\vec \upsilon_{cp}\) называется отношение вектора перемещения тела за промежуток времени Δt к величине этого промежутка:

\(~\vec \upsilon_{cp} = \frac{\Delta \vec r} {\Delta t}\) (1.7)

Средней путевой скоростью \(~\upsilon_{cp}\) называется отношение пройденного пути к времени, за который он был пройден:

\(~\upsilon_{cp} = \frac{\Delta s} {\Delta t}\) (1.8)

Очевидно, что средние скорости перемещения и пути не дают представления о скорости движения тела на отдельных участках траектории. Для более точной хактеристики движения тела его траекторию разбивают на более мелкие участки и замеряют среднюю скорость на каждом из них, однако и в этом случае мы не узнаем, как изменялась скорость внутри каждого участка. Для точного определения скорости тела в любой точке траектории или в данный момент времени вводится понятие истинной или мгновенной скорости.

Предположим, что тело переместилось на величину \(~\Delta \vec r\) за очень малый промежуток времени Δt (рис.1.3), а пройденный путь Δs равен длине дуги АВ. При неограниченном уменьшении промежутка времени Δt длина дуги АВ и стягивающей ее хорды будет непрерывно уменьшаться, а точка В - приближаться к точке А, и в пределе с ней сольется, а разница между длиной дуги и длиной хорды будет стремиться к нулю.

Предел отношения \(~\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\) при Δt → 0 называется мгновенной скоростью или скоростью в данной точке:

\(~\vec \upsilon =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec r} {\Delta t} = \frac{d \vec r} {dt}\). (1.9)

Поскольку, в пределе, длина дуги совпадает с длиной хорды, то есть пройденный путь \(~ds\) cовпадает с модулем перемещения \(ds = ~\left|d\vec r\right|\), то модуль вектора мгновенной скорости перемещения равен мгновенной скорости прохождения пути:

\(~\upsilon = \frac{\left|d\vec r\right|} {dt} = \frac{ds} {dt}\) (1.10)

Поэтому есть смысл говорить просто о мгновенной скорости тела, имея в виду векторную величину - \(~\vec \upsilon\) - скорость перемещения, или скалярную \(~\upsilon\) - скорость прохождения пути.

Примечание. Когда в физике говорят о бесконечно малых величинах под этим, в отличие от математики, подразумевают относительно очень малые, но не как угодно малые величины. Возможность измерять как угодно малые величины ограничивается не только несовершенством измерительных приборов, но принципиальной невозможностью их измерения существующими методами. Например, с помощью линейки невозможно измерить размеры меньше 1мм, а с помощью оптических микроскопов невоможно измерять длины, соизмеряемые с длинами световых волн, а электронным микроскопом - размеры частиц, соизмеримые с размером электрона. Кроме того, в микромире само вмешательство измерительного прибора влияет на результат измерения.

В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.

Определение средней скорости

Средней скоростью движения тела называется отношение пути , пройденного телом, ко времени , в течение которого двигалось тело:

Научимся ее находить на примере следующей задачи:

Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей и , которое равно:
м/с.

Частные случаи нахождения средней скорости

1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью , а вторую половину пути — со скоростью . Требуется найти среднюю скорость движения тела.

2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.

Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей и на двух участках пути.

Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике, прошедшей в прошлом году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.

Тело двигалось с, и средняя скорость движения составила 4 м/с. Известно, что за последние с движения средняя скорость этого же тела составила 10 м/с. Определите среднюю скорость тела за первые с движения.

Пройденный телом путь составляет: м. Можно найти также путь, который прошло тело за последние с своего движения: м. Тогда за первые с своего движения тело преодолело путь в м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
м/с.

Задачи на нахождение средней скорости движения очень любят предлагать на ЕГЭ и ОГЭ по физике, вступительных экзаменах, а также олимпиадах. Научиться решать эти задачи должен каждый школьник, если он планирует продолжить свое обучение в вузе. Помочь справиться с этой задачей может знающий товарищ, школьный учитель или репетитор по математике и физике. Удачи вам в изучении физики!

Сергей Валерьевич