Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Первоначально (1918г.) дисперсионный анализ был разработан английским математиком – статистиком Р.А. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий получения максимального урожая различных сортов сельскохозяйственных культур.

При постановке опыта необходимо соблюдение условий:

Каждый вариант опыта необходимо проводить на нескольких единицах наблюдения (групп животных, участков поля и т.п.)

Распределение единиц наблюдения между вариантами опыта должно быть случайным, а не преднамеренным.

В дисперсионном анализе используется F -критерий (критерий Р.А. Фишера), представляющий отношение двух дисперсий:

где d факт, d ост – факторная (межгрупповая) и остаточная (внутригрупповая) дисперсии на одну степень свободы соответственно.

Факторная и остаточная дисперсии являются оценками дисперсии совокупности, рассчитываются по выборочным данным с учетом числа степеней свободы вариации.

Факторная (межгрупповая) дисперсия объясняет вариацию результативного признака под влиянием изучаемого фактора.

Остаточная (внутригрупповая) дисперсия объясняет вариацию результативного признака, обусловленную влиянием прочих факторов (за исключением влияния изучаемого фактора).

В сумме факторная и остаточная дисперсии дают общую дисперсию, выражающую влияние всех факторных признаков на результативный.

Порядок проведения дисперсионного анализа:

1. Опытные данные заносятся в расчетную таблицу и определяются суммы и средние значения в каждой группе изучаемой совокупности, а также общая сумма и среднее значение по всей совокупности (табл.1).

Таблица 1

	Значение результативного признака для i-й единицы в j-й группе, x ij	Число наблюдений, f j	Средние (групповые и общая), х j
	x 11 , x 12 , …, х 1 n х 21 , х 22 , …, х 2 n х m 1 , х m 2 , …, х mn

Общее количество наблюдений n рассчитывается как сумма числа наблюдений f j в каждой группе:

Если во всех группах число элементов одинаковое, то общая средняя находится из групповых средних как простая средняя арифметическая:

Если же число элементов в группах разное, то общая средняя рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

2. Определяется общая дисперсия D общ как сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака от общей средней :

3. Рассчитывается факторная (межгрупповая) дисперсия D факт как сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней , умноженных на число наблюдений:

4. Определяется величина остаточной (внутригрупповой) дисперсии D ост как разность между общей D общ и факторной D факт дисперсиями:

5. Рассчитываются число степеней свободы факторной
дисперсии как разница между числом группm и единицей:

6. Определяется число степеней свободы для остаточной дисперсии
как разница между количеством индивидуальных значений признакаn и числом групп m :

7. Рассчитывается величина факторной дисперсии на одну степень свободы d факт как отношение факторной дисперсии D факт к числу степеней свободы факторной дисперсии
:

8. Определяется величина остаточной дисперсии на одну степень свободыd ост как отношение остаточной дисперсии D ост к числу степеней свободы остаточной дисперсии
:

9. Определяется расчетное значение F-критерия F -расч как отношение факторной дисперсии на одну степень свободыd факт к остаточной дисперсии на одну степень свободы d ост :

10. По таблице F-критерия Фишера с учетом принятого в исследовании уровня значимости, а также с учетом степеней свободы для факторной и остаточной дисперсий находят теоретическое значение F табл .

5%-ному уровню значимости соответствует 95%-ный уровень вероятности, 1%-ному – 99%-ный уровень вероятности. В большинстве случаев используют 5%-ный уровень значимости.

Теоретическое значение F табл при заданном уровне значимости определяют по таблицам на пересечении строки и столбца, соответствующим двум степеням свободы дисперсий:

по строке – остаточной;

по столбцу – факторной.

11. Результаты расчетов оформляются в таблицу (табл.2).

Тема 2.3. Дисперсионный анализ

План.

1. Сущность и схема дисперсионного анализа
2. Оценка значимости разности между средними по НСР
3. Область применения дисперсионного анализа

1. Сущность и схема дисперсионного анализа

Откуда произошло название Дисперсионный анализ ? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп, мы на самом деле сравниваем (т.е. анализируем) выборочные дисперсии.

Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ.

Итак, дисперсионный анализ основан на работах знаменитого математика Р.А.Фишера. Несмотря на достаточно солидный «возраст», данный метод до сих пор остается одним из основных при проведении биологических и сельскохозяйственных исследований. Идеи, положенные в основу дисперсионного анализа, широко используются во многих других методах математического анализа экспериментальных данных, а также при планировании биологических и сельскохозяйственных экспериментов.

Дисперсионный анализ позволяет:

1) сравнивать две или несколько выборочных средних;

2) одновременно изучать действие нескольких независимых факторов, при этом можно определить как эффект каждого фактора в изменчивости изучаемого признака, так и их взаимодействие;

3) правильно планировать научный эксперимент.

Изменчивость живых организмов проявляется в виде разброса или рассеяния значений отдельных признаков в пределах, которые определяются степенью биологической выравненности материала и характером взаимосвязей с условиями среды. Признаки, изменяющиеся под воздействием тех или иных причин, называют результативными .

Факторы это любые воздействия или состояния, разнообразие которых может так или иначе отражаться на разнообразии результативного признака. Под статистическим влиянием факторов в дисперсионном анализе понимается отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия изучаемых факторов, которое организовано в исследовании.

Под разнообразием будем понимать наличие неодинаковых значений каждого признака у разных особей, объединенных в группу. Разнообразие группы особей по изучаемому признаку может иметь разную степень, которая обычно измеряется показателями разнообразия (или изменчивости): лимитами, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации. В дисперсионном анализе степень разнообразия индивидуальных и средних значений признака измеряется и сравнивается особыми способами, составляющими специфику этого общего метода.

Организация факторов заключается в том, что каждому изучаемому фактору придается несколько значений. В соответствии с этими значениями каждый фактор разбивается на несколько градаций; для каждой градации подбирается по принципу случайной выборки несколько особей, у которых впоследствии и измеряется величина результативного признака.

Для того, чтобы выяснить степень и достоверность влияния изучаемых факторов, надо измерить и оценить ту часть общего разнообразия, которая вызывается этими факторами.

Факторы, влияющие на степень варьирования результативного признака, делятся на:

1)регулируемые

2) случайные

Регулируемые (систематические) факторы вызываются действием изучаемого в эксперименте фактора, который имеет в опыте несколько градаций. Градация фактора - это степень его воздействия на результативный признак. В соответствии с градациями признака выделяется несколько вариантов опыта для сравнения. Поскольку эти факторы предварительно обусловлены, их называют регулируемыми в исследованиях, т.е. заданными, зависящими от организации опыта. Следовательно, регулируемые факторы – факторы, действие которых изучается в опыте, именно они и обусловливают различия между средними выборочными разных вариантов - межгрупповую (факториальную) дисперсию.

Случайные факторы определяются естественным варьированием всех признаков биологических объектов в природе. Это неконтролируемые в опыте факторы. Они оказывают случайное влияние на результативный признак, обусловливают экспериментальные ошибки и определяют внутри каждого варианта разброс (рассеяние) признака. Этот разброс носит название внутригрупповой (случайной) дисперсии .

Таким образом, относительная роль отдельных факторов в общей изменчивости результативного признака характеризуется дисперсией и может быть изучена с помощью дисперсионного анализа или анализа рассеяния

Дисперсионный анализ основан на сравнении межгрупповой и внутригрупповой дисперсий . Если межгрупповая дисперсия не превышает внутригрупповую, значит, различия между группами имеют случайный характер. Если межгрупповая дисперсия существенно выше, чем внутригрупповая, то между изучаемыми группами (вариантами) существуют статистически значимые различия, обусловленные действием изучаемого в опыте фактора.

Из этого следует, что при статистическом изучении результативного признака при помощи дисперсионного анализа следует определить его варьирование по вариантам, повторениям, остаточное варьирование внутри этих групп и общее варьирование результативного признака в опыте. В соответствии с этим различают три вида дисперсий:

1) Общую дисперсию результативного признака (S y 2);

2) Межгрупповую, или частную, между выборками (S y 2);

3) Внутригрупповую, остаточную (S z 2).

Следовательно, дисперсионный анализ – это расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части или компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F-критерию. В зависимости от числа одновременно исследуемых факторов различают двух-, трех-, четырехфакторный дисперсионный анализ.

При обработке полевых однофакторных статистических комплексов, состоящих из нескольких независимых вариантов, общая изменчивость результативного признака, измеряемая общей суммой квадратов (С y), расчленяется на три компонента: варьирование между вариантами (выборками) - С V , варьирование повторений (варианты связаны между собой общим контролируемым условием – наличием организованных повторений) - С p и варьирование внутри вариантов С z .. В общей форме изменчивость признака представлена следующим выражением:

С y = С V +С p + С z .

Общее число степеней свободы (N -1) также расчленяется на три части:

степени свободы для вариантов (l – 1);

степени свободы для повторений (n – 1);

случайного варьирования (n – 1) × (l – 1).

Суммы квадратов отклонений, по данным полевого опыта – статистического комплекса с вариантами – l и повторениями – n, находят следующим образом. Сначала с помощью исходной таблицы определяют суммы по повторениям - Σ P , вариантам - Σ V и общую сумму всех наблюдений - Σ X.

Затем вычисляют следующие показатели:

Общее число наблюдений N = l × n;

Корректирующий фактор (поправку) С кор = (Σ X 1) 2 / N;

Общую сумму квадратов Cy = Σ X 1 2 – C кор;

Сумму квадратов для повторений C p = Σ P 2 / (l –C кор);

Сумму квадратов для вариантов C V = Σ V 2 / (n – 1);

Сумму квадратов для ошибки (остаток) C Z = C y - C p - C V .

Полученные суммы квадратов C V и C Z делят на соответствующие им степени свободы и получают два средних квадрата (дисперсии):

Вариантов S v 2 = C V / l – 1;

Ошибки S Z 2 = C Z / (n – 1)×(l – 1).

Оценка существенности разностей между средними

Полученные средние квадраты используют в дисперсионном анализе для оценки значимости действия изучаемых факторов путем сравнения дисперсии вариантов (S v 2) с дисперсией ошибки (S Z 2) по критерию Фишера (F = S Y 2 / S Z 2). За единицу сравнения принимают средний квадрат случайной дисперсии, который определяет случайную ошибку эксперимента.

Применение критерия Фишера позволяет установить наличие или отсутствие существенных различий между выборочными средними, но не указывает конкретных различий между средними.

Проверяемой H o - гипотезой является предположение - все выборочные средние являются оценками одной генеральной средней и различия между ними несущественны. Если F факт = S Y 2 / S Z 2 ≤ F теор , то нулевая гипотеза не отвергается. Между выборочными средними нет существенных различий, и на этом проверка заканчивается. Нулевая гипотеза отвергается при F факт = S Y 2 / S Z 2 ≥ F теор Значение F- критерия для принятого в исследовании уровня значимости находят в соответствующей таблице с учетом степеней свободы для дисперсии вариантов и случайной дисперсии. Обычно пользуются 5% -ным уровнем значимости, а при более строгом подходе 1% - ным и даже 0,1% -ным.

Для выборки объема n выборочная дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений от выборочного среднего, деленная на n-1 (объем выборки минус единица). Таким образом, при фиксированном объеме выборки n дисперсия есть функция суммы квадратов (отклонений), обозначаемая, для краткости, SS (от английского Sum of Squares - Сумма квадратов). Далее слово выборочная мы часто опускаем, прекрасно понимая, что рассматривается выборочная дисперсия или оценка дисперсии. В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Рассмотрим следующий набор данных:

Средние двух групп существенно различны (2 и 6 соответственно). Сумма квадратов отклонений внутри каждой группы равна 2 . Складывая их, получаем 4. Если теперь повторить эти вычисления без учета групповой принадлежности, то есть, если вычислить SS исходя из общего среднего этих двух выборок, то получим величину 28 . Иными словами, дисперсия (сумма квадратов), основанная на внутригрупповой изменчивости, приводит к гораздо меньшим значениям, чем при вычислении на основе общей изменчивости (относительно общего среднего). Причина этого, очевидно, заключается в существенной разнице между средними значениями, и это различие между средними и объясняет существующее различие между суммами квадратов. В самом деле, если использовать для анализа этих данных модуль Дисперсионный анализ , то будет получена следующая таблица, называемая таблицей дисперсионного анализа:

	ГЛАВНЫЙ ЭФФЕКТ
	SS	ст.св.	MS	F	p
Эффект Ошибка	24.0 4.0	1 4	24.0 1.0	24.0	.008

Как видно из таблицы, общая сумма квадратов SS = 28 разбита на компоненты: сумму квадратов, обусловленную внутригрупповой изменчивостью (2+2=4 ; см. вторую строку таблицы) и сумму квадратов, обусловленную различием средних значений между группами (28-(2+2)=24; см первую строку таблицы). Заметим, что MS в этой таблице есть средний квадрат, равный SS, деленная на число степеней свободы (ст.св).

SS ошибок и SS эффекта. Внутригрупповая изменчивость (SS ) обычно называется остаточной компонентой или дисперсией ошибки. Это означает, что обычно при проведении эксперимента она не может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS эффекта (или компоненту дисперсии между группами) можно объяснить различием между средними значениями в группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями.

Основная логика дисперсионного анализа. Подводя итоги, можно сказать, что целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости различия между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью разбиения суммы квадратов на компоненты, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо , нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними.

Зависимые и независимые переменные. Переменные, значения которых определяется с помощью измерений в ходе эксперимента (например, балл, набранный при тестировании), называются зависимыми переменными. Переменные, которыми можно управлять при проведении эксперимента (например, методы обучения или другие критерии, позволяющие разделить наблюдения на группы или классифицировать) называются факторами или независимыми переменными.

Многофакторный дисперсионный анализ

В рассмотренном выше простом примере вы могли бы сразу вычислить t- критерий для независимых выборок, используя соответствующую опцию модуля Основные статистики и таблицы. Полученные результаты, естественно, совпадут с результатами дисперсионного анализа. Однако дисперсионный анализ содержит гораздо более гибкие и мощные технические средства, позволяющие исследовать планы практически неограниченной сложности.

Множество факторов. Мир по своей природе сложен и многомерен. Ситуации, когда некоторое явление полностью описывается одной переменной, чрезвычайно редки. Например, если мы пытаемся научиться выращивать большие помидоры, следует рассматривать факторы, связанные с генетической структурой растений, типом почвы, освещенностью, температурой и т.д. Таким образом, при проведении типичного эксперимента приходится иметь дело с большим количеством факторов. Основная причина, по которой использование дисперсионного анализа предпочтительнее повторного сравнения двух выборок при разных уровнях факторов с помощью серий t- критерия, заключается в том, что дисперсионный анализ существенно более эффективен и, для малых выборок, более информативен. Вам нужно сделать определенные усилия, чтобы овладеть техникой дисперсионного анализа, реализованной на STATISTICA, и ощутить все ее преимущества в конкретных исследованиях.

Управление факторами. Предположим, что в рассмотренном выше примере анализа двух выборок мы добавим еще один фактор, например, Пол - Gender . Пусть каждая группа теперь состоит из 3 мужчин и 3 женщин. План этого эксперимента можно представить в виде таблицы 2 на 2:

	Экспериментальная группа 1	Экспериментальная группа 2
Мужчины	2 3 1	6 7 5
Среднее	2	6
Женщины	4 5 3	8 9 7
Среднее	4	8

До проведения вычислений можно заметить, что в этом примере общая дисперсия имеет, по крайней мере, три источника: (1) случайная ошибка (внутригрупповая дисперсия), (2) изменчивость, связанная с принадлежностью к экспериментальной группе, и (3) изменчивость, обусловленная полом объектов наблюдения. (Отметим, что существует еще один возможный источник изменчивости - взаимодействие факторов , который мы обсудим позднее). Что произойдет, если мы не будем включать пол как фактор при проведении анализа и вычислим обычный t -критерий? Если мы будем вычислять суммы квадратов, игнорируя пол (т.е. объединяя объекты разного пола в одну группу при вычислении внутригрупповой дисперсии и получив при этом сумму квадратов для каждой группы равную SS =10 и общую сумму квадратов SS = 10+10 = 20), то получим большее значение внутригрупповая дисперсии, чем при более точном анализе с дополнительным разбиением на подгруппы по полу (при этом внутригрупповые средние будут равны 2, а общая внутригрупповая сумма квадратов равна SS = 2+2+2+2 = 8).

Итак, при введении дополнительного фактора: пол , остаточная дисперсия уменьшилась. Это связано с тем, что среднее значение для мужчин меньше, чем среднее значение для женщин , и это различие в средних значениях увеличивает суммарную внутригрупповую изменчивость, если фактор пола не учитывается. Управление дисперсией ошибки увеличивает чувствительность (мощность) критерия. На этом примере видно еще одно преимущество дисперсионного анализа по сравнению с обычным t -критерием для двух выборок. Дисперсионный анализ позволяет изучать каждый фактор, управляя значениями других факторов. Это, в действительности, и является основной причиной его большей статистической мощности (для получения значимых результатов требуются меньшие объемы выборок). По этой причине дисперсионный анализ даже на небольших выборках дает статистически более значимые результаты, чем простой t- критерий.

Эффекты взаимодействия

Существует еще одно преимущество дисперсионного анализа перед обычным t -критерием: дисперсионный анализ позволяет обнаружить эффекты взаимодействия между факторами и, поэтому, позволяет проверять более сложные гипотезы. Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий только что сказанное.

Главные эффекты, попарные (двухфакторные) взаимодействия. Предположим, что имеется две группы студентов, причем психологически студенты первой группы настроены на выполнение поставленных задач и более целеустремленны, чем студенты второй группы, состоящей из более ленивых студентов. Разобьем каждую группу случайным образом пополам и предложим одной половине в каждой группе сложное задание, а другой - легкое. После этого измерим, насколько напряженно студенты работают над этими заданиями. Средние значения для этого (вымышленного) исследования показаны в таблице:

Какой вывод можно сделать из этих результатов? Можно ли заключить, что: (1) над сложным заданием студенты трудятся более напряженно; (2) честолюбивые студенты работают упорнее, чем ленивые? Ни одно из этих утверждений не отражает сущность систематического характера средних, приведенных в таблице. Анализируя результаты, правильнее было бы сказать, что над сложными заданиями работают упорнее только честолюбивые студенты, в то время как над легкими заданиями только ленивые работают упорнее. Другими словами характер студентов и сложность задания взаимодействуя между собой влияют на затрачиваемое усилие. Это является примером попарного взаимодействия между характером студентов и сложностью задания. Заметим, что утверждения 1 и 2 описывают главные эффекты .

Взаимодействия высших порядков. В то время как объяснить попарные взаимодействия еще сравнительно легко,то взаимодействия высших порядков объяснить значительно сложнее. Представьте, что в рассматриваемый выше пример, введен еще один фактор пол и получена следующая таблица средних значений:

Какие теперь выводы можно сделать из полученных результатов? Графики средних позволяют объяснять сложные эффекты. Модуль дисперсионного анализа позволяет строить эти графики практически одним щелчком мыши. Изображение на этих графике внизу представляет собой изучаемое трехфакторное взаимодействие.

Глядя на график, можно сказать, что у женщин существует взаимодействие между характером и сложностью теста: целеустремленные женщины работают над трудным заданием более напряженно, чем над легким. У мужчин то же взаимодействие носит обратный характер. Видно, что описание взаимодействия между факторами становится более запутанным.

Общий способ описания взаимодействий. В общем случае взаимодействие между факторами описывается в виде изменения одного эффекта под воздействием другого. В рассмотренном выше примере двухфакторное взаимодействие можно описать как изменение главного эффекта фактора, характеризующего сложность задачи, под воздействием фактора, описывающего характер студента. Для взаимодействия трех факторов из предыдущего параграфа можно сказать, что взаимодействие двух факторов (сложности задачи и характера студента) изменяется под воздействием Пола. Если изучается взаимодействие четырех факторов, можно сказать, что взаимодействие трех факторов, изменяется под воздействием четвертого фактора, т.е. существуют различные типы взаимодействий на разных уровнях четвертого фактора. Оказалось, что во многих областях взаимодействие пяти или даже большего количества факторов не является чем-то необычным.

2. Оценка значимости разности между средними по наименьшей существенной разности

Наименьшей существенной разностью (НСР) – является своеобразной ценой деления, разрешающей способностью опыта при оценке разности выборочных средних. Критерий НСР = t 0,5 * S d указывает предельную ошибку для разности двух выборочных средних.

Если фактическая разность больше НСР 0,5 (d ≥ НСР 0,5), то она значима, существенна, при d ≤ НСР 0,5 – несущественна.

Для определения НСР необходимо по данным дисперсионного анализа вычислить обобщенную ошибку средней: Sx = √ S 2 / n и ошибку разности средних S d = √ 2S 2 / n. Значения t - критерия для принятого уровня значимости и числа степеней свободы остаточной дисперсии берут из таблицы.

В многофакторном опыте изучается действие и взаимодействие нескольких факторов на изменчивость результативного признака, поэтому каждому фактору задают несколько градаций. Это позволяет изучать действие каждого из них при нескольких градациях других факторов.

Эффект взаимодействия факторов составляет ту часть общей изменчивости, которая вызвана различным действием одного фактора при разных градациях другого. В полевом опыте часто эффект от совместного применения изучаемых факторов может быть выше (синергизм) или ниже (антагонизм) суммы эффектов от раздельного применения каждого из них. В первом случае имеет место положительное, во втором – отрицательное взаимодействие факторов. Если же факторы не взаимодействуют, то эффект от совместного применения равен сумме эффектов от раздельного их применения (аддитивизм).

При дисперсионном анализе данных многофакторного опыта используют те же принципы и расчеты дисперсий, что и при однофакторном. Однако при этом усложняется математическая модель анализа.

При обработке данных двухфакторного опыта сумма квадратов расчленяется на следующие компоненты:

C y = C A + C B + C AB + C P + C Z .

Соответственно с указанными компонентами расчленяется и общее число степеней свободы:

N -1 = (l A -1) + (l B – 1) + (l A - 1)* (l B -1) + (n – 1) + (l – 1)* (n – 1).

Вегетационные опыты представляют собой статистические комплексы, состоящие из нескольких независимых выборок (вариантов). Независимость сопоставляемых вариантов достигается регулярным перемещением сосудов на вагонетке. Следовательно, в вегетационных опытах обычно нет территориально организованных повторений. Поэтому в однофакторном вегетационном опыте общее варьирование результативного признака разлагается на два компонента – варьирование вариантов и случайное варьирование и общее число степеней свободы:

С y = С V + С z , N – 1 = (l -1) + (N -l).

3.Область применения дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ может использоваться для изучения действия самых разнообразных факторов как на количественные, так и на качественные признаки. Однако область применения дисперсионного анализа имеет два важных ограничения:

1) Исследуемые группы должны иметь нормальное распределение;

2) Исследуемые группы должны иметь равные дисперсии.

При планировании и проведении многофакторного дисперсионного анализа рекомендуется использовать выборки равного и пропорционального объема (в каждом варианте должно быть одинаковое или пропорциональное число повторностей).

Контрольные вопросы

1. Что такое функциональная и корреляционная связь, в чем их различие?
2. С помощью каких показателей оценивается корреляционная связь?
3. Что такое коэффициент простой линейной корреляции, какие значения он может принимать?
4. В чем суть и значение коэффициента регрессии?
5. Что такое доверительная зона регрессии?
6. В чем смысл коэффициента детерминации?

Дисперсионный анализ – анализ изменчивости результативного признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов. (В зарубежной литературе именуется ANOVA – «Analisis of Variance»).

Результативный признак называют также зависимым признаком, а влияющие факторы – независимыми признаками.

Ограничение метода: независимые признаки могут измеряться по номинальной, порядковой или метрической шкале, зависимые – только по метрической. Для проведения дисперсионного анализа выделяют несколько градаций факторных признаков, а все элементы выборки группируют в соответствии с этими градациями.

Формулировка гипотез в дисперсионном анализе.

Нулевая гипотеза: «Средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора (или градациях фактора) одинаковы».

Альтернативная гипотеза: «Средние величины результативного признака в разных условиях действия фактора различны».

Дисперсионный анализ можно подразделить на несколько категорий в зависимости:

от количества рассматриваемых независимых факторов;

от количества результативных переменных, подверженных действию факторов;

от характера, природы получения и наличия взаимосвязи сравниваемых выборок значений.

При наличии одного фактора, влияние которого исследуется, дисперсионный анализ именуется однофакторным, и распадается на две разновидности:

- Анализ несвязанных (то есть – различных) выборок . Например, одна группа респондентов решает задачу в условиях тишины, вторая – в шумной комнате. (В этом случае, к слову, нулевая гипотеза звучала бы так: «среднее время решения задач такого-то типа будет одинаково в тишине и в шумном помещении», то есть не зависит от фактора шума.)

- Анализ связанных выборок , то есть, двух замеров, проведенных на одной и той же группе респондентов в разных условиях. Тот же пример: в первый раз задача решалась в тишине, второй – сходная задача – в условиях шумовых помех. (На практике к подобным опытам следует подходить с осторожностью, поскольку в действие может вступить неучтенный фактор «научаемость», влияние которого исследователь рискует приписать изменению условий, а именно, - шуму.)

В случае если исследуется одновременное воздействие двух или более факторов, мы имеем дело с многофакторным дисперсионным анализом, который также можно подразделить по типу выборки.

Если же воздействию факторов подвержено несколько переменных, - речь идет о многомерном анализе . Проведение многомерного дисперсионного анализа предпочтительнее одномерного только в том случае, когда зависимые переменные не являются независимыми друг от друга и коррелируют между собой.

Обобщенно задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака выделить три частные вариативности:

вариативность, обусловленную действием каждой из исследуемых независимых переменных (факторов).

вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независимых переменных.

вариативность случайную, обусловленную всеми неучтенными обстоятельствами.

Для оценки вариативности, обусловленной действием исследуемых переменных и их взаимодействием вычисляется отношение соответствующего показателя вариативности и случайной вариативности. Показателем этого соотношения является F – критерий Фишера.

Чем в большей степени вариативность признака обусловлена действием влияющих факторов или их взаимодействием, тем выше эмпирические значения критерия .

В формулу расчета критерия входят оценки дисперсий, и, следовательно, этот метод относится к разряду параметрических.

Непараметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа для независимых выборок является критерий Краскела-Уоллеса. Он подобен критерию Манна-Уитни для двух независимых выборок, за тем исключением, что он суммирует ранги для каждой из групп.

Кроме этого, в дисперсионном анализе может быть применен медианный критерий. При его использовании для каждой группы определяются число наблюдений, которые превышают медиану, вычисленную по всем группам, и число наблюдений, которые меньше медианы, после чего строится двумерная таблица сопряженности.

Критерий Фридмана является непараметрическим обобщением парного t-критерия для случая выборок с повторными измерениями, когда количество сравниваемых переменных больше двух.

В отличие от корреляционного анализа, в дисперсионном анализе исследователь исходит из предположения, что одни переменные выступают как влияющие (именуемые факторами или независимыми переменными), а другие (результативные признаки или зависимые переменные) – подвержены влиянию этих факторов. Хотя такое допущение и лежит в основе математических процедур расчета, оно, однако, требует осторожности при выводах о причине и следствии.

Например, если мы выдвигаем гипотезу о зависимости успешности работы должностного лица от фактора Н (социальной смелости по Кэттелу), то не исключено обратное: социальная смелость респондента как раз и может возникнуть (усилиться) вследствие успешности его работы – это с одной стороны. С другой: следует отдать себе отчет в том, как именно измерялась «успешность»? Если за ее основу взяты были не объективные характеристики (модные нынче «объемы продаж» и проч.), а экспертные оценки сослуживцев, то имеется вероятность того, что «успешность» может быть подменена поведенческими или личностными характеристиками (волевыми, коммуникативными, внешними проявлениями агрессивности etc.).

12. Понятие валидности, надежности, достоверности в психодиагностике.

Надёжность – один из критериев проверки методик. В разработку этого критерия внесли свой вклад А. Анастази, Кронбах, Торндайк.

Надёжность – относительное постоянство, устойчивость, согласованность результатов тестов при первичном и повторном измерении на одних и тех же испытуемых. Необходимо повторное измерение на той же выборке. Расхождения возможны, но они должны быть незначительны. Таким образом, надёжность говорит о точности и устойчивости результатов к действию случайных факторов.

Общий разброс может быть результатом двух групп причин:

Изменчивость, присущая самому признаку.

Факторы внешней среды, которые могут повлиять

Процедуры вычисления надёжности:

Проведение одной и той же формы теста. (ретестовая надёжность), вычисление коэффициента корреляции. Интервал между проведением тестирования – от одного до нескольких месяцев.

Проведение параллельных форм тестов. При проведении исследования с помощью эквивалентной формы теста специалист убеждается в правильности выбранного признака. Чтобы формы теста считались эквивалентными необходимо одинаковое количество заданий в обоих тестах, задания должны быть унифицированы, задания должны располагаться одинаково по степени сложности, должны быть одинаковые средние и стандартное отклонение. Используют два подхода для вычисления надёжности при помощи параллельных форм тестов:

Одни и те же испытуемые обследуются при помощи одного теста. А потом другого и если коэффициент корреляции больше 0.7, то надёжность высока.

Испытуемые делятся на две группы, одна группа проходит тест А, другая тест Б, через неделю – наоборот.

Расщепление теста и вычисление коэффициента корреляции. Испытуемые выполняют две части теста, которые равноценны. В одну часть попадают все чётные задания, в другую – нечётные. Эта процедура показывает последовательность теста внутри себя, меру адекватности подбора вопросов. Вычисляется коэффициент корреляции.

Коэффициент надёжности соответствует коэффициенту корреляции Спирмена или Писрона.

Надёжность факторно-дисперсионная - способ определения надежности, основанная дисперсионном анализе результатов теста. Надежность теста соответствует отношению истинной дисперсии (т. е. дисперсии самого исследуемого фактора) к реально полученной эмпирической дисперсии. Последняя складывается из истинной дисперсии и дисперсии погрешности измерения. Факторно-аналитический подход к определению надежности дополнительно расчленяет и дисперсию истинного показателя (Дж. Гилфорд, 1956).

Дисперсия истинного показателя, в свою очередь, может состоять из дисперсии общего фактора для групп аналогичных тестов, особых факторов, обеспечивающих тесты специфической направленности и дисперсии факторов, присущих конкретной тестовой методике. Следовательно, полная дисперсия теста равна сумме дисперсий для общих, специфических и единичных факторов плюс дисперсия погрешности

Факторно-дисперсионный способ определения надежности подходит для оценки уже факторизованного теста, но не для тестов, измеряющих широкий набор разнообразных параметров, так как некоторые из них могут не входить в установленную область валидности методики.

Достоверность и допустимая ошибка измерения:

Достоверность определяется критерием ошибки измерения. Ошибка – это статистический показатель, характеризующий степень точности отдельных измерений. Предполагается, что для любой черты каждый индивид имеет истинный показатель. Любой показатель, полученный в тесте отличается от его истинного значения на какую-то случайную погрешность. И если протестировать человека несколько раз, получится разброс показателя вокруг истинного значения. Это значение колеблется в определённых границах. Колебание данного значения может зависеть от систематических ошибок и случайных. Причинами систематических ошибок может быть неправильное проведение теста, не соблюдение процедуры, неточность в обработке, низкая валидность методики. Вероятны и случайные ошибки, связанные с человеческим фактором. Если в методике не заложены подобные сбои, то её нельзя считать точной. При большом количестве наблюдений индивидуальные оценки образуют определённый тип распределения статистического показателя, которые будут обнаруживать ошибки измерения. Ошибка измерения определяется статистическими методами – величиной квадратичного отклонения, связанной с дисперсией распределения отдельных измерений. Погрешность не должна превышать 5 %.

Валидность:

Валидность – способность теста измерить то, что он должен измерить по замыслу автора. Это понятие относится больше не к тесту, а к его цели. Тест может быть надёжным, но не валидным. Но если тест валиден, то он надёжен.

Источники идей валидности:

Первые идеи появились ещё до создания тестов. Часто исследователи связывали результаты исследования с будущими успехами. Например, Пифагор, связывал мышление и речь при помощи интуиции.

Идея о необходимости практической проверки пригодности теста. Вне практики проблема валидности не может существовать.

Философские идеи: истина- соответствие мысли действительности. Критерий истинности – полезность.

Измерения, которые мы делаем не очевдны, они требуют теоретической основы. Теоретико=эмпирическая валидность.

Развитие статистической науки – корреляции и факторного анализа.

Пять источников породили пять видов валидности.

В начале 20 века ведущую роль играла интуиция. Если создателем теста был известный человек, то вера в валидность принималась на слово.

В 20-30 годы росли запросы практики, стали создаваться тесты на основе эмпирических источников. Было разработано 3 эмпирических подхода:

Все поступающие на работу проходят тест. Через какое-то время измеряется их производительность труда и эффективность. Затем шло коррелирование показателей. Таким образом, тесты использовались для полезности.

Сначала тестируются те, кто успешно уже работает, а затем результаты этого тестирования коррелируются с результатами кандидатов. Если есть взаимосвязь, то тест валидный.

Работы Бине и Симона. Для уверенности, что тест измеряет именно интеллект. Все задания теста проводились на двух группах, которые отбирались не психологами, а учителями. В 1 группе были дети с высокими умственными способностями, во 2 – с невыраженными способностями.этот способ получил название «экспертного». Далее проводилось тестирование. И если в обеих группах большинство отвечало в соответствии с ожиданиями авторов, то тест признавался валидным.

Таким образом, эмпирические методы обоснования валидности просуществовали до 50ых годов. Стали считать, что доказывать валидность можно не только с помощью практики. Анализ и соответствие теории и практики. Валидность по содержанию, сравнение с программой исследования и содержания теста. Сравнение облегчается, когда в программе выделяется проблема, цель и основные понятия. Концептуальная валидность, так как психологи интересуются соотнесением научных понятий с эмпирически наблюдаемыми фактами.

В эмпирический методах доказательства валидностиособую роль играют внешние критерии, которые служат доказательством валидности. Американские психологи Тиффани и МакКормик провели анализ использования внешних критериев и выделили их 4 типа:

Критерий исполнения – количество выполненной работы, темп роста мастерства

Субъективный критерий – включение различных видов ответов, которые отражают отношение к чему-либо.

Физиологический критерий - используется при изучении окружающей среды.

Критерий случайности – учет многих факторов.

Внешние критерии должны отвечать требованиям релевантности, свободы от помех, надёжности. Релевантность – смысловое соответствие между тестом и независимым от него жизненноважным критерием. Свобода от помех (контаминация) считается важной так как на деятельность влияет сам человек и условия его труда. Надёжность – постоянство результатов

Диагностическая (конкурентная) В . отражает способность теста дифференцировать испытуемых по изучаемому признаку. Анализ диагностической В. имеет отношение к установлению соответствия показателей теста реальному состоянию психологических особенностей испытуемого в момент обследования. Примером определения этого типа В. может быть исследование по методу контрастных групп. Проведение теста интеллекта у нормально развивающихся детей и их сверстников с нарушениями в интеллектуальном развитии может выявить глубокие количественные и качественные различия в выполнении заданий сравниваемыми группами. Степень надежности дифференциации детей первой и второй групп по данным теста будет характеристикой диагностической В. оценки умственного развития, получаемой с помощью данной методики.

Валидность содержательная (внутренняя, логическая) - комплекс сведений о репрезентативности заданий теста по отношению к измеряемым свойствам и особенностям. Одним из основных требований при валидизации методики в этом направлении является отражение в содержании теста ключевых сторон изучаемого психологического феномена. Если область поведения или особенность очень сложна, то содержательная В. требует представления в заданиях теста всех важнейших составных элементов исследуемого явления.

Дифференциальная В . - валидность, рассматривающая внутренние взаимоотношения между психологическими факторами, диагностируемыми с помощью психодиагностической методики. Содержание Д.В. может быть иллюстрировано на примере тестов интересов, которые в своем большинстве обычно умеренно коррелируют с показателями общей академической успеваемости, однако в различной степени связаны с успеваемостью по отдельным дисциплинам. В. д. особенно важна как показатель диагностической ценности методик, используемых в профотборе.

Иллюзорная В. (ложная) - иллюзия соответствия заключения по результатам тестирования личностным характеристикам обследуемого. Возникает как следствие использования предельно общих, а поэтому применимых практически ко всем обследуемым формулировок, таких, например, как «разумный в выборе цели», «стремящийся к лучшей жизни» и т. п. Такого рода утверждения принимаются почти всеми людьми в качестве точного описания их личности, что создает почву для деятельности различного рода прорицателей и предсказателей.

Инкрементная В . - (англ. incremental - приращение, прибыль) - один из компонентов критериальной валидности, прогностической валидности теста, отражающий практическую ценность методики при проведении отбора. В. и. может быть выражена количественно при помощи валидности коэффициента.

Консесусная В . (consensual validity) - тип валидности, основывающейся на установлении связи (корреляции) тестовых данных с данными, полученными от внешних экспертов, хорошо знакомых с теми лицами, которые были подвергнуты тестированию. Понятие и процедура В. к. введены Р. Мак-Краэ в 1982 г. с целью обеспечения валидизации опросников личностных, которая нередко затруднена (а иногда и невозможна) в связи с отсутствием необходимых для установления валидности критериев.

Конструктная В.-один из основных типов валидности, отражающий степень репрезентации исследуемого психологического конструкта в результатах теста. В качестве конструкта могут выступать практический или вербальный интеллект, эмоциональная неустойчивость, интроверсия, понимание речи, переключаемость внимания и т. д. Иначе говоря, В. к. определяет область теоретической структуры психологических явлений, измеряемых тестом.

Следует, однако, заметить, что, в отличие от критериальной валидизации, при анализе В. к. не требуется высокой степени связи результатов двух тестов. Если окажется, что новый и эталонный тесты практически идентичны по содержанию и результатам и разрабатываемая методика не обладает преимуществами краткости или легкости применения, это означает лишь дублирование теста, оправданное только с т. з. создания параллельной формы теста. Смысл процедуры В. к. состоит в установлении одновременно как сходства, так и различия психологических феноменов, измеряемых новым тестом по сравнению с известным.

Важным аспектом В. к. является внутренняя согласованность, отражающая то, насколько определенные пункты (задания, вопросы), составляющие материал теста, подчинены основному направлению теста как целого, ориентированы на изучение одних и тех же конструктов. Анализ внутренней согласованности осуществляется путем коррелирования ответов на каждое задание с общим результатом теста. При определении В. к. важное место принадлежит изучению динамики измеряемого конструкта. При этом мы можем опираться на гипотезы о его возрастном развитии, влиянии тренировок, обучения, освоения профессии и т. д.

Критериальная В. - комплекс характеристик, включающий валидность текущую и прогностическую методики и отражающий соответствие диагноза и прогноза определенному кругу критериев измеряемого явления. В качестве валидизации критерия выступают независимые от результатов теста и непосредственные меры исследуемого качества, такие как уровень достижений в какой-либо деятельности, степень развития способности, выраженность определенного свойства личности и т. д. При валидизации тестов достижений результат измерений сравнивается с мнением педагогов о знаниях обследуемого в определенной области, с академическими оценками, контрольными проверками и т. д. В случае валидизации профориентационных тестов и методик тестовые оценки сравниваются как с экспертными оценками коллег и руководителей, так и с объективными показателями достижений в профессиональной сфере.

Очевидная В. - пред ставление о тесте, сфере его применения, результативности и прогностической ценности, которое возникает у испытуемого или другого лица, не располагающего специальными сведениями о характере использования и целях методики. В. о. не является компонентом объективно устанавливаемой валидности. Вместе с тем высокая В. о. в большинстве случаев является весьма желательной. Она выступает в качестве фактора, побуждающего испытуемых к обследованию, способствует более серьезному и ответственному отношению к работе по выполнению заданий теста и к заключениям, формулируемым психологом.

Достаточный уровень В. о. особенно значим для методик обследования взрослых. Представления испытуемых и пользователей психодиагностической информацией о В. о. в немалой степени определяются названием методики, поскольку эта часть сведений о тесте наиболее доступна неспециалистам. В. о. существенно улучшает применение понятных формулировок и терминов, а также заданий, по содержанию являющихся наиболее естественными с учетом возрастной, половой, профессиональной специфики испытуемых. Неадекватно завышенная В. о. способствует более выраженному проявлению эффекта контаминации критерия.

В. о. иногда носит название внешней (face validity), или «доверительной» (faith validity), валидности.

В. по возрастной дифференциации - один из компонентов валидности конструктной, связанный с возрастной динамикой изменений исследуемого качества. Характеристика валидности по конструкту здесь заключается в определении соответствия результатов теста теоретически ожидаемым и практически наблюдаемым возрастным изменениям данного конструкта или свойства.

Прогностическая В. - информация о том, с какой степенью точности и обоснованности методика {тест) позволяет судить о диагностируемом психологическом качестве спустя определенное время после измерения. В. п. отражает временной интервал, на который распространяется обоснование такого суждения. Сведения о В. п. имеют самое непосредственное отношение к раскрытию предсказательной силы методики, выяснению степени обоснованности сформулированного на ее основе ближайшего и более отдаленного прогноза, анализу значимости получаемых в тесте показателей с т. з. экстраполирования результатов на будущее.

В качестве валидизации критерия могут выступать не только показатели актуального поведения, но и ожидаемые результаты деятельности, лечения, обучения и т. д. Процедура определения В. "п. опирается на анализ корреляции между оценками по тесту и предсказанными результатами деятельности, формирующимися свойствами личности, исходом лечения и т. п. Вместе с тем различие двух видов критериальной валидности связано не только с временными пределами критериальных сопоставлений. Валидность текущая и В. п. отражают разные цели применения методики: текущий диагноз, оценка настоящего положения, с одной стороны, и прогнозирование развития качества или успеха в деятельности - с другой.

Важность показателей В. п. при анализе тестовых процедур, направленных на отбор, подчеркивается введением специального понятия валидности инкрементной. Этот показатель В. п. дает информацию о том, насколько улучшается процедура отбора с применением данного теста по сравнению с традиционной (основывающейся лишь на формальных сведениях о предыдущей деятельности, анализе документов личного дела, беседах).

Комплекс сведений В. с. традиционно имеет наибольшее значение для тестов, исследующих деятельность, близкую или совпадающую с реальной (чаще всего учебной или профессиональной). Изучаемая деятельность носит, как правило, синтетический характер, складывается из многих, подчас разнородных факторов (проявления личностных особенностей, комплекс необходимых знаний и навыков, специфические способности и т. д.). Поэтому одной из важнейших задач создания адекватной модели тестируемой деятельности является подбор таких заданий, которые будут охватывать главные аспекты изучаемого феномена в правильной пропорции к реальной деятельности в целом.

Текущая В. (диагностическая, конкурентная)- характеристика теста, отражающая его способность различать испытуемых на основании диагностического признака, являющегося объектом исследования в данной методике. В качестве таких признаков могут выступать уровни общих способностей, притязаний, вербальный интеллект, тревожность и т. д. В более узком значении В. т. - установление соответствия результатов валидизируемого теста независимому критерию, отражающему состояние исследуемого тестом качества в момент проведения исследования.

Своеобразным показателем В. т. является комплекс сведений о том, насколько удобен, экономичен тест по сравнению с получением информации об исследуемом качестве из других источников (наблюдение, анализ объективных данных, экспертная оценка и т. д.).

Экологическая В. - валидность теста по отношению к измеряемому свойству в контексте определенной ситуации. В. э. является свойством теста, проявляющимся в том, что его применение при решении различных практических задач ведет к качественно различной интерпретации результатов тестирования (В. Н. Дружинин, 1990).

Эмпирическая В .-совокупность характеристик валидности теста, полученных сравнительным статистическим способом оценивания. Имеет отношение главным образом к области валидности критериальной и двум ее видам: валидности текущей и валидности прогностической. Если при определении валидности содержательной оценка теста проводится с помощью различных качественных процедур получения информации описательными методами с использованием экспертных оценок и других источников информации (для вынесения суждения о соответствии заданий теста содержанию предмета измерения), то В. э. измеряется всегда с помощью статистического коррелирования. Проводится корреляционный анализ связи двух рядов значений - оценок теста и показателей по внешнему параметру изучаемого свойства (или результатов другого теста, валидность которого известна).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Кафедра зоологии и охраны природы

по учебной дисциплине «Биометрия»

«Основы дисперсионного анализа»

Студентки 3 курса

биологического факультета

группы БИ - 32

Сизиковой М.О

Гомель, 2012

1. Методы дисперсионного анализа

2. Условия применения дисперсионного анализа

3. Принцип применения метода дисперсионного анализа

4. Этапы классического дисперсионного анализа

5. Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощённому типу

Литература

1. Методы дисперсионного анализа

Метод по Фишеру (Fisher) -- критерий F (значения F см. в приложении N 1);

Метод применяется в однофакторном дисперсионном анализе, когда совокупная дисперсия всех наблюдаемых значений раскладывается на дисперсию внутри отдельных групп и дисперсию между группами.

Метод "общей линейной модели".

В его основе лежит корреляционный или регрессионный анализ, применяемый в многофакторном анализе.

Обычно в медико-биологических исследованиях используются только однофакторные, максимум двухфакторные дисперсионные комплексы. Многофакторные комплексы можно исследовать, последовательно анализируя одно- или двухфакторные комплексы, выделяемые из всей наблюдаемой совокупности.

2. Условия применения дисперсионного анализа

дисперсионный анализ линейный фишер

Задачей исследования является определение силы влияния одного (до 3) факторов на результат или определение силы совместного влияния различных факторов (пол и возраст, физическая активность и питание и т.д.).

Изучаемые факторы должны быть независимые (несвязанные) между собой. Например, нельзя изучать совместное влияние стажа работы и возраста, роста и веса детей и т.д. на заболеваемость населения.

Подбор групп для исследования проводится рандомизированно (случайный отбор). Организация дисперсионного комплекса с выполнением принципа случайности отбора вариантов называется рандомизацией (перев. с англ. -- random), т.е. выбранные наугад.

Можно применять как количественные, так и качественные (атрибутивные) признаки.

При проведении однофакторного дисперсионного анализа рекомендуется (необходимое условие применения):

Нормальность распределения анализируемых групп или соответствие выборочных групп генеральным совокупностям с нормальным распределением. Независимость (не связанность) распределения наблюдений в группах. Наличие частоты (повторность) наблюдений.

Нормальность распределения определяется кривой Гаусса (Де Мавура), которую можно описать функцией у = f(х), так как она относится к числу законов распределения, используемых для приближенного описания явлений, которые носят случайный, вероятностный характер. Предмет медико-биологических исследований -- явления вероятностного характера, нормальное распределение в таких исследованиях встречается весьма часто.

3. Принцип применения метода дисперсионного анализа

Сначала формулируется нулевая гипотеза, то есть предполагается, что исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на значения результативного признака и полученные различия случайны.

Затем определяем, какова вероятность получить наблюдаемые (или более сильные) различия при условии справедливости нулевой гипотезы.

Если эта вероятность мала, то мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что результаты исследования статистически значимы. Это еще не означает, что доказано действие именно изучаемых факторов (это вопрос, прежде всего, планирования исследования), но все же маловероятно, что результат обусловлен случайностью.

Максимальную приемлемую вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу называют уровнем значимости и обозначают б = 0,05.

При выполнении всех условий применения дисперсионного анализа, разложение общей дисперсии математически выглядит следующим образом:

Doбщ. = Dфакт + D ост.,

Doбщ. - общая дисперсия наблюдаемых значений (вариант), характеризуется разбросом вариант от общего среднего. Измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общее разнообразие складывается из межгруппового и внутригруппового;

Dфакт - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризуется различием средних в каждой группе и зависит от влияния исследуемого фактора, по которому дифференцируется каждая группа. Например, в группах различных по этиологическому фактору клинического течения пневмонии средний уровень проведенного койко-дня неодинаков -- наблюдается межгрупповое разнообразие.

D ост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, которая характеризует рассеяние вариант внутри групп. Отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неуточненных факторов и не зависящую от признака -- фактора, положенного в основание группировки. Вариация изучаемого признака зависит от силы влияния каких-то неучтенных случайных факторов, как от организованных (заданных исследователем), так и от случайных (неизвестных) факторов.

Поэтому общая вариация (дисперсия) слагается из вариации, вызванной организованными (заданными) факторами, называемыми факториальной вариацией и неорганизованными факторами, т.е. остаточной вариацией (случайной, неизвестной).

4. Классический дисперсионный анализ проводится по следующим этапам

Построение дисперсионного комплекса.

Вычисление средних квадратов отклонений.

Вычисление дисперсии.

Сравнение факторной и остаточной дисперсий.

Оценка результатов с помощью теоретических значений распределения Фишера-Снедекора (приложение N 1).

5. Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощённому типу

Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощенному способу позволяет получить те же результаты, но расчеты выполняются значительно проще:

I этап. Построение дисперсионного комплекса

Построение дисперсионного комплекса означает построение таблицы, в которой были бы четко разграничены факторы, результативный признак и подбор наблюдений (больных) в каждую группу.

Однофакторный комплекс состоит из нескольких градаций одного фактора (А). Градации -- это выборки из разных генеральных совокупностей (А1, А2, АЗ).

Результативный признак (количество койко-дней в среднем)Этиологические факторы развития пневмоний

М = 14 дней

Двухфакторный комплекс -- состоит из нескольких градаций двух факторов в комбинации между собой. Этиологические факторы заболеваемостью пневмонией те же (А1, А2, АЗ) в сочетании с разными формами клинического течения пневмонии (Н1 -- острое, Н2 -- хроническое).

Результативный признак (количество койко-дней в среднем)

Этиологические факторы развития пневмоний

Н1 Н2 Н1 Н2 Н1 Н2

М = 14 дней

II этап. Вычисление общей средней (Мобш)

Вычисление суммы вариант по каждой градации факторов:

У Vj = V1 + V2 + V3

Вычисление общей суммы вариант (У Vобщ) по всем градациям факторного признака:

У Vобщ = У Vj1 + У Vj2 + У Vj3

Вычисление средней групповой (Мгр.) факторного признака:

Мгр. = У Vj / N,

где N -- сумма числа наблюдений по всем градациям факторного I признака (Уn по группам).

III этап. Расчет дисперсий:

При соблюдении всех условий применения дисперсионного анализа математическая формула выглядит следующим образом:

Doбщ. = Dфакт + D ост.

Doбщ. - общая дисперсия, характеризуется разбросом вариант (наблюдаемых значений) от общего среднего;

Dфакт. - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризует разброс групповых средних от общего среднего;

Dост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, характеризует рассеяние вариант внутри групп.

Вычисление факториальной дисперсии (Dфакт.):

Dфакт. = У h - H

Вычисление h проводится по формуле:

Вычисление Н проводится по формуле:

Вычисление остаточной дисперсии:

Dост. = (У V)2 - У h

Вычисление общей дисперсии:

Doбщ. = (У V)2 - У H

IV этап. Расчет основного показателя силы влияния изучаемого фактора Показатель силы влияния (з2) факторного признака на результат определяется долей факториальной дисперсии (Dфакт.) в общей дисперсии (Doбщ.), з2(эта) -- показывает какую долю занимает влияние изучаемого фактора среди всех других факторов и определяется по формуле:

Сравнение критерия Фишера (F) со стандартным (табличным) F проводят по графам таблицы с учетом степеней свободы:

По горизонтали определяют v1 по вертикали -- v2, на их пересечении определяют табличное значение F, где верхнее табличное значение р? 0,05, а нижнее соответствует р > 0,01, и сравнивают с вычисленным критерием F. Если значение вычисленного критерия F равно или больше табличного, то результаты достоверны и Н0 не отвергается.

В практической деятельности врачей при проведении медико-биологических, социологических и экспериментальных исследований возникает необходимость установить влияние факторов на результаты изучения состояния здоровья населения, при оценке профессиональной деятельности, эффективности нововведений.

Существует ряд статистических методов, позволяющих определить силу, направление, закономерности влияния факторов на результат в генеральной или выборочной совокупностях (расчет критерия I, корреляционный анализ, регрессия, Ч2 -- (критерий согласия Пирсона и др.). Дисперсионный анализ был разработан и предложен английским ученым, математиком и генетиком Рональдом Фишером в 20-х годах XX века.

Дисперсионный анализ чаще используют в научно-практических исследованиях общественного здоровья и здравоохранения для изучения влияния одного или нескольких факторов на результативный признак. Он основан на принципе "отражения разнообразий значений факторного(ых) на разнообразии значений результативного признака" и устанавливает силу влияния фактора(ов) в выборочных совокупностях.

Сущность метода дисперсионного анализа заключается в измерении отдельных дисперсий (общая, факториальная, остаточная), и дальнейшем определении силы (доли) влияния изучаемых факторов (оценки роли каждого из факторов, либо их совместного влияния) на результативный(е) признак(и).

Дисперсионный анализ -- это статистический метод оценки связи между факторными и результативным признаками в различных группах, отобранный случайным образом, основанный на определении различий (разнообразия) значений признаков. В основе дисперсионного анализа лежит анализ отклонений всех единиц исследуемой совокупности от среднего арифметического. В качестве меры отклонений берется дисперсия (В)-- средний квадрат отклонений. Отклонения, вызываемые воздействием факторного признака (фактора) сравниваются с величиной отклонений, вызываемых случайными обстоятельствами. Если отклонения, вызываемые факторным признаком, более существенны, чем случайные отклонения, то считается, что фактор оказывает существенное влияние на результативный признак.

Дисперсионный анализ, в котором проверяется влияние одного фактора, называется однофакторным (одномерный анализ). При изучении влияния более чем одного фактора используют многофакторный дисперсионный анализ (многомерный анализ).

Факторные признаки -- это те признаки, которые влияют на изучаемое явление.

Результативные признаки -- это те признаки, которые изменяются под влиянием факторных признаков.

Литература

1.Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения. Под ред. чл.-корр. РАМН, проф. В.З.Кучеренко. М., "Гэотар-Медиа", 2007, учебное пособие для вузов

2.Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. 464 с.

3.Архипова ГЛ., Лаврова И.Г., Трошина И.М. Некоторые современные методы статистического анализа в медицине. -- М.: Метроснаб, 1971. -- 75 с.

4.Зайцев В.М., Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. Прикладная медицинская статистика. -- СПб.: ООО "Издательство ФОЛИАНТ", 2003. - 432 с.

5.Платонов А.Е. Статистический анализ в медицине и биологии: задачи, терминология, логика, компьютерные методы. -- М.: Издательство РАМН, 2000. - 52 с.

6.Плохинский Н.А. Биометрия. -- Издательство Сибирского отделения АН СССР Новосибирск. -- 1961. -- 364 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Основные положения факторного анализа. Принципы и модели дисперсионного анализа, его роль и место в статистических исследованиях. Особенности применения дисперсионного анализа при исследовании социально-экономических показателей по Республике Беларусь.

курсовая работа , добавлен 01.07.2014


Расчет матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции при помощи пакета анализа программы Excel. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ. Построение регрессионной модели. Модальный интервал по значению числа видов производимой продукции.

контрольная работа , добавлен 29.03.2010


Понятие и основные этапы реализации дисперсионного анализа как статистического метода, позволяющего анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. История его разработки и использование. Статистика Фишера и принципы F-распределения.

презентация , добавлен 23.02.2017


Метод двухфакторного дисперсионного анализа. Оценка степени влияния изучаемых факторов на результирующий экономический показатель. Расчет в системе minitab. Первоначальная оценка модели взаимодействия и без взаимодействия факторов, сравнение результов.

контрольная работа , добавлен 17.11.2010


Обработка данных лесной промышленности: получение распределения случайной величины, проверка гипотезы, проведение дисперсионного, корреляционного и регрессивного анализа. Сущность и содержание, особенности применения теории принятия решений, ее принципы.

контрольная работа , добавлен 12.02.2013


Проверка гипотез о равенстве систематических погрешностей. Минимизация издержек исследований. Определение максимального значения выходной величины исследуемого процесса. Определение наиболее оптимального выбора стратегии проведения исследований.

курсовая работа , добавлен 31.01.2015


Методика расчета показателей вариации по средней арифметической взвешенной. Произведение расчетов по данным интервального вариационного ряда. Построение полигона и гистограммы. Элементы и проведение дисперсионного анализа. Правило сложения дисперсий.

лабораторная работа , добавлен 21.06.2009


Формирование выборочной совокупности на примере ранжирования субъектов по размеру заработной платы в порядке возрастания значений. Анализ уровней рядов динамики цен на недвижимость. Индексный анализ данных о продаже товаров. Метод дисперсионного анализа.

контрольная работа , добавлен 17.06.2011


Сущность и основные функции группировки статистических показателей. Понятие и виды дисперсионного анализа. Показатели экономической активности, занятости и безработицы населения. Качественные показатели работы порта. Индивидуальный индекс себестоимости.

контрольная работа , добавлен 14.10.2010


Определение понятия метода в экономическом анализе, обозначение его основных характеристик. Выявление отличий метода от методики экономического анализа. Составление классификации методов. Описание неформальных (логистических) приемов, факторного анализа.