Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Пересечение решений.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным , необходимо перенести все его члены в одну часть, т. e . привести к виду:

f ( x ) > 0 ,

и построить график функции y = f (x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. ), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f (x ) > 0: x < a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т. e . привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , ... , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т. e . их общую часть.

П р и м е р. Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала построим графики функций y = - 2 / 3 x + 2 и

y = x 2 - 1 (рис.31):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < - 1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т. e . привести

нера венства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f (x , y ) = 0 и g (x , y ) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:

в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить

графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

решением является противоположная часть плоскости ;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение

(общая область) частей координатной плоскости.

П р и м е р. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала строим графики линейных функций: 5 x – 7 y = - 11 и

2 x + 3 y = 10 ( рис.32). Для каждой из них находим полуплоскость,

внутри которой соответствующее заданное неравенство

справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

Неравенства в одной произвольной точке области; в данном

случае легче всего использовать для этого начало координат O (0, 0 ).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y ,

Получим: 5 · 0 – 7 · 0 = 0 > - 11, следовательно, нижняя

полуплоскость (жёлтого цвета ) является решением первого

Неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство

Имеет своим решением также нижнюю полуплоскость (голубого

цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы )

является решением нашей системы неравенств.

Пусть задано линейное неравенство с двумя переменными и

(1)

Если величины ирассматривать как координаты точки плоскости, то совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью решений данного неравенства. Следовательно, областью решений неравенства (1) является полуплоскость с граничной прямой линией
.

Пример 1.

.

Решение. Строим прямую
по двум точкам, например, по точкам пересечения с осями координат (0; 4) и (6; 0). Эта линия делит плоскость на две части, т.е. на две полуплоскости. Берем любую точку плоскости, не лежащую на построенной прямой. Если координаты точки удовлетворяют заданному неравенству, то областью решений является та полуплоскость, в которой находится эта точка. Если же получаем неверное числовое неравенство, то областью решений является та полуплоскость, которой эта точка не принадлежит. Обычно для контроля берут точку (0; 0).

Подставим
и
в заданное неравенство. Получим
. Следовательно, полуплоскость «к нулю» является областью решений данного неравенства (заштрихованная часть рис. 1).

Пример 2. Найти полуплоскость, определяемую неравенством

.

Решение. Строим прямую
, например, по точкам (0; 0) и (1; 3). Т.к. прямая проходит через начало координат, точку (0; 0), то нельзя брать ее для контроля. Возьмем, например, точку (– 2; 0) и подставим ее координаты в заданное неравенство. Получим
. Это неверно. Значит, областью решений данного неравенства будет та полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка (заштрихованная часть рис. 2).

2. Область решений системы линейных неравенств.

Пример. Найти область решений системы неравенств:

Решение. Находим область решений I-го неравенства (рис. 1) и II-го неравенства (рис. 2).

Все точки части плоскости, где штриховка наложилась, будут удовлетворять и первому и второму неравенству. Таким образом, получена область решений заданной системы неравенств (рис. 3).

Если к заданной системе неравенств добавить условия
и
, то область решений системы неравенств
будет находиться только вI координатной четверти (рис. 4).

Принцип нахождения решения системы линейных неравенств не зависит от количества неравенств, входящих в систему.

Примечание : Область допустимых решений (ОДР) если существует, то представляет собой замкнутый или незамкнутый выпуклый многоугольник.

3. Алгоритм графического метода решения злп

Если задача линейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решить графическим методом, выполняя следующие операции:

Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом

max

Решение. Третье и четвертое ограничения системы – двойные неравенства, преобразуем их к более привычному для подобных задач виду
, это
и
, т.о. первое из полученных неравенств
(или
) относится к условию неотрицательности, а второе
к системе ограничений. Аналогично,
это
и
.

Т.о. задача примет вид

max

,

Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений по уравнениям прямых:

;
;
;
.

Областью решений неравенств является пятиугольник ABCDE .

Построим вектор
. Через начало координат перпендикулярно вектору проведем линию уровня. И затем будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении векторадо точки выхода из области допустимых решений. Это будет точкаС . Найдем координаты этой точки, решив систему, состоящую из уравнений первой и четвертой прямых:

.

Подставим координаты точки С в целевую функцию и найдем ее максимальное значение
Пример. Построить линии уровня
и
для задачи линейного программирования:

max (min )

Решение. Область допустимых решений – открытая область (рис. 6). Линия уровня
проходит через точкуВ . Функция Z имеет минимум в этой точке. Линию уровня
построить нельзя, так как нет точки выхода из области допустимых решений, это значит, что
.

Задания для самостоятельной работы .

Найти область решений системы неравенств:

а)б)

Решить графически задачу линейного программирования

min

Составить экономико-математическую модель и решить графически задачу линейного программирования

Фирма выпускает изделия двух видов А и В. Изделия каждого вида обрабатывают на двух станках (I и II). Время обработки одного изделия каждого вида на станках, время работы станков за рабочую смену, прибыль фирмы от реализации одного изделия вида А и вида В занесены в таблицу:

Изучение рынка сбыта показало, что ежедневный спрос на изделия вида В никогда не превышает спрос на изделия вида А более чем на 40 единиц, а спрос на изделия вида А не превышает 90 единиц в день.

Определить план производства изделий, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .

Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.

Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.

Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.

Задача. y > x .

Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .

Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .

Задача. Решить графически неравенство
х 2 + у 2 £ 25.

Рис. 18.

Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х 2 + у 2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х 2 + у 2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности.

Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .

Системы совокупностей неравенств с двумя переменными

Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.

Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.

Задача. Решить графически систему неравенств

Решение. у = х и х 2 + у 2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.

Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.

Задача. Решить графически совокупность неравенств

Решение. Сначала заменяем знак неравенства знаком равенства и проводим в одной системе координат линии у = х + 4 и х 2 + у 2 = 16. Решаем каждое неравенство совокупности. Графиком совокупности будет множество точек плоскости, являющихся объединением множеств решений первого и второго неравенств.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;

в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.

2. Решите графически системы неравенств:

а) в)

Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.

Навигация по странице.

Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

• график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;
• график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x) ;
• график функции f ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)
• график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .

В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):

На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x 1 и x 2 . Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 , x 1 =−2 , x 2 =3 .

Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.


Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):


Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x 1 , x 2) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D"=D/4>0 при четном коэффициенте b )

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или в другой записи xx 2 ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, x 1 ]∪ или в другой записи x 1 ≤x≤x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c , причем x 1


Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0 . Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x 0 ). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4 , здесь a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2 .

По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.


Делаем выводы: при a>0 и D=0

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) или в другой записи x≠x 0 ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ;
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x 0 (его дает точка касания),

где x 0 - корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c .


В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox , нет точки касания).


Таким образом, при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a·x 2 +b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом :

На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:

• Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
• А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0 ), касается ее в одной точке (при D=0 ), или не имеет общих точек с осью Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма

  • при решении квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
  • при решении неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
  • при решении неравенства a·x 2 +b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x 2 +b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);

  они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Примеры с решениями

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции . Коэффициент при x 2 равен 2 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена . Имеем . Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: и , то есть, x 1 =−3 и x 2 =1/3 .

Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами −3 и 1/3 . Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):

Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.

Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3 . В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3] . Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3 .

Ответ:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3 .

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0 .

Решение.

По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1 , поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1 . Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: и , x 1 =7 и x 2 =9 . Так парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами 7 и 9 (исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:

Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7) , (9, +∞) .

Ответ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7 , x>9 .

При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?

Решение.

Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7 , так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0 , откуда или 0,7 в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:

Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox , а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox , поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7 .

Ответ:

данное неравенство имеет единственное решение 0,7 .

Пример.

Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0 .

Решение.

Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2 отрицательный, −1 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16 , имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 и дальше x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Итак, парабола касается оси Ox в точке с абсциссой 4 . Выполним чертеж:

Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.

Ответ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4 .

Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0 .

Решение.

Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a равен 3 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:

Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox . В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.

Ox , а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений или в другой записи ∅.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования

Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C 2 y , которую необходимо максимизировать.

Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x ; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x – 5 y ≥ 42 удовлетворяют пары (x , y ) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax + by ≤ c , ax + by ≥ c . Прямая ax + by = c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax + by >c , а другой неравенству ax + +by <c .
Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x 0 , имеет ординату

Пусть для определенности a < 0, b >0, c >0. Все точки с абсциссой x 0 , лежащие выше P (например, точка М ), имеют y M >y 0 , а все точки, лежащие ниже точки P , с абсциссой x 0 , имеют y N <y 0 . Поскольку x 0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax + by > c , образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by < c .

Рисунок 1

Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a , b , c .
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Решить графически систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2 x – 2y + 5 ≤ 0.

• рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
• построим прямые, задающиеся этими уравнениями.

Рисунок 2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x + y– 1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:

Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2y – 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых


Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.