О плюсах обучения с помощью видеуроков можно говорить бесконечно. Во-первых, они излагают мысли четко и понятно, последовательно и структурировано. Во-вторых, они занимают определенное фиксированное время, не являются, зачастую растянутыми и утомительными. В третьих, они являются более увлекательными для школьников, чем обычные уроки, к которым они привыкли. Просмотреть их можно жома в спокойной обстановке.

Во многих задачах из курса математики ученики 6 класса будут сталкиваться с прямой и обратной пропорциональной зависимостью. Прежде, чем начать изучение данной темы, стоит вспомнить, что же такое пропорции, и каким основным свойством они обладают.

Теме “Пропорции” посвящен предыдущий видеоурок. Данный же является логическим продолжением. Стоит отметить, что тема достаточно важная и часто встречаемая. Ее стоит как следует понять раз и навсегда.

Чтобы показать важность темы, видеоурок начинается с задачи. Условие появляется на экране и озвучивается диктором. Запись данных приводится в виде некоторой схемы, чтобы школьник, просматривающий видеозапись, мог как можно лучше понять. Буде лучше, если на первое время он будет придерживаться такой форме записи.

Неизвестное, как это принято в большинстве случаев, обознается латинской буквой x. Для его нахождения необходимо в первую очередь перемножить значения крест-накрест. Таким образом, получится равенство двух соотношений. Это говорит о том, что дело имеет с пропорциями и стоит вспомнить основное их свойство. Обращаем внимание на то, что все величины указаны в одинаковой единице измерения. В противном случае необходимо было привести их к одному измерению.

Просмотрев метод решения в видеозаписи, не должно возникнуть никаких трудностей при подобных задачах. Диктор комментирует каждый ход, объясняет все действия, напоминает изученный материал, который используется.

Сразу после просмотра первой части видеурока «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» можно предложить школьнику решить эту же задачу без помощи подсказок. После, можно предложить альтернативную иную задачу.

В зависимости от умственных способностей ученика, можно увеличивать постепенно сложности последующих задач.

После первой рассмотренной задачи приводится определение прямо пропорциональных величин. Определение зачитывается диктором. Основное понятие выделено красным.

Далее демонстрируется еще одна задача, на основе которой объясняется обратная пропорциональная зависимость. Эти понятия школьнику лучше всего записать в тетради. В случае необходимости перед контрольными работами, ученик может с легкостью найти все правила и определения и перечитать.

Просмотрев данную видеозапись, 6-классник поймет, каким образом нужно использовать пропорции в тех или иных задачах. Это достаточно важная тема, которую нельзя пропустить ни в коем случае. Если школьник не приспособлен воспринимать материал, преподносимый учителем во время урока среди других учеников, то подобные обучающие ресурсы станут отличным спасением!

Выполнил: Чепкасов Родион

учащийся 6 «Б» класса

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул

Руководитель: Булыкина О.Г.

учитель математики

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул

Введение. 1

Отношения и пропорции. 3

Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 4

Применение прямой и обратной пропорциональной 6

зависимости при решении различных задач.

Заключение. 11

Литература. 12

Введение .

Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.

Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура писал: "Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению". Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона по знает ученый".

Пропорциями пользовались при решении разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач и теперь легко и быстро решаются при помощи пропорций. Пропорции и пропорциональность применялись и применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами разных частей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения искусств. Пропорциональность в таких случаях является условием правильного и красивого построения и изображения

В своей работе я пытался рассмотреть применение прямой и обратной пропорциональной зависимостей в различных областях окружающей жизни, проследить связь с учебными предметами через задачи.

Отношения и пропорции .

Частное двух чисел называется отношением этих чисел .

Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Задача.

В магазин привезли 2,4 т груш и 3,6 т яблок. Какую часть привезённых фруктов составляют груши?

Решение . Найдём сколько всего привезли фруктов: 2,4+3,6=6(т). Чтобы найти какую часть привезённых фруктов составляют груши, составим отношение 2,4:6=. Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах: = 0,4 = 40 %.

Взаимно обратными называют числа , произведения которых равно 1. Поэтому отношения называют обратным отношению .

Рассмотрим два равных отношения: 4,5:3 и 6:4. Поставим между ними знак равенства и получим пропорцию: 4,5:3=6:4.

Пропорция – это равенство двух отношений: a : b =c :d или = , где a и d – крайние члены пропорции , c и b – средние члены (все члены пропорции отличны от нуля).

Основное свойство пропорции :

в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Применив переместительное свойство умножения, получим, что в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены. Получившиеся пропорции также будут верными.

Используя основное свойство пропорции, можно находить её неизвестный член, если все остальные члены известны.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и разделить на известный крайний член. x : b = c : d , x =

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены и разделить на известный средний член. a : b =x : d , x =.

Прямая и обратные пропорциональные зависимости.

Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно - длина стороны квадратазависит от его площади.

Две величины называют пропорциональными, если при увеличении

(уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пример прямой пропорциональной зависимости .

На заправочной станции 2 л бензина весят 1,6 кг. Сколько будут весить 5 л бензина?

Решение:

Вес керосина пропорционален его объему.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2:5=1,6:х,

х= 5*1,6 х =4

Ответ: 4 кг.

Здесь отношение веса к объему остается неизменным.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

П ример обратной пропорциональной зависимости.

Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдём ширину второго прямоугольника.

Решение:

1 прямоугольник 3,6 м 2,4 м

2 прямоугольник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х = 3,6*2,4 = 1,8 м

Ответ: 1,8 м.

Как видим, задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.

Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Задача № 1

В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотечном фонде?

Решение:

Всего учебников - ? - 100%

Математики - 210 -15%

15 % 210 уч.

Х = 100* 210 = 1400 учебников

100% х уч. 15

Ответ: 1400 учебников.

Задача № 2

Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время велосипедист проедит 125 км с той же скоростью?

Решение:

3 ч – 75 км

Ч – 125 км

Время и расстояние являются прямо пропорциональными величинами, поэтому

3: х = 75: 125,

х=
,

х=5.

Ответ: за 5 ч.

Задача № 3

8 одинаковых труб заполняют бассейн за 25 минут. За сколько минут заполнят бассейн 10 таких труб?

Решение:

8 труб – 25 минут

10 труб - ? минут

Количество труб обратно пропорционально времени, поэтому

8: 10 = х: 25,

х =

х = 20

Ответ: за 20 минут.

Задача № 4

Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 15 дней. Сколько рабочих сможет выполнить задание за 10 дней, работая с той же производительностью?

Решение:

8 рабочих – 15 дней

Рабочих - 10 дней

Количество рабочих обратно пропорционально количеству дней, поэтому

х: 8 = 15: 10,

х=
,

х= 12.

Ответ: 12 рабочих.

Задача № 5

Из 5,6 кг помидоров получают 2 л соуса. Сколько литров соуса можно получить из 54 кг помидоров?

Решение:

5,6 кг – 2 л

54 кг - ? л

Количество килограммов помидоров прямо пропорционально количеству получаемого соуса, поэтому

5,6: 54 = 2: х,

х =
,

х = 19 .

Ответ: 19 л.

Задача № 6

Для отопления здания школы заготовлено угля на 180 дней при норме расхода

0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если его расходовать ежедневно по 0,5 т?

Решение:

Кол-во дней

Норма расхода

Количество дней обратно пропорционально норме расхода угля, поэтому

180: х = 0,5: 0,6,

х = 180*0,6:0,5,

х = 216.

Ответ: на 216 дней.

Задача № 7

В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

Решение:

Кол-во частей

Масса

Железо

73,5

Примеси

Количество частей прямо пропорционально массе, поэтому

7: 73,5 = 3: х.

х = 73,5 * 3: 7,

х = 31,5.

Ответ: 31,5 т

Задача № 8

Автомобиль проехал 500 км, истратив 35 л бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 420 км?

Решение:

Расстояние, км

Бензин, л

Расстояние прямо пропорционально расходованию бензина, поэтому

500: 35 = 420: х,

х = 35*420:500,

х = 29,4.

Ответ: 29,4 л

Задача № 9

За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа?

Решение:

Количество карасей не зависит от времени. Эти величины не являются ни прямо пропорциональными, ни обратно пропорциональными.

Ответ: ответа не существует.

Задача № 10

Горнорудному предприятию требуется закупить на определённую сумму денег 5 новых машин по цене 12 тыс.рублей за одну. Сколько таких машин сможет купить предприятие, если цена за одну машину станет 15 тыс.рублей?

Решение:

Кол-во машин, шт.

Цена, тыс.руб.

Количество машин обратно пропорционально стоимости, поэтому

5: х = 15: 12,

х= 5*12:15,

х=4.

Ответ: 4 машины.

Задача № 11

В городе N на площади P находится магазин, хозяин которого настолько строг, что за опоздание вычитает из заработной платы 70 рублей за 1 опоздание в день. В одном отделе работают две девушки Юля и Наташа. Их заработная плата зависит от числа рабочих дней. Юля за 20 дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но она опаздывала 3 дня подряд. Сколько рублей получит Наташа?

Решение:

Рабочие дни

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наташа

Зарплата прямо пропорционально количеству рабочих дней, поэтому

20: 21 = 4100: х,

х= 4305.

4305 руб. должна была получить Наташа.

4305 – 3 * 70 = 4095 (руб.)

Ответ: Наташа получит 4095 руб.

Задача № 12

Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1: 250000.

Решение:

Обозначим расстояние между городами на местности через х (в сантиметрах) и найдём отношение длины отрезка на карте к расстоянию на местности, которое будет равно масштабу карты: 6: х = 1: 250000,

х = 6*250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Ответ: 15 км.

Задача № 13

В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Какова концентрация соли в данном растворе?

Решение:

Масса, г

Концентрация, %

Раствор

4000

Соль

4000: 80 = 100: х,

х =
,

х = 2.

Ответ: концентрация соли составляет 2 %.

Задача № 14

Банк даёт кредит под 10% годовых. Вы получили кредит 50 000 рублей. Какую сумму Вы должны вернуть банку через год?

Решение:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х = 100: 10,

х= 50000*10:100,

х=5000.

5000 руб. составляет 10%.

50 000 + 5000=55 000 (руб.)

Ответ: через год банку вернут 55 000 руб.

Заключение.

Как видим из приведённых примеров, прямая и обратная пропорциональные зависимости применимы в различных областях жизни:

Экономике,

Торговле,

На производстве и промышленности,

Школьной жизни,

Кулинарии,

Строительстве и архитектуре.

Спорте,

Животноводстве,

Топографии,

Физики,

Химии и т.д.

В русском языке также встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимости:

Как аукнется, так и откликнется.

Чем выше пень, тем выше тень.

Чем больше народа, тем меньше кислорода.

И готово, да бестолково.

Математика – одна из древнейших наук, возникла она на основе потребностей и нужд человечества. Пройдя историю становления еще с Древней Греции, она до сих пор остается актуальной и необходимой в повседневной жизни любого человека. Понятие о прямой и обратной пропорциональной зависимости известны еще с древних времен, поскольку именно законы пропорции двигали архитекторами при какой-либо постройке или создании какой-либо скульптуры.

Знания о пропорциях широко используются во всех сферах жизни и деятельности человека – без них не обойтись при написании картин (пейзажей, натюрмортов, портретов и прочее), также имеют широкое распространение среди архитекторов и инженеров, – , в общем, тяжело себе представить создание хоть чего-нибудь без использования знаний о пропорциях и их соотношении.

Литература.

Математика-6, Н.Я. Виленкин и др.

Алгебра -7, Г.В. Дорофеев и др.

Математика-9, ГИА-9, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактические материалы, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Задачи по математике для 4-5 классов, И.В.Баранова и др., М. «Просвещение»1988

Сборник задач и примеров по математике 5-6 класс, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997

ж) возрастом человека и размером его обуви;

з) объемом куба и длиной его ребра;

и) периметром квадрата и длиной его стороны;

к) дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяется;

л) дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется.

Задачи 767-778 решите, составив .

767. Стальной шарик объемом 6 см 3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см 3 ?

768. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

769. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистят эту площадку?

770. Для перевозки груза потребовалось 24 машины 1рузо- подъемностыо 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

771. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дали всходы (процент всхожести)?

772. Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

773. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой участников секции составляют девочки и какой мальчики?

774. Колхоз по плану должен засеять 980 га кукурузой. Но план выполнили на 115%. Сколько гектаров кукурузы посеял колхоз?

775. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?

776. За три дня было убрано 16,5% всей свеклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свеклы, если работать с той же производительностью?

777. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

778. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свеклы. Сколько свеклы надо взять на 650 г мяса?

П 779. Вычислите устно:

780. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей:.
781. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.

782. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.

783. При каком значении х верна пропорция:

784. Найдите отношение:
а) 2 мин к 10 с; в) 0,1 кг к 0,1 г; д) 3 дм 3 к 0,6 м 3 .
б) 0,3 м 2 к 0,1 дм 2 ; г) 4 ч к 1 сут;

1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;

2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.

Д 795. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. ^^ Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок?

796. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили еще двух маляров. За какое время они закончат работу, считая, что все маляры будут работать с одинаковой производительностью?

797. За 2,5 кг баранины заплатили 4,75 р. Сколько баранины можно купить по той же цене на 6,65 р.?

798. В сахарной свекле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свеклы? Ответ округлите до десятых долей тонны.

799. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла?

800. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процентное содержание крахмала в таком картофеле.

801. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько масла содержится в 80 кг семян льна?

802. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса?

803. Найдите значение выражения:

а) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
б) 96:7,5 + 288,51:(80 - 76,74).

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

I. Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.

Примеры.

1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.

2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.

3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )

II. Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?

Решение.

Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:

12: 9=8: х;

х=9· 8: 12;

х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.

Решение задачи можно было оформить и так:

Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.

(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).

Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.

Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?

Решение.

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.

Задача 3. Из трубы поступает вода в бассейн. За 2 часа она заполняет 1/5 бассейна. Какая часть бассейна заполняется водой за 5 часов ?

Решение.

Отвечаем на вопрос задачи: за 5 часов наполнится 1/х часть бассейна. (Весь бассейн принимается за одну целую).

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.

Содержание урока

Прямая пропорциональность

Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.

Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час

Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км

Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.

Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью .

Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть, при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.

Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50

Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности . Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.

Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения и составляют пропорцию:

Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.

Пример 2 . Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.

Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.

Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму

Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:

Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.

Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.

Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:

На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.

Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть, скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью .

Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.

К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:

Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть, при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным

Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках