Обратный гиперболический синус. Формулы с обратными гиперболическими функциями
Даны определения обратных гиперболических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные гиперболические функции - формулы сумм и разностей. Выражения через тригонометрические функции. Производные, интегралы, разложения в ряды.
Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений
arsh x - обратный гиперболический синус
Обратный гиперболический синус (ареасинус) , - это функция, обратная к гиперболическому синусу (x = sh y ) , имеющая область определения -∞ < x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .
Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.
arch x - обратный гиперболический косинус
Обратный гиперболический косинус (ареакосинус) , - это функция, обратная к гиперболическому косинусу (x = сh y ) , имеющая область определения 1 ≤ x < +∞ и множество значений 0 ≤ y < +∞ .
Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.
Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1
и расположена симметрично относительно оси абсцисс, - ∞ < y ≤ 0
:
.
Она строго убывает на области определения.
arth x - обратный гиперболический тангенс
Обратный гиперболический тангенс (ареатангенс) , - это функция, обратная к гиперболическому тангенсу (x = th y ) , имеющая область определения - 1 < x < 1 и множество значений -∞ < y < +∞ .
Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.
arcth x - обратный гиперболический котангенс
Обратный гиперболический котангенс (ареакотангенс) , - это функция, обратная к гиперболическому котангенсу (x = cth y ) , имеющая область определения |x| > 1 и множество значений y ≠ 0 .
Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.
График обратного гиперболического синуса (ареасинуса) y = arsh x
График обратного гиперболического косинуса (ареакосинуса) y = arch
x , x ≥ 1
Пунктиром показана вторая ветвь ареккосинуса.
График обратного гиперболического тангенса (ареатангенса) y = arth x , |x| < 1
График обратного гиперболического котангенса (ареакотангенса) y = arcth x , |x| > 1
Формулы с обратными гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
Arsh
iz = i Arcsin
z
;
Arch
z = i Arccos
z
;
Arcsin
iz = i Arsh
z
;
Arccos
z = - i Arch
z
;
Arth
iz = i Arctg
z
;
Arcth
iz = - i Arcctg
z
;
Arctg
iz = i Arth
z
;
Arcctg
iz = - i Arcth
z
;
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Четность
arsh(-x) = - arsh
x
;
arch(-x) ≠ ± arch
x
;
arth(-x) = - arth
x
;
arcth(-x) = - arcth
x
.
Функции arsh(x) , arth(x) , arcth(x) - нечетные. Функция arch(x) - не является четной или нечетной.
Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы
;
;
;
.
Формулы суммы и разности
;
;
;
.
Производные обратных гиперболических функций
;
.
Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x
arsh x
Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку x = sh
t
и интегрируем по частям :
.
arch x
Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку x = ch
t
и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0
:
.
arth x
Делаем подстановку x = th
t
и интегрируем по частям :
;
;
;
.
arcth x
Аналогично получаем:
.
Разложения в ряды
arsh x
При |x| < 1
arth x
При |x| < 1
имеет место следующее разложение:
arcth x
При |x| > 1
имеет место следующее разложение:
Обратные функции
Гиперболический синус
При - ∞ < y < ∞
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Гиперболический косинус
При 1
≤ y < ∞
и 0
≤ x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Гиперболический тангенс
При - 1
< y < 1
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Гиперболический котангенс
При - ∞ < y < - 1
или 1
< y < ∞
и x ≠ 0
имеют место формулы:
,
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
sh x - гиперболический синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гиперболический косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .
th x - гиперболический тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гиперболический котангенс
X ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .
Графики гиперболических функций
График гиперболического синуса y = sh x
График гиперболического косинуса y = ch x
График гиперболического тангенса y = th x
График гиперболического котангенса y = cth x
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin
iz = i sh
z ; cos
iz = ch
z
sh
iz = i sin
z ; ch
iz = cos
z
tg
iz = i th
z ; ctg
iz = - i cth
z
th
iz = i tg
z ; cth
iz = - i ctg
z
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh(-x) = - sh x
;
ch(-x) = ch x
.
th(-x) = - th x
;
cth(-x) = - cth x
.
Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x - sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh(x ± y) = sh
x ch
y ± ch
x sh
y
,
ch(x ± y) = ch
x ch
y ± sh
x sh
y
,
,
,
sh 2
x = 2 sh
x ch
x
,
ch 2
x = ch 2
x + sh 2
x
= 2 ch 2
x - 1 = 1 + 2 sh 2
x
,
.
Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса
,
,
,
,
,
.
Формулы суммы и разности гиперболических функций
,
,
,
,
.
Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом
,
,
,
.
Производные
,
Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Разложения в ряды
sh x
ch x
th x
cth x
Обратные функции
Ареасинус
При - ∞ < x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакосинус
При 1
≤ x < ∞
и 0
≤ y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1
≤ x < ∞
и - ∞ < y ≤ 0
:
.
Ареатангенс
При - 1
< x < 1
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакотангенс
При - ∞ < x < - 1
или 1
< x < ∞
и y ≠ 0
имеют место формулы:
,
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.
№ | Функция | Название | Производная ![]() |
1. | ![]() | гиперболический синус | ![]() |
2. | ![]() | гиперболический косинус | ![]() |
3. | ![]() | гиперболический тангенс | ![]() |
4. | ![]() | гиперболический котангенс | ![]() |
Формулы для гиперболических функций
1. .
Доказательство. Рассмотрим искомую разность
.
.
Доказательство. Рассмотрим произведение
.
Рассмотрим произведение .
Сложим два произведения и приведем подобные:
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.
Докажем формулы для производных гиперболических функций.
1. Рассмотрим гиперболический синус .
При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: . Производную функции ищем как производную сложной функции
.
Поэтому, производная .
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
2. Рассмотрим гиперболический косинус .
Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. .
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
3. Рассмотрим гиперболический тангенс .
Находим производную по правилу отыскания производной дроби.
4. Производную гиперболического котангенса
можно найти как производную сложной функции
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
Дифференциал функции
Пусть функция – дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде
где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при .
Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых
и
. Было показано, что второе слагаемое
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое
является главной линейной частью приращения функции
. В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции
, а именно: . (8.1.1)
Определение 8.3.Дифференциалом
функции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной
в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или
):
(8.4)
Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.
Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. . Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции
Рассмотрим функцию и найдем её дифференциал.
Т.к. производная . Таким образом, получили:
и дифференциал функции
можно находить по формуле
. (8.4.1)
Замечание 8.7.
Из формулу (8.4.1) следует, что.
Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной , но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.
8.7. Геометрический смысл дифференциала функции
Пусть к графику функции проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка
находится на графике функции
и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка
не вышла из области определения функции
.
Рисунок 8.1 Изображение графика функции
Точка имеет координаты . Отрезок
. Точка лежит на касательной к графику функции
и имеет абсциссу –
. Из прямоугольного
следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции
в точке . По определению дифференциала функции
и геометрического смысла производной функции
в точке , делаем вывод, что
. Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции
заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции
в точке .
Замечание 8.8.
Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что
, т.е.
.
На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты
. Отрезок .
На рисунке 8.1 выполнено неравенство , т.е.
. Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство
. Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.