«Золотое сечение» - Цель исследования: Вывести закон красоты мира с точки зрения математики. Адмиралтейство. Окно. Выполнила ученица 10 класса Сметанина Юлия. Покровский собор (храм Василия Блаженного). Золотое сечение в архитектуре. В математике пропорцией называется равенство двух отношений: a: b = c: d. Египетские пирамиды.

«Построение сечений» - Сечения выполняют в том же масштабе, что и изображение, к которому оно относится. Особенности выполнения сечений. Нанесение размеров. Обозначение сечений. Контур вынесенных сечений выполняют сплошной линией. Правила выполнения сечений. Сечения. Сечения на чертежах разделяют на вынесенные и наложенные.

«Параллелепипед 10 класс» - Угол равен 60?. 3.Четыре, если параллелепипед – куб. Угол равен 60?. 3.Равные квадраты, углы 90 ?. Форму ромбоэдра имеют кристаллы исландского шпата. Вариант 2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагонали параллелепипеда. Докажите параллельность прямых B1C и A1D. 2. Диагонали параллелепипеда равны. Параллелепипед.

«Объем параллелепипеда» - Так же поступаем и мы сейчас. В Древнем Вавилоне единицами объемов служили кубы. Теперь определим что же такое единицы объемов? Значит, по правилу вычисления объема, получаем: 3х3х3=27 (см3). Задание №2. Найдите объем куба, ребро которого равно 3 см. Единица объема равная 1 дм3 называется литром. Задание №1.

«Урок Прямоугольный параллелепипед» - Цель урока: Длина. Рефлексия. Найти площадь основания прямоугольного параллелепипеда. Построить прямоугольник заданной длины (а) и высоты (h). Развертка. Грани. Ребра. Физкультминутка. Алгоритм построения прямоугольного параллелепипеда. Длина в три раза меньше высоты, а ширина в 6 раз меньше высоты.

«Объем прямоугольного параллелепипеда» - Т е с т. (Геометрическая фигура). 6. У параллелепипеда все грани являются прямоугольниками. 3. У куба все грани являются квадратами. Ответьте на следующие вопросы: Квадраты. Назовите ребра, имеющие вершину E. Увеличится. Объемная. Задача 2: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3см, 6см и 6см.

Инструкция

Видео по теме

Источники:

• нахождение параллелепипеда

Форму имеют многие реальные объекты. Примерами являются комната и бассейн. Детали, имеющие такую форму - не редкость и в промышленности. По этой причине нередко возникает задача нахождения объема данной фигуры.

Инструкция

Параллелепипед представляет собой призму, основанием которой является параллелограмм. У параллелепипеда имеются грани - все плоскости, формирующие данную фигуру. Всего у него шесть граней, причем, все они являются параллелограммами. Его противоположные грани между собой равны и параллельны. Кроме того, он имеет диагонали, которые пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

Параллелепипед двух видов. У первого все грани являются параллелограммами, а у второго - прямоугольниками. Последний из них называется прямоугольным параллелепипедом. У него все грани прямоугольные, а боковые грани перпендикулярны к основанию. Если прямоугольный имеет грани, которых - квадраты, то он называется кубом. В этом случае, его грани и . Ребром называется сторона любого многогранника, к числу которых и параллелепипед.

Для того, чтобы , необходимо знать площадь его основания и высоту. Объем находится исходя из того, какой именно параллелепипед фигурирует в задачи. У обыкновенного параллелепипеда в основании находится параллелограмм, а у прямоугольного - прямоугольник или квадрат, у которого всегда углы прямые. Если в основании параллелепипеда параллелограмм, то его объем находится следующим образом:
V=S*H, где S - площадь основания, H -высота параллелепипеда
Высотой параллелепипеда обычно выступает его боковое ребро. В основании параллелепипеда может лежать и параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Из курса планиметрии известно, что площадь параллелограмма равна:
S=a*h, где h - высота параллелограмма, a - длина основания, т.е. :
V=a*hp*H

Если имеет место второй случай, когда основание параллелепипеда - прямоугольник, то объем вычисляется по той же формуле, но площадь основания находится несколько иным образом:
V=S*H,
S=a*b, где a и b - соответственно, стороны прямоугольника параллелепипеда.
V=a*b*H

Для нахождения объема куба следует руководствоваться логическими способами. Поскольку все грани и ребра куба равны, а в основании куба - квадрат, руководствуясь формулами, указанными выше, можно вывести следующую формулу:
V=a^3

Во многих учебниках встречаются задания, связанные с построением сечений различных геометрических фигур, в том числе параллелепипедов. Для того чтобы справиться с такой задачей, следует вооружиться некоторыми знаниями.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка;
• - линейка.

Инструкция

На листе бумаге начертите параллелепипед. Если в вашей задаче сказано, что параллелепипед должен быть прямоугольным, то сделайте его углы прямыми. Помните, что противоположные ребра должны быть параллельны друг другу. Назовите его вершины, например, S1, T1, T, R, P, R1, P1 (как показано на рисунке).

На грани SS1TT1 поставьте 2 : А и С, пусть точка А на S1T1, а точка С S1S. Если в вашей задаче не сказано, где именно должны стоять эти точки, и не указано от вершин, поставьте их произвольно. Проведите прямую линию А и С. Продолжите эту линию до пересечения с отрезком ST. Обозначьте пересечения, пусть это будет точка М.

Соедините точки К и С. Они должны лежать на одной грани PP1SS1. После этого через точку B проведите прямую линию, параллельную отрезку КС, продолжите линию до пересечения с ребром R1T1. Точку пересечения обозначьте как точку Е.

Обратите внимание

Помните, что при построении сечения параллелепипеда можно соединять между собой только те точки, которые лежат в одной плоскости, если имеющихся у вас точек недостаточно для построения сечения, достраивайте их, путем продолжения отрезков до пересечения с гранью, на которой нужна точка.

Полезный совет

Всего в параллелепипеде может быть построено 4 сечения: 2 диагональных и 2 поперечных. Для большей наглядности, выделите получившийся многоугольник-сечение, для этого можете просто обвести или заштриховать его другим цветом.

Источники:

• Построение сечений многогранников

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

Инструкция

У параллелепипеда можно четыре пересекающиеся диагонали. Если известны данные трех ребер а, b и с, найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, выполняя дополнительные построения.

Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда . Построение сделайте таким образом, чтобы известное ребро (а), неизвестная диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали треугольник а, n, m.

Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой другого прямоугольного b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме катетов (n² = с² + b²), найдите квадрат гипотенузы, затем извлеките корень квадратный из полученного значения – это и длина диагонали грани n.

Найдите диагональ самого параллелепипеда m. Для того, чтобы найти ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m² = n² + a². Вычислите корень квадратный. Найденный результат будет первой диагональю вашего параллелепипеда . Диагональ m.

Точно так же проведите последовательно все остальные диагонали параллелепипеда , для каждой из которых выполняйте дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Используя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей данного параллелепипеда .

Есть еще один способ, с помощью которого можно найти длину диагонали. Согласно одному из параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его сторон. Из этого следует, что длину можно найти сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет

Свойства параллелепипеда:

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали;

Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Источники:

• Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда
• свойство диагонали параллелепипеда

Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными характеристиками: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда : полной и боковой.

Инструкция

Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в , различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.

По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, можно выделить прямоугольный параллелепипед и наиболее распространенную его разновидность – куб. Эти формы наиболее часто встречаются в и носят стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам , электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют большое значение для обитателей и риелторов.

Обычно обеих поверхностей параллелепипеда , боковой и полной. Первая числовая представляет собой совокупность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят название основных наряду с объемом:Sб = Р h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2 S, где So – площадь основания.

Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Теперь уже не нужно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр найти гораздо легче наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Итак, для прямоугольного параллелепипеда :Sб = 2 с (a + b), где 2 (а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2 а b = 2 а с + 2 b с + 2 a b = 2 (а с + b с + а b).

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, понятия куба и его геометрических свойств, а также с использованием векторной алгебры. Могут понадобиться способы рения систем линейных уравнений.

Инструкция

Выберите условия задачи так, чтобы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость α следует задать общим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба хватит координат любых трех его вершин. Возьмите, например, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.

3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС .

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3. Задан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью BDC 1 .

3.4. На ребре АВ куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C 1 , P , D , и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а .

3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость  так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью  , если АВ = а , AD = b . Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.

3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.

12.2. Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n -угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 12.9). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т. е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

(12.1)

где S бок P l – длина бокового ребра; S полн S осн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 12.10). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы :

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где S бок – площадь боковой поверхности; P – периметр перпендикулярного сечения; l – длина бокового ребра; S полн – площадь полной поверхности; S осн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q – площадь перпендикулярного сечения.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

(12.2)

где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(12.3)

где p – периметр основания; H – высота; d – диагональ; a , b , c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где d – диагональ куба; a – длина ребра.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения парал­лелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (12.3), т. е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (12.3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис.12.11).

Для того чтобы найти объем наклонной призмы, необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим А 1 А D :

так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (12.1):

Получаем ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.12)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 D 1 D , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку
то

Так как
то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Получаем ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.13).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, необходимо периметр основания умножить на высоту:
(формула (12.2)). Периметр основания р = АВ + ВС + + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Таким образом
Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 С 1 С – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 D 1 D получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е.
получаем:

Из первых двух равенств выразим
и подставим в третье. Получим:

и далее