Задача 1

Турист проехал на велосипеде за один день 40 км. При этом с 9.00 до 11.20 он ехал со скоростью, которая равномерно возрастала со временем от 10 км/ч до 14 км/ч. Затем турист загорал на пляже. На оставшийся путь он потратил время с 18.30 до 20.00. Определите среднюю скорость туриста на вечернем участке поездки.

Возможное решение

С 9.00 до 11.20 турист ехал со средней скоростью (10 + 14)/2 = 12 км/ч (так как скорость возрастала равномерно со временем). Значит, за это время турист проехал расстояние

За время с 18.30 до 20.00 велосипедист проехал 40 – 28 = 12 км. Следовательно, средняя скорость туриста на вечернем участке поездки равна:

Критерии оценивания

• Средняя скорость туриста на утреннем участке поездки (12 км/ч): 4 балла
• Расстояние, которое проехал турист с 9.00 до 11.20 (28 км): 2 балла
• Расстояние, которое проехал турист с 18.30 до 20.00 (12 км): 2 балла
• Средняя скорость туриста на вечернем участке поездки (8 км/ч): 2 балла

Максимум за задачу – 10 баллов .

Задача 2

Система, состоящая из двух однородных стержней разной плотности, находится в равновесии. Масса верхнего стержня m 1 = 1,4 кг. Трение пренебрежимо мало.

Определите, при какой массе m 2 нижнего стержня возможно такое равновесие.

Возможное решение

Так как нижний стержень подвешен за концы, находится в равновесии и его центр тяжести располагается посередине, то силы реакции нитей, действующие на него, одинаковы и равны по модулю m 2 g/2 . Запишем уравнение моментов для верхнего стержня относительно точки крепления левой (верхней) нити:

Критерии оценивания

Силы реакции нитей, действующие на нижний стержень, равны: 3 балла

Значения модулей этих сил реакций (m 2 g/2 ): 2 балла

Уравнение моментов: 4 балла

m 2 = 1,2 кг : 1 балл

Максимум за задачу – 10 баллов .

Задача 3

В цилиндрическом сосуде с водой находится частично погружённое в воду тело, привязанное натянутой нитью ко дну сосуда. При этом тело погружено в воду на две трети своего объёма. Если перерезать нить, то тело всплывёт и будет плавать погружённым в воду наполовину. На сколько при этом изменится уровень воды в сосуде? Масса тела m = 30 г, плотность воды ρ = 1,0 г/см 3 , площадь дна сосуда S = 10 см 2 .

Возможное решение 1

Сила давления стакана на стол (после перерезания нити) не изменится, следовательно,

T = ρ·g· ∆h· S, где ܶT – сила реакции со стороны нити, ∆h – изменение уровня воды. Запишем уравнение равновесия тела в первом случае:

Mg = ρg·(1/2)·V

Из последних двух уравнений находим, что ܶT = 1/3 · mg

Окончательно получаем:

Критерии оценивания

• Сила давления стакана на стол не изменится: 2 балла
• Уравнение равновесия тела в первом случае: 2 балла
• Уравнение равновесия тела во втором случае: 2 балла
• T = 1/3 · mg: 1 балл
• ∆h = T/(ρ·g · S): 2 балла
• ∆h = 0,01м: 1 балл

Возможное решение 2

Уравнение равновесия тела во втором случае:

mg = ρg · ½ · V ⟹ V = 2m/ρ, где ܸV – объём тела.

Изменение объёма погружённой части тела равно:

Окончательно получаем:

Критерии оценивания

• mg = ρg · ½ · V: 4 балла
• ∆V = 1/6 · V : 2 балла
• ∆h = ∆V/S: 3 балла
• ∆h = 0,01 м: 1 балл

Максимум за задачу – 10 баллов .

Задача 4

Определите давление воздуха над поверхностью жидкости в точке А внутри закрытого участка изогнутой трубки, если ρ = 800 кг/м 3 , h = 20 см, p 0 = 101 кПа, g = 10 м/с 2 . Жидкости плотностями ρ и 2ρ друг с другом не смешиваются.

Гидростатическое давление.

Основным понятием гидростатики является гидростатическое давление – давление в данной точке покоящейся жидкости. Из курса физики известно, что давление есть величина, равная отношению силы давления (направленной перпендикулярно к площадке) к площади поверхности, на которую она действует.

Р = F / S (2-1)

В формуле (2-1) определяется среднее давление, так как сила может действовать на поверхность площадки неравномерно. Внутри жидкости каждая частица подвергается всестороннему сжатию со стороны соседних частиц. Если мысленно окружить рассматриваемую частицу жидкости очень маленькой сферой, площадь которой имеет значение ∆S – (знак ∆ указывает на её малое значение), то среднее давление на сферу можно определить как

Р = ∆F / ∆S (2-2)

Если площадь поверхности сферы (очень маленькую) продолжать уменьшать до нуля, то в пределе она превратиться в точку. При этом среднее давление станет истинным давлением в рассматриваемой точке внутри жидкости (гидростатическим ). Математически это можно записать следующим образом:

Р= lim (∆ F / ∆S) = δF/ δS (2-3)

∆S →0

lim означает предел; в пределе малая величина ∆ превращается в бесконечно малую δ (дифференциал).

Гидростатическое давление имеет два важных свойства:

-оно всегда направлено перпендикулярно к площадке;

-его действие не зависит от ориентации площадки в пространстве, т.е. со всех сторон оно одинаково.

2.2. Основное уравнение гидростатики.

В общем случае равновесия некоторого объёма жидкости под действием приложенных к нему сил знаменитым учёным Российской Академии наук Леонардом Эйлером было получено дифференциальное уравнение, решение которого позволяет получить расчётные формулы для нахождения гидростатического давления в разных конкретных случаях. Так, если на частицы жидкости действует только сила тяжести, то дифференциальное уравнение равновесия частиц внутри жидкости имеет следующий вид:

δ Р = - ρ gdz (2-4)

Здесь осьZ – вертикальная ось; ускорение свободного падения имеет направление, противоположное оси Z (на это указывает знак минус "–" в уравнении). Плотность жидкости ρ, как и ускорениеg , постоянные величины, не зависящие от давления и температуры

Решение (интегрирование) уравнения имеет следующий вид:

Р = - ρ gz + с (2-5)

Постоянную интегрирования находим следующим образом. Пусть рассматриваемая точка жидкости m находится на расстоянии Н от поверхности жидкости. При z = z 0 P = P 0

Следовательно, P 0 = - ρ gz + с Отсюда: с = P 0 + ρ gz 0 Подставляем значение с в формулу (2-5) и окончательно получаем формулу для расчёта гидростатического давления в точке, находящейся под слоем жидкости высотой Н :

Р = P 0 + ρ g Н (2-6)

Давление Р называют абсолютнымдавлением в точке, P 0 - внешнее поверхностное давление (в открытом сосуде оно равно атмосферному давлению),

Р - P 0 =P в = ρ g Н – давление столба жидкости высотой Н (его также называют весовым или избыточным давлением). В технике приборами, как правило, измеряется избыточное давление.

В дальнейшем атмосферное давление условимся обозначатьР атм, абсолютное – Р А, а избыточное – Р изб.

Выражение (2-6) называется основным уравнением гидростатики. Согласно этому уравнению, давление на поверхности жидкости P 0 передаётся всем точкам объёма жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля – гиперссылка.

Из формулы (2-1) следует, что в системе СИ единицей измерения давления служит паскаль: Па = н/ м 2 . Это небольшая величина и на практике часто используют более крупные единицы КПа=10 3 Па и МПа=10 6 Па.

2.3. Виды давления: атмосферное, избыточное, весовое, абсолютное, вакуумметрическое .

Атмосферное давление было открыто ещё в 16 в. известным итальянским учёным Торичелли. В земной атмосфере на любое тело, находящееся на поверхности земли давит воздушный столб. Его среднее давление Р = ρg Н определяется средней плотностью воздуха ρ и высотой воздушного столбаН. Согласно измерениям Торичелли это давление соответствует давлению столба ртути высотой 733 мм. Более поздние исследования показали, что это давление (его назвали нормальным атмосферным давлением) составляет 760 мм.рт.ст. или в системе СИ -0,1013 МПа=101,3 КПа. Округлённо в расчётах его берут равным 100 КПа=0,1 МПа.

В закрытом сосуде над поверхности жидкости с помощью, например, компрессора, можно создать избыточное давление Р изб. В этом случае абсолютное давление в точке под слоем жидкости на глубине Н будет равно:

Р А = P 0 + ρ g Н = Р атм + (Р изб + ρ g Н) (2-7)

В подобных случаях давление столба жидкости принято называть весовым давлением. Из определения избыточного давления следует, что в закрытом сосуде на глубине Н оно складывается из Р изб воздуха и весового P в = ρ g Н (давления столба жидкости высотой Н).

Рисунок 2.1

Избыточное давление Р изб в воздухе над поверхностью жидкости можно определить с помощью простого прибора, называемого пьезометром . Это стеклянная трубка малого диаметра, подсоединённая к сосуду с жидкостью (рис. 1-2). Из формулы (1-12) следует, что изменение величины P 0 одинаково для всех точек внутри жидкости. Если давление над поверхностью жидкости равно атмосферному (P 0 =Р атм), то, согласно формуле (2-4) жидкость в трубке установится на той же высоте, что и в сосуде (уровень 0-0). При увеличении давления

P 0 =P атм + Р изб это избыточное давление Р изб передаётся всем точкам жидкости, в том числе и тем, которые лежат на границе жидкость-воздух в трубке

(уровень 0-0; абсолютные давления в точках 1 и 2 одинаковы).

Р 0 =Р атм + Р Р атм

Рис. 2.2. Схема измерения избыточного давления

Так как давление со стороны жидкости на них превысит давление воздуха P атм, жидкость в трубке начнёт подниматься до нового положения равновесия (на высоту h ). Следовательно, Р изб = ρ gh.

За нулевой уровень можно принять любой другой уровень, например, проходящий на глубине Н (уровень 0 1 -0 1). Абсолютные давления в точках 3 и 4 одинаковы.

Но P 3 =P 0 + ρ g Н =P атм + Р + ρ g Н ;

В данном случае давление Р является избыточным давлением Р =Р изб.P 4 =P атм + ρ gh + ρ g Н . Сравнивая правые части, снова получаем Р=Р изб = ρ gh .

Пьезометры рассчитаны на измерение малых давлений (избыточное давление 0,1 ат поднимает воду в пьезометре на высоту 1 м).

Рассмотрим случай, когда абсолютное давление над поверхностью жидкости P А становится меньше атмосферного (при откачивании воздуха из пространства над жидкостью), Давление в точке 1 при условии Р А <Р атм можно измерить с помощью, так называемого обратного пьезометра или вакуумметра (см. рис. 1-3). Очевидно, что горизонт жидкости в изогнутой трубке опустится ниже уровня точки 1 на высоту h вак. Эта высота по отношению к уровню, проходящему через точку 1, будет отрицательной, если высоту Н считать положительной.

Давление в точке 1 сверху будет равно:

Р А = Р 0 + ρ g Н .

Давление в точке 1 со стороны трубки равно:

Р атм - ρ gh вак .

Из равенства этих формул следует, что давление Р А = Р атм - ρ gh вак . Отсюда

h вак =(Р атм – Р А)/ ρ g. (2-8) Эту величину называют вакуумметрической высотой ,

Рисунок 2.3. Схема измерения вакуумметрической высоты с помощью вакуумметра.

Она характеризует разность двух давлений Р атм – Р А в точке 1. Именно эту разность и называютвакуумом.

Избыточное давление в жидкости можно создать с помощью насос, оказывая на неё силовое действие (рабочим органом насоса). При движении рабочего органа (поршень, ротор и т.п.) на входе в насос образуется вакуум (разряжение), а нв выходе насоса-избыточное давление. Измеряются они с помощью приборов (манометров, мановакуумметров).

2.4. Давление жидкости на плоскую и цилиндрическую стенки.

Рис. 2.4. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность. Эпюра сил давления. Справа- развёрнутая поверхность стенки.

На плоскую стенку в сосуде с жидкостью действуют силы давления, направленные перпендикулярно к ней.

С ростом глубины погружения Н растёт и величина избыточного давления Р = ρ g Н, а, следовательно, и сила давления на стенку. Можно показать, что средняя сила давления на вертикальную стенку равна произве-дению давления в центре стенки на площадь стенки:

F = P c S, где P c = ρ gН с = ρ g Н/2 (2-9)

Давление на горизонтальную поверхность дна сосуда во всех точках одинаково, поэтому сила давления на дно сосуда равна

Рис.2.5.Эпюра сил давления для наклонной стенки.

F = P∙ S, где P= ρ g Н (2-10)

В случае криволинейных стенок чаще всего необходимо определить силу, действующую на цилиндрическую поверхность, имеющую вертикальную ось симметрии. Возможны два варианта. Первый вариант -жидкость воздействует на стенку изнутри.

Во втором варианте жидкость действует на стенку снаружи. Рассмотрим первый вариант.

Выделим объём жидкости, ограниченный рассматриваемым участком цилиндрической поверхности AB , участком свободной поверхности CD, расположенным над участком AB, и двумя вертикальными поверхностями BC и CD , проходящими через точки A и B . Эти поверхности ограничивают объём ABCD , который находится в равновесии. Рассмотрим условия равновесия этого объёма в вертикальном и горизонтальном направлениях. Заметим, что, если жидкость действует на поверхность AB, c какой то силой F , то с такой же силой, но в обратном направлении, и поверхность действует на рассматриваемый объём жидкости. Эту силу, перпендикулярную поверхности AB , можно представить в виде горизонтальной F г и вертикальной F в составляющих.

Условие равновесия объёма ABCD в вертикальном направлении выглядит, так: F в = P 0 S г + G (2-10)

где P 0 – внешнее давление, S г – площадь горизонтальной проекции поверхности AB, G – вес выделенного объёма жидкости.

P 0

h c

G

C

E

D

A

F x

D

F R

F R

δ

P

Зная F г и F в определим полную силуF, действующую на цилиндрическую поверхность

Рассмотрим трубу длиной l с внутренним диаметром D и толщиной стенок δ , находящуюся под действием гидростатического давления P . Это давление порождает разрывающие силы F x . Из-за симметричности трубы такие разрывающие силы будут действовать одинаково во всех направлениях. Для вертикальной плоскости эта сила будет равна

F х = πDl (2-12) ,

где произведение Dl – есть вертикальная проекция площади стенки трубы.

Рис.2.7. К определению разрывающей силы в трубе.

Разрывающей силе будут противодействовать силы реакции F R , возникающие в стенках трубы. Площадь стенок трубы S c в любом осевом сечении составит:

S c =2l δ (2-13)

Под действием разрывающих сил в стенках трубы будет возникать суммарная сила реакция F R , равная по величине разрывающей силе, но направленная в противоположную сторону:

Отсюда находится напряжение σ в стенках трубы, вызываемое давлением внутри трубы. Оно равняется

σ = F R /S c = (PDl)/ (2l δ) =PD/2 δ (2-14)

При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не смешивать понятия абсолютного давления Р А, избыточного давления Р, вакуума Р ВАК, знать взаимосвязь между давлением (Па) и соответствующей ей пьезометрической высотой (h), уяснить понятие напора, знать закон Паскаля и свойства гидростатического давления.

При определении давления в точке объема или на точку площадки используется основное уравнение гидростатики (1.1.13).

При решении задач с системой сосудов необходимо составить уравнение абсолютных давлений, обеспечивающих неподвижность системы, т.е. равенства нулю алгебраической суммы всех действующих давлений. Уравнение составляется для какой - либо поверхности равного давления, выбранной в качестве поверхности отсчета.

Все единицы измерения величин следует принимать в системе СИ: масса – кг; сила – Н; давление – Па; линейные размеры, площади, объемы – м, м 2 , м 3 .

ПРИМЕРЫ

Пример 1.1.1 . Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t 1 = 7 о С до t 2 = 97 о С, если коэффициент температурного расширения b t =0,0004 о С -1 .

Решение . При нагревании удельный объем воды увеличивается от V 1 до V 2 .

По формуле (1.1.1) плотность воды при начальной и конечной температурах составляет:

r 1 = М / V 1 , r 2 = М / V 2 .

Так как масса воды постоянна, то изменение плотности выражается:

Из формулы (1.4) увеличение объема воды , тогда

Примечание: изменение плотности жидкости при сжатии определяется аналогично с использованием коэффициента объемного сжатия по формуле (1.1.2). При этом V 2 = V 1 - DV.

Пример 1.1.2 . Определить объем расширительного бачка системы водяного охлаждения вместимостью 10 литров при нагревании от температуры t 1 = 15 о С до t 2 = 95 о С при давлении, близком к атмосферному.

Решение . Без учета коэффициента запаса объем бачка равен дополнительному объему воды при температурном расширении. Из формулы (1.1.4) увеличение объема воды

.

Плотности воды принимаем по таблице 1: r 1 = 998,9 кг/м 3 , r 2 = 961,8 кг/ м 3 . Коэффициент температурного расширения определяем по формуле (1.1.5):

Первоначальный объем V =10л = 10 . 10 -3 м 3 = 0,01 м 3 .

Дополнительный объем воды:

DV = 10 . 10 -3 (95 -15) 0,46 . 10 -3 = 368 . 10 -6 м 3 = 0,368 л

Пример 1.1.3 . В охлаждаемом сосуде газ, имеющий первоначальное давление Р 1 = 10 5 Па. и занимающий объем V 1 = 0,001 м 3 , сжимается до давления Р 2 = 0,5 . 10 6 Па. Определить объем газа после сжатия.

Решение . В случае охлаждаемого сосуда процесс является изотермическим (t = const) при котором уравнение состояния газа (1.1.8) принимает вид:

Р V = const или Р 1 V 1 = Р 2 V 2

Откуда определяем объем газа после сжатия

V 2 = Р 1 V 1 / Р 2 = 1 . 10 5 . 0.001 / 0,5 . 10 6 = 0,0002 м 3 =0,2 л.

Пример 1.1.4. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1км, заполненный водой перед гидравлическим испытанием при атмосферном давлении и температуре t = 20 о С, для повышения давления в нем на DР = 5 . 10 6 Па. Материал труб считать абсолютно жестким.

Решение. Для определения дополнительного объема воды, который необходимо подать используем соотношение (1.1.2):

=

Первоначальный объем воды в трубопроводе равен объему трубопровода:

Приняв по справочным данным модуль объемной упругости воды

Е = 2 . 10 9 Па, определяем коэффициент объемного сжатия:

b V = 1 /Е = 1 / 2 . 10 9 = 5 . 10 -10 , Па -1

Преобразовывая соотношение (1.1.2) относительно DV, получаем:

b V DР V ТР + b V DР DV = DV; b V DР V ТР = (1 + b V DР) DV

Выражая DV, получаем искомый дополнительный объем:

Пример 1.1.5 . Определить среднюю толщину отложений d ОТЛ в трубопроводе внутренним диаметром d = 0,3 м и длиной L = 2 км, если при выпуске воды в количестве DV =0,05 м 3 давление в нем падает на величину DР = 1 . 10 6 Па.

Решение. Взаимозависимость изменения объема и давления воды характеризуется модулем объемной упругости.

Принимаем: Е = 2 . 10 9 Па.

Из формул (1.1.2) и (1.1.3) находим объем воды в трубопроводе с отложениями:

Этот же объем равен вместимости трубопровода:

Откуда определяем средний внутренний диаметр трубы с отложениями

Средняя толщина отложений составляет:

Пример 1.1.6 . Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет 8,5 о Е. Вычислить динамическую вязкость нефти, если ее плотность r = 850 кг/м 3 .

Решение . По эмпирической формуле Убеллоде (1.1.9) находим кинематическую вязкость нефти:

n = (0,0731 о Е – 0,0631 / о Е) 10 -4 =

= (0,0731 . 8,5 – 0.0631/8,5) = 0,614 . 10 -4 м 2 /с

Динамическую вязкость находим из соотношения (1.1.7):

m = n r = 0,614 . 10 -4 . 850 = 0,052 Па. с.

Пример 1.1.7 . Определить высоту подъема воды в капиллярной трубке диаметром d = 0,001 м при температуре t = 80 О С.

Решение. По справочным данным находим:

плотность воды при температуре 80 О С r = 971,8 кг/м 3 ;

поверхностное натяжение воды при температуре 20 О С s О = 0,0726 Н/м;

коэффициент b = 0,00015 Н/м О С.

По формуле (1.1.11) находим поверхностное натяжение воды при температуре 80 О С:

s = s О - b Dt = 0,0726 – 0,00015 . (80 -20) = 0,0636 Н/м

По формуле (1.1.12) изменение поверхностного давления, определяющего высоту капиллярного поднятия h КАП, составляет:

Р ПОВ = 2s / r или r g h КАП = 2s / r ,

откуда находим высоту подъема воды в трубке:

h КАП = 2 s / r g r = 2 . 0,0636 / 971,8 . 9,81 . 0,0005 =

0,1272 / 4,768 = 0,027 м =2,7 см.

Пример 1.1.8 . Определить абсолютное гидростатическое давление воды на дно открытого сосуда, наполненного водой. Глубина воды в сосуде h = 200 см. Атмосферное давление соответствует 755 мм рт. ст. Температура воды 20 о С. Выразить полученное значение давления высотой ртутного столба (r РТ = 13600 кг/м 3) и водного столба.

Решение: По основному уравнению гидростатики для открытого резервуара абсолютное давление в любой точке объема определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h

По таблице 1 принимаем плотность воды при температуре 20 о С:

r = 998,23 кг/м 3 .

Переводя единицы измерения атмосферного давления и глубины воды в сосуде в систему СИ, определяем абсолютное давление на дне сосуда:

Р А = 755 . 133,322 + 998.23 . 9,81 . 2 =

100658 + 19585 = 120243 Па =120,2 КПа

Находим соответствующую высоту ртутного столба:

h А = Р/ r РТ g =120243 /13600 . 9,81 = 0, 902 м.

Находим высоту водного столба, соответствующую данному абсолютному давлению:

h А = Р А / r g = 120243 / 998,23 . 9,81 = 12, 3 м.

Это означает, что если к уровню дна сосуда присоединить закрытый пьезометр (трубку, в которой создан абсолютный вакуум), то вода в нем поднимется на высоту 12,3 м. Давление этого столба воды уравновешивает абсолютное давление, оказываемое на дно сосуда жидкостью и атмосферным давлением.

Пример 1.1 .9. В закрытом резервуаре с водой давление на свободной поверхности Р О =14,7 . 10 4 Па. На какую высоту Н поднимется вода в открытом пьезометре, присоединенном на глубине h = 5 м. Атмосферное давление соответствует h а = 10 м вод. ст.

Решение. Для решения данной задачи необходимо составить уравнение равенства абсолютных давлений со стороны резервуара и со стороны пьезометра относительно выбранной плоскости равного давления. Выберем плоскость равного давления 0-0 на уровне свободной поверхности в резервуаре.

Абсолютное давление со стороны резервуара на выбранном уровне равно поверхностному давлению:

Р А = Р О. (1)

Абсолютное давление на том же уровне со стороны жидкости в пьезометре складывается из атмосферного давления Р а и давления воды высотой h 1:

Р А = Р а + r g h 1 (2)

Так как система находится в равновесии (покое), то абсолютные давления со стороны резервуара и со стороны пьезометра уравновешиваются. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Р О = Р а + r g h 1 ,

Величина атмосферного давления в системе СИ составляет:

Р а = 9,806 . 10 000 мм = 9,806 . 10 4 Па.

Находим высоту превышения уровня воды в пьезометре над выбранной плоскостью равного давления:

h 1 = (Р О - Р а) / r g = (14,7 . 10 4 - 9,806 . 10 4) /1000 . 9,81 = 5 м.

Это превышение не зависит от точки подключения пьезометра, так как давления столбов жидкости высотой h ниже плоскости сравнения слева и справа взаимно компенсируются.

Общая высота воды в пьезометре больше высоты h 1 на глубину погружения точки присоединения пьезометра. Для данной задачи

Н = h 1 + h = 5 + 5 = 10 м.

Примечание: аналогичный результат можно получить, выбрав в качестве плоскости равного давления уровень подключения пьезометра.

Пример 1.1.10 . Построить эпюру абсолютного давления жидкости на ломаную стенку в открытом резервуаре.

Решение . Абсолютное давление в случае открытого резервуара определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h, т.е. избыточное давление в каждой точке увеличивается на величину поверхностного давления (закон Паскаля).

Избыточное давление определяется:

в т. С: Р = r g . 0 = 0

в т. В: Р = r g . Н 2

в т. А: Р = r g (Н 2 + Н 1)

Отложим значение избыточного давления в точке В по нормали к стенке СВ и соединим с точкой С. Получим треугольник эпюры избыточного давления на стенку СВ. Для построения эпюры абсолютного давления в каждой точке необходимо добавить значение поверхностного давления (в данном случае атмосферного).

Аналогично ведется построение эпюры для отрезка АВ: Отложим значения избыточного давления в точке В и в точке А в направлении нормали к линии АВ, соединим полученные точки. Абсолютное давление получаем, увеличивая длину вектора на величину, соответствующую атмосферному давлению.

Пример 1.1.11. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде с водой, если показание ртутного манометра h = 368 мм, Н = 1 м, плотность ртути r РТ =13600 кг/м 3 . Атмосферное давление соответствует 736 мм рт.ст.

Решение .

Выберем свободную поверхность ртути в качестве поверхности равного давления. Атмосферное давление на поверхности ртути уравновешивается абсолютным давлением воздуха в сосуде Р А, давлением столба воды высотой Н и столба ртути высотой h.

Составим уравнение равновесия и определим из него абсолютное давление воздуха (переводя все единицы в систему СИ):

Р а = Р А + r В g Н + r РТ g h , откуда

Р А = Р а - r В g Н - r РТ g h =

736 . 133,3 - 1000 . 9,81 . 1 - 13600 . 9,81 . 0,368 = 39202 Па

Так как абсолютное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного, то в сосуде имеет место вакуум, равный разности атмосферного и абсолютного давлений:

Р ВАК = Р а – Р А = 736 . 133,3 - 39202 = 58907 Па = 59 КПа.

Примечание: тот же результат можно получить, выбрав в качестве поверхности равного давления свободную поверхность воды в сосуде или поверхность раздела воды и ртути.

Пример 1.1.12 . Определить избыточное давление Р О воздуха в напорном баке по показаниям батарейного ртутного манометра. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в м. Какой высоты должен быть пьезометр для измерения этого давления?

Решение . Избыточное давление Р О = Р А – Р а в баке уравновешивается давлением столбов ртути и воды в манометре.

Давления взаимно уравновешивающихся высот на участках изгиба манометра из рассмотрения исключаем. Суммируя (с учетом направления действия давления) показания манометра от открытого конца до уровня свободной поверхности, составим уравнение равновесия:

Р О = r РТ g (1,8 – 0,8) - r В g (1,6 – 0,8) +r РТ g (1,6 – 0,6) - r В g (2,6 – 0,6) =

R РТ g (1,8 – 0,8 +1,6 – 0,6) - r В g (1,6 – 0,8 + 2,6 – 0,6) =

13600 . 9,81 . 2 – 1000 . 9,81 . 2.8 = 239364 Па = 0,24 МПа

Из формулы (1.16) находим высоту столба воды, соответствующую избыточному давлению Р О:

h ИЗБ = Р О / r В g = 0,24 . 10 6 / 1000 . 9,81= 24,5 м

Высота пьезометра выше на величину превышения свободной поверхности воды в баке над плоскостью с нулевой отметкой:

Н = h ИЗБ + 2,6 = 27,1 м.

Пример 1.13. Определить толщину s стальной стенки бака диаметром D = 4 м для хранения нефти (r Н = 900 кг/м 3) при высоте слоя нефти Н = 5 м. Давление на поверхности нефти Р О = 24,5 . 10 4 Па. Допустимое напряжение на растяжение материала стенки s = 140 МПа.

Решение . Расчетная толщина стенки круглого бака (без коэффициента запаса) определяется из условия сопротивления максимальному избыточному давлению. Атмосферное давление в баке не учитывается, так как оно компенсируется атмосферным давлением с внешней стороны бака.

Максимальное избыточное давление Р стенка испытывает у дна:

Р = Р А – Р а = Р О + r Н g Н - Р а =

24,5 . 10 4 + 900 . 9,81 . 5 – 10 . 10 4 = 18,91 . 10 4 Па

Расчетная толщина стенки определяется по формуле:

Пример 1.1.14. Определить перепад давлений воды в вертикальном трубном кольце, если в точке А она нагревается до температуры t 1 = 95 о С, а в точке В остывает до t 2 = 70 о С. Расстояние между центрами нагревания и охлаждения h 1 = 12 м.

Решение . Перепад давлений обусловлен разностью гидростатических давлений столба горячей воды в левой трубе и остывшей воды в правой трубе.

Давления столбов воды высотой h 2 в левой и правой трубах взаимно уравновешиваются и в расчете не учитываются, так как температура воды в них и, соответственно, плотность, одинаковы. Аналогично исключаем из расчета давления в левом и правом стояках высотой h 3 .

Тогда давление слева Р 1 = r Г g h 1 , давление справа Р 2 = r О g h 1 .

Перепад давлений составляет:

DР = Р 2 – Р 1 = r О g h 1 - r Г g h 1 = g h 1 (r О - r Г)

Принимаем по справочным данным (таблица 1) плотности воды при температуре t 1 = 95 о С и t 2 = 70 о С: r Г = 962 кг/м 3 , r О = 978 кг/м 3

Находим разность давлений

DР = g h 1 (r 2 - r 1) = 9,81 . 12 (978 –962) = 1882 Па.

Пример 1.1.15 . а) Определить избыточное давление воды в трубе, если Р МАН = 0,025 МПа, Н 1 = 0,5 м, Н 2 = 3 м.

б)Определить показания манометра при том же давлении в трубе, если вся трубка заполнена водой, Н 3 =5 м.

а)Решение . Избыточное давление в трубе уравновешено поверхностным давлением Р О = Р МАН в точке подключения манометра и системой столбов воды и воздуха в трубке. Давлением столбов воздуха можно пренебречь ввиду незначительности.

Составим уравнение равновесия с учетом направления давления столбов воды в трубке:

Р = Р МАН + r ВОД g Н 2 - r ВОД g Н 1 =

0,025 + 1000 . 9,81 . 10 -6 (3 – 0,5) = 0,025 + 0,025 = 0,05 МПа

б) Решение . Уравнение равновесия для данного случая

Р = Р МАН + r ВОД g Н 3 ,

откуда Р МАН = Р - r ВОД g Н 3 = 0,05 - 1000 . 9,81 . 10 -6 . 5 = 0,05 – 0,05 = 0 МПа.

ЗАДАНИЯ

К выполнению расчетно – графической работы

По дисциплине «Гидравлика»

Тема: гидростатика

Северодвинск

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Гидравлика, или техническая механика жидкостей- это наука о законах равновесия и движения жидкостей, о способах применения этих законов к решению практических задач;

Жидкостью называют вещество, находящееся в таком агрегатном состоянии, которое сочетает в себе черты твердого состояния (весьма малая сжимаемость) и газообразного (текучесть). Законы равновесия и движения капельных жид­костей в известных пределах можно применять и к газам.

На жидкость могут действовать силы, распределенные по ее массе (объему), называемые массовыми , и по поверхности, называемые поверхностными . К первым относятся силы тя­жести и инерции, ко вторым - силы давления и трения.

Давлением называется отношение силы, нормальной к по­верхности, к площади. При равномерном распределении

Касательным напряжением называется отношение силы трения, касательной к поверхности, к площади:

Если давление р отсчитывают от абсолютного нуля, то его называют абсолютным (р абс), а если от условного нуля (т. е. сравнивают с атмосферным давлением р а, то избыточным (р изб):

Если Р абс < Р а, то имеется вакуум, величина которого:

Р вак = Р а - Р абс

Основной физической характеристикой жидкости является плотность ρ (кг/м 3), определяемая для однородной жидкости отношением ее массы m к объему V:

Плотность пресной воды при температуре Т = 4°С ρ = = 1000 кг/м 3 . В гидравлике часто пользуются также понятием удельного веса γ (Н/м 3), т.е весом G единицы объема жидкости:

Плотность и удельный вес связаны между собой соотношением:

где g - ускорение свободного падения.

Для пресной воды γ вод = 9810 Н/м 3

Важнейшие физические параметры жидкостей, которые используются в гидравлических расчетах,- сжимаемость, температурное расширение, вязкость и испаряемость.

Сжимаемость жидкостей характеризуется модулем объемной упругости К, входящим в обобщенный закон Гука:

где ΔV - приращение (в данном случае уменьшение) объема жидкости V, обусловленное увеличением давления на Δр. Например, для воды К вод ≈2 . 10 3 МПа.

Температурное расширение определяется соответствующим коэффициентом, равным относительному изменению объема, при изменении температуры на 1 °С:

Вязкость - это способность жидкости сопротивляться сдвигу. Различают динамическую (μ) и кинематическую (ν) вязкости. Первая входит в закон жидкостного трения Ньютона, выражающий касательное напряжение τ через поперечный градиент скорости dv/dt:

Кинематическая вязкость связана с динамической соотношением

Единицей кинематической вязкости является м 2 /с.

Испаряемость жидкостей характеризуется давлением насыщенных паров в функции температуры.

Давлением насыщенных паров можно считать то абсолютное давление, при котором жидкость закипает при данной температуре. Следовательно, минимальное абсолютное давление, при котором вещество находится в жидком состоянии, равно давлению насыщенных паров р н.п .

Основные параметры некоторых жидкостей, их единицы в СИ и внесистемные единицы, временно допускаемые к применению, приведены в Приложениях 1...3.

ГИДРОСТАТИКА

Давление в неподвижной жидкости называется гидростатическим и обладает следующими двумя свойствами:

На внешней поверхности жидкости оно всегда направлено во нормали внутрь объема жидкости;

В любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т. е. не зависит от угла наклона площадки, по которой действует.

Уравнение, выражающее гидростатическое давление р в любой точке неподвижной жидкости в том случае, когда из числа массовых сил на нее действует лишь одна сила тяжести, называется основным уравнением гидростатики:

где p 0 - давление на какой-либо поверхности уровня жидкости, например на свободной поверхности; h - глубина расположения рассматриваемой точки, отсчитанная от поверхности с давлением р 0 .

В тех случаях, когда рассматриваемая точка расположена выше поверхности с давлением р 0 , второй член в формуле (1.1) отрицателен.

Другая форма записи того же уравнения (1.1) имеет вид

(1.2)

где z и z 0 - вертикальные координаты произвольной точки и свободной поверхности, отсчитываемые от горизонтальной плоскости вверх; p/(pg) - пьезометрическая высота.

Гидростатическое давление может быть условно выражено высотой столба жидкости p/ρg.

В гидротехнической практике внешнее давление часто равноатмосферному: P 0 =Р ат

Величина давления P ат = 1 кГ/см 2 = 9,81 . 10 4 н/м г называетсятехнической атмосферой .

Давление, равное одной технической атмосфере, эквивалентно давлению столба воды высотой 10 метров, т. е.

Гидростатическое давление, определяемое по уравнению (1.1), именуется полным или абсолютным давлением . В дальнейшем будем обозначать это давление р абс или p’. Обычно в гидротехнических расчетах интересуются не полным давлением, а разницей между полным давлением в атмосферным, т. е. так называемым манометрическим давлением

В дальнейшем изложении сохраним обозначение р за манометрическим давлением.

Рисунок 1.1

Сумма членов дает величину полного гидростатического напора

Сумма -- выражает гидростатический напор Н без учета атмосферного давления p ат /ρg, т. е.

На рис. 1.1 плоскость полного гидростатического напора и плоскость гидростатического напора показаны для случая, когда свободная поверхность находится под атмосферным давлением р 0 =p ат.

Графическое изображение величины и направления гидростатического давления, действующего на любую точку поверхности, носит название эпюры гидростатического давления. Для построения эпюры нужно отложить величину гидростатического давления для рассматриваемой точки нормально к поверхности, яа которую оно действует. Так, например, эпюра манометрического давления на плоский наклонный щит АВ (рис. 1.2,а) будет представлять треугольник ABC, а эпюра полного гидростатического давления - трапецию A"B"C"D" (рис. 1.2,б).

Рисунок 1.2

Каждый отрезок эпюры на рис. 1.2,а (например О К) будет изображать манометрическое давление в точке К, т. е. p K = ρgh K , а на рис. 1.2,б - полное гидростатическое давление

Сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления ρ с в центре тяжести площади стенки на площадь стенки S, т. е.

Центр давления (точка приложения силы F) расположен ниже центра тяжести площади или совпадает с последним в случае горизонтальной стенки.

Расстояние между центром тяжести площади и центром давления в направлении нормали к линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости равно

где J 0 - момент инерции площади стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести площади и параллельной линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью: у с - координата центра тяжести площади.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку, симметричную относительно вертикальной плоскости, складывается из горизонтальной F Г и вертикальной F B составляющих:

Горизонтальная составляющая F Г равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию данной стенки:

Вертикальная составляющая F B равна весу жидкости в объеме V, заключенном между данной стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной проекцирующей поверхностью, проведенной по контуру стенки.

Если избыточное давление р 0 на свободной поверхности жидкости отлично от нуля, то при расчете следует эту поверхность мысленно поднять (или опустить) на высоту (пьезометрическую высоту) p 0 /(ρg)

Плавание тел и их остойчивость. Условие плавания тела выражается равенством

G=P (1.6)

где G - вес тела;

Р - результирующая сила давления жидкости на погруженное в нее тело - архимедова сила .

Сила Р может быть найдена по формуле

P=ρgW (1.7)

где ρg - удельный вес жидкости;

W - объем жидкости, вытесненной телом, или водоизмещение.

Сила Р направлена вверх и проходит через центр тяжести водоизмещения.

Осадкой тела у называется глубина погружения наинизшей точки смоченной поверхности (рис. 1.3,а). Под осью плавания понимают линию, проходящую через центр тяжести С и центр водоизмещения D, соответствующий/ нормальному положению тела в состоянии равновесия (рис. 1.3, а)-

Ватерлинией называется линия пересечения поверхности плавающего тела со свободной поверхностью жидкости (рис. 1.3,б). Плоскостью плавания ABEF называется плоскость, полученная от пересечения тела свободной поверхностью жидкости, или, иначе плоскость, ограниченная ватерлинией.

Рисунок 1.3

Кроме выполнения условий плавания (1.5) тело (судно, баржа и т.д.) должно удовлетворять условиям остойчивости. Плавающее тело будет остойчивым в том случае, если при крене сила веса G и архимедова сила Р создают момент, стремящийся уничтожить крен и вернуть тело в исходное положение.

Рисунок 1.4

При надводном плавании тела (рис. 1.4) центр водоизмещения при малых углах крена (α<15°) перемещается по некоторой дуге, проведенной из точки пересечения линии действия силы Р с осью плавания. Эта точка называется метацентром (на рис. 1.4 точка М). Будем в дальнейшем рассматривать условия остойчивости лишь при надводном плавании тела при малых углах крена.

Если центр тяжести тела С лежит ниже центра водоизмещения, то плавание будет безусловно остойчивым (рис. 1.4,а).

Если центр тяжести тела С лежит выше центра водоизмещения D, то плавание будет остойчивым только при выполнении следующего условия (рис. 1-9,б):

где ρ - метацентрический радиус, т. е. расстояние между центром водоизмещения и метацентром

δ - расстояние между центром тяжести тела С и центром во­доизмещения D. Метацентрический радиус ρ находится по формуле:

где J 0 - момент инерции плоскости плавания или площади, ограниченной ватерлинией, относительно продольной оси (рис. 1-8,6);

W - водоизмещение.

Если центр тяжести тела С расположен выше центра водоизмещения и метацентра, то тело неостойчиво; возникающая пара сил G и Р стремится увеличить крен (рис. 1.4,в ).

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

При решении задач по гидростатике прежде всего нужно хорошо усвоить и не смешивать такие понятия, как давление р и сила F.

При решении задач на определение давления в той или иной точке неподвижной жидкости следует пользоваться основным уравнением гидростатики (1.1). Применяя это уравнение, нужно иметь в виду, что второй член в правой части этого уравнения может быть как положительным, так и отрицательным. Очевидно, что при увеличении глубины давление возрастает, а при подъеме - уменьшается.

Необходимо твердо различать давления абсолютное, избыточное и вакуум и обязательно знать связь между давлением, удельным весом и высотой, соответствующей этому давлению (пьезометрической высотой).

При решении задач, в которых даны поршни или системы поршней, следует писать уравнение равновесия, т. е. равенство нулю суммы всех сил, действующих на поршень (систему поршней).

Решение задач следует проводить в международной системе единиц измерения СИ.

Решение задачи должно сопровождаться необходимыми пояснениями, рисунками (принеобходимости), перечислением исходных величин (графа «дано»), переводом единиц в систему СИ.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ГИДРОСТАТИКЕ

Задача 1. Определить полное гидростатическое давление на дно сосуда, наполненного водой. Сосуд сверху открыт, давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в сосуде h = 0,60 м.

Решение:

В данном случае имеем р 0 =р ат и потому применим формулу (1.1) в виде

р"=9,81.10 4 +9810 . 0,6 = 103986 Па

Ответ р’=103986 Па

Задача 2. Определить высоту столба воды в пьезометре над уровнем жидкости в закрытом сосуде. Вода в сосуде находитcя под абсолютным давлением p" 1 = 1,06ат (рисунок к задаче 2).

Решение .

Составим условия равновесия для общей точки А (см. рисунок). Давление в точке А слева:

Давление справа:

Приравнивая правые части уравнений, и сокращая на γg получаем:

Указанное уравнение можно также получить, составив условие равновесия для точек, расположенных в любой горизонтальной плоскости, например в плоскости ОО (см. рисунок). Примем за начало шкалы отсчета пьезометра плоскость ОО и из полученного уравнения найдем высоту столба воды в пьезометре h.

Высота h равна:

= 0,6 метра

Пьезометр измеряет величину манометрического давления, выраженного высотой столба жидкости.

Ответ: h = 0,6 метра

Задача 3. Определить высоту, на которую поднимается вода в вакуумметре, если абсолютное давление воздуха внутри баллона р’ в =0,95 ат (рис. 1-11). Сформулировать, какое давление измеряет вакуумметр.

Решение :

Составим условие равновесия относительно горизонтальной плоскости О-О:

гидростатическое давление, действующее изнутри:

Гидростатическое давление в плоскости О -О, действующее с внешней стороны,

Так как система находится в равновесии, то

Задача 4. Определить манометрическое давление в точке А трубопровода, если высота столба ртути по пьезометру h 2 =25 см. Центр трубопровода расположен на h 1 =40 см ниже линии раздела между водой и ртутью (рисунок к задаче).

Решение: Находим давление в точке В: р" В =р" А -γh 1 , так как точка В расположена выше точки А на величину h 1 . В точке С давление будет такое же, как в точке В, так как давление столба воды h взаимно уравновешивается, т. е.

отсюда манометрическое давление:

Подставляя числовые значения, получаем:

р" А -р атм =37278 Па

Ответ: р" А -р атм =37278 Па

ЗАДАЧИ

Задача 1.1. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры 50 °С. На сколько повысилось бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жесткой? Начальная температура бензина 20 0 С. Модуль объемной упругости бензина принять равным K=1300 МПа, коэффициент температурного расширения β = 8 . 10 -4 1/град.

Задача 1.2. Определить избыточное давление на дне океана, глубина которого h=10 км, приняв плотность морской воды ρ=1030 кг/м 3 и считая ее несжимаемой. Определить плотность воды на той же глубине с учетом сжимаемости и приняв модуль объемной упругости K = 2 . 10 3 МПа.

Задача 1.3. Найти закон изменения давления р атмосферного воздуха по высоте z, считая зависимость его плотности от давления изотермической. В действительности до высоты z=11 км температура воздуха падает по линейному закону, т. е. T=T 0 -β z , где β = 6,5 град/км. Определить зависимость p = f(z) с учетом действительного изменения температуры воздуха с высотой.

Задача 1.4. Определить избыточное давление воды в трубе В, если показание манометра р м = 0,025 МПа. Соединительная трубка заполнена водой и воздухом, как показано на схеме, причем Н 1 = 0,5 м; Н 2 =3 м.

Как изменится показание манометра, если при том же давлении в трубе всю соединительную трубку заполнить водой (воздух выпустить через кран К)? Высота Н 3 = 5 м.

Задача 1.5. В U-образную трубку налиты вода и бензин. Определить плотность бензина, если h б = 500 мм; h в = = 350 мм. Капиллярный эффект не учитывать.

Задача 1.6. В цилиндрический бак диаметром D = 2 м до уровня Н=1,5 м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре ниже уровня бензина на h = 300 мм. Определить веснаходящегося в баке бензина, если ρ б = 700 кг/м 3 .

Задача 1.7. Определить абсолютное давление воздуха всосуде, если показание ртутного прибора h = 368 мм, высота H=1 м. Плотность ртути ρ= 13600 кг/м 3 . Атмосферное давление 736 мм рт. ст.

Задача 1.8. Определить избыточное давление p 0 воздуха в напорном баке по показанию манометра, составленного из двух U-образных трубок с ртутью. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в метрах. Какой высоты Н должен быть пьезометр для измерения того же давления p 0 Плотность ртути ρ = 13600 кг/м 3 .

Задача 1.9. Определить силу давления жидкости (воды) на крышку люка диаметром D=l м в следующих двух случаях:

1) показание манометра р м = 0,08 МПа; H 0 =1,5 м;

2) показание ртутного вакуумметра h = 73,5 мм при а= 1м ; ρ рт = 13600 кг/м 3 ; Н 0 =1,5 м.

Задача 1.10. Определить объемный модуль упругости жидкости, если под действием груза А массой 250 кг поршень прошел расстояние Δh = 5 мм. Начальная высота положения поршня (без груза) H =1,5 м, диаметры поршня d = 80 мм н резервуара D = 300 мм, высота резервуара h = 1,3 м. Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жестким.

Задача 1.11. Для опрессовки водой подземного трубопровода (проверки герметичности) применяется ручной поршневой насос. Определить объем воды (модуль упругости К = 2000 МПа), который нужно накачать в трубопровод для повышения избыточного давления в нем от 0 до 1,0 МПа. Считать трубопровод абсолютно жестким. Размеры трубопровода: длина L = 500 м, диаметр d=100 мм. Чему равно усилие на рукоятке насоса в последний момент опрессовки, если диаметр поршня насоса d n = 40 мм, а соотношение плеч рычажного механизма а/в = 5?

Задача 1.12 . Определить абсолютное давление воздуха в баке р 1 , еcли при атмосферном давлении, соответствующем h а = 760 мм рт. ст., показание ртутного вакуумметра h рт = = 0,2 м, высота h =1,5 м. Каково при этом показание пружинного вакуумметра? Плотность ртути ρ=13600 кг/м 3 .

Задача 1.13 . При перекрытом кране трубопровода К определить абсолютное давление в резервуаре, зарытом на глубине Н=5 м, если показание вакуумметра, установленного на высоте h=1,7 м, равно р вак = 0,02 МПа. Атмосферное давление соответствует р а = 740 мм рт. ст. Плотность бензина ρ б = 700 кг/м 3 .

Задача 1.14. Определить давление р’ 1 , если показание пьезометра h =0,4 м. Чему равно манометрическое давление?

Задача 1.15. Определить вакуум р вак и абсолютное давление внутри баллона р" в (рис. 1-11), если показание вакуумметра h =0,7 м вод. ст.

1) в баллоне и в левой трубке - вода, а в правой трубке - ртуть (ρ=13600 кг/м 3 );

2) в баллоне и левой трубке - воздух , а в правой трубке - вода.

Определить, какой процент составляет давление столба воздуха в трубке от вычисленного во втором случае манометрического давления?

При решении задачи принять h 1 = 70 см,h 2 = = 50 см.

Задача 1.17. Чему будет равна высота ртутного столба h 2 (рис. к задаче 1.16), если манометрическое давление нефти в баллоне А p а = 0,5 ат, а высота столба нефти (ρ=800 кг/м 3) h 1 =55 см?

Задача 1.18. Определить высоту столба ртути h 2 , (рисунок), если расположение центра трубопровода А повысится по сравнению с указанным на рисунке и станет на h 1 = 40 см выше линии раздела между водой и ртутью. Манометрическое давление в трубе принять 37 278 Па.

Задача 1.19. Определить, на какой высоте z установится уровень ртути в пьезометре, если при манометрическом давлении в трубе Р А =39240 Па и показании h=24 см система находится в равновесии (см. рисунок).

Задача 1.20. Определить удельный вес бруса, имеющего сле­дующие размеры: ширину b=30 см , высоту h=20 см и длину l = 100 см , если его осадка y=16 см

Задача 1.21. Кусок гранита весит в воздухе 14,72 Н и 10,01 Н в жидкости, имеющей относительный удельный вес 0,8. Определить объем куска гранита, его плотность и удельный вес.

Задача 1.22 Деревянный брус размером 5,0 х 0,30 м и высотой 0,30м спущен в воду. На какую глубину он погрузится, если от­носительный вес бруса 0,7? Определить, сколько человек могут встать на брус, чтобы верхняя поверхность бруса оказалась бы заподлицо со свободной поверхностью воды, считая, что каждый человек в среднем имеет массу 67,5 кг.

Задача 1.23 Прямоугольная металлическая баржа длиной 60 м, шириной 8 м, высотой 3,5 м, загруженная песком, весит 14126 кН. Определить осадку баржи. Какой объем песка V п нужно выгрузить, чтобы глубина погружения баржи была 1,2 м, если относительный удельный вес влажного песка равен 2,0?

Задача 1.24. Объемное водоизмещение подводной лодки 600 м 3 . С целью погружения лодки отсеки были заполнены морской водой в количестве 80 м 3 . Относительный удельный вес морской воды 1,025. Определить: какая часть объема лодки (в процентах) будет погружена в воду, если из подводной лодки удалить всю воду и она всплывет; чему равен вес подводной лодки без воды?

Открытый прямоугольный резервуар заполнен жидкостью (рис.1) до глубины Н. Найти абсолютное и избыточное давление на дне резервуара. Данные для расчета приведены в табл.1.

Закрытый прямоугольный резервуар заполнен жидкостью до глубины Н (рис.2). Задаются плотность жидкости ρ, избыточное давление на поверхности p 0 (см. табл.2). Определить пьезометрическую высоту h p и построить эпюру избыточного давления на стенку, указанную в таблице 2.

Плотность, кг/м 3

Плотность, кг/м 3

Плотность, кг/м 3

Вариант 1

Вертикальноерасстояние между горизонтальными осями резервуаров, заполненных водой, а= 4 м, при этом манометрическое давление на оси правого. резервуара p 2 = 200 кПа. Разность уровней ртути h =100 см. Уровень ртути в левом колене рас­положен ниже оси левого резервуара на Н = 6 м.

Определить манометрическое гидростатическое давление p 1 на оси левого резервуара, а также уверхней образующейего, если диаметр резервуара d = 2 м.

Вариант 2

Ртутныйманометр присоединен к резервуару, заполненному водой.

I) Определить избыточное давление на поверх­ности воды в резервуаре p 0 , если h 1 = 15 см, h 2 = 35 см. 2) Определить величину вакуума над поверхностью воды, если уровни ртути в обоих коле­нах манометра выровняются? Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 3

К закрытому резервуару, наполненному водой на глубину Н = 10 м, присоединен ртутный мано­метр. Разность уровней ртути в манометре состав­ляет h =100 см, при этом свободная поверхность воды в резервуаре превышает уровень ртути в левом колене на величину Н = 12 м. Атмосферное давление p a = 100 кПа.

I. Определить абсолютное давление воздуха p 0 в пространстве над свобод­ной поверхностью воды в резервуаре. 2. Найти абсолютное гидростатическое давление в самой низ­кой точке дна резервуара.

Вариант 4

В закрытом резервуаре находится вода с глубиною Н = 5 м, на свободной поверхности которой манометрическое давление p 0 = 147,15 кПа.К ре­зервуару на глубине h = 3 мприсоединен пье­зометр, т.е. трубка, открытаясверху и сообщаю­щаяся с атмосферой.

1. Определить пьезометрическую высоту h p .

2. Найти величину манометрического гидростатического давления на дне сосуда.

Вариант 5

В дифференциальном манометре, присоединен­ном к закрытомурезервуару, разность уровнейртути составляет h = 30 см.Открытое правое колено манометра сообщается с атмосферой, дав­ление которой равно p a =100 кПа. Уровень рту­ти в левом колене манометра находится в горизон­тальной плоскости, совпадающей с дном резервуа­ра.

1) Найтиабсолютное давление воздуха и ва­куум в пространстве над свободной поверхностью воды в резервуаре.

2) Определить абсолютное гид­ростатическое давление на дне резервуара. Глуби­на воды в резервуаре Н = 3,5 м.

Вариант 6

К закрытому резервуару с горизонтальным дном присоединен пьезометр. Атмосферное давление на поверхности воды в пьезометре р а =100 кПа. Глубина воды в резервуаре h =2 м, высота воды в пьезометре Н = 18 м. Определить абсолютное давление на поверхности воды в резервуаре и аб­солютное и избыточное давление на дне.

Вариант 7

Точка А заглублена под горизонтомводы в сосуде на величину h = 2,5 м, пьезометрическая высота для этой точки равна h Р = 1,4 м.

Определить для точки А величину абсолютного давления, а такжевеличинувакуума на поверхности воды в сосуде, если атмосферное давление p a = 100 кПа.

Вариант 8

К закрытому сосуду подведены две трубки, как показано на чертеже. Левая трубка опущена в банку с водой, правая заполнена ртутью.

Определить абсолютное давление воздуха p 0 на поверхности жидкости в сосуде и высоту, стол­ба ртути h 2 , если высота столба воды h 1 =3,4 м, а атмосферное давление р a = 100 кПа. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 9

Два закрытых резервуара, горизонтальные днища которых расположены в одной плоскости, соединены дифференциальным манометром, разность уровней ртути в нём h =100 см, при этом уровень ртути в левом колене совпадает с плос­костью дна резервуара. В левом резервуаре нахо­дится вода с глубиной H 1 = 10 м. В правом содер­жится масло с глубиной H 2 = 8 м. Плотность мас­ла ρ м = 800 кг/м 3 , плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .На поверхностиводы манометрическое давление p 1 = 196 кН/м 2 . Найти манометрическое давление на поверхности масла p 0 . Определить манометрическое давление на дне каждого резервуара.

Вариант 10

Горизонтально расположенные круглые резервуары заполнены водой. Диаметркаждого резервуа­ра Д =2 м. Разность уровней ртути в манометре h = 80 см. Манометрическое гидростатическое давление p 1 на оси левого резервуара равно 98,1 кПа. Ось правого резервуара находится ниже оси левого на z = 3 м/

Определить манометрическое гидростатическое давление p 2 , на оси правого резервуара, а так­же на нижней его образующей – в точке А.

Вариант 11

Определить разность давлений в точках, на­ходящихся на осях цилиндров Аи В, заполненных водой, если разность уровнейртути в дифферен­циальномманометре Δh = 25 см, разность уровней осей цилиндров Н = 1 м.

Вариант 12

Закрытая сверху трубка опущена открытым концом в сосуд с водой. На свободной поверхности воды в трубке абсолютное давление р 0 =20 кПа. Атмосферное давлениер а =100 кПа.Определить высоту поднятия воды в трубке h.

Вариант 13

В закрытом резервуаре с горизонтальным дномсодержится нефть. Глубина нефти Н=8 м. Найтиманометрическое и абсолютное давление на дне ре­зервуара, если манометрическоедавление над сво­бодно л поверхностью нефти равно p 0 = 40 кПа, Плотность нефтиρ н = 0,8 г/см 3 . Атмосферноедавление р а = 100 кПа.

Вариант 14

Абсолютное давление наповерхности водыв сосуде р 0 = 147 кПа.

Определить абсолютное давление и манометри­ческое давление в точке А, находящейся из глу­бине h = 4,8 м, найти такжепьезометрическую; высоту h p для этой точки. Атмосферное давлениер а = 100 кПа.

Вариант 15

Определить избыточное поверхностное давле­ние р 0 в закрытом сосуде с водой, если в трубке открытого манометре ртуть поднялась на в высоту h = 50 см. Поверхность воды находится на вы­соте h 1 = 100 см от нижнего уровня ртути. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 16

Два закрытых резервуара, оси которых нахо­дятся в одной горизонтальной плоскости, запол­нены водой и соединены П-образной трубкой.

Уровни воды в левом и правом коленах соот­ветственно равны, z л = 1,5 м, z п = 0,5 м.

Верхняя часть трубки заполнена маслом, плотность которого ρ м = 800 кг/м 3 . Манометри­ческое давление на оси левого резервуара р л = 78,5 кПа. Определить манометрическое дав­ление на оси правого резервуара и на линии раз­дела воды и масла в левой трубке.

Вариант 17

В закрытом резервуаре находится вода с глу­биной Н = 2м, на свободной поверхности которой давление равно р 0 . В присоединенном к резервуару дифференциальном манометре разность уровней сос­тавляет h = 46 см. Уровень ртути в левом колене совпадает с дном резервуара. Определить абсолютное давление р 0 и абсолютное гидростатическое давление на дне резервуара, если атмосферное давление р а = 100 кПа.

Вариант 18

Водосливное отверстие плотины, удерживающей воду в водохранилище, закрыто сегментным затвором АЕ кругового очертания радиусом r = 2 м. Определить абсолютное гидростатическое давление в нижней точке затвора Е (р Е,абс ) и найти высоту плотины h , если избыточное давление на дне водохранилища р д,и = 75 кПа. Атмосферное давление р а =101 кПа.

Вариант 19

Определить разность уровней ртути h в соединительной трубке сообщающихся сосудов, если давление на поверхности воды в левом сосуде р 1 = 157 кПа. Возвышение уровня воды над нижним уровнем ртути Н = 5 м. Разность уровней воды и масла Δh = 0,8 м. р 2 = 117 кПа. Плотность масла ρ м = 800 кг/м 3 . Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 20

Два резервуара круглого сечения, расположен­ные на одном уровне, заполнены водой. Диаметр каждого резервуара D = 3 м. Разность уровней ртути h = 40 см. Гидростатическое давление на оси первого резервуара р 1 = 117 кПа. Опреде­лить гидростатическое давление на оси второго резервуара р 2 , а также в нижнейего точке. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 21

В резервуаре находится вода. Горизонтальная часть внутренней стенки резервуара ВС расположена на глубине h = 5 м. Глубина воды в резервуаре Н = 10 м. Атмосферное давление р а = 100 кПа.

Найти манометрическое гидростатическое давление в точках В и С, построить эпюру этого давления на стенку АВСД и определить абсолютное гидростатическое давление на дно резервуара.

Вариант 22

Разность уровней воды в закрытых резервуарах, сообщающихся между собой, составляет h = 4 м. В левом резервуаре глубина воды H = 10 м и абсолютное давление на свободной поверхности воды p 1 = 300 кПа.

Найти абсолютное давление воздуха р 2 на свободной поверхности воды в правом резервуаре и на дне резервуаров.

Вариант 23

В закрытом резервуаре содержится минеральное масло, имеющее плотность ρ = 800 кг/м 3 . Над свободной поверхностью масла избыточное давление воздуха р ои = 200 кПа. К боковой стенке резервуара присоединен манометр, показанный на чертеже. Вычислить:

1. Избыточное давление на дно резервуара и

2. Показание манометра

Вариант 24

Вакуумметр В, присоединенный к резервуару выше уровня воды, показывает вакуумметрическое давление р вак = 40 кПа. Глубина воды в резервуаре Н = 4 м. С правой стороны к резервуару выше уровня воды присоединен жидкостный ртутный вакуумметр.

Вычислить:

абсолютное давление воздуха в резервуаре р абс,

высоту поднятия воды в жидкостном вакуумметре h,

абсолютное давление на дно резервуара р дабс,

Атмосферное давлении р а = 98,06 кПа. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 25

Разность уровней воды в резервуарах h= 15 м. Глубина воды в левом резервуаре Н = 8 н.

Вычислить

манометрическое давление воздуха над поверхностью воды в закрытом левом резервуаре р о,

избыточное давление на дно левого резервуара р ди,

построить эпюру избыточного давления на левую вертикальную стенку закрытого резервуара.

Вариант 26

В закрытом резервуаре находятся три разные жидкости: минеральное масло с плотностью ρ м = 800 кг/м 3 вода и ртуть с плотностью ρ рт = 13600 кг/м 3 . Уровень ртути в пьезометре на 0,15 м выше, чем в резервуаре (h 3 = 0,15 м). Атмосферное давление р а = 101 кПа. Вычислить:

1. Абсолютное давление воздуха под крышкой резервуара;

2. Вакуумметрическое давление под крышкой резервуара если h 1 = 2 м, h 2 = 3 м.

Вариант 27

В герметично закрытом резервуаре находится минеральное масло с плотностью ρ м = 800 кг/м 3 . Глубина масла h 1 = 4 м. К стенке резервуара выше уровня масла присоединен ртутный манометр, в котором разность уровней ртути h 2 = 20 см. Атмосферное давление р а = 101 кПа. Уровень ртути в левом колене манометра и уровень масла в резервуаре находятся на одной отметке.

Определить абсолютное давление воздуха под крышкой резервуара (р о,абс ) и манометрическое давление масла на дне резервуара (р д, м )

Вариант 28

В герметично закрытом баке находится вода. К боковой стенке бака на глубине h = 1,2 м подсоединен механический манометр, который показывает гидростатическое давление р м = 4 атм. Определить абсолютное давление на свободной поверхности воды в баке р о,абс и величину давления, которую показывает манометр, установленный на крышке бака. Атмосферное давление равно 101 кПа.

Вариант 29

Два бака с водой разделены вертикальной стенкой, в нижней части которой имеется отверстие. Левый бак открытый. Правый бак закрыт герметичной крышкой. Глубина воды в левом баке h 1 = 8 м. Глубина воды в правом баке h 2 = 1 м.

Атмосферное давление р а =101 кПа.

Определить избыточное гидростатическое давление воздуха под крышкой правого бака и абсолютное давление на дне правого бака.

Вариант 30

Два герметично закрытых резервуара с водой соединены ртутным манометром. Манометрическое давление воздуха над поверхностью воды в левом резервуара р л, м = 42 кПа. Абсолютное давление воздуха над поверхностью воды в правом резервуара р п, абс =116 кПа. Глубина воды над уровнем ртути в левом резервуара h 1 = 4 м. Глубина воды над уровнем ртути в правом резервуара h 3 = 2,5 м. Атмосферное давление р а =101 кПа. Определить разность уровней ртути в манометре h 2 .