Решение уравнений степени выше второй. Уравнения высших степеней Методы решения уравнений n

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Трифанова Марина Анатольевна
учитель математики, МОУ "Гимназия № 48 (многопрофильная)", г. Талнах

Триединая цель урока :

Образовательная:
систематизация и обобщение знаний по решению уравнений высших степеней.
Развивающая:
содействовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать.
Воспитывающая:
выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Тип урока :

урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Форма урока :

проветривание, физминутка, разнообразные формы работы.

Оборудование:

опорные конспекты, карточки с заданиями, матрица мониторинга урока.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщение цели урока учащимся.
Проверка домашнего задания (Приложение 1). Работа с опорным конспектом (Приложение 2).

На доске написаны уравнения и ответы для каждого из них. Учащиеся проверяют ответы и дают краткий анализ решения каждого уравнения или отвечают на вопросы учителя (фронтальный опрос). Самоконтроль – учащиеся выставляют себе оценки и сдают тетради на проверку учителю для коррекции оценок или их утверждения. Школа оценок записана на доске:

“5+” - 6 уравнений;
“5” - 5 уравнений;
“4” - 4 уравнения;
“3” - 3 уравнения.

Вопросы учителя по домашнему заданию:

1 уравнение

Какая замена переменных сделана в уравнении?
Какое уравнение получено после замены переменных?

2 уравнение

На какой многочлен делили обе части уравнения?
Какая замена переменных была получена?

3 уравнение

Какие многочлены необходимо перемножить для упрощения решения данного уравнения?

4 уравнение

Назвать функцию f(х).
Как были найдены остальные корни?

5 уравнение

Сколько было получено промежутков для решения уравнения?

6 уравнение

Какими способами можно было решить данное уравнение?
Какой способ решения более рациональный?

II. Работа по группам – основная часть урока.

Класс делится на 4 группы. Каждой группе дается карточка с теоретическим и практическим (Приложение 3) вопросами: “Разобрать предложенный способ решения уравнения и объяснить его на данном примере”.

Работа в группе 15 минут.
На доске записаны примеры (доска разделена на 4 части).
Отчет группы проходит 2 – 3 минуты.
Учитель корректирует отчеты групп и помогает при затруднении.

Работа в группах продолжается по карточкам № 5 – 8. На каждое уравнение дается 5 минут на обсуждение в группе. Затем у доски идет отчет по данному уравнению – краткий анализ решения. Уравнение может быть решено не до конца – дорабатывается дома, но последовательность его решения в классе обговаривается вся.

III. Самостоятельная работа. Приложение 4 .

Каждый учащийся получает индивидуальное задание.
Работа по времени занимает 20 минут.
За 5 минут до конца урока учитель дает открытые ответы для каждого уравнения.
Учащиеся меняются по кругу тетрадями и проверяют ответы у товарища. Выставляют оценки.
Тетради сдаются учителю на проверку и корректировку оценок.

IV. Итог урока.

Домашнее задание.

Оформить решение незаконченных уравнений. Подготовиться к контрольному срезу.

Выставление оценок.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике довольно часто встречаются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо:

Определить рациональные корни уравнения;

Разложить на множители многочлен, который находится в левой части уравнения;

Найти корни уравнения.

Допустим, нам дано уравнение следующего вида:

Найдем все действительные его корни. Умножим левую и правую части уравнения на \

Выполним замену переменных \

Таким образом, у нас получилось приведенное уравнение четвертой степени, которое решается по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня \ и два комплексных. Получим следующий ответ нашего уравнения четвертой степени:

Где можно решить уравнение высших степеней онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.