краткое содержание других презентаций

«Определить, чётная или нечётная функция» - Функция - нечетная. Не является нечетной. Не является четной. График четной функции. График нечетной функции. Функция. Симметрия относительно оси. Четные функции. Является ли нечетной функция. Столбик. Четные и нечетные функции. Пример. Является ли четной функция. Нечетные функции.

««Показательная функция» 11 класс» - Решите уравнение. Определение. Проверь себя. Показательные неравенства. При х=0 значение функции равно 1. Тест. Показательные уравнения. Производная и первообразная. Функциональный способ. Основные опорные сигналы. Функция возрастает на всей области определения. Показательная функция. Область значений. Свойства степени с рациональным показателем. Способы решения уравнений. Свойства показательной функции.

«Примеры логарифмических неравенств» - Найдите верное решение. Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? Удачи на ЕГЭ! Графики логарифмических функций. Итог урока. Кластер для заполнения в течение урока: Возрастающая. Задание: решить логарифмические неравенства, предложенные в заданиях ЕГЭ-2010 г. Между числами m и n поставить знак > или <.(m, n > 0). Убывающая. Готовимся к ЕГЭ! Цели урока: Алгебра 11 класс. Найти область определения функции.

«Построение графика функции с модулем» - График функции. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Вопрос классу. Усвоенные знания. Y = x2 – 2x – 3. Построение графиков функций. Обобщение. Линейная функция. Проектная деятельность. Y = f(x). Урок обобщения и систематизации знаний. Актуализация знаний о графиках функций. Y = lnx. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = x – 2. Y = sinx.

««Степенные функции» 11 класс» - Функция у=х0. Кубическая функция. Гипербола. У = х. Функция у=х-3. Графиком является парабола. Степенные функции с натуральным показателем. Функция у = х2n-1. Функция у = х2n. Степенная функция. Функция у=х-2. Функция у=х4.

«Геометрический смысл производной функции» - У меня всё получилось. Результаты вычисления. Предельное положение секущей. Найдите угловой коэффициент. Секущая. Геометрический смысл производной. Алгоритм составления уравнения касательной. Определение. Значение производной функции. Правильная математическая идея. Уравнение касательной к графику функции. Составь пару. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Напишите уравнение касательной к графику функции.

Показательная функция. «Функционально - графические методы решения уравнений неравенств и систем» 1 ЦЕЛЬ УРОКА: рассмотреть задачи Внешнего Независимого оценивания (ЗНО) разных уровней сложности с применением функциональнографических методов на примере ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 2 Задачи урока: повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции; повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований; находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика; решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции. работа с графиками функций, содержащими модуль; рассмотреть графики сложной функции и их область значений; 3 Показательная функция. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания. 4 Изменение концентрации лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения. 5 Укажите множество значений функции. а) (5; а)(5;) б)(0 ;) в)(;) г)(7 ;) 6 Назовите условие возрастания,убывания показательной функции. Соотнесите график с соответствующей формулой. а) б) у (3) х у (0 ,3) х 7 По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функций 8 1.Запишите алгоритм построения графика функции. Назовите ее область определения, область значения 9 2.На рисунках изображены линии, надо им в соответствии подписать уравнения. 10 А 1 y 2 Б X y 0 ,98 В X y4 Г X y 5 1 Д X 1 y 4 X 11 X y 5 А R Б X 1 В;1 1; 1; Г Д;1 1; 12 y 3 2 x А R Б 0 ; В;2 Г Д 2 ; 2 ; 13 y3 X 2 y3 X 14 y5 сosX А Б В ГГ Д Д(y)=R Е(y)=R Д(y)=R Е(y)=(0;+ ∞) Д(y)=(0;+ ∞) Е(y)=R Д(y)=R Е(y)=(0;5] Д(y)=R Е(y)= 15 yа X А Б В Г Д 1 2 33 4 5 16 А Б В Г 17 8. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой. 1) 2) у 2 1 х у 2 3) 4) х 1 у 2 1 х у 2 х 1 18 А Б 2 X 1 2X 1 X X В Д X X Другой 1 1 1 X X 1 ответ 2 Г 2 19 3 X 12 1,5 x Ответ: 2 ; 20 На рисунках изображены линии, надо им в соответствии подписать уравнения. 21 КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ ВИДА: f(x)= g(x)? 22 Функционально-графический метод Чтобы решить уравнение вида f(x)= g(x) функционально-графическим методом нужно: Построить графики функций у = f(x) и y = g(x) в одной системе координат. Определить абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Записать ответ. 23 Решите уравнение: y 3 x y 4 x Ответ: x 1 24 Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный? 25 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Ответ: x 1 26 Практическая работа 27 1. . Решите уравнения: 3 x 1 3 2 x 2.Решить неравенство cos x 1 3 2 3.Найти значение выражения х у,если (х; у) является решением системы уравнений. 0 0 x 0 0 х 1 x x 1, у2 х 2 у; 4.Найдите область значений функции у 2 х у 16 у 7 х 2 х 2 х 5 4 28 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ 3 x 1 3 x 2 29 Ответ: x 1 30 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Решая эту систему, находим, что х = 0. 31 Решить неравенство cos x 1 3 x 32 Ответ: решений нет 33 . Решить неравенство 2 x x Ответ: 0 ; 34 Решаем систему уравнений х 1 у 2 1 , 3 х 2 у; 35 Решаем систему уравнений: 1. y * 2 x 1 1 2. x 2 y 1 y 2 x 1 1 y 2 y x2 x 1 36 х 0 у,0 если Найти значение выражения (х; у) является решением системы 0 0 уравнений. х 1 1, у2 х 2 у; Ответ: 0. 37 Домашнее задание: Решить графически систему уравнений. х 3 у 1, 2 х 6 у 2. Решите уравнение Решите неравенство 38 Укажите множество значений функции у 2 х Ответ: 1; у 7 х Ответ: 0 ;1 39 Найти область значений функции 2 у 16 х 2 х 4 2 1 у 16 5 х 2 х 5 4 40 Область значений функции у х 2х 2 1 1, 4 5 4 Вершина параболы 1 Е (у) ; 4 16 2 Ответ: у2 ; у 16 2 х 2 х 5 1 4 4 наим 1 у 16 х 2 2 х 5 4 1 1 1 4 у наиб 16 2 Ответ: 0 ; 0 , 5 41 При каких значениях параметра а уравнение имеет нечетное количество корней? 42 Так как график четной функции симметричен относительно оси орди то если является корнем уравнения, то и тоже является корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может иметь нечетное количество корней только тогда, когда является корнем. в уравнение, имеем: Подставляя 43 Решить неравенство Ответ: (- ;2]. Ответ: (-1;0) 44 ВСЕМ ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА СОТРУДНИЧЕСТВО! ВАМ, ДЕТИ, ВЕСЕЛЫХ КАНИКУЛ!!! 45

Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)

09.07.2015 8999 0

Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.

I. Сообщение темы и цели урока

II . Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

f (х), построить график функции у = f (-х) + 2?

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как, зная график функции у = f (х), построить график функции у = - f (х) - 1?

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули. Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f (х) с областью определения D (f ), график которой представлен на рисунке. Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.

1) Построение графика функции у = | f (x )|

f /(x ), если Дх)>0,

По определению модуля получим: Это означает, что для построения графика функции у = | f (x )| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f (х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Построение графика функции у = f (| x |)

Г/О), если Дх)>0,

Раскроем модуль и получим: Поэтому для построения графика функции у = f (| x |) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3) Построение графика уравнения |у| = f (x )

По определению модуля имеем, что при f (х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f (х) и у = - f (х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Заметим, что зависимость |у| = f (х) не задает функцию, т. е. при х ∈ (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f (х).

Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.

Пример 1

Построим график функции

Выделим в этой функции целую часть Такой график получается при смещении графика функции у = -1/ x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.

Пример 2

Построим график функции

В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Пример 3

Построим график функции

Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.

Пример 4

Построим график уравнения

В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.

Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.

Пример 5

Построим график функции

Используем график функции построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.

Пример 6

Построим график функции

Выражения х - 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.

Получим:

1. При

2. При

3. При

Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.

Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.

Пример 7

Построим график уравнения

Выражение у - х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую - биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 - точки, расположенные над прямой у – х; 2 - точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях. В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у - х > 0. Раскрывая модуль, получим: у - х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у - х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:

4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока

Транскрипт

1 МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция.. Решение показательных уравнений и неравенств. 6. Логарифмы и их свойства. 7. Логарифмическая функция. 8. Решение логарифмических уравнений и неравенств.. Обобщение понятия степени. Квадратный корень из числа это такое число, квадрат которого равен. Корнем -й степени из числа называется такое число, я степень которого равна. Например, 7 =, так как = 7 или **=7 6 6 =, так как 6 = 6, но и (-) 6 =6 Поэтому числа и - являются корнями шестой степени из числа 6. Согласно определению, корень й степени из числа это решение уравнения =. Число корней этого уравнения зависит от и. Рассмотрим функцию f() =. На промежутке }