рассуждение, в котором осуществляется переход по правилам от высказывания или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К логическому выводу обычно предъявляются (совместно или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить отношение следования логического (ту или иную его разновидность); 2) переходы в логическом выводе должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

В ряде случаев логический вывод определяется так, что на использование некоторых правил накладываются ограничения. Напр., в аксиоматических исчислениях, являющихся вариантами классической логики предикатов первого порядка и содержащих среди правил вывода только модус поненс и правило обобщения, логический вывод часто определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение: любое применение правилам обобщения в таково, что переменная, по которой ироввдитея обобюение в этом применении правила обобщения, не входит ни в одну посылку, предшествующую в нижней формуле этого применения правила обобщения. Цель этого ограничения обеспечить ряд полезных с точки зрения логики свойств вывода (напр., выполнение для простых форм дедукции теоремы). Существуют определения логического вывода (как для аксиоматических, так и для исчислений других типов), которые (1) задают логический вывод не только из множества посылок, но допускают другие формы организации посылок (напр., списки или последовательности), (2) структурируют вывод не только линейно, но, напр., в форме дерева, (3) имеют явно выраженный индуктивный характер; при этом индуктивное определение вывода может вестись как по одной переменной (напр., по длине вывода), так и по нескольким переменньм (напр., по длине логического вывода и по числу его посылок), (4) содержат формализацию зависимости между формулами в логическом выводе, и многие другие определения логического вывода, обусловленные иными способами формализации и аксиоматизации классических и неклассических систем логики. О некоторых из них см. в ст. Аналитических таблиц метод. Семиотика, Исчисление секвенций.

Отличное определение

Неполное определение ↓

вывод логический

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ -рассуждение, в котором по определенным правилам осуществляется переход от высказываний или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К В. л. обычно предъявляются (разом или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить отношение логического следования (ту или иную его разновидность), 2) переходы в В. л. должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний. В современной логике В. л. определяется для формальных систем, в которых высказывания представлены формулами. Обычно выделяют три основных типа формальных систем: аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода, исчисления секвенций. Стандартное определение В. л. (из множества формул Г) для аксиоматического исчисления S таково: В. л. в S из множества формул Г есть такая последовательность Аг..Ап формул языка исчисления S, что для каждой А. (1 < i < п) выполняется, по крайней мере, одно из следующих трех условий: 1) А. есть формула из Г; 2) А. есть аксиома исчисления S; 3) А. есть формула, получающаяся из предшествующей ей в последовательности А,... А формулы или из предшествующих ей в этой последовательности формул по правилу вывода исчисления S. Если а есть В. л. в S из множества формул Г, то формулы из Г называются посылками а, а сам вывод называется В. л. в S из посылок Г; если при этом А есть последняя формула а, то а называется В. л. в S формулы А из посылок Г. Запись «Г |- А» означает, что существует В. л. в S формулы А из посылок Г. В. л. в S из пустого множества формул называется доказательством в S. Запись «|- А» означает, что существует доказательство в S формулы А. Формула А называется доказуемой в S, если ч А. В качестве примера рассмотрим аксиоматическое исчисление S со стандартным определением вывода, являющееся вариантом аксиоматизации классической логики высказываний. Алфавит языка L этого исчисления содержит только пропозициональные переменные р, р2,..., Р п> - - - > логические связки з, -> и круглые скобки. Определение L-формулы (формулы в языке L) обычное: 1) пропозициональная переменная есть L-формула, 2) если А и В есть L-формулы, то (А з В), (- > А) есть L-формулы, 3) ничто другое не есть L-формула. Аксиомы Sj - это все L-формулы следующих шести видов (и только этих видов): I (Аз А), II ((ADB)D((BDC)3(ADC))), III ((AD(BDQ)D(BD(ADC))), IV ((ADhB))D(BDhA))), V (hhA))DA), VI (((A s > В) з A) з A). Единственное правило исчисления Sj есть правило модус поненс в L: А, (А о В) / В (где А и В есть L-формулы). Определение В. л. для S является очевидной конкретизацией стандартного определения В. л., которое дано выше. Последовательность ((р1 з р2) з (р, з р2)), (((р, з р2) з (Р, => Р2» 3 (Р, => ((Р, э Р 2) э Р2)))> (P i 3 ((Р, 3 Р 2) 3 Р2)) > Pi´ ((р, з р2) з р2) L-формул является В. л. в S, L-формулы ((р; з р2) з р2) из pj. Действительно, первый член этой последовательности есть аксиома вида I, второй член этой последовательности есть аксиома вида III, третий член этой последовательности получается из первого и второго членов этой последовательности по правилу модус поненс в L, четвертый член этой последовательности есть L-формула из, пятый член этой последовательности получается из четвертого и третьего членов этой последовательности по правилу модус поненс в L. Итак, р, (-51((р,зр2)зр2). В ряде случаев В. л. определяется так, что использование в нем некоторых правил ограничивается. Напр., для некоторых аксиоматических исчислений, являющихся вариантами аксиоматизации классической логики предикатов первого порядка и содержащих среди правил вывода правило обобщения, В. л. иногда определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение, запрещающее применение в В. л. правила обобщения по переменной, входящей хотя бы в одну посылку данного В. л. Известны В. л. (как для аксиоматических исчислений, так и для исчислений других типов) не только из множеств формул, но и из других систем формул (напр., из последовательностей формул, из списков формул). Исследуются В. л., не имеющие линейной структуры (любой В. л., удовлетворяющий стандартному определению В. л., имеет линейную структуру, ибо является последовательностью формул), а имеющие, напр., древовидную структуру. Рассматриваются В. л., содержащие формализацию зависимостей между входящими в них формулами, и многие другие В. л. Наличие большого числа разновидностей В. л. обусловлено как множественностью логик, так и многообразием задач, решаемых при их формализации. В.М. Попов

Когда говорят, что из высказывание P 1 следует P 2 (т.е. P 1 P 2), подразумевают, что всякий раз, когда истинно высказывание P 1 , истинно и высказывание P 2 .

Импликация P 1 P 2 ≡1 является общезначимой формулой (т.е. формула тождественно истинна).

«Я работаю в фирме»  «Я работаю в фирме или в корпорации».

A(AB) – соответствующая формула является тавтологией.

Предложение 1. «Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамен по математической логике», AB.

Предложение 2. «Если студент «провалился» на экзамене по математической логике, то он не занимался» .

Следует ли из первого предложения второе?

Здесь мы использовали формулы равносильных преобразований из дискретной математики.

Таким образом, из первого предложения следует второе предложение, – и это закон контрапозиции. Логический вывод подразумевает наличие посылок или гипотез и вывода или заключения.

Для проверки правильности логических выводов необходимо убедиться, что из конъюнкции посылок следует заключение.

15.3. Силлогизмы в логике высказываний

Если силлогизм условный, то одна из его посылок условная.

Если одна из посылок условная, а вторая посылка и вывод категоричное высказывание, то такой силлогизм условно-категоричный.

Если обе посылки и вывод условные высказывания, то такой силлогизм – условный.

Если одна из посылок условное высказывание, а другая разделительное («или-или»), то это условно-разделительный силлогизм.

Импликация отражает ту сущность нашего мира, когда следствие может иметь несколько причин.

Мир допускает переход от причины к следствию, но не обратно. (ПС).

Имеются четыре модуса условно-категоричных силлогизмов:

Такая запись в виде посылок и заключения называется аргументом . Для проверки аргумента необходимо проверить, чтобы из конъюнкций посылок следовало заключение. Такая проверка может быть проверкой правильности логического вывода .

Проверим аргумент по первому модусу условного силлогизма:

Проверим аргумент по второму модусу условного силлогизма:

Разделительно-категоричные силлогизмы.

AB – разделительное «или», или сумма по модулю 2 (или A, или B).

Альтернативы должны исключать друг друга. Должны быть перечислены все альтернативы

Условный силлогизм.

Условный силлогизм: обе посылки и вывод – условные суждения.

Условно-разделительный силлогизм.

Условно-разделительный силлогизм: одна из посылок – условное суждение, а другая – разделительное суждение.

В зависимости от числа альтернатив различают:

дилемму – 2 альтернативы;

трилемму – 3 альтернативы;

тетралемму – 4 альтернативы.

Конструктивная дилемма:

Совокупность произвольных посылок и произвольных заключений называется аргументом . Проверка правильности аргументов – это проверка следования из конъюнкции посылок заключения.

15.4. Получение следствий из данных посылок

Получение следствий из данных посылок можно осуществить, получив СКНФ данных посылок, тогда все возможные сочетания элементарных конъюнкций и будут всевозможными следствиями из данных посылок. Например:

Следствия данных посылок:

Нужно получить СКНФ и перебрать все возможные комбинации конъюнкций (в данном случае у нас, их 7), т.е. получается булеан от членов СКНФ без одного элемента (пустого множества).

15.5. Метод резолюций

Если имеются два высказывания:
которые имеют контрарные или инверсные (
) литералы, то следствием из этих посылок является (BC). Проверим это утверждение:

Такие следствия называются резольвентами (это дизъюнкция членов при контрарных литералах).

Метод основан на получении резольвент. Последовательно получаем резольвенты исходного множества формул, доказательство невыполнимости которого мы ведем, до тех пор, пока не получится  (пустое следствие). Здесь доказательство ведется от противного.

Для применения этого метода необходимо использовать КНФ. Например, для modus ponens:

Получили дерево доказательства. Взяты две посылки и отрицание заключения в КНФ. Следствием посылок
является резольвентаB, а следствием
является пустое множество. Это признак невыполнимости исходного множества членов КНФ. А т.к. доказательство проводилось от противного, стало быть, мы и доказали следование B из посылок AB,A.

Логика высказываний – это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать одни выражения из других на основании известных правил. Последняя называется системой натурального вывода . Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которого является элементарной формой умозаключения.

Правила вывода – это предписания или разрешения, позволяющие из суждений одной логической структуры как посылок вывести суждение некоторой логической структуры как заключение. Их особенность заключается в том, что признание истинности заключения производится на основании не содержания посылок, а их структуры.

Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной линией – над чертой выписываются логические схемы посылок, под ней – заключение.

Схема правил вывода:

Читается: из посылок вида
можно вывести заключение В.

Правила выводов логики высказываний делят на основные и производные.

Основные правила – более простые и очевидные.

Производные выводятся из основных. Их введение сокращает процесс вывода.

Как основные, так и производные делятся на прямые и непрямые (косвенные).

Прямые правила указывают на непосредственную выводимость некоторых суждений из других суждений.

Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключить о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

Основные прямые правила:

Правила введения и удаления конъюнкции (В.К.), (У.К.):

Правила введения и удаления дизъюнкции (В.Д.), (У.Д.):

Правила удаления импликации (У.И.):

Правила введения и удаления эквивалентности (В.Э.), (У.Э.):

Правила введения и удаления двойного отрицания (В.О.), (У.О.):

В.О.

Основные непрямые правила

Правила введения импликации (В.И.) и сведения к абсурду (С.А.):

В.И.

Производные правила

Правило условного силлогизма

Доказательство:

Правило «modustоllens»:

Доказательство:

Правило отрицания дизъюнкции (О.Д.):

Доказательство:

Правило отрицания конъюнкции (О.К.)

Доказательство:

Правила контрапозиции:

Доказательство:

Доказательство:

Правило сложной контрапозиции:

Доказательство:

Правило простой конструктивной дилеммы (П.К.Д.)

Доказательство:

Правило сложной конструктивной дилеммы (С.К.Д.)

Доказательство:

Правило простой деструктивной дилеммы (П.Д.Д.)

Доказательство:

Правило сложной деструктивной дилеммы (С.Д.Д.)

Доказательство:

Вопросы для повторения

Что такое отношение логического следования? Как проверить, имеет ли оно место в умозаключении?

Что такое непосредственные умозаключения и каковы их виды?

Назовите правила посылок и правила терминов простого категорического силлогизма.

Что такое метод натурального вывода?

Каковы основные прямые и непрямые правила логики суждений?

Чем отличается прогрессивный полисиллогизм от регрессивного?

Иллюстрирует так называемую безвозвратную процедуру. В этом случае на каждом шаге выбирается единственное решение - так, для слова РОЗА таким решением будет РОЗЫ , - проблема выбора решения не возникает. В общем случае неформальные процедуры являются многозначными, а правильность конкретного выбора, сделанного на некотором шаге, проверяется на следующих шагах. При этом используется так называемый режим возвратов.

МАТЬ ------> ЛЮБИТ ------> ? что делать? кого?

МАТЬ <------ ЛЮБИТ <------ ? кого? что делать?

Пусть предложение начинается со слов МАТЬ ЛЮБИТ.. . . Проанализировав эти слова в первоначальном предположении именительного падежа для слова МАТЬ , система вправе построить структуру, представленную в случае 1). Если следующее слово после слова ЛЮБИТ представляет собой существительное в винительном падеже, например, вся фраза имеет вид МАТЬ ЛЮБИТ СЫНА , то эта структура является окончательной. Если же фраза имеет вид МАТЬ ЛЮБИТ СЫН , то возникает противоречие или, как говорят, сигнал неуспеха - очередное слово СЫН противоречит ожиданию прямого дополнения. В этом случае система должна вернуться на ближайший из предыдущих шагов, где можно принять другую альтернативу анализа. В данном примере это шаг анализа слова МАТЬ - система должна принять теперь альтернативу винительного падежа для этого слова. Далее будет построена структура, указанная в случае 2).

Тривиальность рассмотренного примера убеждает в необходимости режима возвратов при реализации неформальных процедур.

Логический вывод

Важность логического вывода становится очевидной уже при рассмотрении простейших информационно-логических процедур. Предположим, что некоторая база данных содержит сведения об отношениях " х - ОТЕЦ у " и " х - МАТЬ у ". Чтобы обработать запросы типа:

ИВАНОВ А.И. - ДЕД ПЕТРОВА В.А. ?

ПЕТРОВ В.А. - ВНУК ИВАНОВА А.И. ?

необходимо либо ввести в базу данных также и сведения об отношениях " х - ДЕД у " и " х - ВНУК у ", либо объяснить системе, как из отношений ОТЕЦ, МАТЬ извлечь искомую информацию. Реализация первой возможности связана с неограниченным ростом избыточности базы данных. Вторая возможность при традиционном алгоритмическом подходе требует написания все новых и новых программ для реализации новых типов запросов.

Логический вывод позволяет расширять возможности "общения" наиболее просто и наглядно. Так, для приведенных типов запросов системе достаточно будет сообщить три правила:

1. х -ДЕД у если х -ОТЕЦ а и а -РОДИТЕЛЬ у ;
2. х -РОДИТЕЛЬ у если х -ОТЕЦ у или х -МАТЬ у ;
3. х -ВНУК у если у -ДЕД х .

Эти правила содержат естественные и очевидные определения понятий ДЕД, РОДИТЕЛЬ, ВНУК . Поясним, в чем состоит логический вывод для запроса " А -ДЕД В ?" в предположении, что в базе данных имеются факты: А -ОТЕЦ Б и Б -МАТЬ В . При этом для упрощения опустим тонкости, связанные с падежными окончаниями. Пользуясь определением 1, система придет к необходимости проверки существования такого индивидуума а, что факты А -ОТЕЦ а и а -РОДИТЕЛЬ В истинны. Если такой а существует, то А -ДЕД В , если не существует такого а , то А не является дедом В .

Зависимость продукций

Продукционные системы, содержащие аппарат логического вывода, отличает высокая степень общности правил обработки данных. Однако именно эта общность приводит к ухудшению динамических свойств соответствующих продукционных программ, к трудностям их модификации и развития. Чтобы понять, в чем тут причина, обратимся снова к Таблице 6 . Пока эта таблица содержит несколько строк, не представляет особого труда установление правильного порядка их следования, но если учесть, что реальное количество продукций в подобных задачах исчисляется сотнями и более, трудоемкость их правильного взаимного расположения становится очевидной. Практически, при программировании неформальных "человеческих" процедур, подобные таблицы можно вручную создавать и сопровождать для нескольких десятков продукций, максимум - для 100-200. Продукции зависимы, и за правильное выявление этой зависимости отвечает программист. Новые продукции необходимо вручную вставлять на нужное место.

Мы могли бы использовать в таблице решений только конкретные факты, например правила ДОМ -> ДОМА , МАМА -> МАМЫ и т. д., и динамичность соответствующей таблицы решений была бы восстановлена - подобные правила можно было бы вводить в произвольном порядке! Однако цена подобной "динамичности" окажется непомерно высокой - полный отказ от обобщенных правил.

Желательно восстановить динамичность продукционно-логических систем, сохранив при этом в полном объеме возможность использования обобщенных правил. Продукционная система должна взять на себя функции распознавания и интерпретации приоритета продукций - программист должен только описывать ситуации и соответствующие им действия.

Продукционные системы с исключениями

Если отношение "правило-исключение" встроено в систему, она сама может понять, что преобразование ПАЛКА -> ПАЛКЫ неверно. При этом система должна руководствоваться простым принципом: если применимо исключение, общее правило запрещено. Соответствующие системы будем называть системами с исключениями.

Отношение "общее правило - исключение" безусловно полезно для понимания системой уместности правил. Можно сказать, что это отношение устанавливает автоматически (по умолчанию) наиболее типичное для неформальных процедур взаимодействие правил:

Предположим, однако, что по условию конкретной задачи для слов, начинающихся с А , реакция р 1 также допустима. В этом случае введение нового правила снимает запрет на реакцию р 1 в ситуации Ах .

Аналогичный способ годится для пересечения правил.

Таким образом, аппарат исключений позволяет устанавливать произвольные способы взаимодействия правил, в том числе и отличные от взаимодействия по умолчанию.

При развитии продукционной системы с исключениями программист сосредотачивает свое внимание на выявлении новых правил и на обобщении уже имеющихся. Аппарат исключений освобождает программиста от решения трудоемких вопросов согласования правил - распознавание и интерпретация исключений осуществляется автоматически.

Вывод на знаниях

Экспертная система (ЭС) – это компьютерная система, которая эмулирует способность эксперта к принятию решений. ЭС включает два основных компонента – базу знаний (БЗ) и машину логического вывода.

Базы знаний. Знания – это выявленные закономерности предметной области (ПрО) (принципы, связи, законы), позволяющие решать задачи в этой области.

Знание, которое существует в виде заранее известных фактов, называют экстенсивным знанием (экстенсионалом), а базу данных – экстенсиональной базой.

Знание, выводимое из экстенсивного знания при помощи правил, называют интенсивным знанием (интенсионалом), а базу данных – интенсиональной. Интенсивная форма позволяет выразить данные в компактной форме, избежать избыточности данных.

База знаний (knowledge base) – это особого рода база данных, разработанная для управления знаниями (их сбором, хранением, поиском и выдачей). Система базы знаний – это компьютерная система, составляющими которой являются:

1. База данных, содержащая основные факты.

2. База данных, содержащая правила, которые позволяют делать выводы из базы данных фактов.

3. Система управления – программное обеспечение, которое поддерживает основные функции СУБД, а также управление процессом вывода в базе данных правил, оперирующих с базой данных фактов.

Можно утверждать, что представлению информации в базе данных присущ пассивный аспект: таблица, заполненная данными память. В базе знаний подчѐркивается активный аспект представления. Операция знать становится активной операцией, позволяющей не только запоминать, но и посредством логического вывода получать новые знания. Эта возможность увеличивает приносимую базой данных пользу при определении, контроле и интерпретации поддерживаемых ею данных.

Для хранения данных используются базы данных, для хранения знаний – базы знаний. Для баз данных характерны большой объѐм и относительно небольшая удельная стоимость информации. Для баз знаний – небольшой объѐм, но исключительно дорогие информационные массивы. Наиболее важный параметр баз знаний – качество содержащихся знаний. Лучшие базы знаний включают самую актуальную и достоверную информацию, имеют совершенные системы поиска, а также тщательно продуманную структуру и формат знаний.

В языке Пролог базы знаний описываются в форме конкретных фактов, а также правил и процедур логического вывода. Достоверность обобщѐнных сведений зависит от наличия необходимых фактов и достоверности данных в базах знаний.

Базы знаний могут использоваться для создания экспертных систем. Главная цель этих систем – помочь менее опытным людям найти существующее описание способа решения какой-либо проблемы из предметной области.

Модели представления знаний . Существует множество всевозможных моделей представления знаний для разных предметных областей. Большинство из них может быть сведено к следующим классам:

1. Формальные логические модели.

2. Продукционные модели.

3. Семантические сети.

4. Фреймы.

Формальные логические модели. Формирование логических выводов - это формальный термин, используемый для обозначения рассуждений, которые не опираются на семантику (в них не учитывается смысл слов). Самая ранняя система формальной логики – Аристотелева логика основана на понятии силлогизма. Силлогизмы имеют две посылки и одно заключение ,которое вытекает из посылок. Пример силлогизма : посылка 1 – все люди смертны; посылка 2 – Сократ – человек. Заключение – Сократ смертен.

Более общим способом логического вывода является логика предикатов; этот способ может потребовать многих правил вывода, имеющих ограниченное применение (модус поненс, модус толленс, правило слияния, цепное правило и т.д.). В программах искусственного интеллекта (ИИ), предназначенных для доказательства теорем применяется правило - резолюция (см. язык PROLOG), однако при решении некоторых задач оно может оказаться неэффективным, поэтому наиболее распространенным способом логического вывода является применение правил продукций.

Механизм вывода осуществляет дедуктивный перебор фактов, относящихся к правилу по принципу сверху – вниз слева – направо или обратный вывод методом поиска в глубину.

Для логической модели характерна строгость формального аппарата получения решения. Однако полный последовательный перебор всех возможных решений может приводить к комбинаторным взрывам, в результате чего поставленные задачи могут решаться недопустимо большое время. Модель применима в небольших исследовательских системах, так как предъявляет высокие требования и ограничения к предметной области.

Продукционные модели. Определение . Модель представления знаний правилами вида “ЕСЛИ (условие) – ТО (действие)” называется продукционной. Под условием (антецедентом ) понимается некоторое предложение, по которому осуществляется поиск в базе знаний, а под действием (консеквентом ) – действие, выполняемое при успешном исходе поиска. Продукционная модель является наиболее распространенной в системах, основанных на знаниях. Отличительные особенности продукционных систем:

– простота добавления, модификации и аннулирования знаний;

– простота и точность механизма использования знаний ввиду однородности последних и использования единого синтаксиса описания знаний.

Прямой и обратный логический вывод.

Определение. Способ получения логического вывода в продукционной системе, при котором предварительно записанные в РП данные дополняются путем применения правил из БП, называется прямым выводом (ещё одно определение – проведение рассуждений от фактов к заключениям, которые следуют из этих фактов).

Определение. Способ получения логического вывода в продукционной системе, при котором на основании фактов, требующих подтверждения на предмет использования в качестве заключения, исследуется возможность применения правила, пригодного для подтверждения, называется обратным выводом.

Чтобы визуально представить ход прямого и обратного вывода через пространство задач, в котором промежуточные состояния соответствуют промежуточным гипотезам при обратном логическом выводе или промежуточным заключениям при прямом выводе в табл. приведены сведения об их характерных особенностях