Умение проделывать такую процедуру крайне необходимо во многих темах математики, связанных с квадратным трёхчленом ax 2 + bx + c . Самые распространённые:

1) Рисование парабол y = ax 2 + bx + c ;

2) Решение многих заданий на квадратный трёхчлен (квадратные уравнения и неравенства, задачи с параметрами и т.д.);

3) Работа с от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен, а также работа с кривыми второго порядка (для студентов).

Полезная штука, короче! Претендуете на пятёрку? Тогда осваиваем!)

Что значит выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?

Это задание означает, что исходный квадратный трёхчлен c помощью надо преобразовать вот к такому виду:

Число a что слева, что справа – одно и то же . Коэффициент при квадрате икса. Потому и обозначен одной буквой . Умножается справа на квадрат скобок. В самих скобках сидит тот самый двучлен, о котором и идёт речь в этой теме. Сумма чистого икса и какого-то числа m . Да, прошу обратить внимание, именно чистого икса ! Это важно.

А вот буковки m и n справа – некоторые новые числа. Какие уж получатся в результате наших преобразований. Они могут получиться положительными, отрицательными, целыми, дробными – всякими! В примерах ниже сами увидите. Эти числа зависят от коэффициентов a , b и c . Для них есть свои специальные общие формулы. Достаточно громоздкие, с дробями. Поэтому давать их прямо здесь и сейчас я не буду. Зачем вашим светлым головам лишний мусор? Да и неинтересно это. Поработаем творчески.)

Что необходимо знать и понимать?

Прежде всего, необходимо знать назубок . Хотя бы две из них – квадрат суммы и квадрат разности .

Вот эти:

Без этой парочки формул – никуда. Не только в этом уроке, а почти во всей остальной математике вообще. Намёк понятен?)

Но одних лишь механически заученных формул здесь недостаточно. Нужно ещё грамотно уметь применять эти формулы . Причём не столько напрямую, слева направо, сколько наоборот, справа налево . Т.е. по исходному квадратному трёхчлену уметь расшифровывать квадрат суммы/разности . Это значит, вы должны легко, на автомате, узнавать равенства типа:

x 2 +4 x +4 = (x +2) 2

x 2 -10 x +25 = (x -5) 2

x 2 + x +0,25 = (x +0,5) 2

Без этого полезного навыка – тоже никак… Так что если с этими простыми вещами проблемы, то закрывайте эту страницу. Рановато вам сюда.) Сначала сходите по ссылочке выше. Она – для вас!

Ах, вы давно в теме? Отлично! Тогда читаем дальше.)

Итак:

Как выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?

Начнём, разумеется, с простого.

Уровень 1. Коэффициент при x 2 равен 1

Это самая простая ситуация, требующая минимум дополнительных преобразований.

Например, дан квадратный трёхчлен:

х 2 +4х+6

Внешне выражение очень похоже на квадрат суммы. Мы знаем, что в квадрате суммы сидят чистые квадраты первого и второго выражений (a 2 и b 2 ), а также удвоенное произведение 2 ab этих самых выражений.

Ну, квадрат первого выражения у нас уже присутствует в чистом виде. Это х 2 . Собственно, именно в этом и заключается простота примеров этого уровня. Нужно получить квадрат второго выражения b 2 . Т.е. найти b . И зацепкой будет служить выражение с иксом в первой степени , т.е. 4х . Ведь 4х можно представить в виде удвоенного произведения икса на двойку. Вот так:

4 x = 2 ́ ·х·2

Значит, если 2 ab =2· x ·2 и a = x , то b =2 . Можно записать:

х 2 +4х+6 = х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 ….

Так нам хочется. Но! Математике хочется, чтобы от наших действий суть исходного выражения не изменилась . Так уж она устроена. Мы прибавили к удвоенному произведению 2 2 , тем самым изменив исходное выражение. Значит, чтобы математику не обидеть, это самое 2 2 надо тут же и отнять . Вот так:

…= х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 -2 2 ….

Почти всё. Остаётся лишь добавить 6, в соответствии с исходным трёхчленом. Шестёрка-то никуда не делась! Пишем:

= х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 - 2 2 +6 = …

Теперь первые три слагаемых дают чистый (или – полный ) квадрат двучлена x +2 . Или (x +2) 2 . Чего мы и добиваемся.) Я даже не поленюсь и скобочки поставлю:

… = (х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Скобки сути выражения не меняют, зато чётко подсказывают, что, как и почему. Осталось свернуть эти три слагаемых в полный квадрат по формуле, сосчитать в числах оставшийся хвостик -2 2 +6 (это будет 2) и записать:

х 2 +4х+6 = (x +2) 2 +2

Всё. Мы выделили квадрат скобок (x +2) 2 из исходного квадратного трёхчлена х 2 +4х+6 . Превратили его в сумму полного квадрата двучлена (x +2) 2 и некоторого постоянного числа (двойки). А теперь я запишу всю цепочку наших преобразований в компактном виде. Для наглядности.

И все дела.) Вот и вся суть процедуры выделения полного квадрата.

Кстати, чему здесь равны числа m и n ? Да. Каждое из них равно по двойке: m =2, n =2 . Так уж получилось в ходе выделения.

Другой пример:

Выделить полный квадрат двучлена:

х 2 -6х+8

И опять первый взгляд – на слагаемое с иксом. Превращаем 6х в удвоенное произведение икса и тройки. Перед удвоенным – минус. Значит, выделяем квадрат разности . Прибавляем (для получения полного квадрата) и тут же вычитаем (для компенсации) тройку в квадрате, т.е. 9. Ну и про восьмёрку не забываем. Получим:

Здесь m =-3 и n =-1 . Оба отрицательные.

Улавливаете принцип? Тогда настал черёд освоить и общий алгоритм . Всё то же самое, но через буквы . Итак, перед нами квадратный трёхчлен x 2 + bx + c (a =1) . Что мы делаем:

bx b /2 :

b с .

Ясненько? Первые два примера были совсем простые, с целыми числами. Для знакомства. Хуже, когда в процессе преобразований вылезают дроби. Главное здесь – не бояться! А чтобы не бояться, всяко надо знать действия с дробями, да…) Но здесь же пятёрочный уровень, не так ли? Усложняем задачу.

Допустим задан такой трёхчлен:

х 2 +х+1

Как в этом трёхчлене организовать квадрат суммы? Не вопрос! Точно так же . Работаем по пунктам.

1. Смотрим на слагаемое с иксом в первой степени ( bx ) и превращаем его в удвоенное произведение икса на b /2 .

Наше слагаемое с иксом есть просто икс. И… что? Как нам одинокий икс превратить в удвоенное произведение ? Да очень просто! Прямо по инструкции. Вот так:

Число b в исходном трёхчлене – единичка. Стало быть, b /2 получается дробным. Одна вторая. 1/2. Ну и ладно. Не маленькие уже.)

2. К удвоенному произведению прибавляем и тут же отнимаем квадрат числа b /2. Прибавляем – для дополнения до полного квадрата. Отнимаем – для компенсации. В самом конце прибавляем свободный член с .

Продолжаем:

3. Первые три слагаемых сворачиваем в квадрат суммы/разности по соответствующей формуле. Оставшееся снаружи выражение аккуратно считаем в числах.

Первые три слагаемых отделяем скобками. Можно и не отделять, конечно. Делается это чисто для удобства и наглядности наших преобразований. Теперь хорошо видно, что в скобках сидит полный квадрат суммы (x +1/2) 2 . А всё оставшееся за пределами квадрата суммы (если посчитать) даёт +3/4. Финишная прямая:

Ответ:

Здесь m =1/2 , а n =3/4 . Дробные числа. Бывает. Такой уж трёхчлен попался…

Такая вот технология. Разобрались? Можно двигать на следующий уровень?)

Уровень 2. Коэффициент при x 2 не равен 1 – как быть?

Это более общий случай по сравнению со случаем а=1 . Объём вычислений, разумеется, возрастает. Это огорчает, да… Зато общий ход решения в целом остаётся прежним. Просто к нему добавляется всего один новый шаг. Это радует.)

Пока рассмотрим безобидный случай, безо всяких дробей и прочих подводных камней. Например:

2 x 2 -4 x +6

В серединке стоит минус. Значит, будем подгонять под квадрат разности. Но коэффициент при квадрате икса – двойка. А проще работать с единичкой. C чистым иксом. Что делать? А вынесем-ка эту двойку за скобки! Чтоб не мешала. Имеем право! Получим:

2(x 2 -2 x +3)

Вот так. Теперь трёхчлен в скобках – уже с чистым иксом в квадрате! Как того требует алгоритм уровня 1. И теперь уже можно работать с этим новым трёхчленом по старой отработанной схеме. Вот и действуем. Выпишем-ка его отдельно да преобразуем:

x 2 -2 x +3 = x 2 -2· x ·1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2· x ·1+1 2 ) -1 2 +3 = (x -1) 2 +2

Полдела сделано. Осталось вставить полученное выражение внутрь скобок, да раскрыть их обратно. Получится:

2(x 2 -2 x +3) = 2((x -1) 2 +2) = 2(x -1) 2 +4

Готово!

Ответ:

2 x 2 -4 x +6 = 2( x -1) 2 +4

Фиксируем в голове:

Если коэффициент при квадрате икса не равен единице, то выносим этот коэффициент за скобки. С оставшимся внутри скобок трёхчленом работаем по привычному алгоритму для a =1. Выделив в нём полный квадрат, вставляем результат на место, а внешние скобки раскрываем обратно.

А если коэффициенты b и с не делятся нацело на а? Это – самый общий и одновременно самый скверный случай. Тогда только дроби, да... Ничего не поделать. Например:

3 x 2 +2 x -5

Всё аналогично, отправляем тройку за скобки, получаем:

К сожалению, ни двойка, ни пятёрка нацело на тройку не делятся, поэтому коэффициенты нового (приведённого) трёхчлена – дробные . Ну и ничего страшного. Работаем прямо с дробями: две трети икс превращаем в удвоенное произведение икса на одну треть, прибавляем квадрат одной трети (т.е. 1/9), отнимаем его, отнимаем 5/3...

В общем, вы поняли!

Дорешайте, чего уж там. Должно в итоге получиться:

И ещё одни грабли. Многие ученики лихо расправляются с положительными целыми и даже дробными коэффициентами, но зависают на отрицательных. Например:

- x 2 +2 x -3

Что делать с минусом перед x 2 ? В формуле квадрата суммы/разности всяко плюс нужен... Не вопрос! Всё то же самое . Выносим этот самый минус за скобки. Т.е. минус единицу . Вот так:

- x 2 +2 x -3 = -(x 2 -2 x +3) = (-1)·(x 2 -2 x +3)

И все дела. А с трёхчленом в скобках - опять по накатанной колее.

x 2 -2 x +3 = (x 2 -2 x +1) -1+3 = (x -1) 2 +2

Итого, с учётом минуса:

- x 2 +2 x -3 = -((x -1) 2 +2) = -(x -1) 2 -2

Вот и всё. Что? Не знаете, как выносить минус за скобки? Ну, это вопрос к элементарной алгебре седьмого класса, не к квадратным трёхчленам...

Запоминаем: работа с отрицательным коэффициентом а ничем по своей сути не отличается от работы с положительным. Выносим отрицательное а за скобки, а дальше - по всем правилам.

Зачем нужно уметь выделять полный квадрат?

Полезная вещь первая - рисуем параболы быстро и без ошибок!

Например, такое задание:

Построить график функции: y =- x 2 +2 x +3

Что делать будем? По точкам строить? Можно, конечно. Маленькими шажочками по длинной дороге. Довольно тупо и неинтересно…

Прежде всего, напоминаю, что при построении любой параболы мы всегда предъявляем ей стандартный набор вопросов. Их два. А именно:

1) Куда направлены ветви параболы?

2) В какой точке находится вершина?

С направлением ветвей всё ясно прямо из исходного выражения. Ветви будут направлены вниз , ибо коэффициент перед x 2 – отрицательный. Минус один. Минус перед квадратом икса всегда переворачивает параболу.

А вот с расположением вершины всё не так очевидно. Есть, конечно, общая формула вычисления её абсциссы через коэффициенты a и b .

Вот эта:

Но далеко не каждый помнит эту формулку, ох не каждый… А 50% тех, кто всё-таки помнит, спотыкаются на ровном месте и косячат в банальной арифметике (обычно при подсчёте игрека). Обидно, правда?)

Сейчас вы научитесь искать координаты вершины любой параболы в уме за одну минуту! И икс и игрек. Одним махом и безо всяких формул. Как? С помощью выделения полного квадрата!

Итак, выделим полный квадрат в нашем выражении. Получим:

y=- x 2 +2 x +3 = -(x -1) 2 +4

Кто хорошо прошарен в общих сведениях о функциях и хорошо освоил тему "преобразования графиков функций ", тот без труда сообразит, что наша искомая парабола получается из обычной параболы y = x 2 c помощью трёх преобразований. Это:

1) Смена направления ветвей.

Об этом говорит знак "минус" перед квадратом скобок (а=-1 ). Было y = x 2 , стало y =- x 2 .

Преобразование: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Параллельный перенос параболы у=- x 2 по иксу на 1 единицу ВПРАВО.

Так получается промежуточный график y=-(x -1 ) 2 .

Преобразование: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).

Почему смещение вправо, а не влево, хотя в скобках - минус? Такова теория преобразований графиков. Это отдельная тема.

Ну и наконец,

3) Параллельный перенос параболы y=-( x -1) 2 по игреку на 4 единицы ВВЕРХ .

Так получается окончательная парабола y= -(x -1) 2 +4 .

Преобразование: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)

А теперь смотрим на нашу цепочку преобразований и соображаем: куда смещается вершина параболы y =х 2 ? Была в точке (0; 0), после первого преобразования вершина никуда не сместилась (парабола просто перевернулась), после второго – съехала по иксу на +1, а после третьего – по игреку на +4. Итого вершина попала в точку (1; 4) . Вот и весь секрет!

Картинка будет следующей:

Собственно, именно по этой причине я с такой настойчивостью заострял ваше внимание на числах m и n , получающихся в процессе выделения полного квадрата. Не догадались, зачем? Да. Дело в том, что точка с координатами (- m ; n ) – это всегда вершина параболы y = a ( x + m ) 2 + n . Просто смотрим на числа в преобразованном трёхчлене и в уме даём верный ответ, где находится вершина. Удобно, правда?)

Рисование парабол – это первая полезная вещь. Переходим ко второй.

Полезная вещь вторая – решение квадратных уравнений и неравенств.

Да-да! Выделение полного квадрата во многих случаях оказывается гораздо быстрее и эффективнее традиционных приёмов решения подобных заданий. Сомневаетесь? Пожалуйста! Вот вам задание:

Решить неравенство:

x 2 +4 x +5 > 0

Узнали? Да! Это классическое квадратное неравенство . Все такие неравенства решаются по стандартному алгоритму. Для этого нам надо:

1) Сделать из неравенства уравнение стандартного вида и решить его, найти корни.

2) Нарисовать ось Х и отметить точками корни уравнения.

3) Схематично изобразить параболу по исходному выражению.

4) Определить области +/- на рисунке. Выбрать нужные области по исходному неравенству и записать ответ.

Собственно, весь этот процесс и напрягает, да…) И, более того, не всегда спасает от ошибок в нестандартных ситуациях типа этого примера. Попробуем сначала по шаблону?

Итак, выполняем пункт первый. Делаем из неравенства уравнение:

x 2 +4 x +5 = 0

Стандартное квадратное уравнение, без фокусов. Решаем! Считаем дискриминант:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Вот-те раз! А дискриминант-то отрицательный! Нет корней у уравнения! И на оси рисовать нечего… Что делать?

Вот тут некоторые могут сделать вывод, что исходное неравенство тоже не имеет решений . Это фатальное заблуждение, да… Зато с помощью выделения полного квадрата верный ответ к этому неравенству можно дать за полминуты! Сомневаетесь? Что ж, можете засекать время.

Итак, выделяем полный квадрат в нашем выражении. Получаем:

x 2 +4 x +5 = (x +2) 2 +1

Исходное неравенство стало выглядеть вот так:

(x +2) 2 +1 > 0

А теперь, ничего далее не решая и не преобразовывая, просто включаем элементарную логику и соображаем: если к квадрату какого-то выражения (величине заведомо неотрицательной !) прибавить ещё единичку, то какое число мы в итоге получим? Да! Строго положительное !

А теперь смотрим на неравенство:

(x +2) 2 +1 > 0

Переводим запись с математического языка на русский: при каких икс строго положительное выражение будет строго больше нуля? Не догадались? Да! При любых!

Вот вам и ответ: х – любое число .

А сейчас вернёмся к алгоритму. Всё-таки понимание сути и простое механическое заучивание – вещи разные.)

Суть алгоритма в том, что мы из левой части стандартного неравенства делаем параболу, и смотрим, где она выше оси Х, а где ниже. Т.е. где положительные значения левой части, где отрицательные.

Если мы сделаем из нашей левой части параболу:

y = x 2 +4 x +5

И нарисуем её график, то увидим, что вся парабола целиком проходит выше оси Х. Картинка будет выглядеть вот так:

Парабола кривовата, да… На то она и схематичная. Но при этом всё что нам надо, на картинке видно. Нет у параболы точек пересечения с осью Х, нет нулевых значений игрека. И отрицательных значений, естественно, тоже нет. Что и показано штриховкой всей оси Х целиком. Кстати, ось Y и координаты вершины я здесь изобразил не зря. Сравните координаты вершины параболы (-2; 1) и наше преобразованное выражение!

y = x 2 +4 x +5 = ( x +2) 2 +1

И как вам? Да! В нашем случае m =2 и n =1 . Стало быть, вершина параболы имеет координаты: (- m ; n ) = (-2; 1) . Всё логично.)

Ещё задание:

Решить уравнение:

x 2 +4 x +3 = 0

Простецкое квадратное уравнение. Можно решать по старинке, . Можно через . Как угодно. Математика не возражает.)

Получим корни: x 1 =-3 x 2 =-1

А если ни тот, ни другой способы того… не помним? Что ж, двойка вам светит, по-хорошему, но… Так уж и быть, спасу! Покажу, как можно решать некоторые квадратные уравнения только лишь методами седьмого класса. Снова выделяем полный квадрат! )

x 2 +4 x +3 = (x +2) 2 -1

А теперь расписываем полученное выражение как… разность квадратов! Да-да, есть такая в седьмом классе:

a 2 -b 2 = (a-b)(a+b)

В роли а выступают скобки (x +2) , а в роли b - единичка. Получаем:

(x +2) 2 -1 = (x +2) 2 -1 2 = ((x +2)-1)((x +2)+1) = (x +1)(x +3)

Вставляем это разложение в уравнение вместо квадратного трёхчлена:

(x +1)(x +3)=0

Осталось сообразить, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Вот и приравниваем (в уме!) к нулю каждую скобку.

Получим: x 1 =-3 x 2 =-1

Вот и всё. Те же самые два корня. Такой вот искусный приёмчик. В дополнение к дискриминанту.)

К слову, о дискриминанте и об общей формуле корней квадратного уравнения:

В уроке по мною был опущен вывод этой громоздкой формулы. За ненадобностью. Зато здесь ему самое место.) Не хотите ли узнать, как получается эта формула ? Откуда вообще берётся выражение для дискриминанта и почему именно b 2 -4ac , а не как-то иначе? Всё-таки полное понимание сути происходящего куда полезнее бездумной писанины всяких буковок и символов, правда?)

Полезная вещь третья – вывод формулы корней квадратного уравнения.

Ну что, поехали! Берём квадратный трёхчлен в общем виде ax 2 + bx + c и… начинаем выделять полный квадрат! Да, прямо через буквы! Была арифметика, стала – алгебра.) Сначала, как обычно, выносим букву a за скобки, а все остальные коэффициенты делим на a:

Вот так. Это вполне законное преобразование: а не равно нулю , и делить на неё можно. А со скобками снова работаем по обычному алгоритму: из слагаемого с иксом делаем удвоенное произведение, прибавляем/отнимаем квадрат второго числа…

Всё то же самое, но с буквами.) Попробуйте доделать сами! Полезно!)

После всех преобразований у вас должно получиться вот что:

И зачем нам из безобидного трёхчлена сооружать такие нагромождения - спросите вы? Ничего, сейчас интересно будет! А теперь, знамо дело, приравниваем эту штуку к нулю :

Решаем как обычное уравнение, работаем по всем правилам, только с буквами . Делаем элементарные :

1) Большую дробь переносим вправо. При переносе плюс меняем на минус. Чтобы не рисовать минус перед самой дробью, я просто поменяю все знаки в числителе. Слева в числителе было 4ac-b 2 , а после переноса станет -( 4ac-b 2 ) , т.е. b 2 -4 ac . Что-то знакомое, не находите? Да! Дискриминант, он самый…) Будет вот так:

2) Очищаем квадрат скобок от коэффициента. Делим обе части на "а ". Слева, перед скобками, буква а исчезает, а справа уходит в знаменатель большой дроби, превращая его в 4 a 2 .

Получается вот такое равенство:

У вас не так вышло? Тогда тема " " – для вас. Срочно туда!

Следующим шагом извлекаем корень . Нас же икс интересует, верно? А икс под квадратом сидит… Извлекаем по правилам извлечения корней, разумеется. После извлечения получится вот это:

Слева квадрат суммы исчезает и остаётся просто сама эта сумма. Что и требуется.) А вот справа появляется плюс/минус . Ибо наша здоровенная дробь, несмотря на её устрашающий вид, это просто какое-то число . Дробное число. Зависящее от коэффициентов a , b , c . При этом корень из числителя этой дроби красиво не извлекается, там разность двух выражений. А вот корень из знаменателя 4 a 2 вполне себе извлекается! Получится просто 2 a.

"Хитрый" вопрос на засыпку: имел ли я право, извлекая корень из выражения 4 a 2 , давать ответ просто 2а? Ведь правило извлечения корня из квадрата обязывает ставить знак модуля, т.е. 2|a| !

Подумайте, почему знак модуля я всё-таки опустил. Очень полезно. Подсказка: ответ кроется в знаке плюс/минус перед дробью.)

Остались сущие пустяки. Обеспечиваем слева чистый икс. Для этого маленькую дробь переносим вправо. Со сменой знака, ясен перец. Напоминаю, что знак в дроби можно менять где угодно и как угодно. Хотим перед дробью поменяем, хотим в знаменателе, хотим в числителе. Я поменяю знак в числителе . Было + b , стало – b . Надеюсь, возражений нет?) После переноса станет так:

Складываем две дроби с одинаковыми знаменателями и получаем (наконец-то!):

Ну? Что тут сказать? Вау!)

Полезная вещь четвёртая – студентам на заметку!

А теперь плавненько переместимся из школы в ВУЗ. Вы не поверите, но выделение полного квадрата в высшей математике тоже нужно!

Например, такое задание:

Найти неопределённый интеграл:

С чего начинать? Прямое применение не катит. Только выделение полного квадрата и спасает, да…)

Кто не умеет выделять полный квадрат, тот навсегда зависнет на этом несложном примере. А кто умеет, тот выделяет и получает:

x 2 +4 x +8 = (x +2) 2 +4

И теперь интеграл (для знающих) берётся одной левой!

Здорово, правда? И это не только интегралы! Я уж молчу про аналитическую геометрию, с её кривыми второго порядка – эллипсом, гиперболой, параболой и окружностью .

Например:

Определить тип кривой, заданной уравнением:

x 2 + y 2 -6 x -8 y +16 = 0

Без умения выделять полный квадрат задание не решить, да… А ведь пример проще некуда! Для тех, кто в теме, разумеется.

Группируем в кучки члены с иксом и с игреком и выделяем полные квадраты по каждой переменной. Получится:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y ) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y +16)-16 = -16

(x -3) 2 + (y -4) 2 = 9

(x -3) 2 + (y -4) 2 = 3 2

Ну и как? Узнали, что за зверь?) Ну, конечно! Окружность радиуса тройка с центром в точке (3; 4).

И все дела.) Полезная штука – выделение полного квадрата!)

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

;

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

Вынесем общие множители в группах:

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение подробно:

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:

Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

Формула квадрата суммы(разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:

Распишем выражение:

Итак, первое выражение это , а второе .

Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:

Свернем полный квадрат суммы:

Преобразуем полученное выражение:

Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:

Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.

Перейдем к решению примеров.

Пример 1 - разложить на множители:

Найдем выражения, которые стоят в квадрате:

Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:

Прибавим и отнимем удвоенное произведение:

Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::

Распишем по формуле разности квадратов:

Пример 2 - решить уравнение:

;

В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :

У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:

Применим формулу разности квадратов:

Итак, имеем уравнение

Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

Ответ: или

;

Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.

Определение

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c - произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 - 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = (x - 2) 2 , поэтому x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена» .

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 - 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Теперь применяем формулу a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаем: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 - 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 - 14 x - 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена - 16 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3) .

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x - 3) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 - 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`