Для простых сечений статические моменты и моменты инерции находятся по формулам (2.1)-(2.4) с помощью интегрирования. Рассмотрим, например, вычисление осевого момента инерции J x для произвольного сечения, изображенного на рис. 2.9. Учитывая, что в прямоугольной системе координат элемент площади dF=dxdy, получим

гдех^(у) и х в (у) - координаты точек контура при некотором фиксированном значении у.

Выполняя интегрирование по х, найдем

Величина Ь(у) представляет собой ширину сечения на уровне у (см. рис. 2.9), а произведение b(y)dy = dF - площадь заштрихованной элементарной полосы, параллельной оси Ох. С учетом этого формула для / преобразуется к виду

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции J y .

Прямоугольник. Найдем моменты инерции относительно главных центральных осей, которые в соответствии со свойством 2 (§ 2.5) совпадают с осями симметрии прямоугольника (рис. 2.10). Так как ширина сечения постоянна, то по формуле (2.14) получим

Момент инерции относительно оси О х х х определим по первой из формул (2.6):

Моменты инерции / и J находятся аналогично. Запишем формулы для осевых моментов инерции прямоугольника:

Произвольный треугольник. Вначале найдем момент инерции относительно оси 0 { x v проходящей через основание треугольника (рис. 2.11). Ширина сечения Ь(у {) на уровне у { находится из подобия треугольников:

Подставляя эту величину в формулу (2.14) и производя интегрирование, получим

Моменты относительно осей Ох и 0 2 х 2 , параллельных основанию и проходящих соответственно через центр тяжести и через вершину треугольника, находим с помощью формул (2.6):

В этих формулах b { =h/ 3 и b 2 = -2h /3 - соответственно ординаты центра тяжести треугольника О в системе координат О х х 1 у 1 и 0 2 х 2 у т

1 ° 2 р Г* аУ 1

ТЛ П *2

г >4 ™ _ °21

Д__V_!_*_ / ^ *3

V XV* ;-7^Лт^

U_ У-_XI - UZ__у

О, | ь *, 0 Ь/ Ъ 2%*1

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Запишем формулы для осевых моментов инерции треугольника относительно осей, параллельных основанию:

Прямоугольный и равнобедренный треугольники. Для прямоугольного треугольника (рис. 2.12) определим центробежный момент инерции J относительно центральных осей Ох и Оу, параллельных катетам. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (2.3). Однако решение задачи можно упростить, если применить следующий прием. С помощью медианы 0 { 0 3 разделим заданный треугольник на два равнобедренных треугольника 0 { 0 3 А и Ofi 3 B. Оси 0 3 х 3 и 0 3 у 3 являются осями симметрии для этих треугольников и на основании свойства 2 (§ 2.5) будут главными осями каждого из них по отдельности, а следовательно, и всего треугольника О х АВ. Поэтому центробежный момент инерции J =0. Центробеж-

ный момент треугольника относительно осей Ох и Оу найдем с помощью последней из формул (2.6):

Запишем формулы для моментов инерции прямоугольного треугольника:

Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси симметрии Оу (рис. 2.13) определим, используя четвертую из формул (2.17), как удвоенный момент инерции прямоугольного треугольника с основанием h и высотой Ь/ 2:

Таким образом, моменты инерции равнобедренного треугольника относительно главных центральных осей Ох и Оу определяются по формулам

Круг. Вначале удобно вычислить полярный момент инерции круга по формуле (2.4), воспользовавшись полярной системой координат (рис. 2.14).

Учитывая, что dF-rdrdQ, найдем

Поскольку полярный момент согласно (2.4) равен сумме двух осевых моментов, получим

Кольцо. Моменты инерции кольца (рис. 2.15) находятся как разность моментов инерции двух кругов с радиусами Я 2 и R { :

Полукруг (рис. 2.16). Выделим в плоскости полукруга элемент площади dF с полярными координатами г, 0 и декартовыми координатами x v y v для которых в соответствии с рис. 2.16 имеем:

По формулам (2.1) и (2.5) найдем соответственно статический момент полукруга относительно оси 0 { х { и ординату у 0 центра тяжести О в системе координат 0 { х { Уу

Относительно осей 0,х, и 0 { y v которые являются главными осями для полукруга, осевые моменты инерции равны половине моментов инерции круга:

Момент инерции относительно главной центральной оси определяется с помощью первой формулы (2.6):

Эллипс. Для вычисления осевого момента инерции эллипса с полуосями а и b относительно оси Ох (рис. 2.17) поступим следующим образом. Вокруг эллипса опишем окружность и выделим две элементарные полосы шириной dx и высотой 2у к для круга и 2у э для эллипса. Моменты инерции этих двух полос можно определить по первой из формул (2.15) для прямоугольника:

Интегрируя эти выражения в пределах от -а до а, получим

Рис. 2.16

Рис. 2.17

Из уравнений окружности и эллипса имеем

С учетом этого

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции относительно оси Оу. В результате для эллипса будем иметь следующие формулы для осевых моментов:

Прокатные стержни. Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавры, швеллеры, уголки) приведены в таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение).

Моменты инерции сечения балки (бруса, стержня) относятся, как и площадь сечения, к одним из основных геометрических характеристик элемента, участвующих в расчетах на прочность. Напомню, что балкой в сопромате называется элемент, у которого один из размеров — длина...

Существенно больше двух других – ширины и высоты. Именно два последних габаритных размера плюс форма и влияют наряду со свойствами материала на прочностные характеристики балки.

Геометрические моменты инерции сечения нельзя путать с моментами инерции тел, хотя их смысл весьма схож. Момент инерции тела вокруг некоторой оси – это сумма произведений масс элементарных «объемных» точек тела на квадраты расстояний от оси до этих точек. Момент инерции сечения (плоской фигуры) — это сумма произведений площадей элементарных «плоских» точек этого сечения на квадраты расстояний от них до рассматриваемой оси.

Формулы для вычисления осевых моментов инерции, а также радиусов инерции и моментов сопротивления почти тридцати элементарных фигур, из которых можно составить любое сечение бруса, можно взять в разделе «Элементы сопротивления материалов» главы №1 «Общетехнические сведения» тома №1 «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева. Этот трехтомный справочник, являющийся главной настольной книгой нескольких поколений инженеров-механиков и претерпевший около десяти переизданий, и сегодня продолжает являться востребованным и актуальным. Я думаю, он должен обязательно быть у каждого инженера, тем более что найти его в Сети – не проблема. Конечно, интересующие нас формулы можно найти и в другой справочной литературе.

Для двутавров, швеллеров, уголков, труб и прочих прокатных и гнутых профилей, широко применяемых в машиностроении и строительстве, геометрические характеристики сечений, включая моменты инерции, можно найти в таблицах ГОСТов, ОСТов и прочих нормативных документов, которые регламентируют их изготовление.

Балки и стержни, составленные из двух или более элементарных профилей, применяют для повышения прочности и жесткости элементов при отсутствии адекватной с точки зрения массы и габаритов замены одиночным профилем. На практике – это спаренные уголки, двухветвевые колонны, балки с усиленным листовой полосой поясом и другие случаи.

Геометрические характеристики составного сечения. Расчет в Excel.

В статье мы рассматривали в качестве примера составную фигуру, состоящую из треугольника и прямоугольника с вырезом в виде полукруга. Продолжим работу с этим примером. Хотя балку, имеющую столь причудливое сечение, на практике нигде и никогда, наверное, не встретишь, для не очень сложного и наглядного примера она нам подойдет!

Запускаем программу MS Excel или программу OOo Calc, и начинаем работу!

С общими правилами форматирования электронных таблиц, применяемыми в статьях блога, можно ознакомиться .

Из вышеупомянутой статьи мы уже знаем координаты центров тяжести, площади элементов сечения и площадь всего составного сечения. В этой статье продолжим начатую работу, и выполним расчет других геометрических характеристик.

Исходные данные:

Пункты 1 , 2 , 3 копируем из файла и заполняем диапазон ячеек D3:F6.

4. Рассчитаем осевые и центробежные моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей Ixi , Iyi , Ixiyi в см4, воспользовавшись формулами из «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева

в ячейке D7: =80*40^3/12/10000 =42,667

Ix 1 = a 1 *(b 1 ^3)/12

в ячейке D8: =40*80^3/12/10000 =170,667

Iy1 = b1 *(a1 ^3)/12

в ячейке D9: =0 =0,000

Ix 1 y 1 = 0 (элемент с осевой симметрией)

в ячейке E7: =24*42^3/36/10000 =4,939

Ix 2 = a 2 *(h 2 ^3)/36

в ячейке E8: =42*24^3/48/10000 =1,210

Iy 2 = h 2 *(a 2 ^3)/48

в ячейке E9: =0 =0,000

Ix 2 y 2 = 0 (элемент с осевой симметрией)

в ячейке F7: =- (ПИ()/8*26^4-8/9/ПИ()*26^4)/10000 =-5,016

Ix 3 =- (π /8)*(r 3 ^4) — (8/(9* π ))*(r 3 ^4)

в ячейке F8: =-ПИ()/8*26^4/10000 =-17,945

Iy 3 =- (π /8)*(r 3 ^4)

в ячейке F9: =0 =0,000

Ix 3 y 3 = 0 (элемент с осевой симметрией)

Осевые моменты инерции третьего элемента – полукруга – отрицательны потому, что это вырез в прямоугольнике – пустое место!

Расчет геометрических характеристик:

Пункты 5 , 6 , 7 копируем из файла и заполняем объединенные ячейки D11E11F11…D15E15F15.

8. Рассчитаем осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей x0 и y0, проведенных через центр тяжести Ix 0 , Iy 0 , Ix 0 y 0 в см4

в объединенной ячейке D16E16F16: =((D5-D15)^2*D6+(E5-D15)^2*E6+(F5-D15)^2*F6)/10000+D7+E7+F7 =90,122

Ix 0 = Σ ((yci — Yc )^2* Fi )+ ΣIxi

в объединенной ячейке D17E17F17: =((D4-D14)^2*D6+(E4-D14)^2*E6+(F4-D14)^2*F6)/10000+D8+E8+F8 =159,678

Iy 0 = Σ ((xci — Xc )^2* Fi )+ ΣIyi

в объединенной ячейке D18E18F18: =((D5-D15)*(D4-D14)*D6+(E5-D15)*(E4-D14)*E6+(F5-D15)*(F4-D14)*F6)/10000+D9+E9+F9 =-50,372

Ix0y0 = Σ ((yci -Yc )*(xci -Xc )*Fi )+ Σ Ixiyi

9. Вычислим главные центральные моменты инерции сечения Iv и Iu в cм4

в объединенной ячейке D19E19F19: =($D$16+$D$17)/2+((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5 =186,111

Iv =(Ix0 +Iy0 )/2+(((Ix0 -Iy0 )/2)^2+Ix0y0 ^2)^0,5

в объединенной ячейке D20E20F20: =($D$16+$D$17)/2- ((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5 =63,689

Iu =(Ix0 +Iy0 )/2- (((Ix0 -Iy0 )/2)^2+Ix0y0 ^2)^0,5

10. Найдем угол наклона главной оси v к центральной оси x0 α в градусах

в объединенной ячейке D21E21F21: =ATAN (D18/(D20-D16))/ПИ()*180 =62,311

α =arctg (Ix0y0 /(Iu -Ix0 ))

11. И в заключении вычислим радиусы инерции составного сечения iv и iu в мм

в объединенной ячейке D22E22F22: =(D19*10000/D11)^0,5 =26,540

iv =(Iv / F 0 )^0,5

в объединенной ячейке D23E23F23: =(D20*10000/D11)^0,5 =15,526

iu =(Iu / F 0 )^0,5

Задача выполнена – вычислены моменты инерции и радиусы инерции составного сечения из трех простых элементов! Получены все необходимые данные для построения эллипса инерции.

Файл Excel с расчетной программой позволяет легко выполнить полный расчет геометрических характеристик поперечного сечения балки, состоящего из двух или трех простых элементов. При необходимости несложно расширить возможности расчетного модуля до большего количества элементов.

Для получения информации о новых статьях и для скачивания рабочих файлов программ прошу Вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтвердить подписку кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (может прийти в папку « Спам» )!!!

С интересом прочту ваши комментарии, уважаемые читатели!!! Поделитесь своими мыслями!

Прошу уважающих труд автора скачивать файл с программой расчета после подписки на анонсы статей!

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия тел, находящихся под действием сил.

В основе статики лежат некоторые основные положения (аксиомы ), которые являются обобщением многовекового производственного опыта человечества и теоретических исследований.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твёрдое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1.2).

Рис.1.2

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твёрдое тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Если , то . Следствие : действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль её линии действия в любую другую точку тела. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила . Выберем на линии действия этой силы произвольную точку В , и приложим к ней уравновешенные силы и , причём , . Так как силы и образуют уравновешенную систему сил, то согласно второй аксиоме статики их можно отбросить. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В (рис.1.3).

Рис.1.3

Аксиома 3. Две силы, приложенные к твёрдому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и (рис.1.4).

Аксиома 4. Закон равенства действия и противодействия. При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие (рис.1.5).

Рис.1.5

Аксиома 5. Принцип отвердевания. Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действи-ем данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твёрдым.

4.Геометрические характеристики фигур. Статический момент. Центробежный момент инерции, полярный момент инерции (основные понятия).

Результат расчетов зависит не только от площади сечения, поэтому при решении задач по сопромату не обойтись без определения геометрических характеристик фигур : статических, осевых, полярного и центробежного моментов инерции. Обязательно необходимо уметь определять положение центра тяжести сечения (от положения центра тяжести зависят перечисленные геометрические характеристики). К дополнению к геометрическим характеристикам простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольников, круга, полукруга . Указаны центр тяжести и положение главных центральных осей, и определены относительно них геометрические характеристики при условии, что материал балки однородный.

Геометрические характеристики прямоугольника и квадрата

Осевые моменты инерции прямоугольника (квадрата)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Осевые моменты инерции равнобедренного треугольника

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРУГА

Осевые моменты инерции круга

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛУКРУГА

Осевые моменты инерции полукруга

Статический момент

Рассмотрим поперечное сечение стержня площадью F. Проведем через произвольную точку О оси координат x и y. Выделим элемент площади с координатами x и y (рис. 4.1).

Введем понятие статического момента инерции относительно оси - величину, равную произведению элемента площади () на расстояние (обозначено буквой y) до оси x:

Аналогично статический момент инерции относительно оси y равен:

Просуммировав такие произведения по площади F, получим статический момент инерции всей фигуры относительно осей x и y:

.

Статический момент инерции фигуры относительно оси измеряется в единицах длины в кубе (см3), и может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Пусть –координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментом силы, можно записать следующие выражения:

Таким образом, моментом (статическим моментом) площади фигуры относительно оси называется произведение площади на расстояние от ее центра тяжести до оси.

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системыкоординат называются следующие величины:

где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти осивзаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции,проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осямиинерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментамиинерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осейинерции.

Поля́рный моме́нт ине́рции - интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса - ρ 2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивлениекручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м 4 , см 4 ) и может быть лишь положительной.

Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то

потому что .

Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см 3 , м 3 ]

Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

прямоугольник:
; круг:W x =W y =
,

трубчатое сечение (кольцо): W x =W y =
, где = d Н /d B .

Полярный момент сопротивления - отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения:
.

Для круга W р =
.

Кручение

Т

акой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты - М к. Знак крутящего момента М к удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против час.стр., то М к >0 (встречается и обратное правило). При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания - закон плоских сечений . Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: =G, G - модуль сдвига,
,
- полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания
,GJ p - жесткость сечения при кручении .
-относительный угол закручивания . Потенциальная энергия при кручении:
. Условие прочности:
, [] =, для пластичного материала за  пред принимается предел текучести при сдвиге  т, для хрупкого материала –  в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении:  max [] – допустимый угол закручивания.

Кручение бруса прямоугольного сечения

При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются –депланация поперечного сечения.

Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.

;
,J k и W k - условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. W k = hb 2 ,

J k = hb 3 , Максимальные касательные напряжения  max будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: =  max , коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.

Изгиб

П
лоский (прямой) изгиб - когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

С
лой, в котором отсутствуют удлинения, называетсянейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:
, - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе :
, откуда (формула Навье):
,J x - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJ x - жесткость при изгибе, - кривизна нейтрального слоя.

М
аксимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя:
,J x /y max =W x -момент сопротивления сечения при изгибе,
. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения. Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q0. Это случай поперечного изгиба . При поперечном изгибе, кроме изгибающего момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают не только нормальные , но и касательные  напряжения. Касательные напряжения определяются формулой Журавского:
, гдеS x (y) - статический момент относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии "y" от нейтральной оси; J x - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) - ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения.

Д
ля прямоугольного сечения:
,F=bh, для круглого сечения:
,F=R 2 , для сечения любой формы
,

k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).

M

max и Q max определяются из эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для этого балка разрезается на две части и рассматривается одна из них. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых вузах момент М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М, Q и q :

q - интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]

Главные напряжения при поперечном изгибе :

.

Расчет на прочность при изгибе : два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки: а) по нормальным напряжениям
, (точки наиболее удаленные от С); б) по касательным напряжениям
, (точки на нейтр.оси). Из а) определяют размеры балки:
, которые проверяют по б). В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориям прочности

I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3); - применяются редко.

теория Мора: ,
(используется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [ р ][ с ] – на сжатие).

http//:www.svkspb.nm.ru

Геометрические характеристики плоских сечений

Площадь : , dF - элементарная площадка.

Статический момент элемента площади dF относительно оси 0x
- произведение элемента площади на расстояние "y" от оси 0x: dS x = ydF

Просуммировав (проинтегрировав) такие произведения по всей площади фигуры, получаем статические моменты относительно осей y и x:
;
[см 3 , м 3 , т.д.].

Координаты центра тяжести :
. Статические моменты относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести сечения) равны нулю. При вычислении статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, с известными площадями F i и координатами центров тяжести x i , y i .Статический момент площади всей фигуры = сумме статических моментов каждой ее части:
.

Координаты центра тяжести сложной фигуры:

М
оменты инерции сечения

Осевой (экваториальный) момент инерции сечения - сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний до оси.

;
[см 4 , м 4 , т.д.].

Полярный момент инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) - сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки.
; [см 4 , м 4 , т.д.]. J y + J x = J p .

Центробежный момент инерции сечения - сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от двух взаимно перпендикулярных осей.
.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

Моменты инерции сечений простой формы

П
рямоугольное сечение Круг

К


ольцо

Т
реугольник

р
авнобедренный

Прямоугольный

т
реугольник

Четверть круга

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

на рис. (-)

Полукруг

М

оменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента:

Д
вутавр Швеллер Уголок

М

оменты инерции относительно параллельных осей :

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. J y1x1 =J yx + abF; ("a" и "b" подставляют в формулу с учетом их знака).

Зависимость между моментами инерции при повороте осей :

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Угол >0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y1 + J x1 = J y + J x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей:
, если  0 >0  оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей:

J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Если J x и J y главные моменты инерции, то i x и i y - главные радиусы инерции . Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции . При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i x1 для любой оси х 1 . Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х 1 , и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х 1:
. Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J xy =0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

Моменты сопротивления.

Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения.
[см 3 , м 3 ]

Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

прямоугольник:
; круг: W x =W y =
,

трубчатое сечение (кольцо): W x =W y =
, где = d Н /d B .

Полярный момент сопротивления - отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения:
.

Для круга W р =
.