Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию , рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер . Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:

Первый элемент последовательности;

Пятый элемент последовательности;

- "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:

Последовательность можно задать тремя способами:

1 . Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, , то есть в четверг - 248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.

2 . Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если , то

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:

Если, например, , то

Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3 . Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность ,

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим , начиная с третьего:

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным , от латинского слова recurro - возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Число называется разностью арифметической прогрессии . Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.

Если title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей .

Например, 2; 5; 8; 11;...

Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей .

Например, 2; -1; -4; -7;...

Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной .

Например, 2;2;2;2;...

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

, и в то же время

Сложив эти два равенства, получим:

.

Разделим обе части равенства на 2:

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

Больше того, так как

, и в то же время

, то

, и, следовательно,

Каждый член арифметической прогрессии, начиная с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

и, наконец,

Мы получили формулу n-го члена.

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

Сложим попарно:

Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.

Получаем:

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:

Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию .

1 . Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.

Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.

2 . Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...

а) Найдите 31 член прогрессии.

б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.

а) Мы видим, что ;

Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.

В общем случае

В нашем случае , поэтому

Получаем:

б) Предположим, что число 41 является членом последовательности. Найдем его номер. Для этого решим уравнение:

Мы получили натуральное значение n, следовательно, да, число 41 является членом прогрессии. Если бы найденное значение n не было бы натуральным числом, то мы бы ответили, что число 41 НЕ является членом прогрессии.

3 . а) Между числами 2 и 8 вставьте 4 числа так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.

б) Найдите сумму членов полученной прогрессии.

а) Вставим между числами 2 и 8 четыре числа:

Мы получили арифметическую прогрессию, в которой 6 членов.

Найдем разность этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена:

Теперь легко найти значения чисел:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

б)

Ответ: а) да; б) 30

4. Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 240 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но на две­на­дца­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 15 дней.

По условию задачи количество щебня, которое перевозит грузовик, каждый день увеличивается на одно и то же число. Следовательно, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Сформулируем эту задачу в терминах арифметической прогрессии.

За пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня: a_1=2.

Вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 15 дней: .

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 240 тонн:

Нам нужно найти .

Сначала найдем разность прогрессии. Воспользуемся формулой суммы n членов прогрессии.

В нашем случае:

Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;

a 2 - второй член последовательности;

a 3 - третий член последовательности;

a 4 - четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },

если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },

если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей , если ее члены возрастают (a n+1 >a n) и убывающей, если ее члены убывают (a n+1

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными .

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова

Колыбель. Пелёнки. Плач.
Слово. Шаг. Простуда. Врач.
Беготня. Игрушки. Брат.
Двор. Качели. Детский сад.
Школа. Двойка. Тройка. Пять.
Мяч. Подножка. Гипс. Кровать.
Драка. Кровь. Разбитый нос.
Двор. Друзья. Тусовка. Форс.
Институт. Весна. Кусты.
Лето. Сессия. Хвосты.
Пиво. Водка. Джин со льдом.
Кофе. Сессия. Диплом.
Романтизм. Любовь. Звезда.
Руки. Губы. Ночь без сна.
Свадьба. Тёща. Тесть. Капкан.
Ссора. Клуб. Друзья. Стакан.
Дом. Работа. Дом. Семья.
Солнце. Лето. Снег. Зима.
Сын. Пелёнки. Колыбель.
Стресс. Любовница. Постель.
Бизнес. Деньги. План. Аврал.
Телевизор. Сериал.
Дача. Вишни. Кабачки.
Седина. Мигрень. Очки.
Внук. Пелёнки. Колыбель.
Стресс. Давление. Постель.
Сердце. Почки. Кости. Врач.
Речи. Гроб. Прощанье. Плач.

Жизненная последовательность

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ - (sequence), числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ….… …

Научно-технический энциклопедический словарь

Определение: Числовой последовательностью называют числовую , заданную на множестве N натуральных чисел.Для числовых последовательностей обычно вместо f(n) пишут a n и обозначают последовательность так: (a n ). Числа a 1 , a 2 , …, a n,… называют элементами последовательности.

Обычно числовая последовательность определяется заданием n -го элемента или рекуррентной формулой, по которой каждый следующий элемент определяется через предыдущий. Также возможен описательный способ задания числовой последовательности. Например:

• Все члены последовательности равны «1″ . Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

• Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания. Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

При рекуррентном способе указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

• y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4,…

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , если n = 3, 4,…

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, выраженная рекуррентной формулой y n = y n-1 + 4 может быть задана и аналитически: y n = y 1 +4*(n-1)

Проверим: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Здесь нам не обязательно знать предыдущий член числовой последовательности для вычисления n-ного элемента, достаточно лишь задать его номер и значение первого элемента.

Как мы видим, этот способ задания числовой последовательности очень похож на аналитический способ задания функций. По сути, числовая последовательность является частным видом числовой функции, поэтому ряд свойств функций можно рассматривать и для последовательностей.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на . И если вы хотите более подробно изучить различные виды числовых последовательностей, жмем сюда. Ну а если вам и так все понятно и просто, но попробуйте ответить на .