Полное уравнение шредингера. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Сделаем рисунок

В нашей задаче функция U(x) имеет особый, разрывный вид: она равна нулю между стенками, а на краях ямы (на стенках) обращается в бесконечность:

Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц в точках расположенных между стенками:

или, если учесть формулу (1.1)

К уравнению (1.3) необходимо добавить граничные условия на стенках ямы. Примем во внимание, что волновая функция связана с вероятностью нахождения частиц. Кроме того, по условиям задачи за пределами стенок частица не может быть обнаружена. Тогда волновая функция на стенках и за их пределами должна обращаться в нуль, и граничные условия задачи принимают простой вид:

Теперь приступим к решению уравнения (1.3) . В частности, можно учесть, что его решением являются волны де-Бройля. Но одна волна де-Бройля как решение, к нашей задаче явно не относится, так как она заведомо описывает свободную частицу, «бегущую» в одном направлении. У нас же частица бегает «туда-сюда» между стенками. В таком случае на основании принципа суперпозиции искомое решение можно попытаться представить в виде двух волн де-Бройля, бегущих друг другу навстречу с импульсами p и -p, то есть в виде:

Постоянные и можно найти из одного из граничных условий и условия нормировки. Последнее говорит о том, что если сложить все вероятности, то есть найти вероятность обнаружения электрона между стенками вообще в (любом месте), то получится единица (вероятность достоверного события равна 1), т.е.:

Согласно первому граничному условию имеем:

Таким образом, получим решение нашей задачи:

Как известно, . Поэтому найденное решение можно переписать в виде:

Постоянная А определяется из условия нормировки. Но здесь не она представляет особый интерес. Осталось неиспользованным второе граничное условие. Какой результат оно позволяет получить? Применительно к найденному решению (1.5) оно приводит к уравнению:

Из него видим, что в нашей задаче импульс p может принимать не любые значения, а только значения

Кстати, n не может равняться нулю, так как волновая функция тогда бы всюду на промежутке (0…l) равнялась нулю! Это означает, что частица между стенками не может находиться в покое! Она обязательно должна двигаться. В аналогичных условиях находятся электроны проводимости в металле. Полученный вывод распространяется и на них: электроны в металле не могут быть неподвижными.

Наименьший возможный импульс движущегося электрона равен

Мы указали, что импульс электрона при отражении от стенок меняет знак. Поэтому на вопрос, каков импульс у электрона, когда он заперт между стенками, определённо ответить нельзя: то ли +p, то ли -p. Импульс неопределённый. Его степень неопределённости, очевидно, определяется так: =p-(-p)=2p. Неопределённость же координаты равна l; если попытаться «поймать» электрон, то он будет обнаружен в пределах между стенками, но где точно — неизвестно. Поскольку наименьшее значение p равно , то получаем:

Мы подтвердили соотношение Гейзенберга в условиях нашей задачи, то есть при условии существования наименьшего значения p. Если же иметь в виду произвольно-возможное значение импульса, то соотношение неопределённости получает следующий вид:

Это означает, что исходный постулат Гейзенберга-Боpа о неопределённости и устанавливает лишь нижнюю границу неопределенностей, возможную при измерениях. Если в начале движения система была наделена минимальными неопределённостями, то с течением времени они могут расти.

Однако формула (1.6) указывает и на другой чрезвычайно интересный вывод: оказывается, импульс системы в квантовой механике не всегда в состоянии изменяться непрерывно (как это всегда имеет место в классической механике). Спектр импульса частицы в нашем примере дискретный, импульс частицы между стенками может изменяться только скачками (квантами). Величина скачка в рассмотренной задаче постоянна и равна .

На рис. 2. наглядно изображён спектр возможных значений импульса частицы. Таким образом, дискретность изменения механических величин, совершенно чуждая классической механике, в квантовой механике вытекает из ее математического аппарата. На вопрос, почему импульс изменяется скачками, наглядного найти нельзя. Таковы законы квантовой механики; наш вывод вытекает из них логически — в этом все объяснение.

Обратимся теперь к энергии частицы. Энергия связана с импульсом формулой (1). Если спектр импульса дискретный, то автоматически получается, что и спектр значений энергии частицы между стенками дискретный. И он находится элементарно. Если возможные значения согласно формуле (1.6) подставить в формулу (1.1), получим:

где n = 1, 2,…, и называется квантовым числом.

Таким образом, мы получили энергетические уровни.

Рис. 3 изображает расположение энергетических уровней, соответствующее условиям нашей задачи. Ясно, что для другой задачи расположение энергетических уровней будет иным. Если частица является заряженной (например, это электрон), то, находясь не на низшем энергетическом уровне, она будет в состоянии спонтанно излучать свет (в виде фотона). При этом она перейдёт на более низкий энергетический уровень в соответствии с условием:

Волновые функции для каждого стационарного состояния в нашей задаче представляют собой синусоиды, нулевые значения которых обязательно попадают на стенки. Две такие волновые функции для n = 1,2 изображены на рис. 1.

(YСтатистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции х ,у, z, t), |Yтак как именно она, или, точнее, величина | 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времениt в объемеdV, т. е. в области с координатамих иx+dx, у иy+dy, z иz+dz .Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно бытьволновым уравнением , подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

где ћ =h ),p/(2т- -оператор ЛапласаDмасса частицы, i - мнимая единица,U (х, у, z, t) - Yпотенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,(х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v <<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна деБройля имеет вид

(учтено, что w = E/ћ, k=p/ћ |Y). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только | 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсомр (E=p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение



которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергиейU, то полная энергияЕ складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь междуЕ и р (для данного случаяp 2 /(2m )=E–U ), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера . Его также называютуравнением Шредингера, зависящим от времени от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера дляY. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимостьстационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функциюy:



Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарныхсостояний . В это уравнение в качестве параметра входит полная энергияЕ частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиy . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметраЕ, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобствен­ными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называют­сясобственными функциями. Собственные значенияЕ могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят онепрерывном , илисплошном ,спектре , во втором -о дискретном спектре .

Модель атома Томсона и Резерфорда.

Представление об атомах как неделимых мельчайших частиц вещества возникло в Античные времена(Демокрит, Эпикур, Лукреций) К началу 18 века атомистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А.Лавуазье, М.В Ломоносова и Д.Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы по проежнему считались не делимыми. Большую роль в развитии атомистической модели сыграл Менделеев разработавший в 1869 году Периодическую систему элементов, в которой впервые на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов. Во второй половине 19 в экспериментально доказано, что эдекторон являеется одной из основных составных частей любого вещества. Эти выводы а также экспериментальные данные привели к тому что в начале 20 века серьездно встанр вопрос о строении атома. Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных даннных о модели атома принадлежит Томсану. Согласно этой модели атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка м внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны суммарный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Резерфорда по рассеянию альфа частиц в веществе. Альфа частицы возникают при радтоактивных превращения, они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2е и массой примерно 7300 раз большей массы электрона. Пучки альфа частиц обладают высокой монохроматичностью. на основании своих исследований Резерфорд в 1911г предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного заряда, имеющийся заряд Ze (Z- порядковый номер элемента в системе Менделеева е – элементарный заряд размер - и массу практически равную массе атома,в области с линейными размерами порядка м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд равен суммарному заряду электронов, т.е вокруг ядра должно превращаться Z электронов. Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом r . При этом кулоноская сила взаимодествия между ядром и электроном сообщает электрону нормальное ускорение. Уравнение описывающее движение электрона в атоме по окружности под действием кулоновской силы = где ε0-электрическая постоянная me-и v-масса и скорость электрона на орбите радиусом r. Уравнение содержит два неизвестных r и v. Следовательно, существует бесчисленное множество значений радиуса и соответсвующих ему значений скорости, удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому величины r и v могут меняться непрерывно, т.е может испускаться любая, а не вполне определенная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В действительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что опять –таки противоречит действительности. Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху модель томсона была опровергнута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электодинамически противоречила опытным данным. Преодоление возникших трудностей потребовало создание качественно новой – квантовой теории атома

Линейчатый спектр водорода

Исследование спектров излучения заряженных газов показали каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спиральных линий. Самым изученым являются спектр наиболее простого атома – атома водорода. Швецарский ученный Бальмер подобрал эмпирическую формулу описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра где Rштрих= -постоянная Ридберга. В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще нескольких серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана

В инфракрасной области спектра были также обнаружены

Серия Пашена

Серия Брэкета

v=R(1/4^2 -1/n^2) (n=5,6,7…...)

серия Пфунда

v=R(1/5^2 -1/n^2) (n=6,7,8…...)

серия Хемфри

v=R(1/6^2 -1/n^2) (n=7,8,9…...)

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой называемой обобщенной формулой Бальмера где m имеет в кадой серии постоянное значение m=1,2,3,4,5,6(определяет серию) n, принемает целочисленные значения начиная с m+1 (определяет отдельные линии этой серии)

Постулаты Бора

Первая попытка построить качественно новую – квантовую теорию атома была предпринята в 1913 г датским физиком Нильсом Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

1 постулат (постулат стационарных состояний) в атоме существуют стационарные состояния в которых он не излучает энергии, эти состояния характеризуются определенными дискретными значениями энергии. Стационарные состояния атома соответстуют стационарные орбиты по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрпон двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию

Где me-масса электрона v- скорость

2 постулат (правило частот) при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается один фотон с энергией

Равной разностьи энергии соответствующих стационарных состояний E_m-соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения. При - происходит излучение при - его поглощение.набор возможных дискретных частот квантовый переходов и определяет линейчатый спектр атома.

О. Штерн и В Герлах проводят прямые измерения магнитных моментов и обнаружили в 1922г что узкий пучок атомов водорода заведомо находящийся в s состоянии в неоднородном магнитном поле расщипляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю. Магнитный момент атома связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е расщипления не должно быть. однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру, даже в отсутствии магнитного поля.Для объяснения тонкой структуры спектральных линий,а также ряда других трудностей в атомной физике Уленбек и Гаудсмит предложили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движение электрона в пространстве спином. Спин электрона –квантовая величина, у нее нет классического аналога, это внутреннее неотъемлемое свойство электрона подобное его массу и заряду. Если электрону приписывается собственный механический момент импульса то ему соответствует собственный магнитный момент Согласно общим выводам квантовой механике, спин квантуется по закону где s- спиновое квантовое число.

Уравнением движения микрочастицы в различных силовых полях является волновое уравнение Шредингера.

Для стационарных состояний уравнение Шредингера будет таким:

M – масса частицы, h – постоянная Планка, E – полная энергия, U – потенциальная энергия.

Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка и имеет решение, которое указывает на то, что в атоме водорода полная энергия должна иметь дискретный характер:

Эта энергия находится на соответствующих уровнях n =1,2,3,…по формуле:

Самый нижний уровень E соответствует минимальной возможной энергии. Этот уровень называют основным, все остальные – возбужденными.

По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее, полная энергия уменьшается, и при n =E>0 электрон становится свободным, несвязанным с конкретным ядром, а атом – ионизированным.

Полное описание состояния электрона в атоме, помимо энергии, связано с четырьмя характеристиками, которые называются квантовыми числами. К ним относятся: главное квантовое число п, орбитальное квантовое число l, магнитное квантовое число m1, магнитное спиновое квантовое число ms.

трона в пространстве, то есть волновая функция в пространстве характеризуется тремя системами. Каждая из них имеет свои квантовые числа: п, l, ml.

Каждой микрочастице, в том числе и электрону, также свойственно собственное внутреннее сложное движение. Это движение может характеризоваться четвертым квантовым числом ms. Поговорим об этом подробнее.

A. Главное квантовое число п, согласно формуле, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать значения п = 1, 2, 3…

Б. Орбитальное квантовое число /. Из решения уравнения Шредингера следует, что момент импульса электрона (его механический орбитальный момент) квантуется, то есть принимает дискретные значения, определяемые формулой

где Ll – момент импульса электрона на орбите, l – орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значение i = 0, 1, 2… (n – 1) и определяет момент импульса электрона в атоме.B. Магнитное квантовое число ml.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор Ll (момент импульса электрона) ориентируется в пространстве под влиянием внешнего магнитного поля. При этом вектор развернется так, что его проекция на направление внешнего магнитного поля будет

где ml называется магнитным квантовым числом, которое может принимать значения ml = 0, ±1, ±2,±1, то есть всего (2l + 1) значений.

Учитывая сказанное, можно сделать заключение о том, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях (n – одно и то же, а l и ml– разные).

При движении электрона в атоме электрон заметно проявляет волновые свойства. Поэтому квантовая электроника вообще отказывается от классических представлений об электронных орбитах. Речь идет об определении вероятного места нахождения электрона на орбите, то есть местонахождение электрона может быть представлено условным «облаком». Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему этого «облака». Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного «облака», а квантовое число ml– ориентацию этого «облака» в пространстве.

В 1925 г. американские физики Уленбек и Гаудсмит доказали, что электрон также обладает собственным моментом импульса (спином), хотя мы не считаем электрон сложной микрочастицей. Позднее выяснилось, что спином обладают протоны, нейтроны, фотоны и другие элементарные частицы

Опыты Штерна, Герлаха и других физиков привели к необходимости характеризовать электрон (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Отсюда для полного описания состояния электрона в атоме необходимо задавать четыре квантовых числа: главное – п, орбитальное – l, магнитное – ml, магнитное спиновое число – ms.

В квантовой физике установлено, что так называемая симметрия или асимметрия волновых функций определяется спином частицы. В зависимости от характера симметрии частиц все элементарные частицы и построенные из них атомы и молекулы делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются асимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Эти частицы называются фермионами. Частицы с целочисленным спином, в том числе и с нулевым, такие как фотон (Ls =1) или л-мезон (Ls = 0), описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе– Эйнштейна. Эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, также являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а составленные из четного – бозонами (суммарный спин – целочисленный).

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необходимые свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенности вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей лишь вычислять вероятность нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, как указывалось выше, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в следующем виде: , (8.1.1)

где и – соответственно, совокупность пространственных и силовых координат первой и второй частиц. Из выражения (8.1.1) вытекает, что возможны два случая:

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет – антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.

В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это не является доказательством того, что свойства симметрии или антисимметрии – признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (например электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым, или целочисленным, спином (например фотоны, мезоны) описываются симметричными функциями (волновыми) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Сложные частицы (например атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного – бозонами (суммарный спин – целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули, что явилось еще одним доказательством того, что спины являются фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Взучив свойства элементов, расположенных в ряд по возрастанию значений их атомных масс, великий русский ученый Д.И. Менделеев в 1869 г. вывел закон периодичности:

свойства элементов, а потому и свойства образуемых ими простых и сложных тел стоят в периодической зависимости от величины атомных весов элементов.

Согласно этому закону изменение свойств химических элементов по мере возрастания их атомных масс имеет периодический характер, т.е. через определенное число элементов (разное для различных периодов) свойства элементов повторяются в той же последовательности, хотя и с некоторыми качественными и количественными различиями. Лишь в трех случаях Менделеев нарушил порядок следования элементов - поставил аргон впереди калия, кобальт впереди никеля, а теллур впереди иода. Этого требовало сходство свойств химических элементов.

Графическим отображением периодического закона является таблица элементов Д.И. Менделеева. Каждому элементу в ней отвечает порядковый, номер. В таблице весь ряд элементов разбит на отдельные отрезки, внутри которых начинаются и заканчиваются циклы периодического изменения свойств. Вертикальные отрезки называются группами, а горизонтальные периодами.

Первые три периода, содержащие 2, 8 и 8 элементов называются малыми, остальные, содержащие 18, 18 и 32 элемента большими. Большие периоды подразделяются на ряды, малые же периоды совпадают с соответствующими рядами.

В каждой группе элементы больших периодов подразделяются на две подгруппы - главную и побочную. К главной подгруппе относятся сходные элементы, включающие элементы малых и больших периодов. К побочной подгруппе относятся сходные элементы, включающие только элементы больших периодов. Максимально возможная валентность элементов в группе равна номеру группы. Хотя некоторые элементы и не проявляют максимальной валентности, например, кислород, фтор, неон, с другой стороны валентность золота - элемента побочной подгруппы I группы может превышать единицу, она достигает трех.

Открытие Периодического закона побудило физиков искать его объяснение с позиций теории строения атомов и наоборот Периодический закон стал средством проверки истинности предлагаемых моделей строения атомов.

Основываясь на открытии Дж. Томсоном в 1897 г. электрона, английский физик Э. Резерфорд в 1911 г. предположил, что атом состоит из положительно заряженного ядра и вращающихся вокруг него по круговым орбитам электронов. При этом положительный заряд ядра нейтрализуется суммарным отрицательным зарядом электронов, что делает атом в целом электронейтральным. Резерфорд экспериментально доказал, что заряд ядра численно равен порядковому номеру элемента в периодической системе.

Только тогда удалось объяснить причину нарушения порядка следования элементов в таблице Менделева (аргон впереди калия, кобальт впереди никеля, а теллур впереди иода). Перечисленные элементы оказались расставлены в соответствии с изменением зарядов их ядер. Таким образом, оказалось, что основной величиной, от которой зависят свойства элемента является заряд ядра. Отсюда следует и современная формулировка периодического закона Менделеева:

Свойства химических элементов, а также формы и свойства соедине ний элементов находятся в периодической зависимости от заряда их ядер.

Лекция 5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.

Вероятностный смысл волн де Бройля. Волновая функция.

Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии с волнами в классической физике. Это не электромагнитные волны, так как их распространение в пространстве не связано с распространением какого-либо электромагнитного поля. Вопрос о природе волн можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо амплитуды удобнее выбрать интенсивность волны, пропорциональную квадрату модуля амплитуды.

Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных по различным направлениям. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн в данной точке пространства определяет плотность вероятности попадания электронов в эту точку за 1 сек.

Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля.

Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке.

Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию, которая является функцией времени и координат, обозначается греческой буквой ψ и называется волновой функцией или просто пси-функцией.

По определению - вероятность того, что частица имеет координату в пределах x, x+dx.

Если , то - вероятность того, что частица находится в объеме dxdydz.

Следовательно, вероятность того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна квадрату модуля пси-функции и элементу объема dV.

Физический смысл имеет не сама функция ψ, а квадрат ее модуля , где ψ* - функция, комплексно сопряженная с ψ. Величина имеет смысл плотности вероятности , т.е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства . Иными словами определяет интенсивность волн де Бройля. Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул).

Нестационарное уравнение Шредингера.

Уравнения Ньютона в классической механике позволяют для макроскопических тел решить основную задачу механики – по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и начальным условиям найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т.е. описать движение тела в пространстве и времени.

При постановке аналогичной задачи в квантовой механике необходимо учитывать ограничения на возможность применения к микрочастицам классических понятий координат и импульса. Поскольку состояние микрочастицы в пространстве в данный момент времени задается волновой функцией, а точнее - вероятностью нахождения частицы в точке x,y,z в момент t , основное уравнение квантовой механики является уравнением относительно пси-функции .

Это уравнение было получено в 1926 г. Шредингером. Как и уравнения движения Ньютона, уравнение Шредингера постулируется, а не выводится. Справедливость этого уравнения доказывается тем, что полученные с его помощью выводы находятся в хорошем согласии с экспериментами.

Уравнение Шредингера имеет вид

,

здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, - оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию

.

U(x,y,z,t) – в рамках наших задач потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле. Из уравнения Шредингера следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т.е. в конечном счете, характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на пси-функцию. Этих условий три:

1) функция ψ должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

2) производные должны быть непрерывны

3) функция должна быть интегрируема, т.е. интеграл

должен быть конечным. В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки

Это означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. Первые два условия – обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения.

Поясним, как можно прийти к уравнению Шредингера. Ограничимся для простоты одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу (U = 0).

Сопоставим ей, согласно идее де Бройля, плоскую волну

Заменим и и перепишем

.

Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по x, получим

Энергия и импульс свободной частицы связаны соотношением

Подставив в это соотношения выражения для Е и р 2

Последнее выражение совпадает с уравнением Шредингера при U =0.

В случае движения частицы в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс р связаны соотношением

Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.

| следующая лекция ==>

Движение микрочастиц в различных силовых полях описывается в рамках нерелятивистской квантовой механики с помощью уравнения Шредингера, из которого вытекают наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Это уравнение, как и все основные уравнения физики, не выводятся, а постулируется. Его правильность подтверждается согласием результатов расчета с опытом. Волновое уравнение Шредингера имеет следующий общий вид :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

где ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 Дж ∙ с - постоянная Планка;
m - масса частицы;
∆ - оператор Лапласа (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - искомая волновая функция;
U (x, y, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, где она движется;
i - мнимая единица.

Это уравнение имеет решение лишь при условиях, накладываемых на волновую функцию:

  1. ψ (x, y, z, t) должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
  2. первые производные от нее должны быть непрерывны;
  3. функция | ψ | 2 должна быть интегрируема, что в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.
Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (8.1) можно упростить, исключив зависимость ψ от времени, т.е. найти уравнение Шредингера для стационарных состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т.е. U = U (x, y, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Тогда после преобразований можно прийти к уравнению Шредингера для стационарных состояний:

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

где ψ = ψ (x, y, z) - волновая функция только координат;
E - параметр уравнения - полная энергия частицы.

Для этого уравнения реальный физический смысл имеют лишь такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ (называемыми собственными функциями), имеющими место только при определенных значениях параметра E, называемого собственным значением энергии. Эти значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд, т.е. как сплошной, так и дискретный спектр энергий.

Для какой-либо микрочастицы при наличии уравнения Шредингера типа (8.2) задача квантовой механики сводится к решению этого уравнения, т.е. нахождению значений волновых функций ψ = ψ (x, y, z), соответствующих спектру собственных энергией E. Далее находится плотность вероятности | ψ | 2 , определяющая в квантовой механике вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами (x, y, z).

Одним из простейших случаев решения уравнения Шредингера является задача о поведении частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Такая "яма" для частицы, движущейся только вдоль оси Х, описывается потенциальной энергией вида

где l - ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 8.1).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

В силу того, что "стенки ямы" бесконечно высокие, частица не проникает за пределы "ямы". Это приводит к граничным условиям:

ψ (0) = ψ (l) = 0

В пределах "ямы" (0 ≤ x ≤ l) уравнение (8.4) сводится к виду:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

где k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2


Решение уравнения (8.7) с учетом граничных условий (8.5) имеет в простейшем случае вид:

ψ (x) = A ∙ sin (kx)


где k = (n ∙ π)/ l

при целочисленных значениях n.

Из выражений (8.8) и (8.10) следует, что

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)


т.е. энергия стационарных состояний зависит от целого числа n (называемого квантовым числом) и имеет определенные дискретные значения, называемые уровнями энергии.

Следовательно, микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" может находится только на определенном энергетическом уровне E n , т.е. в дискретных квантовых состояниях n.

Подставив выражение (8.10) в (8.9) найдем собственные функции

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x


Постоянная интегрирования А найдется из квантовомеханического (вероятностного) условия нормировки

которое для данного случая запишется в виде:

Откуда в результате интегрирования получим А = √ (2 / l) и тогда имеем

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Графики функции ψ n (х) не имеют физического смысла, тогда как графики функции | ψ n | 2 показывают распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы"(рис. 8.1). Как раз эти графики (как и ψ n (х) - для сравнения) изучаются в данной работе и наглядно показывают, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (8.11) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Отсюда видно, что для микрочастиц (типа электрона) при больших размерах "ямы" (l≈ 10 -1 м), энергетические уровни располагаются настолько тесно, что образуют практически непрерывный спектр. Такое состояние имеет место, например, для свободных электронов в металле. Если же размеры "ямы" соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то получается дискретный спектр энергии (линейчатый спектр). Эти виды спектров также могут быть изучены в данной работе для различных микрочастиц.

Другим случаем поведения микрочастиц (как, впрочем, и микросистем - маятников), часто встречаемым на практике (и рассматриваемым в этой работе), является задача о линейном гармоническом осцилляторе в квантовой механике.

Как известно, потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора массой m равна

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

где ω 0 - собственная частота колебаний осциллятора ω 0 = √ (k / m);
k - коэффициент упругости осциллятора.

Зависимость (8.17) имеет вид параболы, т.е. "потенциальная яма" в данном случае является параболической (рис. 8.2).



Квантовый гармонический осциллятор описывается уравнением Шредингера (8.2), учитывающим выражение (8.17) для потенциальной энергии. Решение этого уравнения записывается в виде :

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

где N n - постоянный нормирующий множитель, зависящий от целого числа n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) - полином степени n, коэффициенты которого вычисляются при помощи рекуррентной формулы при различных целочисленных n.
В теории дифференциальных уравнений можно доказать, что уравнение Шредингера имеет решение (8.18) лишь для собственных значений энергии:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0


где n = 0, 1, 2, 3... - квантовое число.

Это значит, что энергия квантового осциллятора может принимать лишь дискретные значения, т.е. квантуется. При n = 0 имеет место E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, т.е. энергия нулевых колебаний, что является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенности.

Как показывает детальное решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора , каждому собственному значению энергии при разных n соответствует своя волновая функция, т.к. от n зависит постоянный нормирующий множитель

а также H n (x) - полином Чебышева-Эрмита степени n.
При том первые два полинома равны:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Любой последующий полином связан с нми по следующей рекуррентной формуле:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Собственные функции типа (8.18) позволяют найти для квантового осциллятора плотность вероятности нахождения микрочастицы как | ψ n (х) | 2 и исследовать ее поведение на различных уровнях энергии. Решение этой задачи затруднительно ввиду необходимости использования рекуррентной формулы. Эта задача успешно может решаться лишь с использованием ЭВМ, что и делается в настоящей работе.

  • § 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
  • § 219. Движение свободной частицы
  • § 220. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной ям*» с бесконечно высокими «стенками*
  • § 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект
  • § 222. Линейный гармонический осциллятор квантовой механике
  • Глава 29
  • § 223. Атом водорода в квантовой механике
  • 2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредин-гера (223.2) удовлетворяют собственные функцииопределяемые тремя
  • § 225. Спин электрона. Спиновое квантовое число
  • § 226. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны
  • § 227. Принцип Паули. Распределение электронов в атома по состояниям
  • § 228. Периодическая система элементов Менделеева
  • § 229. Рентгеновские спектры
  • § 230. Молекулы: химические связи, понятие об энергетических уровнях
  • § 231. Молекулярные спектры. Комбинационное рассеяние света
  • § 232. Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучения
  • § 233. Оптические квантовые генераторы (лазеры) .
  • Глава 30 Элементы квантовой статистики
  • § 234. Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения
  • § 235. Понятие о квантовой статистика Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака
  • § 236. Вырожденный электронный газ в металлах
  • § 237. Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы
  • § 238. Выводы квантовой теории электропроводности металлов
  • § 239. Сверхпроводимость. Понятие об эффекте Джозефсона
  • Глава 31 Элементы физики твердого тела
  • § 240. Понятие о зонной теории твердых тел
  • § 241. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории
  • § 242. Собственная проводимость полупроводников
  • § 243. Примесная проводимость полупроводников
  • § 244. Фотопроводимость полупроводников
  • § 245. Люминесценция твердых тел
  • § 246. Контакт двух металлов по зонной теории
  • 1. Контактная разность потенциалов зависит лишь от химического состава и тем­пературы соприкасающихся металлов.
  • § 247.. Термоэлектрические явления и их применение
  • § 248. Выпрямление на контакте металл - полупроводник
  • § 249. Контакт электронного и дырочного полупроводников
  • § 250. Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
  • 7 Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
  • Глава 32 Элементы физики атомного ядра
  • § 251. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа
  • § 252. Дефект массы и энергия связи ядра
  • § 253. Спин ядра и его магнитный момент
  • § 254. Ядерные силы. Модели ядра
  • 1) Ядерные силы являются силами притяжения;
  • § 255. Радиоактивное излучение и его виды
  • § 256. Закон радиоактивного распада. Правила смещения
  • § 257. Закономерности а-раепада
  • § 258.-Распад. Нейтрино
  • § 259. Гамма-излучение и его свойства
  • § 260. Резонансное поглощение-излучения (эффект Мeссбауэра**)
  • § 261. Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц
  • § 262. Ядерные реакции и их основные типы
  • 1) По роду участвующих в них частиц - реакции под действием нейтронов; реакции под действием заряженных частиц (например, протонов, дейтронов,частиц); реакции под действием-квантов;
  • §263. Позитрон.,-Распад. Электронный захват "-
  • § 264. Открытие нейтрона. Ядерные реакции под действием
  • § 265. Реакция деления ядра
  • § 266. Цепная реакция деления
  • § 267. Понятие о ядерной энергетике
  • § 268. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций
  • 1) Протонно-протонный, или водородный, цикл, характерный для температур (приме­рно 107 к):
  • 2) Углеродно-азотный, или углеродный, цикл, характерный для более высоких тем­ператур (примерно 2 107 к):
  • Глава 33 Элементы физики элементарных частиц
  • § 269. Космическое излучение
  • § 270. Мюоны и их свойства
  • § 271. Мезоны и их свойства
  • § 272. Типы взаимодействий элементарных частиц
  • § 273. Частицы и античастицы
  • § 274. Гипероны. Странность и четность элементарных частиц
  • § 275. Классификация элементарных частиц. Кварки
  • § 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

    Статистическое толкование волн да Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z , t ), так как именно она, или, точнее, величина, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV , т. е. в области с координатами x и x + dx . y и y + dy . zuz + dz . Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

    Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

    (217.1)

    где, т - масса частицы,- оператор Лапласа,

    - мнимая единица, V {х, у, z , t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z , t ) - искомая волновая функция частицы.

    Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) произ­водныедолжны быть непрерывны; 3) функциядолжна быть

    интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

    Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) , или в комплексной записиСледовательно, плоская

    волна де Бройля имеет вид

    (217.2)

    (учтено, чтоВ квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус,

    но поскольку физический смысл имеет только, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

    откуда

    Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсоми подставляя выражения

    (217.3), получим дифференциальное уравнение

    которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U =0 (мы рассматривали свободную частицу).

    Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U , то

    полная энергия Е складывается из типич еской и потенциальной энергий. Проводя аналогичные

    рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случаяпридем

    ° к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

    Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шреди-нгера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

    Уравнение (217.1) является обкщим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шреднягера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

    так что

    где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

    откуда после деления на общий множительи соответствующих преобразований

    придем к уравнению, определяющему функцию

    (217.5)

    Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиНо регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собствев-нымн. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называют­ся собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непре-

    рывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.

    § 218. Принцип причинности ■ квантовой механике

    Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинно­сти - принципу классического детермизма, по известному состоянию системы в неко­торый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика ос­новывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи­на, а ее состояние в последующий момент - следствие.

    С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соот­ношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в началь­ный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.

    Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъ­ектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъ­екта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В кванто­вой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией (х,у, z , t ), квадрат модуля которой(х,у, z , t )\ 2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z .

    В свою очередь, волновая функция(х,у, z , t ) удовлетворяет уравнению Шредин-гера (217.1), содержащему первую производную функции по времени. Это же означает, что задание функции(для момента времениt 0) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние

    Есть причина, а состояниев последующий момент - следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функциипредопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшест­вующего состояния, как того требует принцип причинности.