На этом уроке мы начнем изучение систем неравенств. Вначале будем рассматривать системы линейных неравенств. В начале урока рассмотрим, откуда и зачем возникают системы неравенств. Далее изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце будем решать конкретные примеры на системы линейных неравенств.

Тема : Рацион альные неравенства и их системы

Урок: Основн ые понятия, решение систем линейных неравенств

До сих пор мы решали отдельные неравенства и применяли к ним метод интервалов, это могли быть и линейные неравенства , и квадратные и рациональные. Теперь перейдем к решению систем неравенств - сначала линейных систем . Посмотрим на примере, откуда берется необходимость рассматривать системы неравенств.

Найти область определения функции

Найти область определения функции

Функция существует, когда существуют оба квадратних корня, т.е.

Как решать такую систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие и первому и второму неравенству.

Изобразим на оси ox множество решений первого и второго неравенства.

Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение.

Такой метод изображения решения системы неравенств иногда называют методом крыш.

Решением системы является пересечение двух множеств.

Изобразим это графически. Имеем множество А произвольной природы и множество В произвольной природы, которые пересекаются.

Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое состоит из всех элементов, входящих и в А и в В.

Рассмотрим на конкретных примерах решения линейных систем неравенств, как находить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Решить систему неравенств:

Ответ: (7; 10].

4. Решить систему

Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства

Графически обозначим решения каждого неравенства и найдем промежуток их пересечения.

Таким образом, если мы имеем систему, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.

Ответ: система противоречива.

Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.

Рассмотрим следующую систему.

7.

Иногда линейная система задается двойным неравенством, рассмотрим такой случай.

8.

Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли, откуда они появляются, рассмотрели типовые системы, к которым сводятся все линейные системы, и решили некоторые из них.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естественных Наук ().

2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

4. Центр образования «Технология обучения» ().

5. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 53; 54; 56; 57.

В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x .

Третий пример. |1 - х| > 2 |х - 1|.

Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.

На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».

Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.

Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.

С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.

На первом получается такое неравенство: 2 - х > - 2 (х - 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.

После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.

На втором: 2 - х > 2 (х - 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.

Последний дает такую запись неравенства: - (2 - х) > 2 (х - 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.

На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.

Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).

Системе неравенств.
Пример 1 . Найти область определения выражения
Решение. Под знаком квадратного корня должно находиться неотрицательное число, значит, должны одновременно выполняться два неравенства: В таких случаях говорят, что задача сводится к решению системы неравенств

Но с такой математической моделью (системой неравенств) мы еще не встречались. Значит, решение примера мы пока не в состоянии довести до конца.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой (так же обстоит дело и в системах уравнений). Например, запись

означает, что неравенства 2х - 1 > 3 и Зх - 2 < 11 образуют систему неравенств.

Иногда используется запись системы неравенств в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства 3<2х-1<11.

В курсе алгебры 9-го класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств.

Рассмотрим систему неравенств

Можно подобрать несколько ее частных решений, например х = 3, х = 4, х = 3,5. В самом деле, при х = 3 первое неравенство принимает вид 5 > 3, а второе - вид 7 < 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

В то же время значение х = 5 не является решением системы неравенств. При х = 5 первое неравенство принимает вид 9 > 3 - верное числовое неравенство, а второе - вид 13 < 11- неверное числовое неравенство .
Решить систему неравенств - значит найти все ее частные решения. Ясно, что такое угадывание, которое продемонстрировано выше, - не метод решения системы неравенств. В следующем примере мы покажем, как обычно рассуждают при решении системы неравенств.

Пример 3. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.

а) Решая первое неравенство системы, находим 2х > 4, х > 2; решая второе неравенство системы, находим Зх < 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
б) Решая первое неравенство системы, находим х > 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 23). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем луч

в) Решая первое неравенство системы, находим х < 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Обобщим рассуждения, проведенные в рассмотренном примере. Предположим, что нам нужно решить систему неравенств

Пусть, например, интервал (а, b) является решением неравенства fх 2 > g(х), а интервал (с, d) - решением неравенства f 2 (х) > s 2 (х). Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 25). Решением системы неравенств является пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. На рис. 25 это интервал (с, b).

Теперь мы без особого труда сможем решить систему неравенств, которую получили выше, в примере 1:

Решая первое неравенство системы, находим х > 2; решая второе неравенство системы, находим х < 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Разумеется, система неравенств не обязательно должна состоять из линейных неравенств, как было до сих пор; могут встретиться любые рациональные (и не только рациональные) неравенства. Технически работа с системой рациональных нелинейных неравенств, конечно, сложнее, но принципиально нового (по сравнению с системами линейных неравенств) здесь ничего нет.

Пример 4. Решить систему неравенств

Р е ш е н и е.

1) Решим неравенство Имеем
Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой (рис. 27). Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х) = (х- 3)(х + 3) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 27. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство р(х) > 0 (они заштрихованы на рис. 27), и точки, в которых выполняется равенство р(х) = 0, т.е. точки х = -3, х = 3 (они отмечены на рис. 2 7 темными кружочками). Таким образом, на рис. 27 представлена геометрическая модель решения первого неравенства.

2) Решим неравенство Имеем
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой (рис. 28). Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение <7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) > О (заштриховано на рис. 28), и точки, в которых выполняется равенство g (х) - О, т.е. точки х = 0, х = 5 (они отмечены на рис. 28 темными кружочками). Таким образом, на рис. 28 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.

3) Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а для решений второго - нижнюю штриховку (рис. 29). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок .

Пример 5. Решить систему неравенств:

Решение:

а) Из первого неравенства находим x >2. Рассмотрим второе неравенство. Квадратный трехчлен х 2 + х + 2 не имеет действительных корней, а его старший коэффициент (коэффициент при х 2) положителен. Значит, при всех х выполняется неравенство х 2 + х + 2>0,а потому второе неравенство системы не имеет решений. Что это значит для системы неравенств? Это значит, что система не имеет решений.

б) Из первого неравенства находим x > 2, а второе неравенство выполняется при любых значениях х. Что это значит для системы неравенств? Это значит, что ее решение имеет вид х>2, т.е. совпадает с решением первого неравенства.

О т в е т:

а) нет решений; б) x >2.

Этот пример является иллюстрацией для следующих полезных

1. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.

2. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной , то решением системы служит решение второго неравенства системы.

Завершая этот параграф, вернемся к приведенной в его начале задаче о задуманном числе и решим ее, как говорится, по всем правилам.

Пример 2 (см. с. 29). Задумано натуральное число. Известно, что если к квадрату задуманного числа прибавить 13, то сумма будет больше произведения задуманного числа и числа 14. Если же к квадрату задуманного числа прибавить 45, то сумма будет меньше произведения задуманного числа и числа 18. Какое число задумано?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.
Задуманное число х, как мы видели выше, должно удовлетворять системе неравенств

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.Преобразуем первое неравенство системы к виду
х2- 14x+ 13 > 0.

Найдем корни трехчлена х 2 - 14x + 13: х 2 = 1, х 2 = 13. С помощью параболы у = х 2 - 14x + 13 (рис. 30) делаем вывод, что интересующее нас неравенство выполняется при x < 1 или x > 13.

Преобразуем второе неравенство системы к виду х2 - 18 2 + 45 < 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Урок и презентация на тему: "Системы неравенств. Примеры решений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов

Система неравенств

Ребята, вы изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике – система неравенств. Система неравенств похожа на систему уравнений. Вы помните системы уравнений? Системы уравнений вы изучали в седьмом классе, постарайтесь вспомнить, как вы их решали.

Введем определение системы неравенств.
Несколько неравенств с некоторой переменой х образуют систему неравенств, если нужно найти все значения х, при которых каждое из неравенств образует верное числовое выражение.

Любое значение x, при которых каждое неравенство принимает верное числовое выражение, является решением неравенства. Также может называться и частным решением.
А что есть частное решение? Например, в ответе мы получили выражение х>7. Тогда х=8, или х=123, или какое-либо другое число большее семи – частное решение, а выражение х>7 – общее решение. Общее решение образуется множеством частных решений.

Как мы объединяли систему уравнений? Правильно, фигурной скобкой, так вот с неравенствами поступают также. Давайте рассмотрим пример системы неравенств: $\begin{cases}x+7>5\\x-3
Если система неравенств состоит из одинаковых выражений, например, $\begin{cases}x+7>5\\x+7
Так, что же значит: найти решение системы неравенств?
Решение неравенства – это множество частных решений неравенства, которые удовлетворяют сразу обоим неравенствам системы.

Общий вид системы неравенств запишем в виде $\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\end{cases}$

Обозначим $Х_1$ – общее решение неравенства f(x)>0.
$Х_2$ – общее решение неравенства g(x)>0.
$Х_1$ и $Х_2$ - это множество частных решений.
Решением системы неравенств будут числа, принадлежащие, как $Х_1$, так и $Х_2$.
Давайте вспомним операции над множествами. Как нам найти элементы множества, принадлежащие сразу обоим множествам? Правильно, для этого есть операция пересечения. Итак, решением нашего неравенство будет множество $А= Х_1∩ Х_2$.

Примеры решений систем неравенств

Давайте посмотрим примеры решения систем неравенств.

Решите систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x-1>2\\5x-10 b) $\begin{cases}2x-4≤6\\-x-4
Решение.
а) Решим каждое неравенство отдельно.
$3х-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Отметим наши промежутки на одной координатной прямой.

Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым.
Ответ: (1;3).

Б) Также решим каждое неравенство отдельно.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5$.
$-x-4 -5$.


Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Второе неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым слева.
Ответ: (-5; 5].

Давайте обобщим полученные знания.
Допустим, необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases}f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end{cases}$.
Тогда, интервал ($x_1; x_2$) – решение первого неравенства.
Интервал ($y_1; y_2$) – решение второго неравенства.
Решение системы неравенств – есть пересечение решений каждого неравенства.

Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других видов неравенств.

Важные правила при решении систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменой, то решением системы будет решение другого неравенства.

Примеры.
Решить систему неравенств:$\begin{cases}x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end{cases}$
Решение.
Решим каждое неравенство по отдельности.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Решим второе неравенство.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решением неравенства будет промежуток.
Нарисуем оба промежутка на одной прямой и найдем пересечение.
Пересечение промежутков - отрезок (4; 6].
Ответ: (4;6].

Решить систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end{cases}$.

Решение.
а) Первое неравенство имеет решение х>1.
Найдем дискриминант для второго неравенства.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Вспомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

Б) Первое неравенство имеет решение х>1.
Второе неравенство больше нуля при всех х. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.
Ответ: х>1.

Задачи на системы неравенств для самостоятельного решения

Решите системы неравенств:
а) $\begin{cases}4x-5>11\\2x-12 б) $\begin{cases}-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin{cases}x^2-25 г) $\begin{cases}x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end{cases}$
д) $\begin{cases}x^2+36