В предыдущих разделах был рассмотрен один из способов приближения функции к табличным данным - интерполяция. Отличительной особенностью ее являлось то, что интерполирующая функция строго проходила через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными - у,=/(х,). Эта особенность обусловливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (/и) было равно количеству табличных значений (л). Однако, если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (т), что часто встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтобы функция проходила через каждую узловую точку. В лучшем случае она будет проходить каким-либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 5.4). Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция - аппроксимирующей.

Рис. 5.4

• --интерполирующая функция;
• -----аппроксимирующая функция

Казалось бы, с помощью метода интерполяции можно описать табличные данные более точно, чем аппроксимации, тем не менее на практике возникают ситуации, когда последний метод предпочтительнее. Перечислим эти ситуации.

• 1. Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.
• 2. Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой-либо теоретической зависимостью. Например, константа скорости химической реакции зависит от температуры по уравнению Аррениуса к=кц - елр(-E/RT), в котором два определяемых параметра к 0 - предэкспоненциальный множитель, Е - энергия активации. А так как почти всегда экспериментальных точек бывает больше двух, то и возникает необходимость в аппроксимации.
• 3. Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на рис. 5.5 точками показаны табличные данные - результат некоторого эксперимента. Очевидно, что Y монотонно возрастает с увеличением X, а разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.

Рис. 5.5

Однако интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов - минимумов и максимумов - и в целом неверно отображать характер зависимости У от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.

4. И наконец, интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента. А такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных.

Постановка задачи. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=J{x), был произведен ряд измерений величин х и у.

Если аналитическое выражение функции Дх) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти такую эмпирическую формулу

значения которой при х=х, возможно мало отличались бы от опытных данных у, (/ = 1,2, ..., п).

Как правило, указывают достаточно узкий класс функций К (например, множество функций линейных, степенных, показательных и т. п.), которому должна принадлежать искомая функция /(х). Таким образом, задача сводится к нахождению наилучших значений параметров.

Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой Г, «возможно ближе» примыкающей к системе точек (рис. 5.6) Mi(Xi,y,) (/=1,2, ..., л).

Рис. 5.6

Следует отметить, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования. Известно, что эмпирические данные х, и y h как правило, приближенные и содержат ошибки. Поэтому интерполяционная формула повторяет эти ошибки и не является идеальным решением поставленной задачи. Весьма вероятно, что более простая эмпирическая зависимость будет сглаживать данные и не будет повторять ошибки, как в случае интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки, как это имеет место в случае интерполяции.

Построение эмпирической зависимости слагается из двух этапов:

• выяснение общего вида формулы;
• определение наилучших параметров эмпирической зависимости.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами х и у, то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Если отсутствуют сведения о промежуточных данных, то обычно предполагается, что эмпирическая функция аналитическая, без точек разрыва, и график ее - плавная кривая.

Удачный подбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и искусства составителя. Во многих случаях задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между х и у многочленом заданной степени т

Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно- линейная, степенная, показательная, логарифмическая и т. п.). Что касается определения наилучших значений параметров, входящих в эмпирическую формулу, то эта задача более легкая и решается регулярными методами. Наиболее часто применяемым методом определения параметров эмпирической формулы является метод наименьших квадратов.

"Что такое аппроксимация?" – один из нередко задаваемых в сети интернет вопросов. Жаждущие получить ответ, обычно хотят его иметь в форме: точной, всеобъемлющей и короткой. О содержательности ответа как-то забывают.

Если спросить: "Что такое музыка?", то я, как дилетант, скажу, что музыка – это то, что приятно слушать. А профессионал возможно будет поставлен в тупик таким "простым" вопросом. Однако, ближе к теме.

Аппроксимация – это приближение. Приближение чего-то к чему-то с той или иной точностью. Более пространно: аппроксимация, как процесс, – это построение объекта, с той или иной точностью воспроизводящего те или иные свойства исходного, т.е. аппроксимируемого, объекта. Причем, построение объекта в том или ином отношении более удобного, чем исходный объект.

У аппроксимации может быть множество направлений и приложений. Я могу кратко рассказать о той аппроксимации, которой занимался десятки лет. Более всего, это относилось к процессам топливоиспользования на ТЭС. Десятки, а порой и сотни, разных графиков и таблиц, характеризующих работу энергетического оборудования, приходилось переводить в форму аппроксимирующих уравнений или формул. То есть, одни математические объекты – графики и таблицы – воспроизводились другими математическими объектами – аппроксимирующими формулами. После чего формулы заводились на ЭВМ или персональный компьютер, и по ним можно было получить все нужные выходные данные, не водя пальцем по исходным графикам или делая какие-то грубые оценки по таблицам.

Кроме этого, мне, как программисту (или алгоритмисту), приходилось создавать довольно сложные программы – модели, описывающие технологический процесс. Порой эти программы были весьма неудобны для обычного пользователя. Но полученные расчетным путем данные вполне удавалось воспроизвести достаточно точной и простой в обращении аппроксимирующей формулой.

Вы можете в Excel построить график и щелкнуть по нему правой кнопкой мыши. Появится запрос: Вставить линию тренда. Там же можно будет разместить на графике и уравнение тренда. Это и будет примером аппроксимирующей формулы. На нашем сайте вы также можете найти десятки примеров аппроксимации.

Но чтобы получить более или менее содержательное представление, скажем, о пилке дров, надо сначала обрести хотя бы какие-то навыки владения пилой. Тоже самое и с аппроксимацией.

P.S. Решил посмотреть как интерпретируется слово "аппроксимация" в сети интернет. Более других мне понравилась интерпретация в Большом Энциклопедическом Словаре (БЭС):

"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов (напр., чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (напр., кривых линий близкими к ним ломаными)".

Только "замена" – это, в моем понимании, нечто вторичное. А первичное – "приближение". Я, например, порой строил десятки аппроксимирующих формул, добиваясь наилучшего приближения к исходной таблице данных. А собственно "замена" в основном касалась замены одной аппроксимирующей формулы на другую, более удачную. Впрочем, пользователь уже мог использовать мою аппроксимирующую формулы "взамен" исходной таблицы.

В Большой Советской Энциклопедии (БСЭ) находим более развернутое определение:

"Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации; например, приближение и интерполирование функций, численные методы анализа. Роль аппроксимации в математике непрерывно возрастает. В настоящее время аппроксимация может рассматриваться как одно из основных понятий математики". С. Б. Стечкин.

Осталось только поинтересоваться что означают "диофантовы приближения" и прочие специальные термины и все станет окончательно понятно.

В Википедии (свободной энциклопедии) очень короткое определение:

"Аппроксимация, или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми".

Позволю себе заметить, что "приближение" – это не есть "замена" или это "замена" в каком-то очень узком и специальном смысле, например в смысле "использование вместо".

В словаре бизнес-терминов находим весьма расплывчатое, на мой взгляд, определение:

"Аппроксимация – приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов".

В философской энциклопедии:

"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximare - приближаться) - метод сознательного упрощения "слишком точного" теоретического знания с целью привести его в соответствие с потребностями и возможностями практики. Например, использование числа "пи" с точностью до пятого знака после запятой достаточно для решения поставленной практической задачи. Аппроксимация первоначально использовалась в математике и затем распространилась на все науки. Аппроксимация противоположна идеализации". Г. Д. Левин.

В научной диалектике есть положение: "Истина всегда конкретна". Так и с аппроксимацией – нет аппроксимации "вообще". Ее содержательная часть – в конкретных приложениях и в конкретных областях. Я, например, занимался аппроксимацией графиков и табличных данных посредством подбора подходящих для этого формул с использованием метода наименьших квадратов, встроенного в электронные таблицы Quattro Pro и Excel. А способов подбора – десятки, и это уже не только наука, но и искусство. Ваш, Протасов Н.Г.

P.P.S. Вот еще информация, дополняющая в достаточно простой и понятной форме тему аппроксимации. Эта информация находится по адресу http://univer-nn.ru/ , а здесь я привожу ее в несколько сокращенном виде:

Задача аппроксимации (задача о приближении)

Пусть y = f(x) является функцией аргумента х. Нередко эта зависимость задается в табличном виде. В контрольных по математике на аппроксимацию также часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, требуется определить значения функции в других точках, отличных от заданных табличных значений. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.

Вид аппроксимирующей функции существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае выбирают таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х:

f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn

Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.

Таким образом, аппроксимация – замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой".

Лично я редко пользуюсь полиномами в их классическом виде, как и другими стандартными представлениями, указанными в статье. Однако это уже нюансы технологии построения аппроксимирующих формул.

Еще раз – с пожеланиями успехов!

Аппроксимация функций

Введение

Когда обрабатывается выборка экспериментальных данных, то они, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел (x i ,y i ). Поэтому возникает задача аппроксимации дискретной зависимости y(x i ) непрерывной функцией f(x).

Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции ) , которая была бы близка заданной.

Функция f(x), в зависимости от специфики задачи, может отвечать различным требованиям.

• Функция f(x) должна проходить через точки (x i ,y i ), т. е. f(x i )=y i ,i=1...n. В этом случае говорят об интерполяции данных функцией f(x) во внутренних точках между x i , или экстраполяции за пределами интервала, содержащего все x i .
• Функция f(x) должна некоторым образом (например, в виде определенной аналитической зависимости) приближать y(x i ), не обязательно проходя через точки (x i ,y i ). Такова постановка задачи регрессии , которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.
• Функция f(x) должна приближать экспериментальную зависимость y(x i ), учитывая, к тому же, что данные (x i ,y i ) получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция f(x), с помощью того или иного алгоритма уменьшает погрешность, присутствующую в данных (x i ,y i ). Такого типа задачи называют задачами фильтрации. Сглаживание - частный случай фильтрации.

Критерии близости функций и могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной . Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).

Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции , причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию , проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является.

В качестве функции обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом .

В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная .

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции .

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова ), а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию ).

Различные виды построения аппроксимирующей зависимости f(x) иллюстрирует рис. 1. На нем исходные данные обозначены кружками, интерполяция отрезками прямых линий - пунктиром, линейная регрессия - наклонной прямой линией, а фильтрация - жирной гладкой кривой.

Рис. 1. Виды построения аппроксимирующей зависимости

Интерполяция и экстраполяция

В огромном количестве численных методов используются алгоритмы интерполяции. Вообще говоря, вычислительная математика - это наука о дискретных представлениях функций. Именно конечный набор значений y(x i ) представляет на компьютерном языке математическую абстрацию - непрерывную функцию y(x). Задача интерполяции функции одной переменной состоит в замене дискретной зависимости y(x i ), т.е. N пар чисел (x i ,y i ), или, по-другому, узлов, некоторой непрерывной функцией y(x). При этом основным условием является то, что функция y(x) должна проходить через точки (x i ,y i ), т. е. y(x i )=y i ,i=1...N, а также возможность вычислить значение y(x) в любой точке, находящейся между узлов.

Рис. 2. Построение интерполирующих и экстраполирующих зависимостей.

Когда искомое значение y(x) вычисляется в точке x, которая находится между каких-либо из узлов x i , говорят об интерполяции , а когда точка x лежит вне границ интервала, включающего все x i - об экстраполяции функции y(x).

На Рис. 2 по множеству точек (x i ,y i ), обозначенных кружками, построена как интерполирующая (при x>100), так и экстраполирующая их функция (при x<100). Интерполяция-экстраполяция показаны на рис. сплошной кривой.

Следует иметь в виду, что точность экстраполяции обычно очень невелика.

Для экстраполяции данных в отдельных версиях пакета применяется функция predict (v, m ,n) . Она формирует вектор предсказанных значений, построенный на m последовательных элементах вектора v .

Параметры функции predict (v, m ,n ) : v - вектор, чьи значения представляют выборки, принятые в равных интервалах, m и n - целые числа.

Таким образом «предсказывающаяся функция» predict (v, m ,n) использует существующие данные, чтобы предсказать новые данные, которые находящиеся за пределами задания. Она использует линейный алгоритм предсказания, который является достаточным, когда функции гладкие или знакопеременные, хотя не обязательно периодические.

Пример ниже иллюстрирует использование линейного предсказания.

7 .1 Локальная интерполяция

7 .1.1. Линейная интерполяция

Простейшим случаем локальной интерполяции является линейная интерполяция, когда в качестве интерполяционной функции выбирается полином первой степени, то есть узловые точки соединяются прямой линией.

Линейная интерполяции представляет искомую зависимость y(x) в виде ломаной линии. Интерполирующая функция у(x) состоит из отрезков прямых, соединяющих точки (x i ,y i ) (см. рис. 3).

Рис.3 Линейная интерполяция

Для построения линейной интерполяции достаточно на каждом из интервалов (x i ,x i+1 ) вычислить уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых. Линейная интерполяция на Mathcad ’е осуществляется с помощью встроенной функции linterp .

linterp (VX , VY , х)

Для заданных векторов VX и VY узловых точек и заданного аргумента х linterp возвращает значение функции при ее линейной интерполяции. При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.

Пусть требуется провести линейную интерполяцию функции sin(x ) на интервале , используя пять узлов интерполяции, и вычислить значения функции в четырех точках Xk :

Задаем интервал изменения x и число узловых точек

Определяем шаг изменения x :

Вычисляем координаты узлов и значения функции в них:

Проводим линейную интерполяцию:

Вычислим значение интерполяционной функции в заданных точках и сравним их с точными значениями

Как видно, результаты интерполяции отличаются от точных значений функции незначительно.

7 .1.2. Интерполяция сплайнами

В настоящее время среди методов локальной интерполяции наибольшее распространение получила интерполяция сплайнами (от английского слова spline – гибкая линейка).

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки (x i ,y i )не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция у(x) квадратичными или кубическими сплайнами, т. е. отрезками квадратичных или кубических парабол (см. рис.4).

При этом строится интерполяционный полином третьей степени, проходящий через все заданные узлы и имеющий непрерывные первую и вторую производные.

Рис.4 Сплайн-интерполяция

На каждом интервале интерполирующая функция является полиномом третьей степени

и удовлетворяет условиям.

Если всего n узлов, то интервалов – . Значит, требуется определить неизвестных коэффициентов полиномов. Условие дает нам n уравнений. Условие непрерывности функции и ее первых двух производных во внутренних узлах интервала дает дополнительно уравнений

Всего имеем различных уравнений. Два недостающих уравнения можно получить, задавая условия на краях интервала. В частности, можно потребовать нулевой кривизны функции на краях интервала, то есть. Задавая различные условия на концах интервала, можно получить разные сплайны.

Для осуществления сплайновой аппроксимации MathCAD предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

cspIine(VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pspline(VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам к параболической кривой;

lspline(VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.

Наконец, четвертая функция

interp (VS , VX , VY , x)

возвращает значение у(х) для заданных векторов VS, VX, VY и заданного значения х.

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью одной из функций cspline, pspline или lspline отыскивается вектор вторых производных функции у(х), заданной векторами VX и VY ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у(х) с помощью функции interp.

Решим задачу об интерполяции синуса с помощью сплайнов через функцией interp(VS,x,y,z) . Переменные x и y задают координаты узловых точек, z является аргументом функции, VS определяет тип граничных условий на концах интервала.

Определим интерполяционные функции для трех типов кубического сплайна

Вычисляем значения интерполяционных функций в заданных точках и сравниваем результаты с точными значениями

Следует обратить внимание, что результаты интерполяции различными типами кубических сплайнов практически не отличаются во внутренних точках интервала и совпадают с точными значениями функции. Вблизи краев интервала отличие становится более заметным, а при экстраполяции за пределы заданного интервала различные типы сплайнов дают существенно разные результаты. Для большей наглядности результаты представлены на графиках (Рис.5) .

Рис.5 Сравнение сплайн-интерполяция

Аналогично можно убедиться, что первые и вторые производные сплайна непрерывны (Рис.6).

Рис.6 Сравнение производных (1-х и 2-х) сплайн-интерполяция

П роизводные более высоких порядков уже не являются непрерывными.

7.1.3. Интерполяция B-cплайнами

Рис.7 Интерполяция B-cплайнами

Чуть более сложный тип интерполяции – так называемая полиномиальная сплайн-интерполяция, или интерполяция B-сплайнами . В отличие от обычной сплайн-интерполяции, сшивка элементарных B-сплайнов производится не в точках (t i ,x i ), а в других точках, координаты которых обычно предлагается определить пользователю. Таким образом, требование равномерного следования узлов при интерполяции B-сплайнами отсутствует, и ими можно приближать разрозненные данные.

Сплайны могут быть полиномами первой, второй или третьей степени (линейные, квадратичные или кубические). Применяется интерполяция B-сплайнами точно так же, как и обычная сплайн-интерполяция, различие состоит только в определении вспомогательной функции коэффициентов сплайна.

bspline (vx , vy , u , n ) Возвращает вектор, содержащий коэффициенты В- сплайна степени n для данных , которые находяться в векторах vx и vy (с учет ом значений узл ов, которые заданы в u ) . Возвращаемый вектор становится первым аргументом функции interp .

interp (vs , vx , vy , x ) Возвращает B - сплайн интерполированной величины vy в точке x , где vs – результат работы функции bspline .

Аргументы

vx x .

vy y vx .

U - действительный вектор с числом элементов n-1 меньшим, чем в vx (где n - 1, 2, или 3). Элементы u должны быть в порядке возрастания. Элементы содержат значения узлов для интерполяции. Первый элемент в u должен быть меньше чем или равняться первому элементу в vx . Последний элемент в u должен быть больше или равняться последнему элементу в x.

N - целое число, равняются 1, 2, или 3, указывая степень индивидуального кусочно-линейного (n=1) , - квадратичного (n=2) , или кубического (n=3) полиномиал соответственно.

vs - вектор, образованный bspline .

X - значения независимой переменной, по которой Вы хотите интерполировать результаты. Для лучших результатов она должна принадлежать интервалу задания исходных значений х.

B - spline интерполяция позволяет передавать кривую через набор точек. Эта кривая строится на трех смежных точках полиномами градуса степени n и проходит через эти точки. Эти полиномы сопрягаются вместе в узлах так, чтобы сформировать законченную кривую.

7 .2. Глобальная интерполяция

При глобальной интерполяции ищется единый полином для всего интервала. Если среди узлов { x i ,y i } нет совпадающих, то такой полином будет единственным, и его степень не будет превышать n .

Запишем систему уравнений для определения коэффициентов полинома

Определим матрицу коэффициентов системы уравнений

Решим систему уравнений матричным методом

Определим интерполяционный полином

Вычислим значения интерполяционного полинома в заданных точках и сравним их с точными значениями

Коэффициенты интерполяционного полинома следующие:

Для наглядности результаты представлены на графике (Рис.8).

Примечание.

Из-за накопления вычислительной погрешности (ошибок округления) при большом числе узлов (n>10) возможно резкое ухудшение результатов интерполяции. Кроме того, для целого ряда функций глобальная интерполяция полиномом вообще не дает удовлетворительного результата. Рассмотрим в качестве примера две таких функции. Для этих функций точность интерполяции с ростом числа узлов не увеличивается, а уменьшается.

Рис. 8 . Глобальная интерполяция полиномом функции sin (z ).

Следующим примером является функция. Для нее интерполяционный полином строится на интервале [–1;1], используется 9 точек.

Результаты представлены на графике Рис. 9.

Рис. 9 Глобальная интерполяция полиномом функции.

Для функция найдем интерполяционный полином, используя заданные выше точки.

Результаты представлены на графике Рис. 10.

Рис. 10 Глобальная интерполяция полиномом функции.

При увеличении числа узлов интерполяции, результаты интерполирования вблизи концов интервала ухудшаются.

7 .3 Метод наименьших квадратов

Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов. Метод позволяет использовать аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе глобальных методов. Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших квадратов носит также название линейной регрессии.

Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек:

Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих погрешности.

Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция может быть произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента. Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций. Кроме того, возможно путем замены переменных свести задачу к линейной (провести линеаризацию). Например, пусть аппроксимирующая функция ищется в виде. Прологарифмируем это выражение и введем обозначения , . Тогда в новых обозначениях задача сводится к отысканию коэффициентов линейной функции.

7 .3.1. Аппроксимация линейной функцией

Применим метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных.

Данные считываются из файлов datax и datay

При использовании MathCAD имя файла следует заключать в кавычки и записывать его по правилам MS DOS, например, READPRN("c:\mylib\datax.prn").

Определяется количество прочитанных данных (число экспериментальных точек).

В дальнейшем используются встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой линией).

Функция slope(vx , vy ) определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept(vx , vy ) – точку пересечения графика с вертикальной осью.

Mathcad 2000 предлагает для этих же целей использовать функцию line(vx , vy ) , которая образует вектор (первый элемент - угловой коэффициент прямой, второй - точку пересечения с вертикальной осью).

Аргументы

v x - вектор действительных значений данных в порядке возрастания. Они соответствуют значениям x .

vy - вектор действительных значений данных. Они соответствуют значениям y . Содержит тот же число элементов, что и vx .

Коэффициенты линейной регрессии –

Стандартное отклонение составляет:

Рис. 11. Аппроксимация линейной функцией.

7 .3.2. Аппроксимация полиномами.

Для аппроксимация экспериментальных данных полиномами второй и третьей степени служат встроенные функции regress и уже знакомая нам функция interp . (Очевидно, что если в качестве аппроксимирующей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный полином будет точно проходить через все заданные узлы.)

Вводим степени полиномов:

Функция regress(vx , vy , k ) является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp .

Аргументы

v x - вектор действительных значений данных в порядке возрастания. Они соответствуют значениям x .

vy - вектор действительных значений данных. Они соответствуют значениям y . Содержит тот же число элементов, что и vx ,

k - степень полинома .

Вектор vs содержит, в том числе, и коэффициенты полинома

Функция interp (vs , vx , vy , z ) возвращает полином интерполированной величины vy в точке z , где vs – результат работы функции regress .

Определяя новые функции f2, f3 , мы получаем возможность находить значение полинома в любой заданной точке:

а также коэффициенты:

Стандартные отклонения почти не отличают друг от друга, коэффициент при четвертой степени z невелик, поэтому дальнейшее увеличение степени полинома нецелесообразно и достаточно ограничиться только второй степенью.

Функция regress имеется не во всех версиях Matcad "а. Однако, провести полиномиальную регрессию можно и без использования этой функции. Для этого нужно определить коэффициенты нормальной системы и решить полученную систему уравнений, например, матричным методом.

Теперь попытаемся аппроксимировать экспериментальные данные полиномами степени m и m1, не прибегая к помощи встроенной функции regress .

Вычисляем элементы матрицы коэффициентов нормальной системы

и столбец свободных членов

Находим коэффициенты полинома, решая систему матричным методом,

Определяем аппроксимирующие функции

Коэффициенты полиномов следующие:

Рис. 12. Аппроксимация полиномами 2-й и 3-й степени.

Функция regress создает единственный приближающий полином, коэффициенты которого вычисляются по всей совокупности заданных точек, т. е. глобально. Иногда полезна другая функция полиномиальной регрессии, дающая локальные приближения отрезками полиномов второй степени: loess(VX, VY, span ) — возвращает вектор VS , используемый функцией interp(VS, VX, VY, x) , дающей наилучшее приближение данных (с координатами точек в векторах VX и VY ) отрезками полиномов второй степени. Аргумент span > 0 указывает размер локальной области приближаемых данных (рекомендуемое начальное значение — 0,75). Чем больше span , тем сильнее сказывается сглаживание данных. При больших span эта функция приближается к regress(VX, VY, 2) .

Ниже в примере показано приближение сложной функции со случайным разбросом ее ординат с помощью совокупности отрезков полиномов второй степени (функция loess ) для двух значений параметра span .

По рисунку примера можно отметить, что при малом значении span = 0.05 отслеживаются характерные случайные колебания значений функции, тогда как уже при span = 0.5 кривая регрессии становится практически гладкой. К сожалению, из-за отсутствия простого описания аппроксимирующей функции в виде отрезков полиномов этот вид регрессии получил ограниченное применение.

Проведение многомерной регрессии

MathCAD позволяет выполнять также многомерную регрессию. Самый типичный случай ее — приближение поверхностей в трехмерном пространстве. Их можно характеризовать массивом значений высот z , соответствующих двумерному массиву Мху координат точек (х,у) на горизонтальной плоскости.

Новых функций для этого не задано. Используются уже описанные функции в несколько иной форме:

regress(Mxy, Vz, n ) — возвращает вектор, запрашиваемый функцией interp (VS, Мху, Vz, V) для вычисления многочлена n -й степени, который наилучшим образом приближает точки множества Мху и Vz . Мху — матрица т 2, содержащая координаты х и у. Vz — m -мер-ный вектор, содержащий z -координаты, соответствующие т точкам, указанным в Мху;

Loes(Mxy, Vz, span ) — аналогичен loes(VX, VY, span ), но в многомерном случае;

interp(VS, Мху, Vz, V) — возвращает значение z по заданным векторам VS (создается функциями regress или loess ) и Мху , Vz и V (вектор координат х и у заданной точки, для которой находится z ).

Пример многомерной интерполяции был приведен выше. В целом многомерная регрессия применяется сравнительно редко из-за сложности сбора исходных данных.

7 .3.3. Аппроксимация линейной комбинацией функций

Mathcad предоставляет пользователям встроенную функцию linfit для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов линейной комбинацией произвольных функций.

Функция linfit(x , y , F ) имеет три аргумента:

• вектор x – x –координаты заданных точек,
• вектор y – y –координаты заданных точек,
• функция F – содержит набор функций, который будет использоваться для построения линейной комбинации.

Задаем функцию F (аппроксимирующая функция ищется в виде:

Определяем аппроксимирующую функцию:

Вычисляем дисперсию:

Рис. 1 3 . Аппроксимация линейной комбинацией функций

8.3.4.

Теперь построим аппроксимирующую функцию дробно–

рационального типа . Для этого воспользуемся функцией genfit(x , y , v,F ) .

Функция имеет следующие параметры:

• x, y – векторы, содержащие координаты заданных точек,
• F – функция, задающая искомую функциональную n –параметрическую зависимость и частные производные этой зависимости по параметрам.
• v – вектор, задающий начальные приближения для поиска параметров.

Поскольку нулевой элемент функции F содержит искомую функцию, определяем функцию следующим образом:

Вычисляем среднее квадратичное отклонение

Рис. 1 4 . Аппроксимация функцией произвольного вида

на основе genfit .

Функция genfit имеется не во всех реализациях Mathcad "а. Возможно, однако, решить задачу, проведя линеаризацию.

Заданная функциональная зависимость может быть линеаризована

введением переменных и. Тогда .

Определим матрицы коэффициентов нормальной системы.

Находим коэффициенты функции, решая систему матричным методом,

Определяем функцию:

Вычислим стандартное отклонение

Обратите внимание! Мы получили другие коэффициенты! Задача на нахождение минимума нелинейной функции, особенно нескольких переменных, может иметь несколько решений.

Стандартное отклонение больше, чем в случае аппроксимации полиномами, поэтому следует остановить свой выбор на аппроксимации полиномом.

Представим результаты аппроксимации на графиках

Рис. 1 5 . Аппроксимация функцией произвольного вида

на основе genfit .

В тех случаях, когда функциональная зависимость оказывается достаточно сложной, может оказаться, что самый простой способ нахождения коэффициентов – минимизация функционала Ф "в лоб".

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Информатика, кибернетика и программирование

Как упростить вычисление известной функции fx или же ее характеристик если fx слишком сложная Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций основная задача которой состоит в нахождении функции y=x близкой т. Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и подбора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций. В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации; наибольшее распространение среди них получили интерполяция и среднеквадратичное...

ТЕМА 3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

3.1. Зачем нужна аппроксимация функций?

В окружающем нас мире все взаимосвязано, поэтому одной из наиболее часто встречающихся задач является установление характера зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x) .

В практике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных данных, вычислением f(x), разработкой вычислительных методов, встречаются следующие две ситуации:

1. Как установить вид функции y=f(x), если она неизвестна? Предполагается при этом, что задана таблица ее значений, которая получена либо из экспериментальных измерений, либо из сложных расчетов.

2. Как упростить вычисление известной функции f(x) или же ее характеристик, если f(x) слишком сложная?

Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций, основная задача которой состоит в нахождении функции y=  (x) , близкой (т.е. аппроксимирующей) в некотором нормированном пространстве к исходной функции y=f(x). Функцию  (x) при этом выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов.

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что  (x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров, т.е. , значения которых подбираются из некоторого условия близости f(x) и  (x) .

Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и подбора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций .

В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации; наибольшее распространение среди них получили интерполяция и среднеквадратичное приближение, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.

Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время является линейная аппроксимация , при которой выбирают функцию, линейно зависящую от параметров, т.е. в виде обобщенного многочлена:

. (3.1)

Здесь – известная система линейно независимых (базисных) функций. В качестве в принципе могут быть выбраны любые элементарные функции, например: тригонометрические, экспоненты, логарифмические или комбинации таких функций. Важно, чтобы система базисных функций была полной , т.е. обеспечивающей аппроксимацию f(x) многочленом (3.1) с заданной точностью при.

Приведем хорошо известные и часто используемые системы. При интерполяции обычно используется система линейно независимых функций. Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать ортогональные на интервале [ 1, 1] многочлены Лежандра:

Заметим, что если функция задана на отрезке [ a, b ] , то при использовании этой системы необходимо предварительно осуществить преобразование координат, приводящее интервал к интервалу.

Для аппроксимации периодических функций используют ортогональную на [ a, b ] систему тригонометрических функций. В этом случае обобщенный многочлен (3.1) записывается в виде.

3.2. Что такое интерполяция?

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x a, b ], где функции f и  должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) (обозначим), число которых равно количеству искомых параметров. Далее параметры подбирают такими, чтобы функция совпадала с f(x) в этих узлах, (рис.3.1), для чего решают полученную систему из n алгебраических в общем случае нелинейных уравнений.

В случае линейной аппроксимации (3.1) система для нахождения коэффициентов линейна и имеет следующий вид:

(3.2)

Система базисных функций, используемых для интерполяции, должна быть чебышевской , т.е. такой, чтобы определитель матрицы системы (3.2) был отличен от нуля и, следовательно, задача интерполяции имела единственное решение.

Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обрабатываются.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1 , совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.

Общий вид алгебраического многочлена

. (3.3)

Матрица системы (3.2) в этом случае имеет вид

, (3.4)

и ее определитель (это определитель Вандермонда) отличен от нуля, если точки x i разные. Поэтому задача (3.2) имеет единственное решение, т.е. для заданной системы различных точек существует единственный интерполяционный многочлен.

Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени, построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n, по формуле

(3.5)

Из (3.5) следует, что при h  0 порядок погрешности p (см. подразд. 1.4) при интерполяции алгебраическим многочленом равен количеству выбранных узлов p=n. Величина  может быть сделана малой как за счет увеличения n, так и уменьшения h. В практических расчетах используют, как правило, многочлены невысокого порядка (n  6 ) , в связи с тем что с ростом n резко возрастает погрешность вычисления самого многочлена из-за погрешностей округления.

3.3. Какие бывают многочлены и способы интерполяции?

Один и тот же многочлен можно записать по-разному, например. Поэтому в зависимости от решаемых задач применяют различные виды представления интерполяционного многочлена и соответственно способы интерполяции.

Наряду с общим представлением (3.3) наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Их особенность в том, что не надо находить параметры, так как многочлены в этой форме прямо записаны через значения таблицы.

Интерполяционный многочлен Ньютона (PN)

. (3.6)

Здесь – текущая точка, в которой надо вычислить значение многочлена, – разделенные разности порядка k, которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам:

Схема расчета многочлена Ньютона представлена на рис. 3.2.

Линейная (PNL) и квадратичная(PNS) интерполяция

Вычисления по интерполяционной формуле (3.6) для n > 3 используют редко. Обычно при интерполяции по заданной таблице из m>3 точек применяют квадратичную n=3 или линейную n=2 интерполяцию. В этом случае для приближенного вычисления значения функции f в точке x находят в таблице ближайший к этой точке i -узел из общей таблицы, строят интерполяционный многочлен Ньютона первой или второй степени по формулам

(3.7)

и за значение f(x) принимают (линейная интерполяция ) или (квадратичная интерполяция ). Схема расчета для линейной и квадратичной интерполяции приведена на рис. 3.3.

Интерполяционный многочлен Лагранжа (PL)

(3.8)

Многочлены выбраны так, что во всех узлах, кроме k -го, они обращаются в ноль, в k -м узле они равны единице:

Поэтому из выражения (3.8) видно, что.

Схема расчета интерполяционного многочлена Лагранжа представлена на рис. 3.4.

Интерполяция общего вида, использующая прямое решение системы (3.2) методом Гаусса (POG)

Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида (3.3), если предварительно найдены коэффициенты.

Поэтому когда требуется производить много вычислений многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно вначале один раз найти коэффициенты и затем использовать формулу (3.3). Коэффициенты находят прямым решением системы (3.2) c матрицей (3.4), затем вычисляют его значения по экономно программируемой формуле (алгоритм Горнера)

. (3.9)

Схема расчета интерполяционного многочлена общего вида по формуле (3.9) с прямым решением системы (3.2) приведена на рис.3.5.

Интерполяция общего вида, использующая расчет коэффициентов многочлена (3.3) через многочлен Лагранжа (POL)

Находить коэффициенты многочлена (3.3) можно, не решая прямо систему (3.2), а используя разложение коэффициентов Лагранжа (3.8):

. (3.10)

Рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов:

(3.11)

получаются из вида многочленов, если использовать очевидное представление

Схема алгоритма вычисления коэффициентов многочлена общего вида по формулам (3.10), (3.11) представлена на рис. 3.6.

3.4. Что такое среднеквадратичная аппроксимация?

Суть среднеквадратичной аппроксимации заключается в том, что параметры функции подбираются такими, чтобы обеспечить минимум квадрата расстояния между функциями f(x) и в пространстве (см. подразд. 1.3), т.е. из условия

. (3.12)

В случае линейной аппроксимации (3.1) задача (3.12) сводится к решению СЛАУ для нахождения необходимых коэффициентов:

(3.13)

Здесь – скалярные произведения в L 2.

Матрица системы (3.13) симметричная, и ее следует решать методом квадратного корня.

Особенно просто эта задача решается, если выбрана ортогональная система функций , т.е. такая, что

Тогда матрица СЛАУ (3.13) диагональная и параметры находятся по формуле

В этом случае представление (3.1) называется обобщенным рядом Фурье , а называются коэффициентами Фурье .

Метод наименьших квадратов (МНК)

МНК является частным случаем среднеквадратичной аппроксимации. При использовании МНК в области значений x , представляющей некоторый интервал [ a, b ] , где функции f и  должны быть близки, выбирают систему различных точек (узлов) x 1 , ..., x m , число которых обычно больше, чем количество искомых параметров, Далее, потребовав, чтобы сумма квадратов невязок во всех узлах была минимальна (рис. 3.7):

находим из этого условия параметры. В общем случае эта задача сложная и требует применения численных методов оптимизации. Однако в случае линейной аппроксимации (3.1), составляя условия минимума суммы квадратов невязок во всех точках (в точке минимума все частные производные должны быть равны нулю):

(3.14)

получаем систему n линейных уравнений относительно n неизвестных следующего вида:

Или. (3.15)

Здесь – векторы-таблицы функ-ций. Элементы матрицы G и вектора в (3.15) определяются выражениями

– скалярные произведения векторов.

Система (3.15) имеет симметричную матрицу G и решается методом квадратного корня.

При аппроксимации по МНК обычно применяют такие функции, которые используют особенности решаемой задачи и удобны для последующей обработки.

Схема расчета коэффициентов многочлена вида (3.3) по методу наименьших квадратов представлена на рис. 3.8.

Приведем пример аппроксимации по МНК. Предположим, что известна таблица значений f(x) : { x 1 = 1 , y 1 = 0.5 , x 2 = 2 , y 2 =1.2 , x 3 =3 , y 3 =0.8}, т.е. m =3. Требуется найти параметры аппроксимирующей функции вида, (n =2).

Составляем сумму квадратов невязок

Условия минимума (3.1 4 ):

Приводя подобные члены, получим окончательно систему двух уравнений с симметричной матрицей относительно неизвестных c 1 и c 2 :

Решая ее, находим.

На рис. 3.9 приведена таблица функции f(x) и полученная по МНК функция  (x ).

Порядок расчета по МНК следующий. Вначале по исходной таблице формируется матрица G и рассчитываются коэффициенты (см. рис. 3.8) (в качестве j k (x ) здесь берется функция x k - 1 ). Затем, используя полученные коэффициенты, рассчитывается значение функции в искомой точке (см. рис. 3.5, б).

3.5. Варианты заданий

Во всех вариантах (табл. 3.1.) требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом на интервале [ a, b ] . Задано количество неизвестных параметров n , вид аппроксимации и m – количество точек, в которых задана функция. Таблица исходной функции y i = f (x i ) вычисляется в точках Используя полученную таблицу требуется вычислить значения функций и погрешность в точках, построить графики и проанализировать качество полученной аппроксимации.

Таблица 3 . 1

N вар.	Функция f(x)					Вид аппроксимации
						МНК
						Ньютона PN
						Лагранжа PL
						Общего вида POG
						Общего вида POL
						Линейная PNL
						МНК
						Квадратичная PNS
						Ньютона PN
						Лагранжа PL
						Общего вида POG
						Общего вида POL
						МНК
						Квадратичная PNS
						Линейная PNL

3.6. Контрольные вопросы

1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?

2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?

3. Напишите интерполяционный многочлен Ньютона 2-го порядка.

4. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.

5. Как осуществляется аппроксимация по методу наименьших квадратов и его геометрическая интерпретация?

6. Выведите СЛАУ относительно коэффициентов функции по МНК для таблицы.

PAGE 30

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
33218.		Классификация режимов работы судового электрооборудования в зависимости от продолжительности рабочего цикла	83.58 KB
	Судовое электрооборудование будет работать надежно, если оно не только правильно сконструировано, но и правильно используется. СЭО используется правильно, если оно соответствует условиям работы судового механизма, устройства и т.п.
33224.		Электромагнитные измерительные приборы	13.15 KB
	Магнитоэлектрический прибор измерительный прибор непосредственной оценки для измерения силы электрического тока напряжения или количества электричества в цепях постоянного тока Электри́ческая мо́щность физическая величина характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии. Ток изменяющийся во времени по значению и направлению называется переменным. В практике применяют периодически изменяющийся по синусоидальному закону переменный ток.

Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x) . Аппроксимацией называется получение некой функции, приближенно описывающей какую-то функциональную зависимость f(x), заданную таблицей значений, либо заданную в виде, неудобном для вычислений. При этом эту функцию выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов. Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что функция fi(x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров c1, c2, …, cn, значения которых подбираются из некоторого условия близости f(x) и fi(x) . Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и под- бора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций . В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации , среди которых наибольшее распространение получили интерполяция и среднеквадратичное приближение . Наиболее простой является линейная аппроксимация , при которой выбирают функцию линейно зависящую от параметров, т. е. в виде обобщенного многочлена: . Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1 , совпадающий с аппроксимируемой функцией в n выбранных точках. Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени n-1 , построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n. Суть среднеквадратичной аппроксимации заключается в том, что параметры функции подбираются такими, чтобы обеспечить минимум квадрата расстояния между функциямиf(x) и fi (x , c ). Метод наименьших квадратов является частным случаем среднеквадратичной аппроксимации. При использовании метода наименьших квадратов аналогично задаче интерполяции в области значений x , представляющей некоторый интервал [a, b ], где функции f(x) и fi(x) должны быть близки, выбирают систему различных точек (узлов) x1, ..., x m, число которых больше, чем количество искомых параметров. Далее, требуют чтобы сумма квадратов невязок во всех узлах была минимальна.

Интерполяция общего вида

Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида. Поэтому, когда требуется производить многократные вычисления многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно вначале один раз найти коэффициенты с. Коэффициенты находят прямым решением системы с, затем вычисляют его значения по алгоритму Горнера. Недостатком такого вида аппроксимации является необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Лагранжем была предложена своя форма записи общего интерполяционного алгебраического многочлена в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.

Интерполяционный многочлен Ньютона

Ньютоном была предложена форма записи общего интерполяционного алгебраического многочлена в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.