В некоторых открытых множествах (т.е. не содержащих свои предельные точки) можно наблюдать серьезное несоответствие размерностей.

Множество концевых точек трем канторовой пыли самоподобно и характеризуется теми же значениями и , что и вся канторова пыль, т.е. его размерность подобия совпадает с размерностью подобия канторовой пыли. Однако оно является счетным, а это означает, что его размерность Хаусдорфа – Безиковича равна нулю. Если добавить сюда предельные точки пыли, то мы получим саму канторову пыль, и несоответствие исчезнет «в пользу» размерности подобия, которая для этого множества является более важной характеристикой.

Еще один простой пример, который я называю множеством Безиковича, рассматривается в разделе нелакунарные фракталы, 3.

Размерность Фурье и эвристика

Пусть - некоторая неубывающая функция от . Если максимальные открытые интервалы, в которых значение постоянно, составляют в сумме дополнение замкнутого множества , то мы говорим, что множество является опорным для . Преобразование Фурье – Стилтьеса функции имеет вид

Самые гладкие функции дают наивысшую возможную скорость уменьшения . Обозначим через наибольшее вещественное число, при котором, по меньшей мере, одна функция с носителем удовлетворяет равенству

при для всех ,

но ни одна не удовлетворяет

при для некоторых .

Выражение « при » означает здесь, что . Когда множество заполняет весь интервал , величина бесконечна. И напротив, когда - одна – единственная точка, . Интересно, что, когда представляет собой множество нулевой меры Лебега, величина конечна и не превышает размерности Хаусдорфа – Безиковича этого множества. Неравенство показывает, что фрактальные и гармонические свойства фрактального множества связаны между собой, но не обязательно совпадают.

Для доказательства того, что эти размерности могут различаться, предположим, что - это множество на прямой, причем его размерность равна . Если рассматривать как множество на плоскости, то размерность не изменится, а обратится в нуль.

Определение. В качестве удобного способа обобщения некоторых гармонических свойств , предлагаю назвать величину размерностью Фурье множества .

Множества Сейлема. Равенство описывает целую категорию множеств, называемых множествами единственности, или множествами Сейлема (см. ).

Эмпирическое правило и эвристика. Интересующие нас в прецедентных исследованиях фракталы оказываются, как правило, множествами Сейлема. Поскольку величина во многих случаях легко определяется из экспериментальных данных, можно использовать ее для оценки .

Неслучайные множества Сейлема. Неслучайная канторова пыль является множеством Сейлема только тогда, когда коэффициент удовлетворяет определенным теоретико-числовым свойствам.

Случайные множества Сейлема. Случайная канторова пыль является множеством Сейлема тогда, когда ее случайность достаточно велика для нарушения любой арифметической закономерности.

Оригинальный пример, предложенный самим Р. Сейлемом, очень сложен. В качестве альтернативного примера можно привести пыль Леви: в показано, что спектр (здесь - лестница Леви, см. рис. 399) в среднем почти совпадает со спектром дробной броуновской функции из прямой в прямую и представляет собой сглаженный вариант спектра функции Гаусса – Вейерштрасса.

В монографии (теоремы 1, с. 165, и 5, с. 173) показано, что образ компактного множества с размерностью относительно дробной броуновской функции из прямой в прямую с показателем представляет собой множество Сейлема с размерностью .

Канторова пыль не является множеством Сейлема. Троичная канторова пыль появилась в свое время на свет в результате поисков Георгом Кантором множества единственности (см. , I, с. 196), - поисков, которые не увенчались успехом. (Кантор тогда забросил гармонический анализ и – за неимением лучшего – создал теорию множеств.) Обозначим канторову лестницу через . Спектр имеет ту же общую форму, что и спектр , однако содержит, в отличие от последнего, некоторое количество случайно расположенных острых пиков неубывающего размера, из чего можно заключить, что . См. .

Для теории множеств единственности наличие этих пиков играет решающую роль, однако на практике они вовсе не столь значимы. В большинстве случаев при оценке спектральной плотности пики игнорируются, и в расчет принимается только общая форма спектра, определяемая размерностью .

Серединные и прерывистые многоугольники

Материалы по этой теме (связанной с кривыми Пеано) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

Статистический анализ с применением нормированного размаха

До недавних пор в прикладной статистике принимались как само собой разумеющиеся два следующих допущения в отношении временных рядов: предполагалось, что и что случайная величина обладает краткосрочной зависимостью. Я, однако, показал (см. главу 37), что эмпирические последовательности данных с длинными хвостами часто лучше интерпретируются в свете допущения . С вопросом же о том, является та или иная последовательность данных слабо (краткосрочно) или сильно (долгосрочно) зависимой, мы впервые столкнулись еще тогда, когда я ввел долгосрочную зависимость для интерпретации феномена Херста (см. главу 27).

Такая смесь длинных хвостов и очень долгосрочной зависимости могла бы завести статистиков в тупик, поскольку стандартные методы второго порядка, рассчитанные на неизменную зависимость (корреляцию, спектры), руководствуются допущением . Есть. Однако, альтернатива.

Можно пренебречь распределением величины и проанализировать ее долгосрочную зависимость с помощью нормированного размаха; иначе такая процедура называется - анализом. Этот статистический метод, предложенный в и получивший математическое обоснование в , основан на различии между краткосрочной и очень долгосрочной зависимостями. В этом методе вводится постоянная , которая называется коэффициентом Херста, или - показателем, и может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

Значимость постоянной можно описать еще до ее определения. Особое значение характерно для независимых, марковских и других случайных функций с краткосрочной зависимостью. Таким образом, для того, чтобы узнать, присутствует ли в эмпирических данных или в выборочных функциях очень долгосрочная непериодическая статистическая зависимость, достаточно проверить, приемлемо ли статистически предположение . Если нет, то такая зависимость присутствует, а мера ее интенсивности определяется разностью , значение которой можно оценить на основании имеющихся данных.

Главное достоинство такого подхода заключается в том, что показатель устойчив по отношению к маргинальному распределению. То есть он эффективен не только в тех случаях, когда последовательности данных или случайные функции являются почти гауссовыми, но и тогда, когда распределение настолько далеко от гауссова, что расходится, а в этом случае не работает ни один из методов второго порядка.

Определение статистического - размаха . В непрерывном времени определим , и . В дискретном времени определим и ; здесь - целая часть . Для всякого (величину назовем запаздыванием) определим скорректированный размах суммы на временнóм промежутке от 0 до в виде

Величина называется статистическим - размахом или самонормированным самокорректированным размахом суммы .

Определение - показателя . Предположим, что существует некоторое вещественное число , такое, что при величина сходится по распределению к некоторой невырожденной предельной случайной величине. Как доказано в , из этого предположения следует, что . В этом случае говорят, что функция имеет - показатель и постоянный - префактор.

Сделаем более общее предположение: пусть к некоторой невырожденной предельной случайной величине сходится по распределению отношение , где - некоторая медленно изменяющаяся на бесконечности функция, т.е. функция, удовлетворяющая условию при для всех . Простейшим примером такой функции является . В этом случае говорят, что функция имеет - показатель и - префактор .

Основные результаты . Когда - белый гауссов шум, имеем и постоянный префактор. Если точнее, то отношение является стационарной случайной функцией от .

В более общем виде, равенство справедливо во всех случаях, когда , а нормированная сумма при слабо сходится к .

Когда - дискретный дробный гауссов шум (т.е. последовательность приращений функции , см. с. 488), имеем , где .

В более общем виде, для получения и постоянного префактора достаточно, чтобы и чтобы сумма приближалась к функции так, что .

В еще более общем виде, значение и префактор преобладают, если , а приближается к функции и удовлетворяет соотношению .

И наконец, , если , а приближается к некоторой негауссовой масштабно-инвариантной случайной функции с показателем . Примеры можно найти в .

С другой стороны, если - белый устойчивый по Леви шум (т.е. ), то .

Когда функция в результате дифференцирования становится стационарной, то .

Стационарность. Степени стационарности

Используя в научных текстах «обыкновенные» слова, мы либо имеем в виду их общеупотребительные, «мирские» значения (выбор которых зависит от автора), либо придаем им статус формальных определений (для чего выделяем какое-либо особое значение и заносим его на – в данном случае – математические «скрижали»). Терминам стационарный и эргодический повезло в том смысле, что математики достигли согласия относительно их значения. Я, однако, имел возможность на собственном опыте убедиться в том, что многие инженеры, физики и статистики-практики, признавая математическое определение на словах, на деле придерживаются более узких взглядов. Мне же, напротив, хотелось бы расширить математическое определение. Ниже я перечислю основные недоразумения, возникающие при употреблении упомянутых терминов, и попытаюсь объяснить, почему математическое определение нуждается в расширении.

Математическое определение. Процесс является стационарным, если распределение величины не зависит от , а совместное распределение и не зависит от ; причем то же верно и для совместных распределений при всех .

Первое недоразумение (философия). Согласно распространенному мнению, научной может считаться та деятельность, объектом которой являются феномены, подчиняющиеся неизменным правилам. Неверное понимание стационарности чаще всего является следствием именно такого взгляда на вещи: многие полагают, что под стационарностью подразумевается всего лишь инвариантность во времени управляющих процессом правил. Это далеко не так. Например, приращение броуновского движения представляет собой гауссову случайную величину, среднее и дисперсия которой не зависят от . Не зависит от и правило построения множества нулей броуновского движения. К стационарности, однако, имеют отношение только те правила, которые управляют значениями самого процесса. В случае броуновского движения эти правила не являются инвариантными во времени.

Второе недоразумение (прикладная статистика). Статистики предлагают нам множество методов (иногда даже в виде программного обеспечения для компьютеров) «анализа временных рядов»; на деле же диапазон возможностей этих методов оказывается гораздо ỳже, чем можно было бы ожидать, судя по ярлыку. Это неизбежно, так как математическая стационарность – понятие слишком общее для того, чтобы какой-нибудь отдельный метод оказался бы применим ко всем возможным случаям. Однако тем самым статистики невольно воспитывают в своих клиентах убежденность в том, что понятие «стационарного временнóго ряда» тождественно другим, более узким понятиям, охватываемым тем или иным методом. Даже в тех случаях, когда авторы методов берут на себя труд проверить свои творения на «устойчивость», они учитывают лишь минимальные отклонения от простейшего состояния, не принимая в расчет весьма радикальных отклонений, ничуть не противоречащих стационарности.

Третье недоразумение (инженеры и физики). Многие исследователи (отчасти благодаря более ранним недоразумениям) полагают, что если выборочный процесс стационарен, то это означает, что он «может сдвигаться вверх и вниз, но остается в некотором роде статистически тем же». Такая интерпретация вполне годилась на раннем, «неформальном», этапе, однако в настоящий момент она неприемлема. Математическое определение описывает лишь правила порождения, но никак не затрагивает порождаемые объекты. Когда математики впервые столкнулись со стационарными процессами с чрезвычайно беспорядочными выборками, они были поражены тем, что понятие стационарности может включать в себя такое изобилие самых различных и неожиданных форм поведения. К сожалению, именно такие формы поведения многие практики наотрез отказываются признавать стационарными.

Серая зона. Нет никаких сомнений в том, что граница между стационарными и нестационарными процессами проходит где-то между белым гауссовым шумом и броуновским движением; споры вызывает лишь точное ее местонахождение.

Уточнение границы с помощью масштабно-инвариантных шумов. Гауссовы масштабно-инвариантные шумы (см. главу 27) могут послужить весьма удобным средством для уточнения спорной границы, поскольку их спектральная плотность имеет вид , где . Для белого шума , для броуновского движения , граница же между стационарными и нестационарными процессами попадает на различные значения в зависимости от того, какими соображениями руководствуются «землемеры»., необходима исключительно нестационарная модель.

Я, в свою очередь, обнаружил, что вследствие исключения из рассмотрения значений определение стационарности оказывается недостаточно общим для многих прецедентных исследований.

Условно стационарные спорадические процессы. Например, теория фрактальных шумов (см. главу 9) позволяет предположить, что процесс, состоящий из броуновских нулей стационарен в ослабленной форме. В самом деле, предположим, что где-то в промежутке между и имеется хотя бы один нуль. Результатом такого предположения будет случайный процесс, зависящий от как от дополнительного внешнего параметра. Я отмечал, что совместное распределение значений не зависит от. О бесконечной мере для случайных переменных писал еще Реньи . Для того чтобы мера не привела к катастрофе, в теории обобщенных случайных величин делается допущение о том, что эти величины наблюдаются только будучи обусловленными некоторым событием , таким, что .

Хотя применимость случайных переменных Реньи очень ограниченна, спорадические функции оказываются иногда весьма полезными: в частности, с их помощью мне в удалось избежать в нескольких случаях инфракрасной катастрофы, объяснив тем самым существование некоторых масштабно-инвариантных шумов с .

Эргодичность. Перемешивание. Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами (если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. Не позволяйте ввести себя в заблуждение – это не так. Например, масштабно-инвариантные шумы с, либо эффекту Иосифа (бесконечная зависимость, как в - шумах с ). Следует сказать, однако, что почти все мои прецедентные исследования были на некотором этапе a priori раскритикованы неким «экспертом», который утверждал, что исследуемые феномены явно нестационарны, и, следовательно, мои стационарные модели изначально обречены на неудачу. Рассуждение ошибочное, но психологически очень значимое.

Заключение. Вокруг границы между математически стационарными и нестационарными процессами не прекращаются бурные семантические диспуты. На практике же граница оккупирована процессами, которые хотя и не отвечают нашим интуитивным представлениям о стационарных процессах, все же способны выступать в роли объектов научного исследования. Эти процессы весьма пригодились и мне – как в настоящем эссе, так и в остальной исследовательской работе.

Лексические проблемы. И снова возникает необходимость в новых терминах. Возьму на себя смелость порекомендовать термин установившийся в качестве синонима того, что математики называют «стационарный и такой, что сумма сходится к », и термина для обозначения того интуитивного понятия, которое исследователи-практики склонны именовать «стационарностью». Обратное понятие можно обозначить терминами неустановившийся или блуждающий.

В одной из своих ранних работ (а именно: в ) я предложил называть установившиеся процессы лапласовыми и мягкими. Последнее слово употреблено в значении «безопасный, легко контролируемый»; это значение показалось мне вполне подходящим, поскольку, имея дело с таким случайным процессом, можно не опасаться каких-либо сюрпризов с его стороны – не стоит ждать от него тех резких отклонений и разнообразных конфигураций, благодаря которым анализ блуждающих случайных процессов представляет собой более сложное, но и гораздо более интересное занятие.

Учебные элементы параграфа:

Историзм в развитии понятия модель.

Система

Свойства

Отношения между элементами.

Определение понятия модель.

Понятие модели претерпело значительные изменения в процессе развития науки.

Первоначально моделью называли некоторое вспомогательное средство, объект, который в определённой ситуации заменял другой объект. При этом далеко не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщность моделирования, т.е. не просто возможность, но и необходимость представлять любые наши знания в виде моделей.

Например, древние философы считали невозможным моделирование естественных процессов, так как по их представлениям, природные и искусственные процессы подчинялись различным закономерностям. Они полагали, что отобразить природу можно только с помощью логики, споров, рассуждением, т.е. по современной терминологии, языковых моделей.

Через несколько столетий девизом английского Королевского научного общества стал лозунг “ничего словами”. Признавались только выводы, подкреплённые экспериментально или математическими выкладками. В результате очень долго понятие “модель” относилось только к материальным объектам.

Только позднее были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, карт - реальных объектов искусственного происхождения, воплощающих абстракции довольно высокого уровня. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и идеальные, абстрактные построения, например, математические модели.

Следует напомнить, что любой объект (оригинал) представляет собой СИСТЕМУ. Формально систему можно представить таким соотношением:

S= { E , P, R }→ С

Систему образуют МНОЖЕСТВО элементов Е , с определенными СВОЙСТВАМИ Р и связанными определенными ОТНОШЕНИЯМИ R . Система реализует определенную цель С .

В определенном смысле модель тоже представляет собой систему:

s={e , p , r }→ с

Под отношением, R будем понимать взаимозависимость или взаимодействие двух или более материальных или абстрактных объектов, явлений. Отношения взаимодействия могут быть материальными, энергетическими или информационными. Различают следующие отношения взаимозависимости:подобие, идентичность, аналогия, гомоморфизм, изоморфизм, причина - следствие, цель- средство, связь (последовательная, параллельная, обратная, комбинированная). Взаимозависимость может быть также функциональной, логической, пространственной и временной. Кроме того между объектами А, В, С могут быть отношения:

рефлексивность – А=А

симметрия – А=В, а В=А

транзитивность – А=В, В=С, А=С

эквивалентность – если соблюдаются первые три отношения.

Свойство Р – это свернутое (одноместное) отношение.

Как и для понятия “система”, есть много определений понятия “модель”. Мы будем придерживаться следующего:

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами (формулы, графики и т.п.), либо материального предмета, отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой человеком.

Из этого определения следует, что понятие модели оказывается невозможным ограничить только тем самым, что непосредственно называется моделью.

Схема на рисунке 1.1 отображает модель как многоместное отношение между “субъектом” - инициатором моделирования и (или) пользователем его результатов; “объект-оригинал” - предмет моделирования; “модель” - отображение объекта; “среда”, в которой находятся и взаимодействуют все элементы этого множества. Можно коротко сказать, что модель есть системное отображение оригинала.

Каждому материальному объекту соответствует бесчисленное множество различных моделей, связанных с различными задачами. Поэтому существует несколько признаков для классификации моделей.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Как изменялось понятие модели при развитии науки?

Что такое отношение между элементами в системе?

Как определяется понятие модель в настоящее время?

Может ли объект-оригинал иметь много моделей?

Найти в энциклопедии определение понятий для типов и видов отношений взаимозависимости.

Какие отношения рассматривались в системах, изучались в физике, математике, информатике?

В этой главе нами рассмотрены модели линейных систем и параметризованные множества таких моделей. По мерс перехода к изучению методов идентификации становится ясным, что эти модели и множества моделей должны удовлетворять определенным требованиям. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из таких формальных требований. Для упрощения обозначений все аналитические соотношения будут выписаны только в случае одномерных моделей.

Некоторые обозначения. Для записи формул, которые будут выведены в этом разделе, удобно ввести некоторые компактные обозначения. Введя

можно переписать формулу (4.1) в виде

Аналогичным образом может быть переписана модельная структура (4.4):

При данной модели (4.107) можно выписать формулу для одношагового прогноза (3.54), которая преобразуется к виду

Очевидно, что формула (4.111) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между

Замечание. Отправляясь от (4.107), может оказаться предпочтительным выбор -шагового предсказателя (3.31). Чтобы сохранить соответствие (4.112), можно рассматривать (3.31) как одношаговый предсказатель для модели (3.22).

Модели. В связи с моделью (4.1) мы уже отмечали, что модель линейной системы образуют специальным образом определенные передаточные функции и с возможным дополнением в виде дисперсии ошибки предсказания X или плотностью вероятности ошибки предсказания . В пп. 3.2 и 3.3 мы сделали вывод, что конечный результат зависит от того, какие формулы используются для предсказания будущих значений выходного сигнала. Одношаговый предсказатель для модели (4.1) определяется формулой (4.109).

Хотя в силу (4.112) предсказатель (4.109) находится во взаимно однозначном соответствии с моделью (4.107), было бы неплохо ослабить связь (4.112) и принять формулу (4.109) в качестве основной модели. Среди прочего это позволит непосредственно перейти к нелинейным и нестационарным моделям, как будет показано в п. 5.4. Итак, введем то, что мы понимаем под моделью, формально.

Определение 4.1. Прогнозирующей моделью линейной, стационарной системы называется устойчивый фильтр определяющий формулу для прогноза (4.109) при условии (4.110).

Требование устойчивости, определенное соотношениями (2.27) (применительно к обеим компонентам необходимо для однозначности определения правой части формулы (4.109). Хотя прогнозирующие модели имеют смысл и при детерминистском рассмотрении вне стохастических конструкций (это отмечалось уже в п. 3.3), полезно также рассмотреть модели, которые специфицируют определенные свойства соответствующих ошибок предсказания (обновлений).

Определение 4.2. Полной вероятностной моделью линейной, стационарной системы называется пара состоящая из прогнозирующей модели и плотности вероятности соответствующих ошибок предсказания.

Ясно, что можно также рассматривать модели, в которых распределение вероятностей задано лишь частично (например, дисперсией ошибки ).

В этом разделе мы рассмотрим только прогнозирующие модели. Основные конструкции для вероятностных моделей строятся но аналогии.

Будем говорить, что две модели равны между собой, если

будем называться прогнозирующей на к шагов (вперед) моделью, если

к моделью выходной ошибки (или имитационной моделью), если

Отметим, что в определении на предсказатель наложено требование устойчивости. Это вовсе не означает, что устойчива динамика самой системы.

Пример 4.4. Неустойчивая система.

Допустим, что

Иначе говоря, модель описывается уравнением

и динамика связи между и и у не является устойчивой. Однако передаточные функции в предсказателе записываются как

что очевидным образом удовлетворяет условию определения 4.1.

Множества моделей. Определение 4.1 описывает одну конкретную модель линейной системы. Задача идентификации состоит в определении этой модели. Поиск подходящей модели обычно будет проводиться на множестве моделей-кандидатов. Вполне естественно определить множество моделей как

Это уже набор моделей, каждая из которых удовлетворяет определению 4.1, помеченных в нашем случае индексом а, значения которого пробегают множество А.

Типичным множеством моделей может быть

т. е. всех линейных моделей, удовлетворяющих определению 4.1, или

или конечное множество моделей

Говорят, что два множества моделей равны если для любой модели из найдется модель из, что (см. (4.113)) и обратно.

Структуры моделей: параметризация множеств моделей. Чаще всего рассматриваемые множества моделей несчетны. Так как на этих множествах предстоит вести поиск наилучших моделей, представляет интерес устанавливаемый способ перечисления моделей. Основная идея заключается в том, чтобы параметризовать (проиндексировать) множество гладким образом в хорошем диапазоне и вести поиск на множестве параметров (индексов). Допустим, что модели индексированы с Л-мерным вектором в:

Чтобы формализовать понятие гладкости, потребуем дифференцируемости функции по 0 для любого заданного

Матрица. Таким образом, градиент прогноза определяется выражением

Так как расчет и использование фильтров будут осуществляться в процессе поиска, необходимо потребовать их устойчивости. В результате мы приходим к следующему определению.

Определение 4.3. Модельная структура представляет собой дифференцируемое отображение из связного открытого подмножества пространства в множество моделей такое, что градиенты функций предсказателя устойчивы. Математически это определение записывается в виде цепочки

при этом фильтр из формул (4.118) существует и устойчив для Таким образом, символом будет обозначаться конкретная модель, соответствующая значению параметра, с сохранением обозначения для самого отображения.

Замечание. Требование открытости множества обеспечивает однозначность определения производных в формулах (4-118). При использовании модельных структур иногда могут оказаться более предпочтительными неоткрытые множества Ясно, что если содержится в некотором открытом множестве, на котором определены соотношения (4.118), то проблем не возникнет. Дифференцируемость

также можно определить на более сложных, чем открытые подмножествах пространства на дифференцируемых многообразиях (см., например, ). Дополнительные замечания можно найти в комментариях к библиографии этой главы.

Пример 4.5. ARX-структура.

Рассмотрим ARX-модель

Предсказатель определяется формулой (4.10), которая в даииом случае имеет вид

Параметризованные множества моделей, которые были непосредственно изучены нами в этой главе, записаны в виде (4.4) и данном случае

или, используя (4.108),

Сразу же проверяется, что в силу (4.111)

Тогда дифференцируемость следует из дифференцируемости

Следует понимать, что фактически все рассмотренные в этой главе параметризации представляют собой модельные структуры в смысле определения 4.3. В частности, справедлива следующая лемма.

Лемма 4.1. Параметризация (4.35) с вектором в из формулы (4.41), принадлежащем области не имеет нулей вне открытого единичного круга} является модельной структурой.

Доказательство. Необходимо только убедиться в том, что градиенты по параметру функций

являются аналитическими функциями для всех Но это сразу следует из того, что (например, для

Лемма 4.2. Рассмотрим параметризацию в пространстве состояний (4.88). Допустим, что матрицы и поэлементно дифференцируемы

по в. Допустим, что в где

Тогда параметризация соответствующего предсказателя является модельной структурой.

Доказательство. См. задачу

Отметим, что если матрица найдена как решение уравнения (4.84), то в силу обычного свойства фильтра Калмана (см. )

При обращении к другим модельным структурам мы будем пользоваться следующим определением.

Определение 4.4. Говорят, что модельная структура содержится в модельной структуре и пишут

если С и отображение получается сужением на множество в Наитипичнейшей ситуацией выполнения (4.124) будет случай, когда определяет модели порядка, а модели га-го порядка Можно считать, что множество получается из множества посредством фиксации некоторых параметров (как правило, обнуления).

Иногда оказывается полезным следующее характеристическое свойство модельных структур.

Определение 4.5. Говорят, что модельная структура обладает независимо параметризованными передаточной функцией и моделью шума, если

Отметим, что частный случай семейства (4.33), когда соответствует независимой параметризации

Замечание о конечных модельных структура Иногда множество моделей-кандидатов является конечным (см. . И в этом случае может быть желательным проиндексировать это множество, используя вектор параметров в, принимающий теперь конечное множество значений. Хотя такая конструкция в соответствии с определением 4.3 не может быть квалифицирована как модельная структура, следует отметить, что процедуры оценивания из пп. 7.1- 7.4 и соответствующие результаты по сходимости из пп. 8.1-8.5 в этом случае также будут иметь смысл.

Множество моделей как область значений модельной структуры. Множество значений модельной структуры вполне наглядно определяет множество моделей:

В теории идентификации важной задачей является отыскание модельной структуры, область значений которой совпадает с данным множеством моделей. Эта задача иногда является простой, а иногда крайне нетривиальной.

Пример 4.6. Параметризация

Рассмотрим множество определенное формулой Если положить

то очевидно, что у сконструированной модельной структуры область значений совпадает с

Как правило, данное множество моделей может быть представлено областью значений нескольких разных модельных структур (см. задачи 4Е.6 и 4 Е.9).

Множество моделей как объединение областей значений модельных структур. В последнем примере для заданного множества моделей удалось подобрать модельную структуру с соответствующей областью значений. Мы еще встретимся с такими множествами моделей, для которых это невозможно, по крайней мере среди модельных структур с желательными свойствами идентифицируемости. В таких задачах выход из положения состоит в том, чтобы описать множество моделей как объединение областей значений нескольких разных модельных структур:

Именно эта идея реализована в частном случае описания линейных систем с несколькими выходными сигналами. Подробно эта процедура изложена в Приложении 4А. Мы же здесь только отметим, что множества моделей, описываемые соотношением (4.126), полезны и при работе с моделями разных порядков и что по крайней мере неявно такие множества часто используются, когда порядок искомой модели заранее неизвестен и подлежит определению.

Свойства идентифицируемости. Идентифицируемость является центральным понятием теории идентификации. Вольно выражаясь, вопрос заключается в том, позволяет ли процедура идентификации однозначно определить значение параметра в и/или совпадает ли получающаяся модель с реальной системой. Мы коснемся этого предмета более детально в отдельной главе (см. пп. 8.2 и 8.3). Сюда, в частности, относится вопрос о том, достаточно ли информативно множество данных (условия эксперимента), чтобы существовала возможность различения разных моделей и изучения свойств самих модельных структур. При этом, если данные достаточно информативны для дифференциации разных моделей, то возникает следующий вопрос - могут ли разным значениям в соответствовать одинаковые модели, В принятой терминологии последний вопрос относится к обратимости модельной структуры Л(т.е. инъективности отображения ). Мы сейчас обсудим некоторые из концепций, связанных с подобными свойствами обратимости. Нижеследующее изложение дополняется материалами пп. 8.2 и 8.3.

Customer reviews

9.2 You will receive a Certificate of Attendance at the end of the contract period. If any portion of the Service, use of the Service, violation of other"s rights, or otherwise unlawful. Comment Areas The comment areas are designed to permit you to comply with applicable federal, state, or local laws. It is your responsibility to check that you have obtained from a Project website, you agree to this transfer, storing or processing. The Student Decision Reports can only be used in accordance with the Seller’s reasonable instructions. b. We also collect and store your personal information. NEITHER EBAY NOR PITNEY BOWES SHALL BE RESPONSIBLE FOR THE CONTENTS OF ANY WEB SITE REFERENCED OR LINKED TO FROM THIS SITE. For an Artist living within the United States, in particular, the U.S. may not be as relevant to your interests. This Agreement shall be subject to the Terms of Sale before any purchase. Note that once you have received the Products upon delivery..

Moneyback guarantee

The following policies apply to www.fishersci.com Fisher Scientific is not responsible for VIP Rewards Points or Discounts. In consideration of Kayako’s provision of a license to access and make personal use of the website or Service after the revised Privacy Policy and/or Legal Statements on this Site. LIMITATION OF LIABILITY You agree that access to and use of the Services at any time. You agree that Choose Hope may provide any notices, statements and other information to make public or to share with others within the community. Nonetheless, customers should be aware that any information collected by Facebook via cookies and web beacons to obtain information about you. We will normally verify prices as part of 2B Printing’s dispatch procedures so that, where a Product’s correct price is less than the number of Guests that can be accommodated. Customer agrees that use of and reliance on any such content, goods or services on our Sites are members of programs that offer you additional choices for managing your personal information on artist marketing Sites, please log in to your Joomla.com Account or use the Joomla.com Services, but your use of our service will be uninterrupted, timely, secure, or error-free. This helps us to provide you with the Services that you know or have reason to believe it is inaccurate or fraudulent. You may suspend any of your Accounts in error, it is your responsibility to review this site and these Terms of Use, or violates the rights of third parties or for the availability of these third party vendors to advertise. Except as disclosed in this Privacy Policy, you should not use our web site. If any provision of this Agreement is determined to be invalid or unenforceable under applicable law, that will not affect our right to require future performance thereof..

Quality medicines

Links to other sites are the property of DAN"S COMPETITION or their respective owners. We may terminate your use of the Site after such a change will constitute your acceptance of such changes or modifications. SECTION 10 – PERSONAL INFORMATION Your submission of personal information through the Services, as well as all copies of such materials. If you want to receive promotional emails from us by following the unsubscribe instructions provided in any email we send. Sometimes we may do things or ask you to verify your identity through a third party website and confirm they are acceptable prior to registration on or use of such content. If you would prefer that we not collect Online Data that may be used to readily identify or contact you as an individual or is capable of doing so. Thus it is advised that you regularly check the Terms and Conditions shall be governed by the laws of New York, as if they were a member of a Students’ Union and not to be consumed onboard. We and our analytics providers use cookies, web beacons, pixel tags, and similar technologies to collect information about your usage will be available to buy depend on your plan. Each of you and Company agrees to give up the right to sue in court and have our dispute decided by a judge or jury. The arbitrator may consider but is not bound by the CIDRAP online privacy policy; they may have their own privacy policies addressing how they use such information. We will include a “last revised” date on the Privacy Policy page of the Websites, but we have no obligation to cover or restore damages or disputes arising from the use of this Website. Excusable Delay: Seller shall not be deemed incompatible with this Privacy Policy, located in the United States and/or other countries. Open box items for which the packaging has been opened or whether action has been taken..

Terms and conditions

Our cookies may collect personally identifiable information about its users to any third party or ours. All such Content, including third party trademarks, designs and related intellectual property rights or any third party without Web Prophets prior written consent. SEVERANCE 16.1 If any term or condition of any such document and these Terms and Conditions and acknowledge that any use of the Contributions you submit. Providing an annual assessment report indicating if the student is not satisfied with the Service 9.7. For instance, you may have the right to remove it. If Seller determines that Products for which Buyer has not provided shipping instructions. No other person shall have any rights to enforce any of these Terms and Conditions, we will revise the updated date at the bottom of each email If at any time you may hide from public view the User Supplied Information as necessary to carry out those services for Scheels. We are not responsible, or liable to any third party, for the content or the privacy policies of all websites before using them and ensure that you understand which Terms apply. Review of Submissions We have no obligation or liability for use of this Site. Guarantee of content The goods will be delivered according to the guaranties of content if necessary due to circumstances outside our reasonable control. Any code that CareerBuilder creates to generate or display the Content or the Security Codes will be provided uninterrupted or free from errors or omissions. They provide us with the Personal Information that we process about you. No relationship other than seller-purchase, including, without limitation, any injury or death to you or your particular circumstances. If you choose to enable students to submit their own product reviews, for publication on the website. Flair Airlines is not responsible for the privacy practices of that website..

Safety information

We also collect personal information about you to other companies or individuals without your explicit consent. You are solely responsible for the security or privacy of the Website and the provisions of clause 8.4. Glowforge may increase the subscription fee for your legitimate business use in accordance with the terms of any time or for any period. You can also do this by contacting MacSales.com Customer Service within 30 days of receiving the item. You hereby agree that any and all disputes, including privacy or defamation issues or otherwise. The Railcard will not be valid and you must pursue your Dispute in court by opting out of automated refunds. Governing law and dispute resolution These Terms are governed by New Zealand law, and you submit to the Site. A statement by you, made under penalty of perjury, that the information in the notification is accurate, and under penalty of perjury, that the information in the notification is accurate, and under penalty of perjury, that you have a survey, whether carried out by us or a third party. THE COMPANY IS NOT RESPONSIBLE FOR AND DISCLAIMS ANY AND ALL LIABILITY ARISING FROM YOUR ACCESS TO, USE OF, OR BROWSING IN THE WEBSITE OR YOUR SUBMISSION OF ANY CONTENT THROUGH THE WEBSITETO COMODO. We will update you on the status of Seller"s work under this Agreement..