02.04.2011 – Стремление человека приподнять завесу грядущего и предвидеть ход событий имеет такую же длинную историю, как и его попытки, понять окружающий мир. Очевидно, что в основе интереса к прогнозу лежат достаточно сильные жизненные мотивы (теоретические и практические). Прогноз выступает в качестве важнейшего метода проверки научных теорий и гипотез. Способность предвидеть будущее является неотъемлемой стороной сознания, без которой была бы невозможна сама человеческая жизнь.

Понятие “прогнозирование” (от греч. prognosis – предвидение, предсказание) означает процесс разработки вероятностного суждения о состоянии какого-либо явления или процесса в будущем, это познание того, чего еще нет, но что может наступить в ближайшее или отдаленное время.

Прогноз по своему содержанию более сложен, чем предсказание. Он, с одной стороны, отражает наиболее вероятное состояние объекта, а с другой – определяет пути и средства достижения желаемого результата. На основе полученной прогнозным путем информации по достижению желаемой цели, принимаются определенные решения.

Необходимо отметить, что динамика экономических процессов в современных условиях отличается нестабильностью и неопределенностью, что затрудняет применение традиционных методов прогнозирования.

Модели экспоненциального сглаживания и прогнозирования относятся к классу адаптивных методов прогнозирования, основной характеристикой которых является способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, подстраиваться под эту динамику, придавая, в частности, тем больший вес и тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они расположены к текущему моменту времени. Смысл термина состоит в том, что адаптивное прогнозирование позволяет обновлять прогнозы с минимальной задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур.

Метод экспоненциального сглаживания был независимо открыт Брауном (Brown R.G. Statistical forecasting for inventory control, 1959) и Хольтом (Holt C.C. Forecasting Seasonal and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages, 1957). Экспоненциальное сглаживание, как и метод скользящих средних, для прогноза использует прошлые значения временного ряда.

Сущность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует значение процесса на конце интервала сглаживания, то есть является средней характеристикой последних уровней ряда. Именно это свойство и используется для прогнозирования.

Обычное экспоненциальное сглаживание применяется в случае отсутствия в данных тренда или сезонности. В этом случае прогноз является взвешенной средней всех доступных предыдущих значений ряда; веса при этом со временем геометрически убывают по мере продвижения в прошлое (назад). Поэтому (в отличие от метода скользящего среднего) здесь нет точки, на которой веса обрываются, то есть зануляются. Прагматически ясная модель простого экспоненциального сглаживания может быть записана следующим (по представленной ссылке можно скачать все формулы статьи):

Покажем экспоненциальный характер убывания весов значений временного ряда – от текущего к предыдущему, от предыдущего к пред–предыдущему и так далее:

Если формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, что результат сглаживания зависит от параметра адаптации альфа . Его можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру девальвации данных за единицу времени. Причем влияние данных на прогноз экспоненциально убывает с “возрастом” данных. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах альфа приведена на рисунке 1.

Рисунок 1. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах адаптации

Следует заметить, что значение сглаживающего параметра не может равняться 0 или 1, так как в этом случае сама идея экспоненциального сглаживания отвергается. Так, если альфа равняется 1, то прогнозное значение F t+1 совпадает с текущим значением ряда Хt , при этом экспоненциальная модель стремится к самой простой “наивной” модели, то есть в этом случае прогнозирование является абсолютно тривиальным процессом. Если альфа равняется 0, то начальное прогнозное значение F 0 (initial value ) одновременно будет являться прогнозом для всех последующих моментов ряда, то есть прогноз в этом случае будет выглядеть в виде обычной горизонтальной линии.

Тем не менее, рассмотрим варианты сглаживающего параметра, близкие к 1 или 0. Так, если альфа близко к 1, то предыдущие наблюдения временного ряда практически полностью игнорируются. В случае если альфа близко к 0, то игнорируются уже текущие наблюдения. Значения альфа между 0 и 1 дают промежуточные результаты. По мнению ряда авторов, оптимальное значение альфа находится в пределах от 0,05 до 0,30. Однако иногда альфа , большее 0,30, дает лучший прогноз.

В целом лучше оценивать оптимальное альфа по исходным данным (при помощи поиска по сетке), а не использовать искусственные рекомендации. Тем не менее, в случае если значение альфа , превышающее 0,3, минимизирует ряд специальных критериев, то это указывает на то, что другая техника прогнозирования (с применением тренда или сезонности) способна обеспечить еще более точные результаты. Для нахождения оптимального значения альфа (то есть минимизации специальных критериев) используется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия (вероятности), который эффективнее обычного перебора на сетке.

Перепишем уравнение (1) в виде альтернативного варианта, позволяющего оценить, как модель экспоненциального сглаживания “обучается” на своих прошлых ошибках:

Из уравнения (3) ярко видно, что прогноз на период t+1 подлежит изменению в сторону увеличения, в случае превышения фактического значения временного ряда в период t над прогнозным значением, и, наоборот, прогноз на период t+1 должен быть уменьшен, если Х t меньше, чем F t .

Отметим, что при использовании методов экспоненциального сглаживания важным вопросом всегда является определение начальных условий (начального прогнозного значения F 0 ). Процесс выбора начального значения сглаженного ряда называется инициализацией (initializing ), или, иначе, “разогревом” (“warming up ”) модели. Дело в том, что начальное значение сглаженного процесса может существенным образом повлиять на прогноз для последующих наблюдений. С другой стороны, влияние выбора уменьшается с длиной ряда и становится некритичным при очень большом числе наблюдений. Браун впервые предложил использовать в качестве стартового значения среднее динамического ряда. Другие авторы предлагают использовать в качестве начального прогноза первое фактическое значение временного ряда.

В середине прошлого века Хольт предложил расширить модель простого экспоненциального сглаживания за счет включения в нее фактора роста (growth factor ), или иначе тренда (trend factor ). В результате модель Хольта может быть записана следующим образом:

Данный метод позволяет учесть присутствие в данных линейного тренда. Позднее были предложены другие виды трендов: экспоненциальный, демпфированный и др.

Винтерс предложил усовершенствовать модель Хольта с точки зрения возможности описания влияния сезонных факторов (Winters P.R. Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages, 1960).

В частности, он далее расширил модель Хольта за счет включения в нее дополнительного уравнения, описывающего поведение сезонной компоненты (составляющей). Система уравнений модели Винтерса выглядит следующим образом:

Дробь в первом уравнении служит для исключения сезонности из исходного ряда. После исключения сезонности (по методу сезонной декомпозиции Census I ) алгоритм работает с “чистыми” данными, в которых нет сезонных колебаний. Появляются они уже в самом финальном прогнозе (15), когда “чистый” прогноз, посчитанный почти по методу Хольта, умножается на сезонную компоненту (индекс сезонности ).

1. Основные методические положения.

В методе простого экспоненциального сглаживания применяется взвешенное (экспоненциально) скользящее усреднение всех данных предыдущих наблюдений. Эта модель чаще всего применяется к данным, в которых необходимо оценить наличие зависимости между анализируемыми показателями (тренда) или зависимость анализируемых данных. Целью экспоненциального сглаживания является оценка текущего состояния, результаты которого определят все последующие прогнозы.

Экспоненциальное сглаживание предусматривает постоянное обновление модели за счет наиболее свежих данных. Этот метод основывается на усреднении (сглаживании) временных рядов прошлых наблюдений в нисходящем (экспоненциально) направлении. То есть более поздним событиям присваивается больший вес. Вес присваивается следующим образом: для последнего наблюдения весом будет величина α, для предпоследнего – (1-α), для того, которое было перед ним, - (1-α) 2 и т.д.

В сглаженном виде новый прогноз (для периода времени t+1) можно представлять как взвешенное среднее последнего наблюдения величины в момент времени t и ее прежнего прогноза на этот же период t. Причем вес α присваивается наблюдаемому значению, а вес (1- α) – прогнозу; при этом полагается, что 0< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

Новый прогноз = [α*(последнее наблюдение)]+[(1- α)*последний прогноз]

где - прогнозируемое значение на следующий период;

α – постоянная сглаживания;

Y t – наблюдение величины за текущий период t;

Прежний сглаженный прогноз этой величины на период t.

Экспоненциальное сглаживание – это процедура для постоянного пересмотра результатов прогнозирования в свете самых последних событий.

Постоянная сглаживания α является взвешенным фактором. Ее реальное значение определяется тем, в какой мере текущее наблюдение должно влиять на прогнозируемую величину. Если α близко к 1, значит в прогнозе существенно учитывается величина ошибки последнего прогнозирования. И наоборот, при малых значениях α прогнозируемая величина наиболее близка к предыдущему прогнозу. Можно представить как взвешенное среднее значение всех прошлых наблюдений с весовыми коэффициентами, экспоненциально убывающими с «возрастом» данных.

Таблица 2.1

Сравнение влияния разных значений постоянных сглаживания

Постоянная α является ключом к анализу данных. Если требуется, чтобы спрогнозированные величины были стабильны и случайные отклонения сглаживались, необходимо выбирать малое значение α. Большое значение постоянной α имеет смысл в том случае, если нужна быстрая реакция на изменения в спектре наблюдений.

2. Практический пример проведения экспоненциального сглаживания.

Представлены данные компании по объему продаж (тыс. шт.) за семь лет, постоянная сглаживания взята равной 0,1 и 0,6. Данные за 7 лет составляют тестовую часть; по ним необходимо оценить эффективность каждой из моделей. Для экспоненциального сглаживания рядов начальное значение берется равным 500 (первое значение фактических данных или среднее значение за 3 -5 периодов записывается в сглаженное значения за 2 квартал).

Таблица 2.2

Исходные данные

Время	Действительное значение (фактическое)	Сглаженное значение	Ошибка прогноза
год	квартал	0,1	0,1
Excel	по формуле
			#Н/Д		0,00
		500,00		-150,00
		485,00	485,00	-235,00
		461,50	461,50	-61,50
			455,35	455,35	-5,35
		454,82	454,82	-104,82
		444,33	444,33	-244,33
		419,90	419,90	-119,90
			407,91	407,91	-57,91
		402,12	402,12	-202,12
		381,91	381,91	-231,91
		358,72	358,72	41,28
			362,84	362,84	187,16
		381,56	381,56	-31,56
		378,40	378,40	-128,40
		365,56	365,56	184,44
			384,01	384,01	165,99
		400,61	400,61	-0,61
		400,55	400,55	-50,55
		395,49	395,49	204,51
			415,94	415,94	334,06
		449,35	449,35	50,65
		454,41	454,41	-54,41
		448,97	448,97	201,03
			469,07	469,07	380,93

На рис. 2.1 представлен прогноз на основе экспоненциального сглаживания с постоянной сглаживания, равной 0,1.

Рис. 2.1. Экспоненциальное сглаживание

Решение в Excel.

1. Выберите меню «Сервис» – «Анализ данных». В списке «Инструменты анализа» выберите значение «Экспоненциальное сглаживание». Если в меню «Сервис» нет анализа данных, то необходимо установить «Пакет анализа». Для этого найти в «Параметрах» пункт «Настройки» и в появившемся диалоговом окне установить флажок на «Пакет анализа», нажать ОК.

2. На экране раскроется диалоговое окно, представленное на рис. 2.2.

3. В поле «входной интервал» введите значения исходных данных (плюс одна свободная ячейка).

4. Установите флажок «метки» (если в диапазоне ввода указаны названия столбцов).

5. Введите в поле «фактор затухания» значение (1-α).

6. В поле «входной интервал» введите значение ячейки, в которой хотели бы увидеть полученные значения.

7. Установите флажок «Опции» - «Вывод графика» для автоматического его построения.

Рис. 2.2. Диалоговое окно для экспоненциального сглаживания

3. Задание лабораторной работы.

Имеются исходные данные об объемах добычи нефтедобывающего предприятия за 2 года, представленные в таблице 2.3:

Таблица 2.3

Исходные данные

Проведите экспоненциальное сглаживание рядов. Коэффициент экспоненциального сглаживания примите равным 0,1; 0,2; 0,3. Полученные результаты прокомментируйте. Можно использовать статистические данные, представленные в приложении 1.

к.э.н., директор по науке и развитию ЗАО "КИС"

Метод экспоненциального сглаживания

Освоение новых и анализ известных управленческих технологий, которые позволяют повысить эффективность управления бизнесом, становится особенно актуальным для российских предприятий в настоящее время. Один из наиболее популярных инструментов - система бюджетирования, которая базируется на формировании бюджета предприятия с последующим контролем исполнения. Бюджет представляет собой сбалансированные краткосрочные коммерческие, производственные, финансовые и хозяйственные планы развития организации. Бюджет предприятия содержит целевые показатели, которые рассчитываются на основании прогнозных данных. Наиболее значимым прогнозом при составлении бюджета для любого предприятия является прогноз продаж. В предыдущих статьях был проведен анализ аддитивной и мультипликативной модели и рассчитан прогнозный объем продаж на следующие периоды.

При анализе временных рядов использовался метод скользящей средней, в котором все данные независимо от периода их возникновения являются равноправными. Существует другой способ, в котором данным приписываются веса, более поздним данным придается больший вес, чем более ранним.

Метод экспоненциального сглаживания в отличие от метода скользящих средних еще и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед и автоматически корректирует любой прогноз в свете различий между фактическим и спрогнозированным результатом. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

Название метода происходит из того факта, что при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое ранее наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

Алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда i основан на трех величинах :

фактическое значение Ai в данной точке ряда i,
прогноз в точке ряда Fi
некоторый заранее заданный коэффициент сглаживания W, постоянный по всему ряду.

Новый прогноз можно записать формулой:

Расчет экспоненциально сглаженных значений

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникает две проблемы: выбор коэффициента сглаживания (W), который в значительной степени влияет на результаты и определение начального условия (Fi). С одной стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшать. С другой стороны, для увеличения веса новых измерений нужно увеличивать.

Хотя, в принципе, W может принимать любые значения из диапазона 0 < W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При высоких значениях коэффициента сглаживания в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика (для динамично развивающихся фирм) и, наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы (в условиях стабильного развития рынка).

Выбор коэффициента постоянной сглаживания является субъективным. Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют свои традиционные значения W. Так, по опубликованным данным в аналитическом отделе Kodak, традиционно используют значение 0,38, а на фирме Ford Motors - 0,28 или 0,3.

Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы. На примере рассчитаем прогнозный объем на 13 квартал, если имеются данные объема продаж за последние 12 кварталов, используя метод простого экспоненциального сглаживания.

Предположим, что на первый квартал прогноз продаж составил 3. И пусть коэффициент сглаживания W =0,8.

Заполним в таблице третий столбец, подставляя для каждого последующего квартала значение предыдущего по формуле:

Для 2 квартала F2 =0,8*4 (1-0,8)*3 =3,8
Для 3 квартала F3 =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

Аналогично, рассчитывается сглаженное значение для коэффициента 0,5 и 0,33.

Расчет прогноза объема продаж

Прогноз объема продаж при W = 0.8 на 13 квартал составил 13.3 тыс.руб.

Эти данные можно представить в графической форме:

Экспоненциальное сглаживание

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке среднесрочных прогнозов. Он приемлем при прогнозировании только на один период вперед. Его основные достоинства простота процедуры вычислений и возможность учета весов исходной информации. Рабочая формула метода экспоненциального сглаживания:

При прогнозировании данным методом возникает два затруднения:

• выбор значения параметра сглаживания α;
• определение начального значения Uo.

От величины α зависит , как быстро снижается вес влияния предшествующих наблюдений. Чем больше α, тем меньше сказывается влияние предшествующих лет. Если значение α близко к единице, то это приводит к учету при прогнозе в основном влияния лишь последних наблюдений. Если значение α близко к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения.

Таким образом, если есть уверенность, что начальные условия, на основании которых разрабатывается прогноз, достоверны, следует использовать небольшую величину параметра сглаживания (α→0). Когда параметр сглаживания мал, то исследуемая функция ведет себя как средняя из большого числа прошлых уровней. Если нет достаточной уверенности в начальных условиях прогнозирования, то следует использовать большую величину α, что приведет к учету при прогнозе в основном влияния последних наблюдений.

Точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α нет. В отдельных случаях автор данного метода профессор Браун предлагал определять величину α, исходя из длины интервала сглаживания. При этом α вычисляется по формуле:

где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

Задача выбора Uo (экспоненциально взвешенного среднего начального) решается следующими способами:

• если есть данные о развитии явления в прошлом, то можно воспользоваться средней арифметической и приравнять к ней Uo;
• если таких сведений нет, то в качестве Uo используют исходное первое значение базы прогноза У1.

Также можно воспользоваться экспертными оценками.

Отметим, что при изучении экономических временных рядов и прогнозировании экономических процессов метод экспоненциального сглаживания не всегда «срабатывает». Это обусловлено тем, что экономические временные ряды бывают слишком короткими (15-20 наблюдений), и в случае, когда темпы роста и прироста велики, данный метод не «успевает» отразить все изменения.

Пример применения метода экспоненциального сглаживания для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом экспоненциального сглаживания

1) Определяем значение параметра сглаживания по формуле:

где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания. α = 2/ (10+1) = 0,2

2) Определяем начальное значение Uo двумя способами:
І способ (средняя арифметическая) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/10 = 22,13/10 = 2,21
II способ (принимаем первое значение базы прогноза) Uo = 2,99

3) Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого периода, используя формулу

где t – период, предшествующий прогнозному; t+1 – прогнозный период; Ut+1 - прогнозируемый показатель; α - параметр сглаживания; Уt - фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному; Ut - экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.

Например:
Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,21 = 2,37 (І способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,37 = 2,43 (І способ) и т.д.

Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II способ)
Uапр = 2,63*0,2+(1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II способ) и т.д.

4) По этой же формуле вычисляем прогнозное значение
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,08 = 1,95 (І способ)
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,18 = 2,03 (ІІ способ)
Результаты заносим в таблицу.

5) Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 209,58/10 = 20,96% (І способ)
ε = 255,63/10 = 25,56% (ІІ способ)

В каждом случае точность прогноза является удовлетворительной поскольку средняя относительная ошибка попадает в пределы 20-50%.

Решив данную задачу методами скользящей средней и наименьших квадратов , сделаем выводы.

Сервис позволит провести сглаживание временного ряда y t экспоненциальным методом, т.е. простроить модель Брауна (см. пример).

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Количество строк (исходных данных)

Особенность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S t , t = 1,2,...,n , то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

S t = (1-α)yt + αS t-1

В некоторых источниках приводится другая формула:

S t = αyt + (1-α)S t-1

Где α - параметр сглаживания (0 В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется (необоснованно) выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0.1 до 0.3 . Других точных рекомендаций для выбора оптимальной величины параметра α пока нет. В отдельных случаях предлагается определять величину α исходя их длины сглаживаемого ряда: α = 2/(n+1).
Что касается начального параметра S 0 , то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у 1 , или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда. Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре α начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. Достоинством этого метода является то, что при сглаживании не теряются ни начальные, ни конечные уровни сглаживаемого временного ряда.

Сглаживание экспоненциальным методом в Excel

Для вычисления каждого прогноза MS Excel использует отдельную, но алгебраически эквивалентную формулу. Оба компонента – данные предыдущего наблюдения и предыдущий прогноз – каждого прогноза умножаются на коэффициент, отображающий вклад данного компонента в текущий прогноз.
Активизировать средство Экспоненциальное сглаживание можно, выбрав команду Сервис/Анализ данных после загрузки надстройки Пакет анализа ().

Пример . Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом экспоненциального сглаживания (α = 0.1).
В качестве S 0 берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S 0 = (50 + 56 + 46)/3 = 50.67

t	y	S t	Формула
1	50	50.07	(1 - 0.1)*50 + 0.1*50.67
2	56	55.41	(1 - 0.1)*56 + 0.1*50.07
3	46	46.94	(1 - 0.1)*46 + 0.1*55.41
4	48	47.89	(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.94
5	49	48.89	(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.89
6	46	46.29	(1 - 0.1)*46 + 0.1*48.89
7	48	47.83	(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.29
8	47	47.08	(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.83
9	47	47.01	(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.08
10	49	48.8	(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.01