Средний уровень

Окружность и вписанный угол. Визуальный гид (2019)

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним - смотри на картинки - освежай знания.

Ну, во-первых - центр окружности - такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во-вторых - радиус - отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов - одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр - точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности ? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда» .

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

Кроме хорд бывают еще и секущие.

Вспомнили самое простое?

Центральный угол - угол между двумя радиусами.

А теперь - вписанный угол

Вписанный угол - угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности .

При этом говорят, что вписанный угол опирается на дугу (или на хорду) .

Смотри на картинку:

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет - нужно научиться измерить дугу в градусах.

Градусная мера (величина дуги) - это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

Видишь две дуги и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном - о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы - это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной радиан - такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос - а сколько же радиан в развёрнутом угле?

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в раза или в раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву.

Итак, - это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём радиан. Именно оттого, что половина окружности в раз больше радиуса.

Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число, получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы - нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна, а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом - нужна буква. И тогда эта длина окружности окажется равной. И конечно, длина окружности радиуса равна.

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится радиан.

Что имеем:

Значит, рад., то есть рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

Что же тут получается? Рассмотрим. Он равнобедренный - ведь и - радиусы. Значит, (обозначили их).

Теперь посмотрим на. Это же внешний угол для! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

То есть! Неожиданный эффект. Но и есть центральный угол для вписанного.

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри.

Давай сделаем вот что: проведём диаметр. И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

Значит, (на чертеже, а)

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла.

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку. Все то же самое, но вместо суммы - разность.

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга) - бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол (), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Смотри: какой угол является центральным для?

Конечно, . Но он равен! Ну вот, поэтому (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на) и равен.

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

или такой?

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует.

a) (как внешний угол для). Но - вписанный, опирается на дугу - . - вписанный, опирается на дугу - .

Для красоты говорят:

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь - «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь (снова применяем свойство внешнего угла для). То есть теперь.

И значит, . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

ОКРУЖНОСТЬ И ВПИСАННЫЙ УГОЛ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое окружность, знает и пятилетний ребёнок, не правда ли? У математиков, как всегда, на этот счёт есть заумное определение, но мы его приводить не будем (смотри ), а лучше вспомним, как называются точки, линии и углы, связанные с окружностью.

Важные термины

Ну, во-первых:

центр окружности - такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во-вторых:

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда стягивает дугу. А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

А теперь - названия для углов.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра - значит, угол - центральный.

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание - НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности - вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Давай увидим разницу на картинках:

По-другому ещё говорят:

Тут есть один хитрый момент. Что такое «соответствующий» или «свой» центральный угол? Просто угол с вершиной в центре окружности и концами в концах дуги? Не совсем так. Посмотри-ка на рисунок.

Один из них, правда, и на угол-то не похож - он больше. Но это в треугольнике не может быть углов больше, а в окружности - вполне может! Так вот: меньшей дуге AB соответствует меньший угол (оранжевый), а большей - больший. Просто как, не правда ли?

Соотношение между величинами вписанного и центрального угла

Запомни очень важное утверждение:

В учебниках этот же факт любят записывать так:

Правда, с центральным углом формулировка проще?

Но всё же давай найдём соответствие между двумя формулировками, а заодно научимся находить на рисунках «соответствующий» центральный угол и дугу, на которую «опирается» вписанный угол.

Смотри: вот окружность и вписанный угол:

Где же его «соответствующий» центральный угол?

Снова смотрим:

Какое же правило?

Но! При этом важно, чтобы вписанный и центральный угол «смотрели» с одной стороны на дугу. Вот, например:

Как ни странно, голубой! Потому что дуга-то длинная, длиннее половины окружности! Вот и не путай никогда!

Какое же следствие можно вывести из «половинчатости» вписанного угла?

А вот, например:

Угол, опирающийся на диаметр

Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!

Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?

Ну, в частности, когда эта хорда - диаметр.

Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!

Смотри: вот окружность, диаметр и угол, который на него опирается.

ОКРУЖНОСТЬ И ВПИСАННЫЙ УГОЛ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Основные понятия.

3. Измерения дуг и углов.

Угол величиной радиан - такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Длина окружности радиуса равна.

4. Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.

Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.

Градусная мера угла

Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.

Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° - развернутый угол, четверть – 90° - прямой угол и т.д.

Радианная мера угла

А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.

Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.

Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.

Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.

Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.

Открытый урок по геометрии 8 класс.

Тема: «Градусная мера дуги окружности».

Цель урока:

Образовательная: ввести понятия градусной меры дуги окружности, центрального угла;формировать умение решать задачи на нахождение градусной меры дуги окружности, центрального угла; учить читать чертеж.

Развивающая: развивать навыки исследовательской деятельности (выдвижение гипотез, анализ, сравнение и обобщение полученных результатов); навыки работы в группах, грамотную математическую речь, сообразительность, внимательность, логическое мышление, память, активность на уроке; содействовать развитию умений осуществлять самооценку учебной деятельности.

Воспитательная: создать у учащихся положительную мотивацию к уроку геометрии, путем вовлечения каждого ученика в активную деятельность; воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу товарищей; помочь осознать ценность совместной деятельности.

Цели ученика: освоить понятия: градусная мера дуги окружности, центральный угол; овладеть умением решать задачи на нахождение градусной меры дуги окружности, центрального угла.

Универсальные учебные действия (УУД):

регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно;

коммуникативные: построение речевых высказываний;

познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;

личностные: самооценка.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Дидактической оснащение: учебник, компьютер, проектор, экран, указка, мел, карточки, лист самооценки.

Ход урока.

Организационный момент урока.

Хочется начать урок с народной мудрости (слайд 1) «Ум без догадки – гроша не стоит», так как при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. (слайд 2) К. Вейерштрасс (немецкий математик) сказал по этому поводу «Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком».

Вдохновения вам на протяжении всего урока.

II . Актуализация опорных знаний и постановка цели.

Решите ребус, разгадав его, вы узнаете, о какой фигуре мы сейчас поговорим. В этом ребусе зашифровано название фигуры, у которой нет ни начала, ни конца, зато есть длина.

(слайд 3)

(окружность)

Посмотрите на чертеж.

А С (слайд 4) - Назовите радиусы окружности? (ОА, ОС, ОВ)

Сформулируйте определение радиуса окружности?

Сколько радиусов можно провести в окружности?

При построении этих элементов окружности у нас

получились углы. Назовите их. (AOC, AOB, COB).

D - Вспомните, что вы знаете о паре углов AOC и BOA?

(они смежные, их сумма равна 180 0).

Как называется угол BOC? (развернутый, градусная

В мера его равна 180 0).

Что является сторонами этого угла? А вершина где расположена? (стороны этих углов – радиусы окружности, а вершины располагаются в центре окружности).

Какой еще есть угол на чертеже? (угол CBD).

Он какой? (острый).

Чем являются стороны этого угла? (диаметр и хорда).

Где расположена вершина угла? (на окружности).

Сформулируйте определение диаметра окружности? (диаметр – хорда, проходящая через центр окружности).

Сформулируйте определение хорды? (хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности).

Попробуйте разделить все эти углы на две группы по каким-то общим элементам.

Углы в окружности (слайд 5)

По какому признаку вы разделили эти углы на две группы? (у всех углов I группы вершиной угла является центр окружности, у угла II группы вершина угла лежит на окружности).

Как вы думаете, как называются эти углы, вершины которых – центр окружности? (центральные углы).

Как вы думаете, о чем мы будем говорить на уроке? Попробуйте сформулировать тему урока.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием центрального угла и градусной мерой дуги окружности.

Тема урока: «Градусная мера дуги окружности». (слайд 6)

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока (запись на доске).

III . Изучение нового материала.

Напомним определение окружности. Внимание, это определение будет дано ошибочное. Задача – найти ошибку.

Итак, вот это определение: (слайд 7)

Окружностью называют множество точек, равноудаленных от одной точки – от центра.

Где ошибка? (пропущено одно слово множество «всех» точек, равноудаленных от одной точки окружности).

Например, вершины квадрата – это множество точек, равноудаленных от центра квадрата, но это не есть окружность.

(слайд 8) - Окружность – это множество всех точек,

равноудаленных от центра.

Важный элемент окружности.

Узнайте его, решив ребус.

(дуга) (слайд 9)

- Дуга – это часть окружности, расположенная между двумя точками этой окружности.

(слайд 10)

ALB – это дуга окружности.

- центральный угол.

Т. О – центр окружности.

Как вы думаете, какой угол называют центральным углом? (угол с вершиной в центре окружности центральным углом этой окружности).

Имеем дугу и соответствующий центральный угол.

Сколько дуг на рисунке? (на рисунке две дуги).

Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку. Когда ясно о какой из двух дуг идет речь, используется обозначение без промежуточной точки.

Обозначают дуги так:
,
,
. (слайд 11)

В чем измеряются дуги окружности?

Отгадайте шараду. Подсказка: первая часть – природное явление, вторая – есть у кошки.

(слайд 12)

(градусы)

Рассмотрим, что такое градусная мера дуги окружности. (слайд 13)

Дуга ALB – дуга не больше полуокружности.

Дуга AMB – дуга, больше полуокружности.

Какая дуга называется полуокружностью? (дуга называется полуокружностью, если, отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности).

Так вот: Градусной мерой дуги ALB называется градусная мера соответствующего центрального угла AOB. (слайд 14)

Получаем. Вот сколько градусов в этом угле, столько же градусов и в этой дуге.

Если дуга больше полуокружности, то градусная мера этой дуги: . (слайд 15)

-
Давайте рассмотрим одну дугу и второю дугу, которые вместе составляют всю окружность. Получим, градусная мера первой дуги – это угол AOB.

Градусная мера второй дуги – это
.

В результате получим 360 0 . Значит, вся окружность измеряется числом 360 0 .

Градусная мера окружности – это 360 0 .

Как вы думаете, чему равна градусная мера полуокружности? (градусная мера полуокружности равна градусной мере развернутого угла - 180 0).

IV . Физминутка. (слайд 16 – 25)

Отдохнем немного. Сделаем физминутку для глаз.

V . Фронтальная работа. (слайд 26)

Рассмотрим конкретные примеры.

Дано: окружность, диаметр, перпендикулярный радиус, OM – радиус, такой, что угол СОМ = 45 0 . Значит и другой угол AOM = 45 0 .

Что можете сказать о дуге ACB? (дуга ACB – это полуокружность).

Какова градусная мера дуги ACB? (дуга ACB = 180 0).

2) - Следующая дуга BLC. Как ее найти? (дуга BLC соответствует центральному углу COB).

Какой это угол? (прямой).

Чему равна градусная мера дуги BLC? (градусная мера дуги BLC равна градусной мере угла BOC = 90 0).

3) Градусная мера дуги BC чему равна? (дуга MC = 45 0).

4) Как найти градусную меру дуги BCM? Из скольких дуг она состоит? (эта дуга состоит из двух дуг BLC и CM. Значит, дуга BCM = 90 0 + 45 0 = 135 0).

5) Наконец, рассмотрим градусную меру дуги MAB.

Эта дуга больше или меньше полуокружности? (больше полуокружности).

Как найдем градусную меру дуги MAB? ().

Мы рассмотрели некоторые примеры по вычислению градусной меры дуги окружности.

Теперь выполним работу самостоятельно.

VI . Самостоятельная работа. (слайд 27)

У каждого на столе есть карточка с заданием.

Вам предлагается решить карточку с готовыми чертежами. Решение записать в тетрадь.

Найти градусную меру
и
?

Найти градусную меру и? D

Проверка решений задачи (по одному человеку). Оценки.

VII . Работа в парах. (слайд 28)

Выполним задание в парах. Но сначала послушайте внимательно задание. Решив задачи, вы должны сопоставить ответы с буквами, расположив числа по возрастанию. У вас получится слово, и вы узнаете, какой праздник празднует Россия 20 марта.

1
- ? 2 А
- ? 3 А
- ? 4
- ?

А Т С Е

5
- ? 6 - ? 7 - ?

С Ч Ь

1 – 130 0 –А, 2 – 180 0 – Т, 3 – 90 0 – С, 4 – 330 0 – Е, 5 – 135 0 – С, 6 – 108 0 – Ч, 7 – 260 0 – Ь.

Какое слово получилось? (счастье). (слайд 29)

Новый праздник – День счастья – мир отмечает 20 марта. Ведь 20 марта – это день весеннего солнцестояния, уникального в природе явления, когда день точно равен ночи. Таким образом, День весеннего равноденствия послужил неким символом счастья, на которое в равной степени имеет право каждый житель Земли. Кроме того, во многих азиатских странах 20 марта отмечают Новый год.

VIII . Итог урока (рефлексия, самооценка). (слайд 30)

Ответим на вопросы и узнаем, что вам дал сегодняшний урок геометрии.

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Я научился…

У меня получилось …

Урок дал мне для жизни…

А сейчас я предлагаю проанализировать свою работу. У вас на столах есть карта самооценки. Подчеркните фразы, характеризующие вашу работу на уроке.

Рефлексия. (слайд 31)

Я считаю, что занятие было… интересным, скучным.

Я научился… многому, малому.

Я думаю, что слушал других… внимательно, невнимательно.

Я принимал участие в дискуссии… часто, редко.

Результатами своей работы на уроке я… доволен, не доволен.

Объявление оценок за работу на уроке.

Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Мы узнали, что такое центральный угол окружности, что такое градусная мера дуги окружности. На следующем уроке узнаем, что такое вписанный угол и теорему о нем.

Мы с вами хорошо потрудились, спасибо вам за работу.

IX . Домашнее задание. (слайд 32).

Запишите домашнее задание.

п. 70, № 650 (а, б), №649, стр. 173.

Рабочая тетрадь № 85, № 86, стр. 40 – 41.

(слайд 33) – Урок закончен. До свидания.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 10

План – конспект урока по теме:

«ГРАДУСНАЯ МЕРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ»

Выполнила: учитель математики

Пенза, 2014г.

Тема урока: ГРАДУСНАЯ МЕРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ

Тип урока : «Открытие нового знания»

Цель урока: организовать деятельность учащихся по нахождению градусной меры дуги окружности и первичному закреплению новых знаний.

Задачи :

Предметного направления :

Формирование понятий градусная мера дуги окружности, центральный угол;

Отработка навыка нахождения градусной меры дуги окружности.

Личностного направления :

Создание условий для развития умений анализировать познавательный объект;

Развитие умений выделять главное в познавательном объекте;

Развитие умения ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

Развитие креативности мышления, инициативы, находчивости, активности при решении математических задач

Метапредметного направления :

Формирование умений определять и формулировать темы урока с помощью учителя, проговаривать последовательность действий на уроке;

Формирование умений планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

Формирование умений высказывать своё предположение;

Формирование умений слушать и понимать речь других;

Формирование умений ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;

Формирование умений добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Учебник: Л.С. Атанасян «Геометрия 7- 9»

План урока (длительность урока – 40 мин.):

1. Мотивация к учебной деятельности (1 мин)

2. Актуализация знаний и пробное учебное действие (5 мин)

3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)

4. Построение проекта выхода из затруднения (5 мин)

5. Реализация построенного проекта (7 мин)

6. Первичное закрепление с комментированием во внешней речи (5 мин)

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (4 мин)

8. Включение в систему знаний и повторение (7 мин)

9. Рефлексия учебной деятельности на уроке (2 мин)

№ п/п

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые УУД

Мотивация к учебной деятельности

Приветствует обучающихся, настраивает на работу,

Создаёт рабочий настрой на урок.

«Слушаю – забываю.

Смотрю – запоминаю.

Делаю - понимаю»

Приветствуют учителя, настраиваются на урок, читают эпиграф.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Актуализация знаний и пробное учебное действие

1. Актуализирует учебное содержание, необходимое для восприятия нового материала.

1. Что такое окружность?

Какие элементы окружности вам известны?

Укажите все радиусы на рисунке.

Что такое хорда и изображена ли она на слайде?

А что называется диаметром окружности? И сколько диаметров вы видите на рисунке?

Как называются прямые а и в?

В каких единицах измерения мы находим величину радиуса, хорды, диаметра?

Отвечают на вопросы учителя; распознают перечисленные элементы на чертеже

геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки

радиус, хорда, диаметр, дуги

ОС, ОD , ОТ

отрезок, соединяющий любые две точки на окружности; КМ

это хорда, проходящая через центр окружности

секущая и касательная

в единицах длины, т. е. в см, дм и тд.

Регулятивные УУД :

Уметь проговаривать последовательность действий на уроке.

Познавательные УУД

Уметь преобразовывать информацию из одной формы в другую.

Коммуникативное УУД:

Выявление места и причины затруднения

Создаёт проблемную ситуацию, вызывающую у учеников затруднения и формирующую потребность обсуждения. Организует и регулирует работу учащихся по определению темы урока.

Назовите несколько дуг, изображенных на слайде.

Действительно, любые две точки делят окружность на несколько частей. Сколько дуг при этом образуется?

Для того чтобы различать эти дуги вводят дополнительные точки на окружности, например M и N . Тогда в нашем случае мы получим дуги ͝͝ AMB и ͝ ANB .

А в каких единицах измеряется дуга окружности?

Что еще в геометрии измеряется с помощью градусов?

Значит, существует связь между углами и дугами окружности?! Но какая? Давайте в этом попробуем сегодня разобраться.

Какой же будет тема урока?

Отвечают на вопросы учителя, анализируют, приходят к выводу о связи между углами и дугами окружности.

Формулируют тему и цели урока, записывают в тетрадь тему.

Познавательные:

самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели;

Регулятивные УУД :

Уметь проговаривать последовательность действий на уроке, принимать решение в проблемной ситуации.

Коммуникативное УУД:

Уметь оформлять свои мысли в устной форме.

Построение проекта выхода из затруднения

На какие две группы можно разделить все рисунк?

Почему вы рисунки 1, 5 и 6 поместили в одну группу?

Какой угол называется центральным?

С новым видом углов познакомились, но связь между градусной между градусной мерой углов и градусной мерой дуги окружности еще не нашли. Какую же задачу поставим перед собой?

Организует поиск решения поставленных задач.

Рассмотрите рисунки и выскажите гипотезу о связи градусной меры дуги окружности и градусной меры центрального угла.

Отвечают на вопросы учителя, классифицируют углы.Пытаются сформулировать определение центрального угла.

Формулируют задачи урока: найти связь между центральным углом и дугой окружности.

Выполняют практическую работу.

Формулируют гипотезу нахождения дуги окружности:

«Градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла».

Познавательные:

самостоятельное формулирование определений понятий, задач урока;

Логические (подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений).

логические- формулирование проблемы;

Коммуникативные УУД:

Уметь отстаивать точку зрения, аргументировать, принимать точку зрения других.

Реализация построенного проекта

Контролирует создание учащимися способов нахождения градусной меры дуги окружности в трех случаях:

А) дуга меньше полуокружности

Б) дуга является полуокружностью

В) дуга больше полуокружности

Подтверждают выдвинутую гипотезу, рассматривают все возможные случаи нахождения градусной меры дуги окружности

Коммуникативные УУД : постановка вопросов, инициативное сотрудничество, умеют принимать точку зрения других;

Познавательные УУД: самостоятельное решение проблемы, построение логической цепи рассуждений;

Регулятивные УУД: планирование, прогнозирование.

Первичное закрепление с комментированием во внешней речи

Установление правильности и осознанности изучения темы.

Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Устно решают задачи по готовым чертежам

Регулятивные УУД : волевая саморегуляция.

Познавательные УУД: выбор наиболее эффективных способов решения задач.

Личностные УУД: самоопределение, умеют принимать точку зрения другого.

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Проводит самостоятельную работу с самопроверкой.

Выполняют задания в тетрадях, по окончанию проверяют своё решение по эталону.

Регулятивные УУД :

Уметь выполнять работу по предложенному плану. Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.

Личностные УУД:

Включение в систему знаний и повторение

Организует поиск решения задачи.

Контролирует выполнение составленного учащимися плана решения.

Создают алгоритм решения задачи и реализуют его в тетрадях.

Познавательные УУД:

делают предположения об информации, нужной для решения учебной задачи;

Регулятивные УУД :

Уметь составлять алгоритм решения предложенной задачи; выполнять работу по намеченному плану. Личностные УУД:

Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Рефлексия учебной деятельности на уроке