Видеоурок «Умножение натуральных чисел и его свойства» представляет учебный материал для проведения урока математики в 5 классе. В ходе демонстрации видеоурока ученики осваивают тему умножения натуральных чисел, рассматривают и запоминают свойства умножения. После рассмотрения наглядного материала, объясняющего особенности операции и ее свойств, с целью усвоения материала рассматриваются примеры, ученики отвечают на вопросы, с помощью которых учитель может выявить недостаточное понимание темы учениками.

Видеоурок составляется с помощью инструментов, которые делают его эффективным методом обучения. В демонстрацию включаются иллюстрации, используются анимационные эффекты. Текст окрашивается различными цветами, поэтому понятия легко запоминаются. Так как видео озвучено, есть возможность вставить важные комментарии, комплексно охватить внимание ученика и удерживать его на обучении.

Урок начинается с представления темы урока. Смысл операции умножения раскрывается на примере. На экране демонстрируются три люстры, каждая из которых содержит 25 лампочек. Отмечается, что учитывая данные, можно сделать вывод, что для освещения концертного зала необходимо зажечь 25+25+25=75 лампочек. Затем демонстрируется короткая запись выражения, в котором складываются одинаковые слагаемые 25·3=75 и отмечается, что такое выражение дает произведение 75. С помощью указателя отмечается, как математически правильно называются члены произведения - множитель, еще множитель, произведение.

Затем суть операции умножения записывается в общем виде. На экране описывается, что умножить одно число m на другое nозначает найти сумму числа nслагаемых, при этом каждое равно m. При этом m· n -произведение, участвующие в нем члены - множители.

Еще один иллюстрированный пример показывает, что произведение двух чисел в любом порядке дает одно и то же число. Например, 4·7=7·4=28. На иллюстрации демонстрируются четыре ряда красных кружков. Их общее количество можно подсчитать, представляя 4 ряда по 7 элементов или 7 столбцов по 4 элементов. Независимо от этого получим 28. Так ученики подводятся к понятию переместительного свойства умножения. Ниже приводится его формулировка о том, что при перестановке множителей, их произведение неизменно. Демонстрируется также буквенное обозначение переместительного свойства для некоторых a и b, то есть a·b=b·a.

Аналогично вводится понятие сочетательного свойства умножения. На иллюстрации демонстрируются кружки двух цветов в одинаковом количестве. Каждый цвет представлен пятью рядами и тремя столбиками. Ниже демонстрируется подсчет их количества (5·3)·2=5·(3·2)=30. Предлагается рассмотреть, как формируются данные произведения - в первом случае подсчет ведется каждого цвета, а затем произведение умножается на 2, а во втором случае сначала просчитывается число кружков в трех столбцах и двух рядах, а затем умножается на количество таких групп. Ниже представляется название свойства и его формулировка. В тексте указано, чтобы умножить некоторое число на произведение других двух чисел, то его нужно умножить на І множитель, а затем это произведение умножить на ІІ множитель. Ниже представляется буквенное описание сочетательного свойства a·(b·c)=(a·b)·c.

Далее представляются свойства умножения при умножении числа на 1 и при умножении на нуль. Сначала рассматривается сумма единиц в количестве nштук. Отмечается, что иначе можно записать 1· n. Это выражение в результате вычисления дает n. Аналогично рассматривается умножение числа на нуль. Представлена сумма n нулей. Коротко она записывается 0· n. В сумме нули дают нуль, поэтому 0· n=0. Также описаны частные случаи, если n=1, n=0. Отмечается, что в этом случае условились считать m·1= m, m·0=0.

Описываются случаи, когда в математической записи допускается не записывать знак умножения. На экране представлены примеры таких записей - произведение числа и буквенной переменной, двух буквенных переменных, числа перед скобками с суммой буквенных переменных, двух смешанных выражений в скобках, а также произведение трех чисел. В последнем случае описана также возможность опустить скобки. Отмечается, что при перемножении трех чисел без скобок операция умножения выполняется по порядку слева направо.

В конце урока ученикам для усвоения материала предлагается ответить на 9 вопросов, которые охватывают все основные положения изученного во время просмотра материала. Среди них вопросы о смысле операции умножения, названии членов произведения двух чисел, результате умножения 0· n и 1· n, переместительном, сочетательном свойствах умножения, возможности опустить знак умножения и результате произведений m·1, m·0.

Видеоурок «Умножение натуральных чисел и его свойства» предназначен для обеспечения наглядности обучения математике, повышения эффективности урока традиционной формы обучения. Также данный материал может помочь сформировать нужные знания и умения у ученика при дистанционном обучении. Если есть потребность в самостоятельном обучении на дому, в видео развернуто и понятно объясняется тема, что позволит ученику также освоить ее самостоятельно.

В которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3.
Значит, 25 3 = 75. Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями.

415. Выполните действия, применив сочетательное свойство умножения:

а) 50 (2 764); в) 125 (4 80);
б) (111 2) 35; г) (402 125) 8.

416. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:

а) 483 2 5; в) 25 86 4;
б) 4 5 333; г) 250 3 40.

417. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.

а) Построили 5 коттеджей по 80 м2 жилой площади и 2 коттеджа по 140 м2. Какова жилая площадь всех этих коттеджей?

б) Масса контейнера с четырьмя книжными шкафами 3 ц. Какова масса пустого контейнера, если масса одного шкафа 58 кг?

421. Привезли 12 ящиков яблок, по 30 кг в каждом, и 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом. Какой смысл имеют следующие выражения:

а) 30 12; в) 40 8; д) 30 12 + 40 8;
б) 12 - 8; г) 40 - 30; е) 30 12 - 40 8?

422. Выполните действия:

а) (527 - 393) 8; г) 54 23 35;
б) 38 65 - 36 63; д) (247 - 189) (69 + 127);
в) 127 15 + 138 32; е) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Запишите произведение:

а) 8 и х; б) 12 + а и 16; в) 25 -m и 28 + n г) а + b и m.

424. Укажите множители в произведении:

а) Зт; в) 4ab; д) (m + n)(k - 3);
б) 6(х + р); г) (х - у) 14; е) 5k(m + а).

а) произведение m и n;
б) утроенная сумма а и b;
в) сумма произведений чисел 6 и х и чисел 8 и у;
г) произведение разности чисел а и b и числа с.

426. Прочитайте выражение:

а) а (с + d); в) 3(m+ n); д) аb + с;
б) (4 - а) 8; г) 2(m - n); е) m - cd.

427. Найдите значение выражения:

а) 8а + 250 при а = 12; 15;

б) 14(6 + 12) при b = 13; 18.

428. Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч и 2 ч со скоростью 8 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист за это время? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при а = 1; 2; 4.

429. Составьте выражение по условию задачи:

а) Из 6 книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки х см. Найдите высоту шкафа. Найдите значение выражения при х = 28; 33.
б) За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 т груза. Сколько груза она перевезет за k рейсов? Найдите значение выражения при k = 10; 5; 0.

430. Цена одного волейбольного мяча х р., а баскетбольного мяча у р. Что означают выражения: Зх; 4у; bх + 2у; 15x - 2у; 4(х + у)?

431. Составьте задачу по выражению:

а) (80 + 60) -7; в) 28 4 + 35 5;
б) (65 - 40) -4; г) 96 5 - 82 3.

432. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?

433. Какое из произведений больше: 67 2 или 67 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 8 < 195 12. Сделайте вывод.

434. Расставьте, не выполняя умножения, в порядке возрастания произведения: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Докажите, что:

а) 20 30 < 23 35 < 30 40;
б) 600 800 < 645 871 < 700 900;
в) 1200 < 36 42 < 2000;
г) 45 000 < 94 563 < 60 000.

436. Вычислите устно:

437. Какое число пропущено?

438. Восстановите цепочку вычислений:

439. Угадайте корни уравнения:

а) х + х = 64; б) 58 + у + у + у = 58; в) а + 2 = а - 1.

440. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения:

а) х+ 15 = 45;

б) у - 12 = 18.

441. Сколько четырехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, ели цифры в записи числа не повторяются?

442. Среди чисел 1, 0, 5, 11,9 найдите корни уравнения:

а) х + 19 = 30; в) 30 + х = 32 - х
б) 27 - х = 27 + х; г) 10 + х + 2 = 15 + х - 3.

443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?

444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Решите уравнение:

а) 127 + у = 357 - 85; в) 144 - у - 54 = 37;
б) 125 + у - 85 = 65; г). 52 + у + 87 = 159.

446. При каком значении буквы верно равенство:

а) 34 + а = 34; г) 58 - d = 0; ж) k - k = 0;
б) b + 18 = 18; д) m + 0 = 0; з) l + I = 0?
в) 75 - с = 75; е) 0 - n = 0;

447. Решите задачу:

а) В корзине несколько грибов. После того как из нее вынули 10 грибов, а затем в нее положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?

б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил еще несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?

448. Упростите выражение:

1) (138 + m) - 95; 3) (х - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (у - 56) + 114.

449. Найдите значение выражения:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Найдите значение выражения:

а) 704 + 704 + 704 + 704;

б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Представьте в виде суммы произведение:

а) 24-4; б) k 8; в) (x + y) 4: г) (2а - b) 5.

452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?

453. В треугольнике ABC сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника ABC равен 61 см.

454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой - 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?

455. Выполните умножение:

а) 56 24; в) 235 48; д) 203 504; ж) 2103 7214;
б) 37 85; г) 37 129; е) 210 3500; з) 5008 3020.

456. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?

457. От деревни до города велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь по той же дороге, если увеличит скорость на 4 км/ч?

458. Придумайте задачу по выражению:

а) 120 + 65-2; б) 168 -43-2; в) 15 4 + 12 4.

459. Сравните, не вычисляя, произведения (ответ запишите с помощью знака <):

а) 245 611 и 391 782;

б) 8976 1240 и 6394 906.

460. Запишите в порядке возрастания произведения:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Вычислите:

а) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
б) (2839 - 939) (577: 577).

462. Решите уравнение:

а) (х + 27) - 12 = 42; в) г - 35 - 64 = 16;
б) 115 - (35 + у) = 39; г) 28 - t + 35 = 53.

463. Сосчитайте, сколько четверок и сколько пятерок на рисунке 48, но только по особому правилу - считать нужно подряд и четверки, и пятерки: «Первая четверка, первая пятерка, вторая четверка, третья четверка, вторая пятерка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию еще и еще раз.

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Сборник конспектов уроков по математике скачать , календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам

Если сумма состоит из равных слагаемых, то ее можно записать короче: 25 + 25 можно записать, как 25 * 2.

Натуральное число m умножить на натуральное число n - это значит найти значение суммы, которая состоит из n слагаемых, каждое из которых равно m . m является первым множителем, n является вторым множителем, m * n является произведением (рис. 1).

Рис. 1. Умножение

Примеры: 1.

Произведение чисел 8 и x

2. Произведение суммы чисел a и b и числа 15

3. Произведение (m + 2) и (k - 3) (m + 2) * (k - 3).

Первый множитель - (m + 2), второй множитель - (k - 3)

4. Произведение 4ab состоит из трех множителей: первый множитель - 4, второй множитель - a, третий множитель - в.

5. Число 12 можно представить в виде произведения несколькими способами:

Если произведение содержит одинаковый множитель, то из них больше то, у которого второй множитель больше.

2.

3. 195 * 12 > 190 * 8, так как первый множитель первого произведения больше первого множителя второго произведения. Второй множитель первого произведения, аналогично, больше второго множителя второго произведения. Очевидно, что первое произведение больше.

Если оба множителя первого произведения больше обоих множителей второго произведения, то первое произведение больше.

Эти свойства можно использовать при доказательстве следующего неравенства:

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40

При решении различных задач применяют свойства умножения.

1. Переместительное: от перестановки мест множителей значение произведения не меняется.

2. Сочетательное: чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

3. Умножение на единицу: если число умножить на единицу, то число не изменится.

4. Умножение числа на нуль: если число умножить на нуль, то получится нуль.

Т. е., при умножении любого числа на нуль, получится нуль.

1.

2.

Все эти свойства удобно применять при решении различных примеров.

2. 2500 * 40 = 25 * 100 * 4 * 10 = 25 * 4 * 100 * 10 = 100000.

5. 125 * (42 * 80) = 125 * (80 * 42) = (125 * 80) * 42 = 10000 * 42 = 420000

Применим сначала переместительный закон в скобках, получим 125 умножить на произведение чисел 80 и 42. Теперь применим сочетательный закон и в итоге получим 10000 умножить на 42. Получаем 420000.

Произведение больших чисел удобнее находить в столбик. Вы этому учились в начальной школе.

После того, как мы изучили умножение, мы сможем решать более разнообразные задачи.

В первом ящике - 12 кг помидор, во втором ящике - в три раза больше, чем в первом. Сколько кг в обоих ящиках?

Первым действием мы узнаем, сколько кг помидор во втором ящике. 1. 12 * 3 = 36 (кг) - помидор во втором ящике; Вторым действие узнаем, сколько кг помидор в двух ящиках. 2. 36 + 12 = 48 (кг) - помидор в двух ящиках. Ответ: в обоих ящиках 48 кг помидор.

Список литературы

1. Н.Я. Виленкин. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ 17-е изд. - М.: Мнемозина, 2005.
2. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5-6. - М.: Илекса, 2011. - 106 с.
3. Ершева А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5-6. - М.: Илекса, 2006. - 432 с.
4. Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5-9 классы. - М.: Илекса, 2011. - 248 с.

1. Тренажер ().
2. Презентация ().
3. Учебник Н.Я. Виленкина ().
4. Презентация ().
   

Домашнее задание

Учебник математики 5 класса. Н.Я. Виленкин

№ 405; 408; 413; 415; 416; 417; 435; 423; 459

МБОУ Греково – Степановская СОШ

Урок

В 5 классе

по теме

« Умножение натуральных чисел

и его свойства »

Составитель:

учитель математики

и информатики

Киселева Л. А.

Объяснительная записка

Современный этап жизни России можно охарактеризовать одним словом – инновации. Они имеют место во всех областях: политической, экономической, культурной. Образование не может не быть затронуто происходящими изменениями.

Новые потребности общества породили и новую педагогическую парадигму, которая работает на будущее, формируя ключевые компетенции личности, развивая мыслительную деятельность, логику учеников, а не просто обеспечивая их готовыми знаниями. Поэтому, в условиях перемен становится особенно важным, чтобы учитель критически подходил к предлагаемым ему рекомендациям и творчески использовал имеющиеся в его распоряжении средства обучения, организуя учебный процесс с учётом конкретных условий работы с классом.

По – моему мнению, важнейшим фактором успеха в обучении математики является интерес учеников к предмету. Следовательно, и учебник, и урок должны быть увлекательными. Поэтому, я, тему «Умножение натуральных чисел» разработала по–своему.

Данная разработка темы отличается от предложенных разработок тем, что она связана с сюжетом восхождения на пик «Умножение натуральных чисел». Это восхождение продолжается в течение пяти уроков.

Интерес школьников к учению надо рассматривать как один из самых мощных факторов обучения, поэтому я старалась разработать уроки так, чтобы сформировать у детей не только знания, умения, навыки, предусмотренные программой и требованиями к математической подготовке учащихся, но и раскрывать способности каждого, развивать интеллектуальные способности, мыслительные умения, перенос знаний и умений в новые ситуации; развитие познавательного интереса к предмету. А также воспитание сознательного отношения к учению; культуры умственного труда, ответственности каждого за конечный результат обучения.

При изучении темы использовала комбинированные уроки, уроки – практикумы, урок - зачёт.

В учебнике предложен большой объём задач по теме, но я старалась предлагать учащимся такие варианты заданий и в такой форме, которые бы позволили не только выработать у ребят умения и навыки решения задач, но и были направлены на формирование и поддержание эмоционально – личностного отношения к предмету, на расширение общего культурного кругозора учащихся. Так, например, на одном из уроков ребятам было предложено ответить на письма сказочных героев, в которых они ставили перед учениками задачи. Урок проверки знаний и умений по изученной теме был проведён в тестовой форме. В результате выполнения заданий и сопоставления вариантов ответов и соответствующих им букв, ребята узнали животных и птиц, входящих в Красную книгу, тем самым, проконтролировав себя.

На уроках математики использую карточки для индивидуального опроса, рабочие тетради. Они помогают проконтролировать процесс усвоения знаний и умений ребёнка на различных этапах изучения темы.

Все используемые мной приём, виды заданий, дидактические материалы способствуют усвоению и закреплению нового материала, развитию познавательной активности, творческого мышления учащихся. Я старалась, чтобы каждый урок достигал всех целей: обучающей, развивающей, воспитывающей.

Цели и задачи

Развитие личности средствами математики;

Повышение культуры вычислительных навыков;

Развитие логического мышления, умения анализировать, обобщать, находить оптимальные варианты решений;

Развитие творческих способностей ученика;

Активизирование познавательной деятельности учащихся; расширение знаний об окружающем мире;

• Воспитание настойчивости и упорства в достижении цели; ответственности за конечный результат обучения.

Урок 1

Тема « Умножение натуральных чисел и его свойства»

Цели:

Формирование знаний об умножении многозначных чисел, свойствах умножения натуральных чисел; учить применять свойства умножения для упрощения вычислений; Развитие умений анализировать и устанавливать связи ранее изученного с новым; логически рассуждать и выражать свои мысли. Способствовать активизации эмоционально – личностного отношения учащихся к математике.

Ход урока

Считайте, ребята, скорее считайте. Хорошее дело скорей умножайте, Плохие дела поскорей вычитайте, Скорее работу свою выполняйте!

Организационный момент. Вводное слово учителя. Постановка целей урока.

- У каждой горы есть несколько пиков. Наша гора, на которую мы совершаем восхождение, это гора под названием «Математика». Путь к самой высокой вершине этой горы очень тяжёл и извилист. Доходят до неё самые стойкие и любознательные. Нам ещё до главной вершины очень далеко, но в ближайшее время нам предстоит восхождение на один из пиков этой горы. Это пик под названием «Умножение натуральных чисел». Подъём к пику будет нелёгким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вас ждут не только задания.
Познакомить учащихся с этапами изучения темы.

Умножение натуральных чисел и его свойство (изучение теории и первичное закрепление). Нахождение значений числовых выражений. Решение текстовых задач. Решение задач. Смотр знаний (проверочная работа).

Записать тему 1 урока в тетрадях.

Устный счёт (Проверка – работа в парах).

- Принято, что к восхождению на любую гору человек готовится и свой день обычно начинает с зарядки, то есть разминки. Проведём разминку и мы (устный счёт по карточкам).
Задание: Вычислите устно и запишите ответ. 1 вариант 2 вариант
5 * 7 = … 10 * 3 = … 6 * 6 = … 4 * 10 = … 2 * 8 = … 10 * 5 = … 2 * 7 = … 60 * 5 = … 9 * 6 = … 70 * 4 = … 9 * 4 = … 3 * 70 = … 4 * 3 = … 2 * 40 = … 3 * 8 = … 90 * 6 = … 7 * 8 = … 90 * 3 = … 5 * 9 = … 8 * 10 = …

Изучение нового материала.

- При подъёме на пик «Умножение натуральных чисел» нам предстоит преодолевать много преград, т.е. выполнять различные задания, отвечать на вопросы.

Первая преграда

- Выполните задания и ответьте на вопросы (записывается в тетрадь):

Выполните действия: 15 + 15 + 15 + 15

24 + 24 + 24 + 24 + 24 100 + 100 + 100

Как иначе можно найти значения этих выражений? (15 * 4; 24 * 5; 100 * 3) Каким действием вы заменили сумму нескольких одинаковых слагаемых? (умножением). Замените множители буквами a и b, какое выражение вы получили? (a*b) Вывод: Умножить число a на натуральное число b – значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Вспомните, как называются компоненты при умножении? (множитель, множитель, произведение). Назовите в каждом из записанных ранее выражений его компоненты.

Вторая преграда

В каждом случае представьте в виде суммы произведение и найдите их значения: 3 * 4 и 4 * 3. Какой вывод можно сделать о значениях этих выражений? Что произошло с множителями в этих выражениях? Вывод: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей. Это первое свойство умножения – переместительное. a * b = b * a . Выполните действия: (5 * 3) * 2 и 5 * (3 * 2). Что можно сказать о данных выражениях и их значениях? Вывод: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Это второе свойство умножения – сочетательное. С помощью букв его записывают так a * ( b * c ) = ( a * b ) * c . Представьте в виде произведения сумму 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 и найдите его значение (1 * 6 = 6). Сделайте вывод. Как можно записать данное выражение с помощью букв? (1 * а = а) Вывод: Сумма а слагаемых, каждое из которых равно 1, равна а . Чему будет равно значение выражения один из множителей которого равен 0? (0) Вывод: Произведение равно 0, если один из множителей равен 0.

Третья преграда

- Всё, о чём мы с вами говорили до этого, было вам знакомо из курса математики начальных классов. А теперь новое и важное. Запомните:

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 * х пишут 8х; вместо а * с пишут ас. Опускаю знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 * ( a + b) пишут 2(a +b); вместо (x + 2) * (y – 3) пишут (x + 2)(y – 3) вместо (ab)c пишут abc.

Закрепление первичных знаний.

- Перед нами ещё один участок подъёма, который необходимо преодолеть.

• Учебник: стр 95 «Говорите правильно»

  Учебник: № 394 (устно) № 395 (по очереди у доски) Рабочая тетрадь: стр 43 № 1, 2 (с комментариями) Рабочая тетрадь: стр 44 № 5, 6 (самостоятельно)

Работа в парах.

- Представьте себе, что вы попали в обвал. Наша задача - выжить в данной ситуации. А чтобы выжить вам нужно объяснить друг другу, как выполнить действия наиболее удобным способом и какое свойство умножения вы применяете в каждом из случаев:

50 * (2 * 35) 2) (11 * 2) * 25

3) (4 * 33) * 5 4) 5 * (467 * 2)

Логическое задание.

- Итак, мы смогли выжить, значит можем двигаться дальше.

Всем! Всем! Всем! Кто возьмётся найти все способы представить число 36 в виде произведения двух множителей и найдёт их – тот будет героем первого дня нашего восхождения.

Итоги урока.

Игра «Учитель против 5 класса»

Сложение одинаковых чисел можно заменить действием …(умножением) Равенство a * b = b * a выражает (назовите) … свойство умножения. Если a * b = с , то буквы a иb называются …, а с - … (компоненты действия). Равенство a * ( b * c ) = ( a * b ) * c выражает … свойство умножения. 1 * а = … ; Если произведение двух чисел равно 0, то один из множителе равен … Вместо 5 * х пишут …; вместо 4 * (х – y ) пишут …

На этом наше восхождение, конечно, не заканчивается. Мы преодолели только 1 участок пути, а впереди нас ждут ещё 4 таких же трудных участка. Но нам необходима передышка, и я предлагаю сделать привал.

9.

Домашнее задание п 11, № 438, 439, 413, 450(а)

Урок 2

Тема « Умножение натуральных чисел. Нахождение значения числовых и буквенных выражений»

Цели:

Формирование умений воспроизводить изученное и применять знания в стандартных условиях; перенос приобретённых знаний и их первичное применение в изменённых условиях. Развитие логического мышления, наблюдательности; умений анализировать и выбирать рациональной способ решения; Прививать аккуратность в оформлении заданий, рациональное использование доски, страницы тетради; мотивация познавательной деятельности.

Ход урока

Чем больше я знаю, Тем больше умею. 1. Организационный момент. 2. Постановка целей урока.

Сегодня на уроке мы продолжим восхождение к пику «Умножение натуральных чисел» и займёмся по ходу движения нахождением значений числовых выражений.

Записать тему урока в тетрадях.
3. Актуализация опорных знаний. Тетради с домашней работой сдаются на проверку

Двое на месте работают с карточками индивидуального опроса.

Карточка 1

1. Замените сложение умножением 203 + 203 + 203 + 203; Х + Х + Х + Х + Х. 2. Представьте произведение в виде суммы: 3(a – b). 3. Заполните пропуски: a * b = b * … 4. Запишите для данного равенства 1 * 75 = 75 правило в общем виде. 5. Запишите выражение: произведение суммы чисел 24 и 16 и числа 3. Найдите его значение.

Карточка 2

1. Выберите из предложенных равенств верные: а) 1 * 304 = 1; б) 15 * 3 = 15 + 15 + 15; в) 24 – 4 * (2 + 3) = 100 2. Заполните пропуски: a * (b * c) = (a * …) * … 3. Запишите для данного равенства 0 * 56 = 0 правило в общем виде. 4. Запишите выражение: удвоенное произведение чисел x и y. 5. Найдите значение выражения, выбрав удобный порядок действия 500 * (74 * 2)

Остальные отвечают на вопросы:

Что значит умножить одно натуральное число на другое? Как называются числа, которые перемножаются? Как называют результат умножения? Чему равно 1 * n ? 0 * n? Сформулируйте переместительное свойство умножения. Сформулируйте сочетательное свойство умножения. В каких случаях можно опустить знак умножения? Учебник № 427 (решение по цепочке).

4. Формирование умений и навыков учащихся.

Для того чтобы подняться на следующее плато и расположиться там на привал, нам нужно выполнить следующие задания, стараясь делать как можно меньше ошибок.

№ 402 (а, б, ж, л) – один ученик у доски с объяснением. № 402 – два человека у доски: один с I варианта, второй со II варианта, остальные выполняют в тетрадях по вариантам I вариант - № 402(в, е, и, м); II вариант - № 402(г, д, з, п) № 403 – по очереди у доски

Физкультурная минутка (дыхательная гимнастика).

№ 404 – в тетрадях с комментарием. № 405(а) – учитель показывает на доске оформление примера: 50 * (2 * 764) = (50 * 2) * 764 = 100 * 764 = 76400 № 405 (б, в, г) – в тетрадях с комментарием.
5. Разминка для ума.

Все очень устали, но привал уже виден на горизонте, и чтобы попасть на место нашей следующей стоянки нам нужно познакомимся с некоторыми другими способами умножения натуральных чисел, отличными от наших, и попробовать применить их на практике.

Умножение натуральных чисел по способу русских крестьян. Покажем на примере 63 * 86:

63………..86 126 ………43 252 ………21 504………10 1008 ………5 2016………2 4032 ……....1 126 + 252 + 1008 + 4032 = 5418

В левом столбике числа удваиваются, а в правом делятся на 2. В тех случаях, когда деление на 2 нацело невозможно, на 2 делят число, непосредственно предшествующее (т.е. меньше на единицу). Подумайте, какие числа складываются, чтобы найти произведение? (Если при делении получаются нечётные числа, то находят сумму чисел, умноженных на 2 и стоящих напротив этих чисел. Полученная сумма - это и есть произведение данных чисел). Попробуйте найти по этому способу произведение 38 * 52.

Умножение натуральных чисел способом крестика или хиазм (молния).

В Индии широко использовался особый способ умножения чисел, называемый способом крестика или хиазм (молния). Состоит он в том, что сразу находят цифры произведения одну за другой справа налево. Разберём на примере 47 * 76

4 7
7 6 3 5 7 2

Ищем цифру единиц произведения. Единицы могут получиться от умножения единиц множимого на единицы множителя, т. е. 7 * 6 = 42, цифру 2 подписываем под единицами, а 4 десятка запоминаем. Ищем десятки произведения. Они могут получиться от умножения десятков множимого на единицы множителя и от умножения единиц множимого на десятки множителя, что показано крестиком. Имеем

4 * 6 + 7 * 7 = 73, да 4 в уме, всего 77 десятков. Пишем под крестиком 7, а 7 сотен запоминаем.

Ищем цифру сотен произведения. Сотни могут получиться от произведения десятков множимого на десятки множителя, как показано чёрточкой, т. е. 4 * 7 = 28, да в уме 2, всего 35 сотен, которые и пишем. Найдите этим способом произведение 69 * 37.

6. Итоги урока

7. Оценивание работы учащихся на уроке.
8. Домашнее задание. П 11. № 443, 450 (б, в)

Урок 3

Тема «Умножение натуральных чисел. Решение текстовых задач»

Цели:

Научить применять умения и навыки умножения натуральных чисел при решении текстовых задач; Развитие математического мышления учащихся; умений анализировать условие задачи при поиске способа её решения; Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения математики; развитие культуры речи.

Ход урока

Была бы охота, Заспорится любая работа. 1. Организационный момент.

Постановка целей урока.

Сегодня нам предстоит преодолеть третий участок пути, и всё время движения нас будут сопровождать текстовые задачи, которые вам предстоит решить, чтобы попасть на намеченное место отдыха.

Записать тему урока в тетради.

Актуализация опорных знаний.

Двое учащихся у доски записывают решение домашнего задания. Остальные ученики работают устно № 425(по цепочке) :
Ну-ка, в сторону карандаши! Ни бумажек, ни ручек, ни мела! Устный счёт! Мы творим это дело Только силой ума и души!

Формирование умений и навыков учащихся.

На пути нашего движения образовалась преграда в виде упавшего дерева, чтобы её преодолеть, нужно узнать что это за дерево Разгадка названия этого дерева заключается в том, чтобы решить предложенные задачи, заменить полученные числа соответствующими буквами и тогда вы узнаете название этого дерева. Это удивительное дерево относится к числу деревьев – гигантов. Оно растёт в основном в Индии и Малайзии.

Самое необычное в нём то, как растут его ветви. Многочисленные и тяжёлые, они разбегаются во всех направлениях от ствола, хотя и могучего, но, тем не менее, не способного выдержать их все самостоятельно. Весь фокус в том, что ветви сами снимают с него часть нагрузки: на каждой из них имеются толстые отростки, отвесно свисающие до самой земли и представляющие собой не что иное, как воздушные корни дерева. Закрепившись в земле. Они не только обеспечивают ветвям дополнительную поддержку, но и поставляют в них питательные вещества и воду. Постепенно они превращаются в новые стволы и вокруг главного ствола образуются кольцеобразные «галереи», диаметр которых иногда достигает 450 м.
Решение – по очереди у доски.
А) № 397 (15 мин, Б) Г) № 400 (48 кг, Ь) Б) № 398 (32 см, А) Д) № 401 (13 лет и 39 лет, Я, Н) В) № 399 (119 см, Н)
119 13 Н 15 32 39 48 Я Ь Б А Н Ответ: БАНЬЯН
Физкультурная минутка (дыхательная гимнастика).

Работа в парах.

Преграду мы с вами успешно преодолели, название дерева совместными усилиями узнали, а теперь поработаем в парах.

Представьте, что один из вас столяр, а другой – помощник. Решите каждый свою часть задачи, а затем дайте ответы на общие вопросы.

№ 408 Столяр и его помощник должны сделать 217 рам. Столяр в день делает 18 рам, а его помощник – 13. Сколько рам им останется сделать после двух дней работы? Четырёх дней работы? Семи дней работы?
Решения обсуждаются.

Самостоятельная работа.

1 вариант № 410 (а) 2 вариант № 410 (б)
Решение обсуждается.

Подведение итогов.

Примите мои поздравления – мы успешно преодолели третий участок нашего пятидневного пути. Какое из препятствий, возникших перед вами, было самым большим? Как вы с ним справились? Какое действие присутствовало при решении каждой задачи?

Оценивание работы учащихся на уроке.

Сегодня мы с вами работали фронтально (все вместе), парами и самостоятельно. Какую бы оценку за свою работу на уроке вы бы поставили (учащиеся показывают выбранную карточку):

8. Домашнее задание. № 440, № 441, № 446 (а)

Урок 4

Тема «Умножение натуральных чисел. Решение задач».

Цели:

Развитие умений решать задачи по действиям или составлением выражений; Способствовать развитию гибкости мышления, творческой деятельности учащихся, внимания, умений рассуждать и выражать свои мысли. Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения математики.

Ход урока

В задачах тех ищи удачи, Где получить рискуешь сдачи.

Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Математическая эстафета
1 вариант 2 вариант

Впишите знак действия:

88 2 = 90 45 2 = 90 35 3 = 105 101 10 = 91 64 32 = 32 15 5 = 75 124 3 = 372 132 4 = 528

Запишите пропущенное число:

45 * = 135 62 * = 124 444 - = 221 555 - = 331 35 + = 101 46 + = 102 32 * = 160 31 * = 155

Постановка целей урока.

Сегодня мы продолжим решение текстовых задач. Такие задачи встречаются не только в учебнике. Они имеют большое практическое значение. Перед вами на столе лежат письма героев сказок и мультфильмов, которые просят помочь им решить некоторые проблемы. Если мы успешно справимся с ними, то будем считать, что четвёртый день нашего восхождения успешно преодолён.

Развитие умений и навыков учащихся.

Решение по очереди у доски.

Письмо от Буратино: «Мальвина дала мне 500 рублей и велела купить 2 кг конфет по цене 77 рублей за килограмм, 3 кг винограда по цене 38 рублей за килограмм. И сказала, чтобы я не забыл про сдачу, а сколько должны дать, я не знаю. Помогите мне».

Кто желает помочь бедному Буратино ?

Письмо от Чебурашки: « Мы с Крокодилом Геной решили построить домики, в которых будут жить наши друзья. По нашему плану будет 4 домика площадью 86 м 2 и 3 домика по 150 м 2 . Какая же у нас получилась общая площадь построек?»

Решите данную задачу, составив выражение.

Письмо от дяди Фёдора из Простоквашино: «Хозяйственный кот Матроскин завёл корову и решил продавать сливочное масло. За месяц он изготовил 32 кг масла и стал расфасовывать его по пакетам. У него получилось 9 пакетов по 200 грамм, 15 пакетов по 450 грамм и 20 пакетов по 700 грамм. Остальное масло он решил отправить моим родителям. Сколько же масла получать мои родители?»

Письмо от Серого Волка: «Вспомните сказку о том, как мы с Иваном – царевичем искали Жар – птицу. Весь путь от царства Берендея до царства Афрона составил 5 часов. Сначала я бежал 2 часа со скоростью 70 км/ч, а затем поду стал и уже бежал со скоростью 64 км/ч. Так чему же равно расстояние от царства Берендея до царства Афрона?»

Составьте выражение для решения этой задачи и найдите его значение.

Физкультурная минутка(дыхательная гимнастика).

Самостоятельная работа с последующей проверкой.

1 вариант (№ 419 а) 2 вариант (№ 419 б) Сформулируйте текст задачи от имени какого – либо сказочного героя и решите эти задачи.

Обменяйтесь тетрадями с самостоятельной работой. Первое задание проверьте по готовым ответам. Второе задание оцените самостоятельно. Карандашом поставьте оценку за самостоятельную работу.

Тетради сдаются на проверку.

Итоги урока.

Итак, сегодня мы помогли сказочным героям справиться с их проблемами, а для себя решение задач сделали более увлекательным. Теперь можем спокойно передохнуть, ну а впереди нас ждёт последний и самый трудный участок подъёма на пик «Умножение натуральных чисел».

Оценивание работы учащихся на уроке.

Домашнее задание. № 444, № 445, № 446 (в) (Задача от имени сказочных героев).

Урок 5

Тема « Умножение натуральных чисел. Смотр знаний»

Цели:

Выявление уровня овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме; Развитие логического мышления, самостоятельности; активизировать познавательную деятельность учащихся; способствовать расширению знаний об окружающем мире; Воспитание настойчивости и упорства в достижении цели.

Ход урока

Была бы охота Заладится любая работа

Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Тест «Да и нет не говорите, «+» и «- » напишите» «+» - верное утверждение, «- » - ошибочное утверждение

Сумму одинаковых слагаемых можно найти с помощью умножения. Равенство a * b = b * a выражаетсочетательное свойство умножения. Если произведение чисел равно 0, то один из множителей равен 0. Если a * b = с, то с – этосумма. Равенство a * (b * c ) = (a * b ) * c выражает сочетательное свойство умножения. 1 * х = х В выражении 3(х + 5) число 3 является множителем. Значение выражения 500 * (449 * 2) равно 44900.

Ответ: + - + - + + + -
Ответы проверяются в парах.

Постановка целей урока.

Сегодня нам предстоит преодолеть последний участок подъёма. Я думаю, что вы успешно справитесь со всеми заданиями и окажетесь у цели нашего восхождения – пика «Умножение натуральных чисел». Волка можно увидеть в наших лесах часто, но есть звери, которые встречаются очень редко. Некоторые из них занесены в Красную книгу. В результате самостоятельной работы вы узнаете, какие звери и птицы встретились вам в пути.

Записать тему урока в тетрадь.

Индивидуальная работа по карточкам.

Карточка 1

Номер

задания

Задания к карточке 1

Выполните умножение 806 * 78 Найдите значение выражения х * 133, если х = 12 Масса одной пачки печенья 250 г. Какова масса 5 пачек печенья? Найдите значение выражения: 68 * 51 – 2368 В кинотеатре два зала. В большом зале 26 рядов по 23 места, а в малом зале 19 рядов по 22 места. Сколько всего мест в кинотеатре? Туристы проехали на автобусе в 7 раз большее расстояние, чем прошли пешком за 3 ч. Какое расстояние проехали туристы на автобусе, если пешком они за 1 ч проходили 4 км?

Карточка 2

Номер

задания

Задание к карточке 2

Выполните умножение 315 * 24 Найдите значение выражения х * 143, если х = 35 Масса одной порции мороженого 135 г. Какова масса 6 таких порций? Найдите значение выражения: 52 + 48 * 702 Торт в 3 раза дороже, чем 5 пирожных. Сколько стоит торт, если пирожное стоит 22 р? Первый станок изготовлял в час 28 деталей, а второй изготовлял в час 35 таких деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 17 ч работы первого станка и за 15 ч работы второго?

Карточка 3

Номер

задания

Задание к карточке 3

Выполните умножение 356 * 68 Найдите значение выражения а * 81, если а = 36 Коробка с пряниками весит 2 кг 900 г. Сколько весят 3 таких коробки? Найдите значение выражения: 12308 – 96 * 64 Миша моложе своей сестры Насти в 4 раза, а отец старше Насти в 3 раза. Сколько лет отцу, если Мише 4 года? Средняя скорость вездехода 42 км/ч, а аэросаней в 3 раза больше. Из города до станции нужно ехать 4 ч на вездеходе и 3 ч на аэросанях. Каково расстояние от города до станции?

Карточка 4

Номер

задания

Задание к карточке 4

Выполните умножение 724 * 58 Найдите значение выражения а * 126, если а = 405 Самолёт летит со скоростью 585 км/ч. Какое расстояние он пролетит за 18 часов? Найдите значение выражения: 8133 + 69 * 805 Бочка вмещает воды в 9 раз больше, чем 4 ведра. Сколько литров воды вмещает бочка, если в одно ведро входит 8 л воды? В овощехранилище привезли яблоки в ящиках и контейнерах. В одном ящике 6 кг яблок, что в 7 раз меньше всех яблок в одном контейнере. Сколько килограммов яблок привезли в 120 ящиках и 80 контейнерах? Найдите значение выражения: n * m – 345, если n = 125; m = 16 Запишите в порядке возрастания произведения:

1) 172 * 191; 2) 85 * 91; 3) 85 * 104; 4) 172 * 104

Карточка 5

Номер

задания

Задание к карточке 5

Выполните умножение 618 * 39 Найдите значение выражения 37 * m , если m = 235 Найдите значение выражения: 11346 – 87 * 78 Первая деталь обрабатывается на станке в 4 раза быстрее, чем вторая, а третья деталь обрабатывается в 5 раз медленнее, чем вторая. Сколько времени обрабатывается первая деталь, если на обработку третьей детали уходит 80 мин? В двух комнатах пол был выложен плиткой. В одной комнате плитка была уложена в 43 ряда, по 34 штуки в каждом ряду, а в другой – в 36 рядов, по 28 штук в каждом ряду. Сколько всего плиток потребовалось на пол в этих двух комнатах? Найдите значение выражения: n * m + 345, если n = 142; m = 15 Запишите в порядке убывания произведения:

1) 165 * 191; 2) 84 * 165; 3) 84 * 107; 4) 165 * 107

Карточка 6

Номер

задания

Задание к карточке 6

Выполните умножение 809 * 67 Найдите значение выражения 375 * m , если m = 24 Масса одной банки с огурцами 2 кг 750 г. Какова масса 3 таких банок с огурцами? Найдите значение выражения: 24038 – 38 * 604 Самолёт пролетел расстояние в 7 раз большее, чем поезд прошёл за 3 ч. Какое расстояние пролетел самолёт, если скорость поезда 75 км/ч? На одном участке 24 ряда клубники, по 36 кустов в каждом ряду, а на другом участке 32 ряда, по 28 кустов в каждом ряду. Сколько всего клубники посажено на двух участках?

Карточка 7

Номер

задания

Задание к карточке 7

Выполните умножение: 308 * 47 Найдите значение выражения 423 * х, если х = 56 Головка сыра весит 2 кг 600 г. Сколько весят 4 таких головки сыра? Найдите значение выражения: 508 * 47 - 3876 Первый кусок провода короче второго в 6 раз, а третий кусок провода в 4 раза длиннее второго куска. Найдите длину третьего куска провода, если длина первого куска 12 м. Банка со шпротами стоила 19 р, это дороже банки с кильками на 8 р, но дешевле банки с лососем на 5 р. Купили 3 банки с кильками, 2 банки со шпротами и 1 банку с лососем. Сколько денег заплатили за всю покупку?

В результате самостоятельной работы по карточкам на доске должны появиться слова: барсук, беркут, косуля, выхухоль, росомаха , соболь, байбак.

Поговорим об этих животных и птицах.

Барсук имеет интересный окрас, тело клинообразно суживается к голове. Хороший землекоп. В зимнее время погружается в спячку. Охота на барсука в определённых областях запрещена. Беркут – крупная птица. Строит огромное до 3 метров в диаметре, гнездо из толстых сучьев на вершине высокого дерева. Занесён в Красную книгу. Косуля – маленький олень очень лёгкого и изящного телосложения. Питается травяной и кустарниковой растительностью, осенью охотно поедает грибы и ягоды. Выхухоль – одно из самых древних сохранившихся на земле видов млекопитающих; она считается современником мамонта и шерстистого носорога. Этот небольшой зверёк обитает в водоёмах со стоячей и слабо проточной водой. Ведёт активный образ жизни круглый год. Занесён в Красную книгу. Росомаха – своеобразный хищник. Питается в основном падалью, но иногда охотится на животных.

Соболь - млекопитающее семейства куньих. Длина тела до 58 см, хвоста до 19 см. Распространен главным образом в России, обитает в тайге, от Северного Приуралья до Тихого океана. Объект пушного промысла и звероводства; составляет основу национального пушного богатства страны. В природе дает помет с лесной куницей - кидасов.

Байбак (степной сурок) - млекопитающее рода сурков. Длина тела до 60 см. В степях Европейской части и Северного Казахстана. Малочислен. Находится под охраной.

Поэт А. Яшин сказал:

Высокомерие не к лицу

Ни великану,

Ни мудрецу.

В сосновом бору,

В берёзовой роще,

Где так многогранно желанье жить,

Мне, сильному, только добрей и проще,

И человечней хочется быть.

Мы видим не всё со своей горы,

Чудес неоткрытых ещё не мало.

Боюсь, чтоб кичливость не помешала

Нам постигать иные миры.

ДАВАЙТЕ И МЫ БУДЕМ ЛЮБИТЬ ОКРУЖАЮЩУЮ НАС ПРИРОДУ, БЕРЕЧЬ И ОХРАНЯТЬ ЖИВОТНЫХ И ПТИЦ!

Итоги урока.

Сегодня наше путешествие к пику «Умножение натуральных чисел» подошло к концу. Мы достигли цели. С каким результатом вы достигли пика, видно из сегодняшней самостоятельной работы. Кто успешно справился со всеми заданиями, тот смог определить, какое животное было зашифровано, а значит самостоятельно проверил свои знания по изученной теме.

Оценивание работы учащихся на уроке.

Тетради сдаются на проверку.

Домашнее задание. № 447, 448, 449 (б)

Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6 . Иначе это запишем: 6 · 3 = 6 + 6 + 6 = 18 . Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.

Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.

Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8 , необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8) , и строку левой ячейки, где число 8 (6) . Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8 .

Умножение трех и более количества чисел

Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a · (b · c) и (a · b) · c , где a , b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a · b · c . Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.

Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a · b) · (c · d) , (a · (b · c)) · d , ((a · b) · c) · d , a · (b · (c · d)) и a · ((b · c) · d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a · b · c · d .

Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.

Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2 · 1 · 3 · 1 · 8 . Имеется два основных способы решения.

Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 2 · 3 · 1 · 8 . Так как 2 · 3 = 6 , то 2 · 3 · 1 · 8 = 6 · 1 · 8 . Далее имеем, что 6 · 1 = 6 , тогда в итоге получим результат 6 · 8 = 48 . Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48 . Этот способ записывается, как (((2 · 1) · 3) · 1) · 8 .

Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2 · 1) · 3) · (1 · 8) . Имеем, что 2 · 1 = 2 и 1 · 8 = 8 , то ((2 · 1) · 3) · (1 · 8) = (2 · 3) · 8 . При 2 · 3 равном 6 получим, что (2 · 3) · 8 = 6 · 8 . В итоге получим, что 6 · 8 = 48 . Отсюда следует, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 48 .

Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.

Пример 1

Даны четыре числа для умножения: 3 , 9 , 2 , 1 . Их произведение записывается в виде 3 · 9 · 2 · 1 .

При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18 .

Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.

Тогда получим: 3 · 9 · 2 · 1 = 3 · 2 · 9 · 1 = (3 · 2) · (9 · 1) = 6 · 9 = 54 .

При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.

Пример 2

Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?

Решение

Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.

Тогда в одном ящике 3 · 2 = 6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6 · 4 = 24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2 · 4 = 8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3 · 8 = 24 предмета.

Эти решения можно записать таким образом (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24 или 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24 .

Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3 , 2 , 4 , а значит, что 3 · 2 · 4 = 24 .

Ответ: 24 .

Подведем итоги.

При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.

Умножение суммы на натуральное число и наоборот

Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.

Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a + b) · c = a · c + b · c , где a , b , c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d , (a + b + c + d) · h = a · h + b · h + c · h + d · h и т.д., где a , b , c , d , h являются натуральными числами.

Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.

Если взять сумму из пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на 3 , получим, что (7 + 2 + 3 + 8 + 8) · 3 = 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 . Отсюда имеем, что 7 · 3 = 21 , 2 · 3 = 6 , 3 · 3 = 9 , 8 · 3 = 24 , то 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 = 21 + 6 + 9 + 24 + 24 , после чего находим сумму чисел 21 + 6 + 9 + 24 + 24 = 84 .

Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7 + 2 + 3 + 8 + 8 = 28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.

Например, 2 · (6 + 1 + 3) = 2 · 6 + 2 · 1 + 2 · 3 = 12 + 2 + 6 = 20 . Здесь применяем правила умножения числа на сумму.

Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример 3

В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?

Решение

Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3 + 7 + 2 . Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3 + 7 + 2) · 4 предметов.

Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3 + 7 + 2) · 4 = 3 · 4 + 7 · 4 + 2 · 4 = 12 + 28 + 8 = 48 .

Ответ: 48 предметов.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее

Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10 , рассмотрим подробно.

Натуральные числа вида 20 , 30 , 40 , … , 90 соответствуют 2 , 3 , 4 , … , 9 десяткам. Это значит, что 20 = 10 + 10 , 30 = 10 + 10 + 10 , … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2 · 10 = 20 , 3 · 10 = 30 , . . . , 9 · 10 = 90 .

Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:

2 · 100 = 200 , 3 · 100 = 300 , . . . , 9 · 100 = 900 ; 2 · 1 000 = 2 000 , 3 · 1 000 = 3 000 , . . . , 9 · 1 000 = 9 000 ; 2 · 10 000 = 20 000 , 3 · 10 000 = 30 000 , . . . , 9 · 10 000 = 90 000 ; . . .

Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10 · 10 = 100 ;

что десяток сотен – это тысяча, тогда 100 · 10 = 1 000 ;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000 · 10 = 10 000 .
Исходя из рассуждений, получим 10 000 · 10 = 100 000 , 100 000 · 10 = 1 000 000 , …

рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.

Пример 4

Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10 .

Решение

Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032 · 10 = (7 000 + 30 + 2) · 10 = 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 . Число 7000 можно представить в виде произведения 7 · 1 000 , число 30 произведением 3 · 10 .

Отсюда получим, что сумма 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 будет равна сумме (7 · 1 000) · 10 + (3 · 10) · 10 + 2 · 10 . Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7 · 1 000) · 10 + (3 · 10) · 10 + 2 · 10 = 7 · (1 000 · 10) + 3 · (10 · 10) + 2 · 10 .

Отсюда получим, что 7 · (1 000 · 10) + 3 · (10 · 10) + 2 · 10 = 7 · 10 000 + 3 · 100 + 2 · 10 = 70 000 + 300 + 20 . Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000 + 300 + 20 .

Ответ: 7 032 · 10 = 70 320 .

Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10 . В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0 .

Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10 . Если в конце записи дописать цифру 0 , тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10 . Когда в записи натурального числа дописывают 0 , то полученное число применяется как результат умножения на 10 .

Приведем примеры: 4 · 10 = 40 , 43 · 10 = 430 , 501 · 10 = 5 010 , 79 020 · 10 = 790 200 и так далее.

Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10 , можно получить умножение произвольного числа на 100 , 1000 и выше.

Если 100 = 10 · 10 ,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10 .

Тогда получим:

17 · 100 = 17 · 10 · 10 = 170 · 10 = 1 700 ; 504 · 100 = 504 · 10 · 10 = 5 040 · 10 = 50 400 ; 100 497 · 100 = 100 497 · 10 · 10 = 1 004 970 · 10 = 10 049 700 .

Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100 . Это и называется правилом умножения числа на 100 .

Произведение 1 000 = 100 · 10 , тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10 . Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000 . Когда в записи имеется 3 цифры 0 , тогда считают, что это результат умножения числа на 1000 .

Таким же образом производится умножение на 10000 , 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.

В качестве примера запишем:

58 · 1 000 = 58 000 ; 6 032 · 1 000 000 = 6 032 000 000 ; 777 · 10 000 = 7 770 000 .

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел

Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.

Пример 5

Найти произведение трехзначного числа 763 на 5 .

Решение

Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763 = 700 + 60 + 3 . Отсюда получим, что 763 · 5 = (700 + 60 + 3) · 5 .

Используя правило умножения суммы на число, получим, что:

(700 + 60 + 3) · 5 = 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 .

Произведения 700 = 7 · 100 и 60 = 6 · 10 и сумма 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 записывается, как (7 · 100) · 5 + (6 · 10) · 5 + 3 · 5 .

Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7 · 100) · 5 + (6 · 10) · 5 + 3 · 5 = (5 · 7) · 100 + (5 · 6) · 10 + 3 · 5 .

Так как 5 · 7 = 35 , 5 · 6 = 30 и 3 · 5 = 15 , то (5 · 7) · 100 + (5 · 6) · 10 + 3 · 5 = 35 · 100 + 30 · 10 + 15 .

Выполняем умножение на 100 , на 10 . После этого выполняем сложение 35 · 100 + 30 · 10 + 15 = 3 500 + 300 + 15 = 3 815

Ответ:произведение 763 и 5 = 3815 .

Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.

Пример 6

Найти произведение 3 и 104558 .

Решение

3 · 104 558 = 3 · (100 000 + 4 000 + 500 + 50 + 8) = = 3 · 100 000 + 3 · 4 000 + 3 · 500 + 3 · 50 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 3 · (4 · 1 000) + 3 · (5 · 100) + 3 · (5 · 10) + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + (3 · 4) · 1 000 + (3 · 5) · 100 + (3 · 5) · 10 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 12 · 1 000 + 15 · 100 + 15 · 10 + 3 · 8 = = 300 000 + 12 000 + 1 500 + 150 + 24 = 313 674 .

Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674 .

Умножение двух многозначных натуральных чисел

Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.

Пример 7

Вычислить произведение 41 и 3806 .

Решение

Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000 + 800 + 6 , тогда 41 · 3 806 = 41 · (3 000 + 800 + 6) .

Правило умножения применимо для 41 · (3 000 + 800 + 6) = 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 .

Так как 3 000 = 3 · 1 000 и 800 = 8 · 100 , тогда справедливо равенство 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 = 41 · (3 · 1 000) + 41 · (8 · 100) + 41 · 6 .

Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41 · 3) · 1 000 + (41 · 8) · 100 + 41 · 6 .

Вычисляя произведения 41 · 3 , 41 · 8 и 41 · 6 , представляем его в виде суммы

41 · 3 = (40 + 1) · 3 = 40 · 3 + 1 · 3 = (4 · 10) · 3 + 1 · 3 = (3 · 4) · 10 + 1 · 3 = 12 · 10 + 3 = 120 + 3 = 123 ; 41 · 8 = (40 + 1) · 8 = 40 · 8 + 1 · 8 = (4 · 10) · 8 + 1 · 8 = (8 · 4) · 10 + 1 · 8 = 32 · 10 + 8 = 320 + 8 = 328 ; 41 · 6 = (40 + 1) · 6 = 40 · 6 + 1 · 6 = (4 · 10) · 6 + 1 · 6 = (6 · 4) · 10 + 1 · 6 = 24 · 10 + 6 = 240 + 6 = 246

Получим, что

(41 · 3) · 1 000 + (41 · 8) · 100 + 41 · 6 = 123 · 1 000 + 328 · 100 + 246 = 123 000 + 32 800 + 246

Вычислим сумму натуральных чисел:

123 000 + 32 800 + 246 = 156 046

Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046 .

Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.

Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.

Пример 8

Произвести умножение 11 на 13 , равное 143 . Необходимо выполнить проверку.

Решение

Проверка производится посредством деления 143 на 11 . Тогда получим, что 143: 11 = (110 + 33) : 11 = 110: 11 + 33: 11 = 10 + 3 = 13 .

Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.

Пример 9

Произведено умножение 37 на 14 . Результат равен 528 . Выполнить проверку.

Решение

Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37 . Должны получить число 14 . Производится делением столбиком:

При делении мы выявили, что 528 делится на 37 , но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.

Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.

Пример 10

Вычислить произведение чисел 53 и 7 , после чего выполнить проверку.

Решение

Представляем число в виде суммы 50 + 3 . Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53 · 7 = (50 + 3) · 7 = 50 · 7 + 3 · 7 = 350 + 21 = 371 .

Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371: 7 = (350 + 21) : 7 = 350: 7 + 21: 7 = 50 + 3 = 53 . Значит, умножение произведено верно.

Ответ: 53 · 7 = 371 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter