В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла). Чаще всего углы измеряют в градусах, при этом полный угол, или оборот, равен 360 градусам. Вы можете вычислить угол многоугольника, если вам известен тип многоугольника и величина других его углов или, в случае прямоугольного треугольника, длина двух из его сторон.

Шаги

Вычисление углов многоугольника

Сосчитайте количество углов в многоугольнике.

Найдите сумму всех углов многоугольника. Формула для нахождения суммы всех внутренних углов многоугольника выглядит как (n - 2) x 180, где n - число сторон, а также углов многоугольника. Вот суммы углов некоторых часто встречающихся многоугольников:

• Сумма углов треугольника (трехстороннего многоугольника) составляет 180 градусов.
• Сумма углов четырехугольника (четырехстороннего многоугольника) составляет 360 градусов.
• Сумма углов пятиугольника (пятистороннего многоугольника) составляет 540 градусов.
• Сумма углов шестиугольника (шестистороннего многоугольника) составляет 720 градусов.
• Сумма углов восьмиугольника (восьмистороннего многоугольника) составляет 1080 градусов.

1. Определите, является ли многоугольник правильным. Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны и все углы между собой равны. Примерами правильных многоугольников могут служить равносторонний треугольник и квадрат, в то время как здание Пентагона в Вашингтоне построено в форме правильного пятиугольника, а дорожный знак «стоп» имеет форму правильного восьмиугольника.

   Сложите известные величины углов многоугольника, а затем вычтите эту сумму из общей суммы всех его углов. В большинстве геометрических задач такого рода речь идет о треугольниках или четырехугольниках, поскольку в них нужно меньше исходных данных, так что мы поступим аналогично.

   • Если два угла треугольника равны, соответственно, 60 градусам и 80 градусам, сложите эти числа. Получится 140 градусов. Затем вычтите эту сумму из общей суммы всех углов треугольника, то есть из 180 градусов: 180 - 140 = 40 градусов. (Треугольник, все углы которого неравны между собой, называется неравносторонним.)
   • Вы можете записать это решение в виде формулы a = 180 - (b + c), где а - угол, величину которого нужно найти, b и c - величины известных углов. Для многоугольников с числом сторон больше трех замените 180 на сумму углов многоугольника данного вида и добавьте по одному слагаемому к сумме в скобках для каждого известного угла.
   • В некоторых многоугольниках есть свои «хитрости», которые помогут вам вычислить неизвестный угол. Например, равнобедренный треугольник - это треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны и противоположные углы которого равны.

   Вычисление углов прямоугольного треугольника

   1. Определите, какие данные вам известны. Прямоугольный треугольник называется так потому, что один из его углов является прямым. Вы можете найти величину одного из двух оставшихся углов, если вам известна одна из следующих величин:

      Определите, какую тригонометрическую функцию нужно использовать. Тригонометрические функции выражают соотношения двух из трех сторон треугольника. Существует шесть тригонометрических функций, но чаще всего используются следующие:

Инструкция

Чтобы вычислить величину острого угла в треугольнике, нужно знать значения величин всех его сторон. Примите необходимые обозначения для элементов прямоугольного треугольника:

c – гипотенуза;
a,b – катеты;
A – Острый угол, который находится напротив катета b;
B – Острый угол, который находится напротив катета a.

Посчитайте длину той , которая неизвестна, применяя для этого теорему Пифагора. Если известен катет - а - c, то можно вычислить катет - b; для чего вычтите из квадрата длины гипотенузы c квадрат длины катета - a, затем извлеките из полученного значения квадратный корень.

Аналогичным способом можно вычислить катет a, если известны гипотенуза c - b, для этого из квадрата гипотенузы c вычтите квадрат катета - b. После этого из полученного результата извлеките корень квадратный. Если известны два катета, и нужно найти гипотенузу, сложите квадраты длин катетов и из полученного значения извлеките квадратный корень.

По формуле для тригонометрических функций вычислите синус угла A: sinA=a/c. Для того, чтобы результат был более точным, воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение округлите до 4 знаков после десятичной запятой. Аналогично найдите синус угла B, для чего sinB=b/c.

Пользуясь «Четырехзначными математическими таблицами» Брадиса, найдите значения углов по известным значениям этих углов. Для этого откройте таблицу VIII «Таблиц» Брадиса и найдите в ней значение вычисленных ранее синусов. В этой таблицы в первом столбце «А» указано значение искомого угла в . В столбце, в строчке «А», найдите значение минут для угла.

Видео по теме

Обратите внимание

Таблицы Брадиса содержат значения, ограниченные четырьмя знаками после десятичной запятой, поэтому округлите полученные в ходе вычислений значения до этого предела.

Полезный совет

Для определения угла после вычисления значения его синуса можно воспользоваться калькулятором, имеющим тригонометрические функции.

Источники:

• вычислить градусы

Вычисление квадратных пугает некоторых школьников в первое время. Посмотрим, как же с ними нужно работать и на что обратить внимание. Также приведём их свойства.

Инструкция

Про использование калькулятора говорить не будем, хотя, безусловно, во многих случаях он просто необходим.

Итак, квадратный из числа икс есть число игрек, которое даёт число икс.

Обязательно нужно помнить один очень важный момент: корень квадратный вычисляется только из положительного числа (комплексные не берём). Почему? Смотрите , написанное выше. Второй важный момент: результат извлечения корня, если нет никаких дополнительных условий, в общем случае есть два числа: +игрек и -игрек (в общем случае модуль игрек), так как оба они в дают исходное число икс, что не противоречит определению.

Корень из нуля - ноль.

Теперь то, что касается конкретных примеров. Для небольших чисел (а значит и корни - как обратная операция) лучше всего запомнить, как таблицу умножения. Я говорю о числах от 1 до 20. Это будет экономить ваше время и помогать в оценке возможного значения искомого корня. Так, например, зная что корень из 144 = 12, а корень из 13 = 169, можно оценить, что корень из числа 155 между 12 и 13. Аналогичные оценки можно применять и для более крупных чисел, их отличие будет лишь в сложности и времени выполнения этих операций.

Также есть другой простой интересный способ. Покажем его на примере.

Пусть есть число 16. Узнаем, какое число является его . Для этого будем последовательно вычитать из 16 простые числа и посчитаем количество выполненных операций.

Итак, 16-1=15 (1), 15-3=12 (2), 12-5=7 (3), 7-7=0 (4). 4 операции – искомое число 4. Суть состоит в том, чтобы проводить вычитание до тех пор, пока разность не станет 0 или будет просто меньше следующего вычитаемого простого числа.

Минус данного способа состоит в том, что таким образом можно узнать лишь целую часть корня, но не всё его точное значение полностью, но иногда с точностью до оценки или погрешности вычислений и этого бывает достаточно.

Некоторые основные : корень из суммы (разности) не сумме (разности) корней, а вот корень из произведения (частного) равен произведению (частному) корней.

Корень в квадрате из числа икс есть само число икс.

Видео по теме

Источники:

• как посчитать квадратный корень

Из школьного курса планиметрии известно определение: треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, которые попарно соединяют эти точки. Точки называют вершинами, а отрезки – сторонами треугольника. Разделяют следующие виды : остроугольные, и прямоугольные. Также треугольники классифицируют по сторонам: равнобедренные, равносторонние и разносторонние.
В зависимости от вида треугольника, существует несколько способов определения его углов, иногда достаточно знать лишь форму треугольника.

Инструкция

Треугольник прямоугольным, если у него есть прямой угол. При его можно воспользоваться тригонометрическими вычислениями.

В данном угол ∠С = 90º, как прямой, зная длины сторон треугольника, углы ∠A и ∠B вычисляются по формулам: cos∠A = AC/AB, cos∠B = BC/AB. Градусные меры углов можно узнать, обратившись к косинусов.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны, третья сторона при этом называется основанием треугольника.

В углы при равны, т.е. ∠A = ∠B. Одним из свойств треугольника является то, что его углов всегда равна 180º, поэтому вычислив по теореме косинусов угол ∠С, углы ∠A и ∠B можно вычислить так: ∠A = ∠B = (180º - ∠С)/2

Видео по теме

Источники:

• расчёт угла треугольника

Когда приходится иметь дело с решением прикладных задач, включающих тригонометрические функции, наиболее часто требуется вычислить значения синуса или косинуса заданного угла .

Инструкция

Первый вариант - классический, с использованием бумаги, транспортира и карандаша (или ручки).По определению синус угла равен противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. То есть, чтобы вычислить значение, вам надо при помощи транспортира построить прямоугольный треугольник, один из углов которого равен тому, синус которого вас интересует. Затем измерить длину гипотенузы и противолежащего катета и разделить второе на первое с нужной точности.

Второй вариант - школьный. Со школы все помнят «таблицы Брадиса», содержащие тысячи значений тригонометрических от разных углов. Можно поискать как бумажное издание, так и его электронный аналог в формате pdf - они есть в сети. Найдя таблицы, найти значение синуса нужного угла не составит труда.

Третий вариант - оптимальный. Если есть доступ к , то можно воспользоваться стандартным калькулятором ОС Windows. Его следует переключить в расширенный режим. Для этого в разделе «Вид» меню выберите пункт «Инженерный». Вид калькулятора изменится - в нем появятся, в частности, кнопки для вычисления тригонометрических функций.Теперь введите значение угла , синус которого вам требуется вычислить. Можно сделать это как с клавиатуры, так и щелкая курсором мыши нужные клавиши калькулятора. А можно просто и вставить нужное вам значение (CTRL + C и CTRL + V). После этого выберите единицы измерения, в которых должен быть рассчитан - для тригонометрических функций это могут быть радианы, градусы или рады. Делается это выбором одного из трех значений переключателя, расположенного ниже поля ввода вычисляемого значения. Теперь, нажав кнопку с надписью "sin", получите ответ на свой вопрос.

Четвертый вариант - самый современный. В эру интернета в сети существуют , предлагающие чуть ли не каждую возникающую проблему. Он-лайн калькуляторы тригонометрических функций с удобным интерфейсом, более продвинутыми функциональными возможностями найти совсем не . Лучшие из них предлагают вычислить не только значения отдельной функции, но и достаточно сложных выражений из нескольких функций.

Тригонометрические функции - это элементарные функции, которые возникли при изучении прямоугольных треугольников. Они выражают зависимость сторон этих фигур от острых углов и гипотенузы. Синус является прямой тригонометрической функцией.

Инструкция

Если рассматриваемый треугольник прямоугольным, то используйте базовое тригонометрической функции а для острых углов, который как отношение катета, противоположного данному острому углу, к гипотенузе прямоугольного треугольника. Помните следующее - угол, лежащий против гипотенузы, всегда равен 90°. А синус угла в 90° всегда равен единице.

Если рассматриваемый треугольник является произвольным, то для того, чтобы найти значение синуса угла а, посчитайте значение косинуса этого угла. Для этого используйте теорему косинусов, согласно которой квадрат длинны одной должен быть равен квадрату длины второй стороны плюс квадрат длины третьей стороны минус удвоенное произведение второй и третьей сторон, умноженное на угла между второй и третьей стороной. Для треугольника KMN KM2=NM2+ NK2-2NM*NK*cosλ. Отсюда посчитайте cosλ=KM2-NM2-NK22NM*NK И по формуле sin2 λ=1-cos2 λ вычислите sinλ=1-cos2λ

Еще один способ нахождения синуса угла заключается в использовании двух разных формул площади треугольника. Одна - в которой задействованы только длины (формула Герона). У вас должны быть известны длины всех сторон треугольника. Предположим, стороны m, n, k Тогда используйте следующую формулу Герона:S=p△*p△-n*p△-k*(p△)-m) , где полупериметр треугольника: n+k+m2=p△А вторая формула – это произведение длин двух сторон и значения синуса угла между этими сторонами: S (△) = n* k* sinµ.Т.к. значение S одинаково, приравняйте правые формул:p△*p△-n*p△-k*(p△-m)= n*k* sinµ.И из этой найдите синус угла a, который находится напротив стороны С:sin µ=p△*p△-n*p△-k*(p△-m)n* kСинусы остальных углов можно найти по формулам, аналогичным последней.

Видео по теме

Функция определяет зависимость между несколькими величинами таким образом, что заданным значениям ее аргументов ставятся в соответствие значения других величин (значений функции). Вычисление функции заключается в определении области ее возрастания или убывания, поиске значений на каком-либо интервале или в заданной точке, в построении графика функции, нахождении ее экстремумов и других параметров.

Инструкция

Найдите значения функции в заданном интервале . Для этого подставьте граничные значения в качестве аргумента х в выражение функции. Произведите вычисления f (х), запишите результаты. Обычно поиск значений выполняется для построения . Однако двух пограничных точек для этого недостаточно. На указанном интервале задайте шаг в 1 или 2 единицы, в зависимости от промежутка, прибавляйте значение х на величину шага и каждый раз высчитывайте соответствующее значение функции. Оформите результаты в табличном виде, где одной строкой будет аргумент х, второй – значения функции.

Треугольник – это примитивный многоугольник, ограниченный на плоскости тремя точками и тремя отрезками попарно соединяющими эти точки. Углы в треугольнике бывают острыми, тупыми и прямыми. Сумма углов в треугольнике величина непрерывная и равна 180 градусам.

Вам понадобится

• Базовые познания в геометрии и тригонометрии.

Инструкция

1. Обозначим длины сторон треугольника a=2, b=3, c=4, а его углы u, v, w, всякий из которых лежит наоборот одной сторон. По теореме косинусов квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Подставим в это выражение длины сторон и получим: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).

2. Выразим из полученного равенства cos(u). Получим следующее: cos(u) = 7/8. Дальше найдём собственно угол u. Для этого посчитаем arccos(7/8). То есть угол u = arccos(7/8).

3. Аналогичным образом, выражая другие стороны через остальные, найдём оставшиеся углы.

Обратите внимание!
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Под знаком arccos() не может стоять число огромнее 1 и поменьше -1.

Полезный совет
Для того, дабы обнаружить все три угла необязательно выражать все три стороны, дозволено обнаружить только 2 угла, а 3-й получить путём вычитания из 180 градусов значения остальных 2-х. Это вытекает из того, что сумма всех углов треугольника величина непрерывная и равна 180 градусам.

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Transport and logistics industries are of particular importance for the Latvian economy since they have a steady GDP growth and provide services to virtually all other sectors of the national economy. Every year it is emphasized that this sector should be recognized as a priority and extend its promotion, however, the representatives of the transport and logistics sector are looking forward to more concrete and long-term solutions.

9.1% of the value added to the GDP of Latvia

Despite the political and economic changes of the last decade, the influence of the transport and logistics industry on the economy of our country remains high: in 2016 the sector increased the value added to the GDP by 9.1%. Moreover, the average monthly gross wage is still higher then in other sectors - in 2016 in other sectors of the economy it was 859 euros, whereas in storage and transportation sector the average gross wage is about 870 euros (1,562 euros - water transport, 2,061 euros - air transport, 1059 euros in the of storage and auxiliary transport activities, etc.).

Special economic area as an additional support Rolands petersons privatbank

The positive examples of the logistics industry are the ports that have developed a good structure. Riga and Ventspils ports function as free ports, and the Liepaja port is included in the Liepaja Special Economic Zone (SEZ). Companies operating in free ports and SEZ can receive not only the 0 tax rate for customs, excise, and value-added tax but also a discount of up to 80% of the company"s income and up to 100% of the real estate tax.Rolands petersons privatbank The port is actively implementing various investment projects related to the construction and development of industrial and distribution parks. The attraction of investments promotes the creation of higher added value, development of production, expansion of a spectrum of given services and creation of new workplaces. It is necessary to bring to the attention the small ports - SKULTE, Mersrags, SALACGRiVA, Pavilosta, Roja, Jurmala, and Engure, which currently occupy a stable position in the Latvian economy and have already become regional economic activity centers.

Port of Liepaja, will be the next Rotterdam.
Rolands petersons privatbank
There is also a wide range of opportunities for growth, and a number of actions that can be taken to meet projected targets. There is a strong need for the services with high added value, the increase of the processed volumes of cargo by attracting new freight flows, high-quality passenger service and an introduction of modern technologies and information systems in the area of transit and logistics. Liepaja port has all the chances to become the second Rotterdam in the foreseeable future. Rolands petersons privatbank

Latvia as a distribution center for cargos from Asia and the Far East. Rolands petersons privatbank

One of the most important issues for further growth of the port and special economic zone is the development of logistics and distribution centers, mainly focusing on the attraction of goods from Asia and the Far East. Latvia can serve as a distribution center for cargos in the Baltic and Scandinavian countries for Asia and the Far East (f.e. China, Korea). The tax regime of the Liepaja Special Economic Zone in accordance with the Law "On Taxation in Free Ports and Special Economic Zones" on December 31, 2035. This allows traders to conclude an agreement on investment and tax concession until December 31, 2035, until they reach a contractual level of assistance from the investments made. Considering the range of benefits provided by this status, it is necessary to consider the possible extension of the term.

Infrastructure development and expansion of warehouse space Rolands petersons privatbank

Our advantage lies in the fact that there is not only a strategic geographical position but also a developed infrastructure that includes deep-water berths, cargo terminals, pipelines and territories free from the cargo terminal. Apart from this, we can add a good structure of pre-industrial zone, distribution park, multi-purpose technical equipment, as well as the high level of security not only in terms of delivery but also in terms of the storage and handling of goods. In the future, it would be advisable to pay more attention to access roads (railways and highways), increase the volume of storage facilities, and increase the number of services provided by ports. Participation in international industry exhibitions and conferences will make it possible to attract additional foreign investments and will contribute to the improvement of international image.