Нижче наведені формули знаходження площі довільного трикутника , які підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника, незалежно від його властивостей, кутів або розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведені пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також, на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах і графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо ж трикутник має особливі властивості (рівнобедрений, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• "Формули площі равносторонього трикутника"

Формули площi трикутника

Пояснення до формул:

a, b, c - довжини сторін трикутника, площу якого ми хочемо знайти;
r - радіус вписаного в трикутник кола;
R - радіус описаного навколо трикутника кола;
h - висота трикутника, що опущена на сторону;
p - напівпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра);
α - кут, протилежний стороні a трикутника;
β - кут, протилежний стороні b трикутника;
γ - кут, протилежний стороні c трикутника;
ha, hb, hc - висота трикутника, що опущена на сторону a, b, c ;
відповідно.

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, який знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити в потрібні місця формули правильні значення.

• Площа трикутника дорівнює половині твору висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена (Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб"є довільний трикутник на два прямокутних. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h , то, стає зрозуміло, що, площа даних трикутників буде дорівнювати рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh ).
• Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними (Формула 2). (див. Приклад рішення задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона не здається схожою на попередню, вона легко може бути в неї перетворена. Якщо з кута B опустити висоту на сторону b , виявиться, що твір боку a на синус кута γ за властивостями синуса в прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що і дасть попередню формулу.
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твір половини радіуса вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін (Формула 3), простіше кажучи, потрібно напівпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легше запам"ятати).
• Площу довільного трикутника можна знайти, розділивши твір всіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4).
• Формула 5 являє собою знаходження площі трикутника через довжини його сторін і його напівпериметр (половину суми всіх його сторін).
• Формула Герона (6) - це визначння тієї ж самої формули без використання поняття напівпериметр, тільки через довжини сторін.
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрату сторони трикутника на синуси прилеглих до цієї сторони кутів, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7).
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів . (Формула 8).
• Якщо відома довжина одного боку і величини двох прилеглих до нього кутів, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цього боку, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9).
• Якщо відома тільки довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника зворотно пропорційна довжині цих висот, як по Формулі Герона .
• Формула 11 дозволяє обчислити площу трикутника за координатами його вершин, які задані у вигляді значень (x; y) для кожної з вершин. Зверніть увагу, що вийшло значення, яке необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть усіх) вершин можуть перебувати в області негативних значень.

Примітка . Далі наведені приклади розв"язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії і схожої на таку тут немає - пишіть про це в форумі. У рішеннях замість символу "квадратний корінь" може застосовуватися функція sqrt (), в якій sqrt - символ квадратного кореня, а в дужках зазначено підкореневий вираз. Іноді для простих підкореневих виразів може використовуватися символ √.

Завдання

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення .

Для вирішення цього завдання використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і буде дорівнює
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (відповідно до формули) у нас є, нам залишається тільки підставити значення з умови задачі в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставами в вираз значення . Він буде дорівнює кореню з трьох на два.
S = 15 √3 / 2

Відповідь : 7,5 √3 (в залежності від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3 / 2)

Завдання

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3 см.

Рішення .

Площа трикутника можна знайти за формулою Герона:

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Відповідь : 9 √3 / 4.

Завдання

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити в 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення завдання будемо вважати, що довжини сторін відповідно рівні довільним числах a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання завдання, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого в чотири рази більше. Співвідношення площ цих трикутників і дасть нам відповідь на завдання.

Далі наведемо текстове пояснення рішення задачі по кроках. Однак, в самому кінці, це ж саме рішення приведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Бажаючі можуть відразу опуститися в низ рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. Вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона наступним чином:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника з складе:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 - загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 прекрасно витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(див. п"ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на питання, поставлене в завданні, нам достатньо розділити площа отриманого трикутника, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вираження один на одного і скоротивши, вийшла дріб.

S 2 / S = 16
(див. внизу докладніше запис у вигляді дробу і її скорочення - в останньому рядку)

На малюнку логіка обчислення рішення, описаного вище, наведена вже у вигляді формул (одна за одною)

Відповідь : Площа трикутника збільшиться в 16 разів

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.

Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10. Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. Однак є ряд складних прикладів, в яких задано лише одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного чи вписаного кола та ще одна характеристика. В таких випадках просту формулу застосувати не вдасться.
Задачі на трикутники вивчають в 7, 8 класі з вивчення простих властивостей, обчислення площі і периметра. В 9, 10 класі учні не тільки знають чим відрізняється прямокутний трикутник від рівнобедреного чи рівностороннього, а й з успіхом використовують теорему косинусів для знаходження сторін, формулу Герона, вміють розв"язати задачі про коло вписане або описане навколо трикутника. Але до всього потрібно приходити поступово не перевантажуючи пам"ять та можливості учнів. Тоді накопичені знання можна з успіхом застосувати до обчислення задач на трикутники будь-якої складності.
Наведені нижче формули дозволять розв"язати 95 відсотків задач в яких потрібно знайти площу трикутника. Перейдемо до розгляду поширених формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на рисунку нижче

На рисунку і далі у формулах введені класичні позначення усіх його характеристик
a,b,c – сторонни трикутника,
R – радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta,hamma – кути при вершинах.

Основні формули площі трикутника

1. Площа трикутника рівна половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену до цієї сторони . На мові формул це визначення можна записати так

Таким чином, якщо відомо сторону та висоту, опущену до неї, то площу знайде кожен школяр.
До речі з цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами

2. Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю

То з першої формули площі випливають однотипні другі

Уважно погляньте на формули – їх легко запам"ятати, оскільки в добутку фігурує дві сторони і кут між ними. Якщо правильно позначити сторонни і кути трикутника, то отримаємо дві сторонни a,b і кут пов"язаний з третьою С (hamma).

3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення

Залежність дозволяє застосовувати в обчисленнях наступну формулу площі трикутника

Приклади на дану залежність зустрічаються вкрай рідко, але пам"ятати, що є така формула Ви повинні.

4. Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою

5. Формула площі трикутника через сторону і котангенси прилеглих кутів

Перестановкою індексів можете отримати для інших сторін.

6. Наведена нижче формула площі використовується в задачах коли вершини трикутника задані на площині координатами . В цьому випадку площа трикутника рівна половині визначника, взятого за модулем.

7. Формулу Герона застосовують в прикладах з відомими сторонами трикутника. Спочатку знаходять півпериметр трикутника

А далі визначають площу за формулою

або

Її досить часто використовують в коді програм калькуляторів.

8. Якщо відомі всі висоти трикутника то площу визначають за формулою

Вона складна для обчислення на калькуляторі, проте в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «раз два».

9. Наступні формули вклячають відомі радіуси вписанного та описанного кіл (див. роисунок).

Зокрема, якщо відомо радіус і сторонни трикутника, чи його периметр то площа обчислюється згідно формули

10. У прикладах де задано сторони і радіус (діаметр) описаного кола площу знаходять за формулою

11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону і кути трикутника.

Начальный уровень

Площадь треугольника и четырехугольника. Примеры решения задач (2019)

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос - не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Другими словами, площадь квадрата со стороной метр мы считаем одним «метром площади».

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован - «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое? Площадь квадрата со стороной? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной.

А чтобы получить квадратных метра (то есть,), мы должны нарисовать, например так:

А как получить, скажем, ? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны метров и метров, то в этом прямоугольнике:

Поместится ровно квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть «слоев», в каждом из которых ровно квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером x поместилось квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь .

А если фигура - вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Удивлю тебя - бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры - невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать,что площадь фигуры - это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много - математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Формулы площади

Квадрат

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Вторая основная формула

Третья формула

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем , скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: .

Ну и формула 4 позволяет по -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников - есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

Вторая формула

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится формула:

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

Трапеция

Основная формула

Вторая формула

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ - формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было, значит - площадь увеличилась в раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе.

Рисуем:

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы - и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Прямоугольный треугольник

Площадь треугольника можно вычислить через большое количество параметров, этот онлайн калькулятор треугольника использует формулу через высоту и основание.

Основание треугольника — это сторона, к которой в данный момент опущена высота. Формально сторона, которая принимается для вычисления площади по этой формуле обычно находится внизу чертежа, но по факту это может быть любая сторона треугольника не зависимо от ориентации на чертеже.

Пример: вычислить площадь треугольника онлайн — сторона 12 площадь 12 см. Применим формулу и напишем такое решение: 12 х 12 / 2 = 72 см².

2. Можно записать этот же пример, немного по другому, площадь через основание 12 и высоту 12 см.

Альтернативный пример решения: это расчёт площади треугольника по классической формуле из школьной программы. 12 / 2 х 12 = 72 см², по сути ведь это одно и тоже: Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону. А от перестановки множителей результат не меняется))

2см² = 4 см!

Как рассчитать площадь треугольника через другие параметры?

Существует огромное количество методов рассчитать площадь треугольника через стороны, углы, косинусы и другие параметры. Мы постепенно будем создавать дополнительные калькуляторы треугольника и выкладывать на этом сайте. Например найдите площадь треугольника основание 5 высота 5.

Введите необходимые параметры для вычисления, укажите точность расчета и нажмите «Посчитать». Калькулятор выполнит расчет площади треугольника.

Треугольник — три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, которые их соединяют.

Иначе, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.

Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника также равны и равняются 60°.

Площадь произвольного треугольника вычисляется по формулам: или

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

Площадь правильного или равностороннего треугольника вычисляется по формулам: или или

Где a,b,c — стороны треугольника, h — высота треугольника, y — угол между сторонами, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10.

Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. Однак є ряд складних прикладів, в яких задано лише одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного чи вписаного кола та ще одна характеристика. В таких випадках просту формулу застосувати не вдасться.
Задачі на трикутники вивчають в 7, 8 класі з вивчення простих властивостей, обчислення площі і периметра.

В 9, 10 класі учні не тільки знають чим відрізняється прямокутний трикутник від рівнобедреного чи рівностороннього, а й з успіхом використовують теорему косинусів для знаходження сторін, формулу Герона, вміють розв’язати задачі про коло вписане або описане навколо трикутника. Але до всього потрібно приходити поступово не перевантажуючи пам’ять та можливості учнів. Тоді накопичені знання можна з успіхом застосувати до обчислення задач на трикутники будь-якої складності.
Наведені нижче формули дозволять розв’язати 95 відсотків задач в яких потрібно знайти площу трикутника.

Перейдемо до розгляду поширених формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на рисунку нижче

На рисунку і далі у формулах введені класичні позначення усіх його характеристик
a,b,c – сторонни трикутника,
R– радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta,hamma – кути при вершинах.

Основні формули площі трикутника

1.Площа трикутника рівна половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену до цієї сторони .

На мові формул це визначення можна записати так

Таким чином, якщо відомо сторону та висоту, опущену до неї, то площу знайде кожен школяр.
До речі з цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами

Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю

То з першої формули площі випливають однотипні другі

Уважно погляньте на формули – їх легко запам’ятати, оскільки в добутку фігурує дві сторони і кут між ними.

Якщо правильно позначити сторонни і кути трикутника, то отримаємо дві сторонни a,b і кут пов’язаний з третьою С (hamma).

3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення

Залежність дозволяє застосовувати в обчисленнях наступну формулу площі трикутника

Приклади на дану залежність зустрічаються вкрай рідко, але пам’ятати, що є така формула Ви повинні.

4.Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою

5. Формула площі трикутника через сторону і котангенси прилеглих кутів

Перестановкою індексів можете отримати для інших сторін.

Наведена нижче формула площі використовується в задачах коли вершини трикутника задані на площині координатами . В цьому випадку площа трикутника рівна половині визначника, взятого за модулем.

7. Формулу Герона застосовують в прикладах з відомими сторонами трикутника.

Спочатку знаходять півпериметр трикутника

А далі визначають площу за формулою

або

Її досить часто використовують в коді програм калькуляторів.

8. Якщо відомі всі висоти трикутника то площу визначають за формулою

Вона складна для обчислення на калькуляторі, проте в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «раз два».

Наступні формули вклячають відомі радіуси вписанного та описанного кіл (див. роисунок).

Зокрема, якщо відомо радіус і сторонни трикутника, чи його периметр то площа обчислюється згідно формули

У прикладах де задано сторони і радіус (діаметр) описаного кола площу знаходять за формулою

11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону і кути трикутника.

Ну і наостанок – часткові випадки:
Площа прямокутного трикутника з катетами a і b рівна половині їх добутку

Формула площі рівностороннього (правильного) трикутника

рівна одній четвертій добутку квадрату сторони на корінь з трійки.

Сторони трикутника рівні 3, 5, 6 см. Знайти площу трикутника.

Розв’язок: Застосуємо формулу Герона, для цього спочатку знайдемо півпериметр

Підставляємо в формулу площі

Відповідь: Площа трикутника рівна 7.48 сантиметрів квадратних.

Завантажити усі наведені формули площі трикутника Ви можете за наступним посиланням.

Роздруковуйте їх та використовуйте в навчанні.

Схожі матеріали:

Якщо матеріал був корисний Вам — поділіться посиланням з друзями.

Многоугольник, имеющий три точки и три стороны, называется треугольником. Треугольник считается равносторонним, если все три стороны одинаковы.

Через сторону

Формулы равносторонней поверхности треугольника только на стороне одинаковы:

• — боковой треугольник.

Веб-калькулятор:

Через высоты

Формула равностороннего треугольного региона находится только по высоте:

• час Это высота треугольника.

Калькулятор калькулятор:

Через радиус введенного круга

Формула равносторонней области треугольника после радиуса введенного круга:

• р Это радиус круга.

Через радиус кругового круга

Уравнение поверхности равностороннего треугольника после радиуса круга:

• — боковой треугольник.
• R Это радиус круга.

Отправленный каскадными таблицами стилей

Основные формулы треугольника

В этой статье вы найдете все формулы треугольных областей:

6 формул для области треугольника

Косинусная изрека
\ (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cos α \)
\ (b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2-2ac * cos β \)
\ (a ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cos γ \)

\ (m ^ 2_a = 14 (2b ^ 2 + 2c ^ 2-a ^ 2) \)
\ (m ^ 2_b = 14 (2a ^ 2 + 2c ^ 2-b ^ 2) \)
\ (m ^ 2_c = 14 (2a ^ 2 + 2b ^ 2-c ^ 2) \)

Формула биссектрисы

\ (\ frac {a} {b} = \ frac {n} {m} \)
\ (l ^ 2 = ab-nm \)

Прямоугольный треугольник

\ (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \)
\ (S = \ frac {1} {2} ab = \ frac {1} {2} ch \)
\ (a ^ 2 = n⋅c \)
\ (b ^ 2 = mc \)
\ (h ^ 2 = m * n \)
\ (r = \ frac {a + b-c} {2} \) — радиус введенного круга
\ (sin α = a / c \)
\ (tan α = a / b \)
\ (cot α = b / a \)

Квадратные формулы

полиперметр \ (p = \ frac {a + b + c} {2} \)

Площадь треугольника
\ (S = \ frac {ch_c} {2} \)
\ (S = \ frac {ab sin γ} {2} \)
\ (I = \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)} \
\ (S = pr \)

где \ (г \) — радиус треугольника введенного круга
\ (S = \ frac {abc} {4R} \)

где R-радиус окружен

Дополнительные уроки и задания по математике с преподавателями нашей интернет-школы «Альфа».

Зарегистрируйтесь сейчас в пробной аптеке!

Зарегистрируйтесь для бесплатного тестирования знаний!

Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы, а также их измерение и расположение относительно друг друга.

Геометрия как наука получила своё название и систематизацию знаний в Греции (около двух с половиной тысяч лет назад).

Вычисление площадей фигур - одна из самых распространённых задач, которые решает геометрия (чаще всего вопрос определения площади становится актуальным в процессе строительства).

В качестве примера попробуем найти площадь треугольника, если известны все стороны.

Для определения площади треугольника могут использоваться различные формулы, исходя из имеющихся данных. В случае, когда известны длины всех сторон треугольника, его площадь может быть вычислена по формуле Герона.

Быстрая навигация по статье

Формула Герона

Для вычисления площади треугольника по длинам его сторон используется одна из самых древнейших в геометрии формул - формула Герона, названная в честь выдающегося древнегреческого математика Герона Александрийского (I век н.э.).

Площадь треугольника по этой формуле вычисляется как корень квадратный из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра с каждой из сторон треугольника:

S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где:

• S - площадь треугольника;
• a, b, и c - длины сторон треугольника,
• р = (a + b + c) / 2 - полупериметр треугольника.

Дан треугольник со сторонами а = 6см, b = 8см, с = 10см.

Первоначально необходимо вычислить полупериметр треугольника:

S = √12(12-6)(12-8)(12-10) = √12*6*4*2 = √576 = 24 см.

Другие формулы

В зависимости от имеющихся данных, для вычисления площади треугольника могут использоваться другие формулы.

Площадь треугольника равна:

• Половине произведения двух сторон на синус угла между ними;
• Половине произведения длины стороны треугольника, принятой за основание и длины высоты треугольника;
• Половине произведения длин катетов (для прямоугольного треугольника).