Корреляция - это степень, в которой события или личные характеристики человека зависят друг от друга. Корреляционный метод - процедура в исследовании, использующаяся, чтобы определить взаимосвязь между переменными. Данный метод может, например, ответить на вопрос: «существует ли корреляция между количеством стресса, с которым сталкиваются люди и степенью испытываемой ими депрессии?» То есть, по мере того, как люди продолжают переживать стресс, насколько увеличивается вероятность того, что они впадут в депрессию?

Корреляция - степень зависимости друг от друга событий или характеристик.

Корреляционный метод - процедура исследований, которая используется для определения того, насколько события или характеристики зависят друг от друга.

Чтобы ответить на этот вопрос, исследователи подсчитывают баллы жизненного стресса (например, количество угрожающих событий, переживаемых человеком в определенный период времени) и баллы депрессии (например, баллы в опросниках по депрессии). Как правило, исследователи обнаруживают, что эти переменные увеличиваются или уменьшаются вместе (Stader & Hokanson, 1998; Paykel & Cooper, 1992). To есть чем больше количество баллов стресса в жизни определенного человека, тем выше его или ее сумма баллов по депрессии. Корреляции такого рода имеют позитивную направленность и их называют позитивной корреляцией.

Корреляция может иметь и негативную, а не позитивную направленность. При негативной корреляции, когда значение одной переменной возрастает, значение другой уменьшается. Исследователи обнаружили, например, негативную корреляцию между депрессией и уровнем активности. Чем больше депрессия человека, тем меньше его занятость.

Существует еще и третья взаимосвязь в корреляционном исследовании. Две переменные могут быть не взаимосвязаны, то есть между ними не существует последовательной взаимосвязи. Когда число одной переменной возрастает, показатели другой переменной иногда возрастают, иногда уменьшаются. Исследования обнаружили, например, что депрессия и интеллект не зависят друг от друга.

Кроме знания направленности корреляции исследователям нужно знать ее величину или силу. То есть насколько близко эти две переменные соотносятся между собой. Действительно ли одна переменная всегда зависит от другой или их взаимосвязь менее определенна? Когда обнаруживается тесная взаимосвязь двух переменных у многих испытуемых, то говорят, что корреляция - высокая или устойчивая.

Направленность и величина корреляции часто имеет численное значение и выражается в статистическом понятии - коэффициенте корреляции (r). Коэффициент корреляции может варьироваться от +1.00, показывающего полную позитивную корреляцию между двумя переменными, и до -1.00 - этот коэффициент указывает на полную негативную корреляцию. Знак коэффициента (+ или -) обозначает направленность корреляции; число представляет ее величину. Чем ближе коэффициент к 0, тем слабее корреляция и меньше ее величина. Так корреляции +0.75 и -0.75 имеют одинаковые величины, а корреляция +.25 слабее и той и другой корреляции.

Коэффициент корреляции (r) - статистический термин, указывающий направленность и величину корреляции, колеблющийся от -1.00 до +1.00.

Поведение людей меняется, и многие человеческие реакции можно оценивать лишь приблизительно. Поэтому в психологических исследованиях корреляции не достигают величины полной позитивной или полной негативной корреляции. В одном исследовании стресса и депрессии, проводившемся с 68 взрослыми, корреляция между двумя переменными составила +0.53 (Miller et al., 1976). Несмотря на то, что эту корреляцию едва ли можно назвать абсолютной, ее величина в психологическом исследовании считается большой.

При изучении общественного здоровья и здравоохранения в научных и практических целях исследователю часто приходится проводить статистический анализ связей между факторными и результативными признаками статистический совокупности (причинно-следственная связь) или определение зависимости параллельных изменений нескольких признаков этой совокупности от какой либо третьей величины (от общей их причины). Необходимо уметь изучать особенности этой связи, определять ее размеры и направление, а также оценивать ее достоверность. Для этого используются методы корреляции.

1. Виды проявления количественных связей между признаками
   • функциональная связь
   • корреляционная связь
2. Определения функциональной и корреляционной связи

   Функциональная связь - такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). Функциональная связь характерна для физико-математических процессов.

   Корреляционная связь - такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и частотой пульса и др.). Корреляционная связь характерна для медико-биологических процессов.

3. Практическое значение установления корреляционной связи . Выявление причинно-следственной между факторными и результативными признаками (при оценке физического развития, для определения связи между условиями труда, быта и состоянием здоровья, при определении зависимости частоты случаев болезни от возраста, стажа, наличия производственных вредностей и др.)

   Зависимость параллельных изменений нескольких признаков от какой-то третьей величины. Например, под воздействием высокой температуры в цехе происходят изменения кровяного давления, вязкости крови, частоты пульса и др.

4. Величина, характеризующая направление и силу связи между признаками . Коэффициент корреляции, который одним числом дает представление о направлении и силе связи между признаками (явлениями), пределы его колебаний от 0 до ± 1
5. Способы представления корреляционной связи
   • график (диаграмма рассеяния)
   • коэффициент корреляции
6. Направление корреляционной связи
   • прямая
   • oбратная
7. Сила корреляционной связи
   • сильная: ±0,7 до ±1
   • средняя: ±0,3 до ±0,699
   • слабая: 0 до ±0,299
8. Методы определения коэффициента корреляции и формулы
   • метод квадратов (метод Пирсона)
   • ранговый метод (метод Спирмена)
9. Методические требования к использованию коэффициента корреляции
   • измерение связи возможно только в качественно однородных совокупностях (например, измерение связи между ростом и весом в совокупностях, однородных по полу и возрасту)
   • расчет может производиться с использованием абсолютных или производных величин
   • для вычисления коэффициента корреляции используются не сгруппированные вариационные ряды (это требование применяется только при вычислении коэффициента корреляции по методу квадратов)
   • число наблюдений не менее 30
10. Рекомендации по применению метода ранговой корреляции (метод Спирмена)
    • когда нет необходимости в точном установлении силы связи, а достаточно ориентировочных данных
    • когда признаки представлены не только количественными, но и атрибутивными значениями
    • когда ряды распределения признаков имеют открытые варианты (например, стаж работы до 1 года и др.)
11. Рекомендации к применению метода квадратов (метод Пирсона)
    • когда требуется точное установление силы связи между признаками
    • когда признаки имеют только количественное выражение
12. Методика и порядок вычисления коэффициента корреляции

    1) Метод квадратов

    2) Ранговый метод

    
13. Схема оценки корреляционной связи по коэффициенту корреляции
14. Вычисление ошибки коэффициента корреляции
15. Оценка достоверности коэффициента корреляции,полученного методом ранговой корреляции и методом квадратов

    Способ 1
    Достоверность определяется по формуле:

    

    Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n - 2), где n - число парных вариант. Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥99%.

    Способ 2
    Достоверность оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции. При этом достоверным считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n - 2), он равен или более табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза р ≥95%.

на применение метода квадратов

Задание: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.

Таблица 1

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Решение .
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Жесткость воды (в градусах)	Количество кальция в воде (в мг/л)	d х	d у	d х х d у	d x 2	d y 2
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262	-16 -12 -9 +7 +14 +16	-114 -86 -66 +48 +98 +120	1824 1032 594 336 1372 1920	256 144 81 49 196 256	12996 7396 4356 2304 9604 14400
М х =Σ х / n	М у =Σ у / n			Σ d х x d у =7078	Σ d х 2 =982	Σ d y 2 =51056
М х =120/6=20	М y =852/6=142

1. Определить средние величины M x ряду вариант "х" и М у в ряду вариант "у" по формулам:
   М х = Σх/n (графа 1) и
   М у = Σу/n (графа 2)
2. Найти отклонение (d х и d у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у"
   d х = х - М х (графа 3) и d y = у - М у (графа4).
3. Найти произведение отклонений d x х d y и суммировать их: Σ d х х d у (графа 5)
4. Каждое отклонение d x и d у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ d x 2 = 982 (графа 6) и Σ d y 2 = 51056 (графа 7).
5. Определить произведение Σ d x 2 х Σ d y 2 и из этого произведения извлечь квадратный корень
6. Полученные величины Σ (d x x d y) и √(Σd x 2 x Σd y 2) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:
7. Определить достоверность коэффициента корреляции:
   1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr xy) и критерий t по формулам:

   

   Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

   2-й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции" (см. приложение 1). При числе степеней свободы (n - 2)=6 - 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r xу = + 0,99 больше табличного (r табл = + 0,917 при р = 99%).

   Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная : r ху = + 0,99, р > 99,9%).

   на применение рангового метода

   Задание: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

   Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод - метод квадратов.

   Решение . Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.

   Таблица 2

   Стаж работы в годах	Число травм	Порядковые номера (ранги)		Разность рангов	Квадрат разности рангов
   		X	Y	d(х-у)	d 2
   До 1 года	24	1	5	-4	16
   1-2	16	2	4	-2	4
   3-4	12	3	2,5	+0,5	0,25
   5-6	12	4	2,5	+1,5	2,25
   7 и более	6	5	1	+4	16
   					Σ d 2 = 38,5

   
   

   Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)

   Число степеней свободы - 2	Уровень вероятности р (%)
   	95%	98%	99%
   1	0,997	0,999	0,999
   2	0,950	0,980	0,990
   3	0,878	0,934	0,959
   4	0,811	0,882	0,917
   5	0,754	0,833	0,874
   6	0,707	0,789	0,834
   7	0,666	0,750	0,798
   8	0,632	0,716	0,765
   9	0,602	0,885	0,735
   10	0,576	0,858	0,708
   11	0,553	0,634	0,684
   12	0,532	0,612	0,661
   13	0,514	0,592	0,641
   14	0,497	0,574	0,623
   15	0,482	0,558	0,606
   16	0,468	0,542	0,590
   17	0,456	0,528	0,575
   18	0,444	0,516	0,561
   19	0,433	0,503	0,549
   20	0,423	0,492	0,537
   25	0,381	0,445	0,487
   30	0,349	0,409	0,449

   
   
   1. Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
   2. Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
   3. Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
   4. Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
   5. Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
   6. С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.

Корреляционный метод

Модификацией метода сравнения с эталоном является корреляционный метод, основанный на вычислении взаимокорреляционной функции между эталоном и изображением.

Корреляция -- статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Корреляционный анализ -- метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа -- обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б.

Классификация изображений проводится по результату: чем больше значение функции взаимной корреляции, тем с большей вероятностью эталон совпадает с изображением. Используя обозначения, принятые в выражении, формулу для вычисления взаимокорреляционной функции К можно представить в виде

Максимальное значение взаимокорреляционной функции равно,

и достигается при полном совпадении изображения с эталоном. Нормированная взаимокорреляционная функция

при совпадении эталона с изображением достигает максимального значения, равного единице.

Использование корреляционного метода и метода прямого сравнения с эталоном предъявляет к процессу предварительной обработки изображений общие требования. Они заключаются в том, что изображение и эталон должны быть одинаково ориентированы, иметь равный масштаб и не быть сдвинутыми друг относительно друга в поле изображения. Другим свойством этих методов, которое следует учитывать, является необходимость использования большого количества эталонов. Это особенно важно в тех случаях, когда решаются задачи распознавания объектов изменением их проекции.

Распознавание через связь шаблонов

Поиск объектов указанием связей между шаблонами

Часто наблюдаемый объект обладает внутренними степенями свободы, а это означает, что его внешний вид может сильно варьироваться (например, люди могут двигать руками и ногами, рыбы деформируются при плавании, змеи извиваются и т.д.). Данное явление может чрезвычайно затруднить сравнение с шаблоном, поскольку потребуется либо классификатор с гибкими границами (и множество образцов), либо много различных шаблонов.

Многие объекты названного типа содержат небольшое число компонентов, довольно строго упорядоченных. Можно попытаться согласовать данные компоненты как шаблоны, а затем определить, какие объекты присутствуют, изучив предложенные связи между найденными шаблонами. Например, вместо поиска лица по одному полному шаблону лица, можно искать глаза, нос и рот с приемлемым взаимным расположением.

Данный подход имеет несколько потенциальных преимуществ. Во-первых, узнать шаблон глаза может быть легче, чем узнать шаблон лица, поскольку первая структура очевидно проще. Во-вторых, можно получить и использовать относительно простые вероятностные модели, поскольку могут существовать некоторые свойства независимости, которые можно будет использовать. В-третьих, возможно, удастся согласовать большое число объектов с относительно небольшим числом шаблонов. Хороший пример этого явления -- морды животных; почти все животные с характерными мордами имеют глаза, нос и рот, отличается лишь пространственное расположение этих элементов. Наконец, из сказанного следует, что для построения сложных объектов можно использовать простые отдельные шаблоны. Например, люди могут двигать руками и ногами, и похоже, что обучить цельный явный шаблон обнаруживать людей целиком значительно сложнее, чем получить отдельные шаблоны для частей тела и вероятностную модель, описывающую их степени свободы.

Рассматриваемая тема не настолько хорошо изучена, чтобы к ней выработался какой-либо стандартный подход. В то же время основной вопрос достаточно очевиден -- как закодировать набор связей между шаблонами в форму, с которой легко работать. В данной главе изучается ряд различных подходов к данной задаче. Во-первых, каждый шаблон может указывать на объекты, которые он может представлять, а затем каким-то образом считается число указателей. Если построить некоторую явную вероятностную модель, для описания деталей пространственных отношений можно использовать больше весовых коэффициентов. Данную модель можно получить из функций правдоподобия; по сути, нужна функция распределения вероятностей, дающая большое значение, когда конфигурация компонентов подобна объекту, и малое -- в противном случае. Тогда поиск объектов превращается в поиск шаблонов, которые при подстановке в вероятностную модель дают большие значения. Нужно отметить, что следует внимательно относиться к сокращению поиска. Сложность этого подхода заключается в том, что даже при сокращении поиск может быть дорогим. Как утверждают Форсайт и Понс, в то же время при определенном классе вероятностных моделей можно провести эффективный поиск .

Простые модели объектов могут обеспечивать достаточно эффективное распознавание. Простейшая модель -- это рассматривать объект как набор фрагментов изображения (небольших окрестностей элементов характерного вида) нескольких различных типов, формирующих образ (pattern). Чтобы определить, какой образ наблюдается, находятся все фрагменты, каждый из которых указывает на все образы, в которые он входит. То изображение, на которое было указано наибольшее число, и считается присутствующим. Хотя данная стратегия проста, она довольно эффективна. Ниже описываются методы поиска фрагментов, а затем представляется ряд последовательно усложняющихся реализаций данной стратегии.

Методы корреляции

Все явления общественной жизни взаимосвязаны и взаимообусловлены. Задача статистики состоит в том, чтобы выявить и измерить связи и зависимости между изучаемыми явлениями.

Взаимосвязанные признаки подразделяются на факторные (под их воздействием изменяются другие, зависящие от них признаки) и результативные.

Связи по степени тесноты могут быть функциональными (при которых определенному значению факторного признака соответствует строго определенное значение результативного признака; для выявления такой связи достаточно одного наблюдения), статистическими (когда одному и тому же значению факторного признака могут соответствовать несколько значений результативного признака; эти связи проявляются в массе случаев и при этом в среднем). Функциональные связи иначе называются полными, а статистические - неполными или корреляционными.

Корреляционная зависимость проявляется только в средних величинах и выражает числовое отношение между ними в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой.

Корреляционная связь является свободной, неполной и неточной связью.

Поскольку корреляционная связь является статистической, первым условием возможности ее изучения является общее условие всякого статистического исследования: наличие данных по достаточно большой совокупности явлений. По отдельным явлениям можно получить совершенно превратное представление о связи признаков, ибо в каждом отдельном явлении значения признаков кроме закономерной составляющей имеют случайное отклонение (вариацию).

Вторым условием закономерного проявления корреляционной связи служит условие, обеспечивающее надежное выражение закономерности в средней величине. Кроме уже указанного большого числа единиц совокупности для этого необходима достаточная качественная однородность совокупности. Нарушение этого условия может извратить параметры корреляции.

Прямые и обратные связи. В зависимости от направления действия, функциональные и стахостические связи могут быть прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора, то есть с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и, наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак. В противном случае между рассматриваемыми величинами существуют обратные связи. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда - прямая связь. А чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции - обратная связь.

Прямолинейные и криволинейные связи. По аналитическому выражению (форме) связи могут быть прямолинейными и криволинейными. При прямолинейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит непрерывное возрастание (или убывание) значений результативного признака. Математически такая связь представляется уравнением прямой, а графически - прямой линией. Отсюда ее более короткое название - линейная связь. При криволинейных связях с возрастанием значения факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно, или же направление его изменения меняется на обратное. Геометрически такие связи представляются кривыми линиями (гиперболой, параболой и т.д.).

Однофакторные и многофакторные связи. По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются: однофакторные (один фактор) и многофакторные (два и более факторов). Однофакторные (простые) связи обычно называются парными (т.к. рассматривается пара признаков). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда. В случае многофакторной (множественной) связи имеют в виду, что все факторы действуют комплексно, то есть одновременно и во взаимосвязи. Например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих, производственным стажем, простоями и другими факторными признаками. С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи.

Для изучения, измерения и количественного выражения взаимосвязей между явлениями статистикой применяются различные методы, такие как: метод сопоставления параллельных рядов, балансовый, графический, методы аналитических группировок, дисперсионного и корреляционного анализа

Метод параллельных рядов заключается в том, что полученные в результате сводки и обработки материалы располагают в виде параллельных рядов и сопоставляют их между собой для установления характера и тесноты связи.

Балансовый метод состоит в том, что данные взаимосвязанных показателей изображаются в виде таблицы и располагаются таким образом, чтобы итоги между отдельными ее частями были равны, т.е. чтобы баланс. Балансовый метод используется для характеристики взаимосвязи между производством и распределением продуктов, денежными доходами и расходами населения и т.д. почти все внутренние и внешние хозяйственные связи выражаются в виде балансов.

Метод аналитических группировок. Сущность метода аналитических группировок состоит в том, что единицы статистической совокупности группируются, как правило, по факторному признаку и для каждой группы рассчитывается средняя или относительная величина по результативному признаку. Затем изменения средних или относительных значений результативного признака сопоставления с изменениями факторного признака для выявления характера связи между ними.

Корреляционно-регрессионный анализ. Корреляционная связь - связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.

Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению следующих задач:

• - выявление наличия (или отсутствия) корреляционной связи между изучаемыми признаками. Эта задача может быть решена на основе параллельного сопоставления (сравнения) значенийх иу уn единиц совокупности; с помощью группировок; построения и анализа специальных корреляционных таблиц; а также построения диаграмм рассеяния;
• - измерение тесноты связи между двумя (и более) признаками с помощью специальных коэффициентов. Эта часть исследования называется корреляционный анализ;
• - определение уравнения регрессии - математической модели, в которой среднее значение результативного признакау рассматривается как функция одной или нескольких переменных - факторных признаков. Эта часть исследования называется регрессионный анализ.

Задача корреляционного анализа - измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задача регрессионного анализа - выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

Связь признаков проявляется в их согласованной вариации, при этом одни признаки выступают как факторные, а другие - как результативные. Причинно-следственная связь факторных и результативных признаков характеризуется по степени:

• - тесноты;
• - направлению;
• - аналитическому выражению.

Регрессионный анализ. Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических (фактических) значений, т.е.

При изучении связей показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Так, при анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

При криволинейной зависимости применяется ряд математических функций:

полулогарифмическая

показательная

степенная

параболическая

гиперболическая

Наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками - линейная, при парной корреляции выражается уравнением,где а 0 - среднее значение в точкеx =0, поэтому экономической интерпретации коэффициента нет; а 1 - коэффициент регрессии, показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Система нормальных уравнений МНК для линейной парной регрессии имеет следующий вид:

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

Для практического использования регрессионных моделей необходима проверка их адекватности. При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость проверить, насколько вычисленные параметры характерны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. Значимость коэффициентов регрессии применительно к совокупностиn <30определяется с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия:

для параметра а0: ,

для параметра а 1: .

среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений.

среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней.

Полученные по формуламфактические значения и сравниваются с критическим, который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы н (н=n-k- 1, где n - число наблюдений, k - число факторов, включенных в уравнение регрессии). Рассчитанные параметры а 0 и а 1 уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического.

Корреляционный анализ позволяет установить тесноту связи между факторами и решить следующие задачи:

• - ответить на вопрос: существует ли связь?
• - выявить изменение связи в различных ситуациях реальных данных;
• - определить наиболее значимые факторы в результативном признаке;

Различают:

• - парную корреляцию - это зависимость между результативным и факторным признаком;
• - частную корреляцию - это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;

Множественную - многофакторное влияние в статической модели.

К простейшим показателям тесной связи относятся:

• - линейный коэффициент корреляции К.Пирсона;
• - коэффициент детерминации;
• - коэффициенты корреляции знаков - для оценки тесноты связи качественных признаков (непараметрические методы), Г. Фехнера, К. Спирмэна, М. Кэндэла.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

Корреляционный анализ выполняет оценку адекватности регрессионной модели, но путем установления тесноты связи.

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия:

Вычисленное по формулезначение сравнивается с критическим, который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы н.

Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t расч превышает (t расч >).

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение:

где - общая дисперсия эмпирических значений y , характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х ;

Факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у ;

Остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х .

По правилу сложения дисперсий:

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. з = |r| .

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

где - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

где R 2 - коэффициент множественной детерминации (R 2);

k - число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, еслиF расч > F табл - табличного значения F- критерия для заданного уровня значимостиби числе степеней свободы

н 1 = k , н 2 = n - k - 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. В случае зависимости у от двух факторных признаков частные коэффициенты корреляции рассчитываются:

где r - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х 2 , во втором - х 1.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

где - среднее значение соответствующего факторного признака;

Среднее значение результативного признака;

Коэффициент регрессии приi -м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i -го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

где - парный коэффициент корреляции между результативным и i -м факторным признаком;

Соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

«Теория статистики», учебник под ред. Р.А. Шмойловой,

М.: Финансы и статистика, 2007. - 510 с.

«Практикум по теории статистики»., под ред. Р.А. Шмойловой,

М.: Финансы и статистика, 2004. - 456 с.

«Общая теория статистики» И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев,

М.: Финансы и статистика, 2002. - 480 с.

«Теория статистики» В.М. Гусаров, М.: ЮНИТИ, 2001. - 247 с.

Корреляция - Это степень, в которой события или личные характеристики человека зависят друг от друга. Корреляционный метод - процедура в исследовании, использующаяся, чтобы определить взаимосвязь между переменными. Данный метод может, например, ответить на вопрос: «существует ли корреляция между количеством стресса, с которым сталкиваются люди и степенью испытываемой ими депрессии?» То есть, по мере того, как люди продолжают переживать стресс, насколько увеличивается вероятность того, что они впадут в депрессию?

Корреляция - Степень зависимости друг от друга событий или характеристик.

Корреляционный метод - Процедура исследований, которая используется для определения того, насколько события или характеристики зависят друг от друга.

Чтобы ответить на этот вопрос, исследователи подсчитывают баллы жизненного стресса (например, количество угрожающих событий, переживаемых человеком в определенный период времени) и баллы депрессии (например, баллы в опросниках по депрессии). Как правило, исследователи обнаруживают, что эти переменные увеличиваются или уменьшаются вместе (Stader & Hokanson, 1998; Paykel & Cooper, 1992). To есть чем больше количество баллов стресса в жизни определенного человека, тем выше его или ее сумма баллов по депрессии. Корреляции такого рода имеют позитивную направленность и их называют позитивной корреляцией.

Корреляция может иметь и негативную, а не позитивную направленность. При негативной корреляции, когда значение одной переменной возрастает, значение другой уменьшается. Исследователи обнаружили, например, негативную корреляцию между депрессией и уровнем активности. Чем больше депрессия человека, тем меньше его занятость.

Существует еще и третья взаимосвязь в корреляционном исследовании. Две переменные могут быть не взаимосвязаны, то есть между ними не существует последовательной взаимосвязи. Когда число одной переменной возрастает, показатели другой переменной иногда возрастают, иногда уменьшаются. Исследования обнаружили, например, что депрессия и интеллект не зависят друг от друга.

Кроме знания направленности корреляции исследователям нужно знать ее величину или силу. То есть насколько близко эти две переменные соотносятся между собой. Действительно ли одна переменная всегда зависит от другой или их взаимосвязь менее определенна? Когда обнаруживается тесная взаимосвязь двух переменных у многих испытуемых, то говорят, что корреляция - высокая или устойчивая.

Направленность и величина корреляции часто имеет численное значение и выражается в статистическом понятии - Коэффициенте корреляции ( R ). Коэффициент корреляции может варьироваться от +1.00, показывающего полную позитивную корреляцию между двумя переменными, и до -1.00 - этот коэффициент указывает на полную негативную корреляцию. Знак коэффициента (+ или -) обозначает направленность корреляции; число представляет ее величину. Чем ближе коэффициент к 0, тем слабее корреляция и меньше ее величина. Так корреляции +0.75 и -0.75 имеют одинаковые величины, а корреляция +.25 слабее и той и другой корреляции.

Коэффициент корреляции ( R ) - Статистический термин, указывающий направленность и величину корреляции, колеблющийся от -1.00 до +1.00.

Поведение людей меняется, и многие человеческие реакции можно оценивать лишь приблизительно. Поэтому в психологических исследованиях корреляции не достигают величины полной позитивной или полной негативной корреляции. В одном исследовании стресса и депрессии, проводившемся с 68 взрослыми, корреляция между двумя переменными составила +0.53 (Miller et al., 1976). Несмотря на то, что эту корреляцию едва ли можно назвать абсолютной, ее величина в психологическом исследовании считается большой.