Отработка вычислительных навыков обучающихся на уроках математики с помощью приемов «быстрого» счета.

Кудинова И.К., учитель математики

МКОУ Лимановской СОШ

Панинского муниципального района

Воронежской области

«Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счёту бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они не извлекали из этого для себя никакой пользы, всё же становятся более восприимчивы, чем были раньше»

Платон

Важнейшей задачей образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий. Формирование способности и готовности учащихся реализовывать универсальные учебные действия позволяет повысить эффективность процесса обучения. Все виды универсальных учебных действий рассматриваются в контексте содержания конкретных учебных предметов.

Важную роль в формировании универсальных учебных действий играет обучение школьников навыкам рациональных вычислений. Ни у кого не вызывает сомнения, что, развитие умения рациональных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач "в уме" - важнейший элемент математической подготовки учащихся. В ажность и необходимость таких упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка.

Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Очевидно, что приемы рационального счета являются необходимым элементом вычислительной культуры в жизни каждого человека, прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.

В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.

Анализ результатов экзаменов в 9-х и 11-х классах показывает, что наибольшее количество ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления. Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую аттестацию утрачивают навыки устного счета. Они плохо и нерационально считают, все чаще прибегая к помощи технических средств-калькуляторов. Главная задача учителя - не только сохранить вычислительные навыки, но и научить применять нестандартные приемы устного счета, которые позволили бы значительно сократить время работы над заданием.

Рассмотрим конкретные примеры различных приемов быстрых рациональных вычислений.

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

Умножение многозначных чисел на 9

1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого

2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10

Пример:

576 · 9 = 5184 379 · 9 = 3411

576 - (57 + 1) = 576 - 58 = 518 . 379 - (37 + 1) = 341 .

Умножение на 99

1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1

2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100

3. Приписываем дополнение к предшествующему результату

Пример:

27 · 99 = 2673 (сотен - 0) 134 · 99 = 13266

27 - 1 = 26 134 - 2 = 132 (сотня - 1 + 1)

100 - 27 = 73 66

Умножение на 999 любого числа

1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1

2. Находим дополнение до 1000

23 · 999 = 22977 (тысяч - 0 + 1 = 1)

23 - 1 = 22

1000 - 23 = 977

124 · 999 = 123876 (тысяч - 0 + 1 = 1)

124 - 1 = 123

1000 - 124 = 876

1324 · 999 = 1322676 (тысяча - 1 + 1 = 2)

1324 - 2 = 1322

1000 - 324 = 676

Умножение на 11, 22, 33, …99

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:

72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792;

35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385.

Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:

94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;

59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.

44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 × 22 =48 × 2 × (22: 2) = 96 × 11 =1056;

24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528;

23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759;

18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792;

16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880;

16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056;

14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078;

12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056;

8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.

Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой - уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

44 × 5 = (44: 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;

28 × 15 = (28: 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420;

32 × 25 = (32: 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800;

26 × 35 = (26: 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910;

36 × 45 = (36: 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625;

34 × 55 = (34: 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870;

18 × 65 = (18: 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170;

12 × 75 = (12: 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900;

14 × 85 = (14: 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190;

12 × 95 = (12: 2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.

Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500

Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

Например:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4

Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 × 25 = (484: 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100

124 × 25 = 124: 4 × 100 = 3100

Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12100: 25 = 12100: 100 × 4 = 484

31100: 25 = 31100:100 × 4 = 1244

Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 × 75 = (32:4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400

48 × 75 = 48: 4 × 300 = 3600

Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400: 75 = 2400: 300 × 4 = 32

3600: 75 = 3600: 300 × 4 = 48

Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432× 50 = 432:2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600

848 × 50 = 848: 2 × 100 = 42400

Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

Примеры:

21600: 50 = 21600: 100 × 2 = 432

42400: 50 = 42400: 100 × 2 = 848

Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.

Примеры:

428 × 500 = (428:2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000

2436 × 500 = 2436: 2 × 1000 = 1218000

Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.

Примеры:

214000: 500 = 214000: 1000 × 2 = 428

1218000: 500 = 1218000: 1000 × 2 = 2436

Прежде чем научиться умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Примеры:

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;

5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;

12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8. на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.

Примеры:

632: 8, так как т.е. 64: 8;

712: 8, так как т.е. 72: 8;

304: 8, так как т.е. 32: 8;

376: 8, так как т.е. 40: 8;

208: 8, так как т.е. 24: 8.

Правило. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить

на 8.

Примеры:

32 × 125 = (32: 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000;

72 × 125 = 72: 8 × 1000 = 9000;

4000: 125 = 4000: 1000 × 8 = 32;

9000: 125 = 9000: 1000 × 8 = 72.

Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.

Примеры:

36 × 250 = (36: 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000;

44 × 250 = 44: 4 × 1000 = 11000.

Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.

Примеры:

9000: 250 = 9000: 1000 ×4 = 36;

11000: 250 = 11000: 1000 ×4 = 44

Умножение и деление на 37

Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.

Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 × 37 = (24: 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888;

27 × 37 = (27: 3) × 111 = 999.

Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3

Примеры:

999: 37 = 999:111 × 3 = 27;

888: 37 = 888:111 × 3 = 24.

Умножение на 111

Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.

Примеры:

24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;

36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;

17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.

Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.

Умножение двух рядом стоящих чисел

Примеры:

1) 12 ×13 = ? 1 × 1 = 1 1 × (2+3) = 5 2 × 3 = 6 2) 23 × 24 = ? 2 × 2 = 4 2 × (3+4) = 14 3 × 4 = 12 3) 32 × 33 = ? 3 × 3 = 9 3 × (2+3) = 15 2 × 3 = 6 1056 4) 75 × 76 = ? 7 × 7 = 49 7 × (5+6) = 77 5 × 6 = 30 5700

Проверка: × 12 Проверка: × 23 Проверка: × 32 1056 Проверка: × 75 525_ 5700

Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Пример:

24 × 26 = (24 - 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624.

Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.

18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;

16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224;

23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621;

34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224;

71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609;

82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216.

Можно решать устно и более сложные примеры:

108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016;

204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024;

802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016.

Проверка:

× 802

6416

6416__

648016

Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.

Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.

Примеры:

72 × 32 = (7 × 3 + 2)сот. + 2 × 2 = 2304;

64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816;

53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809;

18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764;

24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;

63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;

35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Примеры:

1) 81 × 31 = ? 8 × 3 = 24 8 + 3 = 11 1 × 1 = 1 2511 81 × 31 = 2511

2) 21 × 31 = ? 2 × 3 = 6 2 +3 = 5 1 × 1 = 1 21 × 31 = 651

3) 91 × 71 = ? 9 × 7 = 63 9 + 7 = 16 1 × 1 = 1 6461 91 × 71 = 6461

Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных - на 1001

Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

648 1001 = 648648;

999 1001 = 999999.

Приемы устных рациональных вычислений, используемые на уроках математики, способствуют повышению общего уровня математического развития; развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных задач, расчетов и вычислений; содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение.

Помимо этого, рациональный счет на уроках математики играет немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка. Формируя навыки устных рациональных вычислений, учитель тем самым воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание поиска рациональных путей решения задачи. Иными словами формируются познавательные, включая логические, познавательные и знаково-символические универсальные учебные действия.

Цели и задачи школы кардинально меняются, осуществляется переход от знаниевой парадигмы к лично-ориентированному обучению. Потому важно не просто учить решать задачи по математике, а показывать действие основных математических законов в жизни, объяснять, как может учащийся применить полученные знания. И тогда у детей появится главное: желание и смысл учиться.

Список литературы

Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

Совайленко ВК. Система обучения математике в 5-6 классах. Из опыта работы.- М.:Просвещение, 1991.

Катлер Э. Мак-Шейн Р. «Система быстрого счёта по Трахтенбергу» - М. Просвещение, 1967.

Минаева С.С. «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике.» - М.: Просвещение, 1983.

Сорокин А.С. «Техника счета (методы рациональных вычислений)», М, Знани», 1976

http://razvivajka.ru/ Тренировка устного счета

http://gzomrepus.ru/exercises/production/ Упражнения на продуктивность и быстрый устный счет

Не секрет, что есть некоторые люди, умеющие производить средне-сложные арифметические операции в уме с завидной скоростью. Для них не составляет труда, например, перемножить два двухзначных числа или поделить несколько трехзначных величин друг на друга. Они делают это быстро и без помощи дополнительных устройств и даже не пользуются записями, то есть производят вычисления в уме! Понятное дело, для многих не составляет труда вопрос о том, как научиться быстро считать в уме – это ежедневная практика, вынужденная работа или род деятельности. Но это не означает, что любой из нас, желающий узнать, как научиться считать в уме, обязан закончить математический ВУЗ. Итак, речь сегодня пойдет о том, как научиться считать. Быстро считать!

Учимся считать быстро, необходимая подготовка

Без сомнений, ваш опыт и тренировка способностей сыграют важную роль в развитии подобных способностей. Но это ни в коем случае не означает того, что навык быстрого счета доступен только людям с опытом. Считать в уме – это путь рационализации, опирающийся на базовую арифметику. Следуя нашим советам о том, как быстро научиться считать, вы сможете удивлять окружающих скорым решением примеров, которые не все могут решить даже при помощи калькулятора.

Что же необходимо Вам, чтобы быстро овладеть техникой моментального подсчета «в уме»? Основные составляющие успеха можно разделить на три группы:

• Предрасположенности и способности. Хорошим подспорьем станет ваш аналитический склад ума. Умение удерживать в памяти несколько величин единовременно обязательно.
• Непосредственно алгоритмы Вашего мышления. Научиться считать быстро можно лишь путем строгой алгоритмизации своих действий, их рационализацией и умением подобрать необходимый метод в конкретной ситуации. О ситуациях и прочем мы поговорим чуть позже.
• Тренировка и практика навыков. Никто не отменял важности этих действий ни в одном направлении деятельности, а особенно в деятельности умственной. Чем больше вы будете тренироваться и выполнять различных вычислений, тем лучше у вас это будет получаться.

Следует обратить внимание на третий фактор развития навыка быстрого счета. Даже прекрасно ориентируясь во всех существующих алгоритмах, вам навряд ли удастся научиться считать быстро, если будет отсутствовать достаточное количество практики.

Хитрости и базовые алгоритмы, как быстро считать

Рассмотрим несколько общепринятых упрощений счета, с их помощью вам удастся научиться считать быстро. Обращу ваше внимание также на то, что никто не запрещает вам импровизировать – математика тем и замечательна, что при всей своей точности и строгости не запрещает действовать красиво, подобно искусству. А навык считать быстро – это именно искусство! Итак, некоторые хитрости, как научиться считать быстро.

Допустим, вам необходимо произвести сложение многозначных слагаемых. Легко! Слагайте разрядами: к большему числу прибавьте старший разряд меньшего числа, затем уже суммируйте с младшими разрядами. Допустим, вам надо сложить 361 и 523. Сразу удержать в памяти будет не просто, согласитесь? Поэтому наш ход действий будет таков:

1. Меньше число определили – 361.
2. Что такое 361? Это 300+60+1. Сложно оспорить, если стремиться быть рациональным.
3. К 523 прибавим сначала 300. Получаем 823.
4. Затем прибавим 60 – получаем 883.
5. И в завершении - наша единичка, прибавленная к сумме, полученной ранее, даст нам результат 884.

Вот видите, было куда проще держать 3 числа в голове, чем единовременно складывать два трехзначных! У нас начинает получаться считать быстро в уме!

То же самое проделывайте и с вычитанием, но только лишь последовательным отнятием разрядов мы не добьемся необходимой скорости! Можно несколько схитрить, добавив в наш арсенал еще один навык – нарастить/отнять до круглого (удобного числа).

Например, вам необходимо отнять 93 от 250. Ну неудобно же!

А что такое 93? Правильно, это 100-7!

250 – 100 = 150.

Делаем поправку на наше «исправление» числа. Если мы добавляли – необходимо добавить к частному, и наоборот. В нашем случае мы «нарастили» число 93 до 100, прибавив 7. Значит, к частному добавляем 7.

Проверьте на калькуляторе. Заметно больше времени ушло на набор цифр, чем на вычисление? Это признак того, что вам уже неплохо дается навык, как считать быстро в уме!

Теперь с умножением. Ускорить счет можно разными путями. Например, при перемножении чисел разбивайте множители на множители второго уровня.

Например:

Куча путей к решению! И тут ваш алгоритм может отличаться от путей других людей – не пугайтесь, на то мы, гении, народ и уникальный =)

Можно так: 12 = 3х4. Умножаем 150 х 4 = 600, затем 600 х 3 = 1800.

Я не задумываясь, стал считать так: 12 = 10 + 2. А теперь элементарно: (150 х 10) + (150 х2). Все это элементарные школьные правила, которые мы, к сожалению, забываем. Несложно заметить, что в этом случае считать практически не придется – дописать ноль к 150, получив полторы тысячи, да умножить 150 на 2, получив 300. Результат тот же, 1800.

Исходя из опыта быстрого умножения, несложно догадаться, как быстро делить числа в уме. Можно вновь пойти разными путями, от параллельного деления на упрощенный делитель делимого до округления делимого вплоть до элементаризации деления с поправкой.

Например:

Для начала отбросьте одинаковое кол-во нулей. В этом примере это просто - 39:4. Наш мозг гораздо охотнее оперирут с маленькими числами, чем с многоразрядными величинами.

Вы наверняка заметили, что число 39 так и хочется округлить до 40. Ну так что нам мешает? (39+1):4 = 10.

Но изменив делимое, нам необходимо откорректировать ответ. Итак, очевидно, что он будет меньше 10, так как мы прибавляли к делимому некое число 1. Теперь нам нужно отнять от 10 результат деления числа-корректора на делитель (4). Если бы мы отнимали, то процедура была бы обратной, это само собой разумеется.

Итак, 1:4 = 0.25

Ответ: 9.75 (9 3 / 4)

Гораздо проще нашему мозгу воспринимать натуральные дроби, то есть представляем 0.25 как 1/4 (одна четвертая, четверть), и дальше будет совсем легко быстро посчитать в уме результат!

Помните, не так сложно понять, как быстро научиться считать. Куда сложнее быстро подобрать метод к конкретной ситуации, но это решается с помощью колоссальной практики.

Как научиться быстро считать в уме? Не так уж сложно, как многие думают. Для этого вовсе не надо быть математическим гением. Достаточно выучить несложные правила и методы счета в уме, чтобы значительно увеличить скорость вычислений.

1 При сложении многозначных слагаемых прибавьте старший разряд меньшего числа, затем младший разряд. Например, при прибавлении двузначного числа, сначала прибавляются десятки, затем единицы. При сложении двухзначных чисел сначала сложите все десятки, затем все единицы, после этого прибавьте единицы к общему числу десятков.

2 При вычитании многозначных чисел сначала отнимите старшие разряды вычитаемого, затем его младшие разряды. Чтобы научиться быстро считать в уме нужно помнить, что если вычитаемое близко по значению к круглому числу, то сначала нужно отнять это круглое число, а потом сделать поправку.

3 При умножении на число, которое изображается единицей с нулями, например, 10 или 100, нужно приписывать к множимому числу столько нулей, сколько имеет множитель. При делении на число, которое изображается единицей с нулями, нужно отделять запятой такое количество последних цифр, сколько нулей имеет делитель.

4 Чтобы научиться быстро считать в уме, нужно запомнить, что умножая число на 4, нужно сначала умножить его на 2, затем снова на 2. Например, 214х4=428х2=856. При делении на 4 сначала разделите число на 2, затем снова на 2. Например, 116:4=58:2=29.

5 При делении на 8 или 16 нужно 3 или 4 раза последовательно поделить число на 2. Например, 448:8=224:4=112:2=56.

6 При умножении на 25 умножьте число на 100 и поделите на 4. При делении на 25 умножьте число на 4 (2 раза на 2) и поделите на 100.

7 При умножении числа на 50 умножьте число на 100 и поделите пополам, при делении числа на 50, сначала удвойте число, затем поделите на 100.

8 При умножении какого-либо числа на 9 или 11, увеличьте его в 10 раз, затем от получившегося числа отнимите само данное число. Например, умножаем 87 на 11: увеличив 87 в 10 раз, получаем 870, к этому числу прибавляем 87, получается 957.

Еще методы:
Хитрые приемчики счета в уме

Умножение чисел от 10 до 20

К одному из чисел прибавляем количество единиц другого, сумму умножаем на 10 и прибавляем произведение единиц чисел.

Например:

15 х 17 = (15 + 7) х 10 + 5 х 7 = 220 + 35 = 255

Примечание. Не веришь? Возьми калькулятор и убедись. У меня всё без обмана. Но в случае, например, 98 х 12 это правило уже не работает, т.к. 98 больше, чем 20.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Число, оканчивающееся на 5, возводим в квадрат так: 100 х (количество десятков числа) х (количество десятков + 1) + 25.

Например:

Возведем 35 в квадрат:

100 х 3 х (3+1) + 25 = 300 х 4 + 25 = 1225
Умножение на 5, 50, 25 и 125

Умножая число Х на эти числа, удобно пользоваться такими выражениями:

X x 5 = X x 10: 2

X x 50 = X x 100:2

X x 25 = X x 100:4

X x 125 = X х 1000:8

Например:

22 x 5 = 22 x 10: 2 = 220: 2 = 110

34 x 50 = 34 x 100: 2 = 3400: 2 = 1700

46 x 25 = 46 x 100: 4 = 4600: 4 = 1150

64 x 125 = 64 x 1000: 8 = 64000: 8 = 8000
Деление на 5, 50, 25

При делении числа Х на эти числа удобно иметь в виду, что:

X: 5 = X x 2:10

X: 50= X x 2: 100

X: 25 = X x 4: 100

Например:

75: 5 = 75 x 2: 10 = 150: 10 = 15

4350: 50 = 4350 x 2: 100 = 8700: 100 = 87

8600: 25 = 8600 x 4: 100 = 34400: 100 = 344
Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 1

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Например:

654 + 348 = (654 + 348 + 2) - 2 = 1004 - 2 = 1002
Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 2

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Например:

334 + 768 = (334 + 6) + (768 - 6) = 340 + 762 = 1102
Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 3

Если к вычитаемому и уменьшаемому прибавить (или отнять) одно и то же количество единиц, то разность не изменится.

Например:

345 - 229 = (345 + 5) - (229 + 5) = 350 - 234 = 116
Быстрое умножение натуральных чисел

Чтобы получить единицы произведения, перемножим единицы множителей. Для получения десятков произведения умножают десятки одного множителя на единицы другого и наоборот и результаты складывают. Для получения сотен перемножаем десятки множителей.

Например:

Умножим 43 х 57:

А) 3 х 7 = 21 (пишем в результате 1 справа, а в уме держим 2)

Б) 4 х 7 + 3 х 5 + 2 (из ума)(пишем 5 левее от 1 из пункта "а", в уме держим 4)

В) 4 х 5 + 4 (из ума) = 24 (пишем 24 слева от 5)

В итоге: 43 х 57 = 2451.

Для не двузначных чисел действуем аналогично.

Примечание. Вообще, в начальной школе данная метода называется просто-напросто "умножение столбиком", но начальная школа - это было так давно, правда?..
Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

Число десятков любого из множителей умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел, после чего к первому результату приписать второй справа.

Например:

Умножим 303 на 307:

А) 30 х (30 +1) = 900 + 30 = 930

Б) 3 х 7 = 21

Записываем первый результат, а справа - второй:

93021
Умножение числа Х на двузначное число вида YY

Умножаем Х на Y (на одну цифру), а потом на 11.

Например:

12 х 44 = (12 х 4) х 11 = 48 х 11 = 480 + 48 = 528

Умножение на 11

Чтобы умножить число Х на 11, представим 11 как сумму 10 + 1.

Например:

15 х 11 = 15 х (10 + 1) = 150 + 15 = 165

123 х 11 = 123 х (10 + 1) = 1230 + 123 = 1353
Умножение на 11 двузначного числа с суммой цифр меньше 10

Если сумма цифр умножаемого на 11 двузначного числа Х меньше 10, то "вставляем" сумму цифр между самими цифрами Х и, таким образом, получаем произведение.

Например:

36 х 11 = 3 (между цифрами вставляем сумму 3+6=9) 6 = 396

17 х 11 = 1 (между цифрами вставляем сумму 1+7=8) 7 = 187

Примечание. Этот способ годится только для двузначных чисел!
Умножение на 111 двузначного числа с суммой цифр меньше 10

Если сумма цифр умножаемого на 111 двузначного числа Х меньше 10, то дважды "вставляем" сумму цифр между цифрами Х и, таким образом, получаем произведение.

Например:

52 х 111 = 5 (между цифрами дважды вставляем сумму 5+2=7) 2 = 5772
Умножение на 11 трехзначного числа

Чтобы умножить трехзначное число Х на 11:

1. Произведение будет четырехзначным. Цифра тысяч в произведении - это цифра сотен числа.

2. Цифра сотен произведения - это цифра сотен Х плюс цифра десятков Х.

3. Цифра десятков произведения - это цифра десятков Х плюс цифра единиц Х.

4. Цифра единиц произведения - это цифра единиц числа Х.

Например:

2 - цифра тысяч произведения,

2 + 4 = 6 - цифра сотен произведения,

4 + 5 = 9 - цифра десятков произведения,

5 - цифра единиц произведения.

245 х 11 = 2695

В случае, если сумма двух цифр больше 9, то от суммы отнимается 10 и получившаяся разность записывается вместо суммы, а к старшему (соседнему слева) разряду прибавляется 1.

Например:

4 - цифра тысяч произведения,

4+8 = 12. 12-10 = 2. 2 - цифра сотен произведения. К разряду тысяч прибавляем 1: 4+1 = 5.

8+9 = 17. 17-10 = 7. 7 - цифра десятков произведения. К разряду сотен прибавляем 1: 2+1 = 3.

9 - цифра единиц произведения.

489 х 11 = 5379
Умножение на число, состоящее только из цифр 9

Допустим, нужно умножить 154 на 999 (99, 9999 или любое другое число из девяток). Вычисляем так:

154 х 999 = 154 х (1000 -1) = 154000 - 154 = 153999 - 153 = 153846

Примечание. Обрати внимание на 154000-154 = 153999 - 153. Это не обязательный шаг, но еще один способ сделать вычисления проще.
Сложение чисел, близких по величине

Допустим, нужно сложить последовательность чисел, близких друг к другу по величине:

23 + 21 + 19 + 22 + 17 + 24 = ?

Записываем числа в следующем виде:

Тогда сумма этих чисел:

20 х 6 + (3+1-1+2-3+4) = 120 + 6 = 126
Вычитание из 100, 1000, 10000 и прочих степеней 10

Все мы помним, надеюсь, что вычитание столбиком производится начиная с младшей (самой левой) цифры. Но при вычитании из 100, 1000, 10000 и других степеней десятки это правило можно нарушить.

Начиная со старшей (самой правой), вычитаем каждую цифру из 9. Последнюю, самую левую цифру, вычитаем из 10.

Например:

1) 100 - 57 = ?

10 - 7 = 3 (последнюю цифру вычитаем из 10, а не из 9)

2) 1000000 - 546721 = ?

Ответ: 453279

3) 100000 - 548 = ?

100000 - 548 = 100000 - 00548

Ответ: 99542

Примечание. Хочешь удивить друзей? Попроси их записать число с любым количеством нулей и любое другое число, которое надо из него вычесть. Как только задание будет записано, не тратя на раздумья ни секунды, начинай диктовать ответ по цифре. :-)

Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи. Альберт Эйнштейн

В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее.

1. Быстрое вычисление процентов

Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.

Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.

Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.

2. Быстрая проверка делимости

Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

• Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
• Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.
• Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.
• Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.
• Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

3. Быстрое вычисление квадратного корня

Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?

Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 9^2.

Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 10^2.

Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.

4. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия».

5. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

6. Быстрое вычисление почасовой ставки

Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

7. Продвинутая математика на пальцах

Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.

С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.

Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.

Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.

Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.

Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.

Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.

8. Быстрое умножение на 4

Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.

Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.

9. Быстрое определение необходимого минимума

Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?

Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом - положительными.

Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. :(

10. Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.

К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.

11. Трюк с угадыванием цифры

Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

1. Попросите друга загадать любое целое число.
2. Пусть он умножит его на 2.
3. Затем прибавит к получившемуся числу 9.
4. Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.
5. А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).
6. Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.

Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.

Бонус

И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.

Счетным навыкам нас обучают с детства. Это элементарные операции сложения, вычитания, умножения и деления. В случае небольших чисел с ними легко справляются даже младшие школьники, но задача существенно усложняется, когда нужно произвести действие с двузначным или трехзначным числом. Однако с помощью тренировки, несложных упражнений и маленьких хитростей вполне можно подчинить данные операции быстрой умственной обработке.

Возможно, вы спросите, зачем это нужно, ведь существует такая удобная вещь, как калькулятор, а на крайний случай под рукой всегда есть бумага для осуществления вычислений. Быстрый счет в уме дает массу преимуществ:

Возможность обратиться к другим аспектам задачи. Зачастую задачи содержат в себе, как минимум, две стороны: чисто арифметическую (действия с числами) и интеллектуально-творческую (выбор подходящего решения для конкретной задачи, нестандартный подход для более быстрого решения и др.). Если школьник недостаточно хорошо и быстро справляется с первой стороной, то от этого страдает вторая: концентрируясь на выполнении арифметической составляющей, ребенок не задумывается над смыслом задачи, может не увидеть подвоха или более простого решения. Если же счетные операции доведены до автоматизма или просто не требуют большого количества времени, то «включается» детальное рассмотрение смысла задачи, появляется возможность применения творческого подхода к ней.

Тренировка интеллекта. Счет в уме позволяет держать интеллект в тонусе, постоянно задействовать мыслительные процессы. Особенно это характерно для действий с большими числами, когда мы подбираем способ для максимального упрощения операции.

Упражнения с таблицами

Упражнения рассчитаны на детей любого возраста, испытывающих затруднения при выполнении операций с простыми числами (одно- и двузначными). Позволяет натренировать навыки устного счета, довести до автоматизма несложные арифметические операции.

Необходимые материалы: для выполнения упражнений понадобится сетка одно- и двузначных чисел. Пример:

В первом столбце располагаются числа, с которыми нужно выполнять действия. Во втором – ответы на эти действия. С помощью специально вырезанной закладки можно проверить правильность вычисления. Например:

Варианты упражнений:

Последовательно сложи в уме пары чисел в сетке. Назови ответ вслух и проверь себя с помощью второго столбца и закладки. Задание может выполняться в свободном темпе или на время.

Последовательно выполни вычитание в уме чисел из сетки.

Последовательно сложи в уме пары чисел в сетке. Прибавь к каждой сумме цифру 5 и назови ответ вслух.

Последовательно сложи в уме тройки чисел в сетке.

Последовательно со всеми числами в сетке выполни следующие действия: прибавь нижнее число, из полученной суммы вычти следующую в столбце цифру.

На основе подобных таблиц можно формировать любые задания. Сетки составляются в зависимости от модификации упражнения.

ВАЖНО! Чтобы упражнение дало результат, оно должно выполняться регулярно, до полного усвоения навыка.

Осваиваем умножение

Упражнение предназначено для детей, освоивших таблицу умножения от 1 до 10. Тренирует навык перемножения двузначного числа на однозначное.

Составляется столбик из произвольных двузначных чисел. Задание для ребенка: последовательно умножить эти числа сначала на 1, потом на 2, на 3 и т.д. Ответ произносится вслух. Выполняется до тех пор, пока ответы не запомнятся и не будет выдаваться автоматически.

Главное – внимание

Задание: сложи последовательно числа: 3000 + 2000+ 30 + 2000 + 10 + 20 + 1000 + 10 + 1000 + 30 =

Назови ответ. Проверь себя с помощью калькулятора.

Если ответ получился верным, необходимо закрепить успех и прорешать еще несколько подобных примеров (могут составляться произвольно). Если в ответе была ошибка, нужно вернуться к последовательности чисел и исправить ее.

В чем идея: В результате сложения чисел получается сумма 9100. Но если делать это невнимательно, будет автоматически напрашиваться ответ 10000 (мозг стремится округлить сумму, сделать ответ более красивым). Поэтому очень важно сохранять контроль за своими действиями при производстве арифметических задач в несколько действий.

Возможные примеры:

3000 – 700 — 60 – 500 — 40 – 300 -20 – 100 =

100:2:2*3*2 + 50 – 100 + 200 – 30 =

Если большинство примеров решается с ошибками (НО! не связанными с умением считать в принципе), то есть смысл повысить концентрацию внимания. Для этого можно:

Минимизировать внешние раздражители. Например, по возможности выйти в другую комнату, выключить музыку, закрыть окно и т.д. Если необходима концентрация на примере во время урока, когда нет возможности выйти и добиться полной тишины, нужно закрыть глаза и представить цифры, с которыми осуществляются действия.

Добавить элемент состязательности. Зная, что верное и быстрое решение принесет победу над противником и/или какое-то поощрение, ученик более охотно сосредоточится на цифрах и предпримет максимум усилий в процессе вычисления.

Устанавливать личные рекорды. Можно визуализировать все ошибки, совершенные школьником в процессе вычисления. Например, нарисовать цветок с крупными лепестками (количество лепестков = количеству решаемых примеров). Черным будет закрашено столько лепестков, сколько примеров было решено с ошибками. Задача – максимально сократить количество черных лепестков, устанавливая личные рекорды с каждой партией примеров.

Группировка. Последовательно складывая/вычитая несколько чисел, необходимо посмотреть, какие из них при сложении/вычитании дадут целое число: 13 и 67, 98 и 32, 49 и 11 и т.д. Сначала выполнить действия с этими цифрами, а потом перейти к остальным. Пример: 7+65+43+82+64+28=(7+43)+(82+28)+65+64=50+110+124=289

Разложение на десятки и единицы. При умножении двух двузначных чисел (например, 24 и 57) выгодно одно из них (заканчивающееся на меньшую цифру) разложить на десятки и единицы: 24 как 20 и 4. Второе число умножается сначала на десятки (57 на 20), потом на единицы (57 на 4). Затем оба значения складываются. Пример: 24×57=57×20+57×4=1140+228=1368

Умножение на 5. При умножении любого числа на 5, выгоднее сначала умножить его на 10, а потом разделить на 2. Пример: 45×5=45×10/2=450/2=225

Умножение на 4 и 8. При умножении на 4, выгоднее умножить число два раза на 2; на 8 – три раза на 2. Пример: 63×4=63x2x2=126×2=252

Деление на 4 и 8. Аналогично умножению: при делении на 4 разделить число дважды на 2, на 8 – трижды на 2. Пример: 192/8=192/2/2/2=96/2/2=48/2=24

Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5. Облегчить это действие позволит следующий алгоритм: число десятков, возводимого в квадрат числа, умножается на такое же плюс единица и приписывается в конце 25. Пример: 75^2=7x(7+1)=7×8=5625

Умножение по формуле. В ряде случаев для облегчения счета можно применить формулу разности квадратов: (a+b)x(a-b)=a^2-b^2. Пример: 52×48=(50+2)x(50-2)=50^2-2^2=2500-4=2496

P.S. Данные правила могут существенно упростить устный счет, однако необходимы регулярные тренировки, чтобы в нужный момент можно было правильно воспользоваться правилом. Поэтому рекомендуется прорешать такое количество примеров на каждое из них, которое позволит автоматизировать навык. Для начала можно записывать расчеты на бумаге, постепенно сокращая количество написанного и переводя операции в мыслительный план. В первое время также рекомендуется проверять свои ответы при помощи калькулятора или стандартных вычислений в столбик.