Изометрическая система координат. Аксонометрия. Изометрия. Черчение. Инженерная графика. Построение изометрических проекций плоских геометрических фигур
Аксонометрические проекции применяются для наглядного изображения различных предметов. Предмет здесь изображают так, как его видят (под определенным углом зрения). На таком изображении отражены все три пространственных измерения, поэтому чтение аксонометрического чертежа обычно не вызывает затруднений.
Аксонометрический чертеж можно получить как с помощью прямоугольного проецирования, так и с помощью косоугольного проецирования. Предмет располагают так, чтобы три основных направления его измерений (высота, ширина, длина) совпадали с осями координат и вместе с ними спроецировались бы на плоскость. Направление проецирования не должно совпадать с направлением осей координат, т. е. ни одна из осей не будет проецироваться в точку. Только в этом случае получится наглядное изображение всех трех осей.
Для получения прямоугольных аксонометрических проекций оси координат наклоняют относительно плоскости проекций Р А так, чтобы их направление не совпадало с направлением проецирующих лучей. При косоугольном проецировании можно варьировать как направлением проецирования, так и наклоном координатных осей относительно плоскости проекций. При этом координатные оси в зависимости от их угла наклона к аксонометрической плоскости проекций и направления проецирования будут проецироваться с разными коэффициентами искажения. В зависимости от этого будут получаться разные аксонометрические проекции, отличающиеся расположением осей координат. ГОСТ 2.317-69 (СТ СЭВ 1979-79) предусматривает следующие аксонометрические проекции: прямоугольная изометрическая проекция; прямоугольная диметрическая проекция; косоугольная фронтальная изометрическая проекция; косоугольная горизонтальная изометрическая проекция; косоугольная фронтальная диметрическая проекция.
§ 26. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Изометрическая проекция отличается большой наглядностью и широко применяется в практике. Координатные оси при получении изометрической проекции наклоняют относительно аксонометрической плоскости проекций так, чтобы они имели одинаковый угол наклона (рис. 236). В этом случае они проецируются с одинаковым коэффициентом искажения (0,82) и под одинаковым углом друг к другу (120°).
В практике коэффициент искажения по осям обычно принимают равным единице, т. е. откладывают действительную величину размера. Изображение получается увеличенным в 1,22 раза, но это не приводит к искажениям формы и не сказывается на наглядности, а упрощает построения.
Аксонометрические оси в изометрии проводят, предварительно построив углы между осями х, у
и z
(120°) или углы наклона осей х
и у
к горизонтальной прямой (30°). Построение осей в изометрии с помощью циркуля показано на рис. 237, где радиус R
взят произвольно. На рис. 238 показан способ построения осей х
и у
с использованием тангенса угла 30°. От точки О
- точки пересечения аксонометрических осей откладывают влево или вправо по горизонтальной прямой пять одинаковых отрезков произвольной длины и, проведя через последнее деление вертикальную прямую, откладывают на ней вверх и вниз по три таких же отрезка. Построенные точки соединяют с точкой О
и получают оси Ох
и Оу.
Откладывать (строить) размеры и производить измерения в аксонометрии можно только по осям Ох, Оу
и Оz
или на прямых, параллельных этим осям.
На рис. 239 показано построение точки А в изометрии по ортогональному чертежу (рис. 239, а). Точка А расположена в плоскости V. Для построения достаточно построить вторичную проекцию а " точки А (рис. 239, б) на плоскости xOz по координатам Х А и Z A . Изображение точки А совпадает с ее вторичной проекцией. Вторичными проекциями точки называют изображения ее ортогональных проекций в аксонометрии.
На рис. 240 показано построение точки В в изометрии. Сначала строят вторичную проекцию точки В на плоскости хОу. Для этого от начала координат по оси Ох откладывают координату Х в (рис. 240, б), получают вторичную проекцию точки b х. Из этой точки параллельно оси Оу проводят прямую и на ней откладывают координату Y B .
Построенная точка b на аксонометрической плоскости будет вторичной проекцией точки В. Проведя из точки b прямую, параллельную оси Oz, откладывают координату Z B и получают точку В, т. е. аксонометрическое изображение точки В. Аксонометрию точки В можно построить и от вторичных проекций на плоскости zОх или zОу.
Прямоугольная диметрическая
проекция. Координатные оси располагают так, чтобы две оси Ох
и Оz
имели одинаковый угол наклона и проецировались с одинаковым коэффициентом искажения (0,94), а третья ось Оу
была бы наклонена так, чтобы коэффициент искажения при проецировании был в два раза меньше (0,47). Обычно коэффициент искажения по осям Ох
и Oz
принимают равным единице, а по оси Оу
- 0,5. Изображение получается увеличенным в 1,06 раза, но это так же, как и в изометрии, не сказывается на наглядности изображения, а упрощает построение. Расположение осей в прямоугольной диметрии показано на рис. 241. Строят их, откладывая углы 7° 10" и 41°25" от горизонтальной линии по транспортиру, или откладывая одинаковые отрезки произвольной длины, как показано на рис. 241. Полученные точки соединить с точкой О
. При построении прямоугольной диметрии необходимо помнить, что действительные размеры откладывают только на осях Ох
и Oz
или на параллельных им линиях. Размеры по оси Оу
и параллельно ей откладывают с коэффициентом искажения 0,5.
§ 27. КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Фронтальная изометрическая проекция. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 242. Угол наклона оси Оу к горизонтали обычно равен 45°, но может иметь значение 30 или 60°.
Горизонтальная изометрическая проекция. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 243. Угол наклона оси Оу к горизонтали обычно равен 30°, но может иметь значение 45 или 60°. При этом угол 90° между осями Ох и Оу должен сохраняться.
Фронтальную и горизонтальную косоугольные изометрические проекции строят без искажения по осям Ох, Оу и Oz.
Фронтальная диметрическая проекция. Расположение осей показано на рис. 244. Рис. 245 иллюстрирует проецирование осей координат на аксонометрическую плоскость проекций. Плоскость xOz параллельна плоскости Р. Допускается ось Оу проводить под углом 30 или 60° к горизонтали, коэффициент искажения по оси Ох и Oz принят равным 1, а по оси Оу - 0,5.
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В АКСОНОМЕТРИИ
Основанием ряда геометрических тел является плоская геометрическая фигура: многоугольник или окружность. Чтобы построить геометрическое тело в аксонометрии, надо уметь строить прежде всего его основание, т. е. плоскую геометрическую фигуру. Для примера рассмотрим построение плоских фигур в прямоугольной изометрической и диметрической проекции. Построение многоугольников в аксонометрии можно выполнять методом координат, когда каждую вершину многоугольника строят в аксонометрии как отдельную точку (построение точки методом координат рассмотрено в § 26), затем построенные точки соединяют отрезками прямых линий и получают ломаную замкнутую линию в виде многоугольника. Эту задачу можно решить иначе. В правильном многоугольнике построение начинают с оси симметрии, а в неправильном многоугольнике проводят дополнительную прямую, которая называется базой, параллельно одной из осей координат на ортогональном чертеже.
Для тoгo чтобы получить аксонометрическую проекцию предмета (рис. 106), необходимо мысленно: поместить предмет в систему координат; выбрать аксонометрическую плоскость проекций и расположить предмет перед ней; выбрать направление параллельных проецирующих лучей, которое не должно совпадать ни с одной из аксонометрических осей; направить проецирующие лучи через все точки предмета и координатные оси до пересечения с аксонометрической плоскостью проекций, получив тем самым изображение проецируемого предмета и координатных осей.
На аксонометрической плоскости проекций получают изображение - аксонометрическую проекцию предмета, а также проекции осей систем координат, которые называют аксонометрическими осями.
Аксонометрической проекцией называется изображение, полученное на аксонометрической плоскости в результате параллельного проецирования предмета вместе с системой координат, которое наглядно отображает его форму.
Система координат состоит из трех взаимно пересекающихся плоскостей, которые имеют фиксированную точку - начало координат (точку О) и три оси (X, У, Z), исходящие из нее и расположенные под прямым углом друг к другу. Система координат позволяет производить измерения по осям, определяя положение предметов в пространстве.
Рис. 106. Получение аксонометрической (прямоугольной изометрической) проекции
Можно получить множество аксонометрических проекций, по- разному располагая предмет перед плоскостью и выбирая при этом различное направление проецирующих лучей (рис. 107).
Наиболее употребляемой является так называемая прямоугольная изометрическая проекция (в дальнейшем будем использовать ее сокращенное название - изометрическая проекция). Изометрической проекцией (см. рис. 107, а) называется такая проекция, у которой коэффициенты искажения по всем трем осям равны, а углы между аксонометрическими осями составляют 120°. Изометрическая проекция получается с помощью параллельного проецирования.
Рис. 107. Аксонометрические проекции, установленные ГОСТ 2.317-69:
а - прямоугольная изометрическая проекция; б - прямоугольная диметрическая проекция;
в - косоугольная фронтальная изометрическая проекция;
г - косоугольная фронтальная диметрическая проекция
Рис. 107. Продолжение: д - косоугольная горизонтальная изометрическая проекция
При этом проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций, а координатные оси одинаково наклонены к аксонометрической плоскости проекций (cм. рис. 106). Если сравнить линейные размеры предмета и соответствующие им размеры аксонометрического изображения, то можно увидеть, что на изображении эти размеры меньше, чем действительные. Величины, показывающие отношение размеров проекций отрезков прямых к действительным их размерам, называют коэффициентами искажения. Коэффициенты искажения (К) по осям изометрической проекции одинаковы и равны 0,82, однако для удобства построения используют так называемые практические коэффициенты искажения, которые равны единице (рис. 108).
![](https://i1.wp.com/cherch.ru/images/stories/pic1/cherch0110.jpg)
Рис. 108. Положение осей и коэффициенты искажения изометрической проекции
Существуют изометрические, диметрические и триметрические проекции. К изометрическим проекциям относятся такие проекции, которые имеют одинаковые коэффициенты искажения по всем трем осям. Диметрическими проекциями называются такие проекции, у которых два коэффициента искажения по осям одинаковые, а величина третьего отличается от них. К триметрическим проекциям относятся проекции, у которых все коэффициенты искажения различны.
Разновидностью которых являются аксонометрические и, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), с направлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, и косоугольные , с углом между направлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам (см. ) аксонометрические проекции могут быть и ортогональными, и косоугольными . По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно. В результате, по западным стандартам изометрическая проекция определяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, под изометрической проекцией будет подразумеваться только прямоугольная изометрическая проекция .
Стандартные изометрические проекции
Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция
В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось Z" направлена вертикально. Коэффициенты искажения () имеют числовое значение . Как правило, для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в раза.
Косоугольная фронтальная изометрическая проекция
Ось Z" направлена вертикально, угол между осью X" и Z" равен 90°, ось Y" с углом наклона 135° (допускается 120° и 150°) от оси Z".
Фронтальная изометрическая проекция выполняется по осям X", Y" и Z" без искажения.
Кривые параллельные фронтальной плоскости проецируются без искажений.
Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция
Ось Z" направлена вертикально, между осью Z" и осью Y" угол наклона равен 120° (допускается 135° и 150°), при этом сохраняется угол между осями X" и Y" равным 90°.
Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям X", Y" и Z".
Ограничения аксонометрической проекции
Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике
Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1
Примечания
- По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
- Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
- Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
- Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
- Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
- GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
Аксонометрическими (Аксонометрия в переводе с греческого языка («ахоп» — ось; «metreo» — измеряю) означает осемерное изображение.)
проекциями называют изображения, полученные путем проектирования параллельными лучами фигуры (предмета) вместе с осями координат на произвольно расположенную плоскость, которую называют «аксонометрической»
(или картинной). Обычно плоскость (или предмет) располагают так, чтобы на аксонометрической проекции предмета были видны три стороны: верхняя (или нижняя), передняя и левая (или правая).
Основным достоинством аксонометрических проекций является наглядность и представление о величине изображенного предмета, поэтому их применяют в качестве иллюстрации к чертежу для облегчения понимания конструктивной формы предмета. На (фиг.270) показано получение аксонометрической проекции детали.
На аксонометрических проекциях приняты следующие обозначения: аксонометрическая плоскость обозначается П"
; аксонометрические оси координат - х", у", z"
; аксонометрические проекции точек A, В
и т.д. обозначаются А", В"
и т.д. Начало координат обозначается О"
.
2. Виды аксонометрических проекций.
В зависимости от направления проектирующих лучей аксонометрические проекции разделяются на: прямоугольные или ортогональные (проектирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости П"
) и косоугольные (проектирующие лучи наклонены к аксонометрической плоскости).
В зависимости от наклона осей координат к аксонометрической плоскости, а следовательно, от степени уменьшения размеров аксонометрических проекций отрезков, имеющих направление осей координат (Известно, что отрезок прямой, наклоненный к плоскости, проектируется на нее уменьшенным; чем больше будет угол наклона, тем меньших размеров будет проекция отрезка.)
, - все аксонометрические проекции делятся на три основных вида:
1)
изометрические
, т.е. одинакового измерения (оси z", х"
и у"
наклонены одинаково; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей одинаковое);
2)
диметрические
, т. е. двойного измерения (две оси координат имеют один и тот же наклон, а третья - другой; следовательно, уменьшение размеров по этим двум осям будет одно и то же, а по третьей оси - другое);
3)
триметрические
, т.е. тройного измерения (все оси имеют разный наклон; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей разное).
В машиностроительном черчении из прямоугольных аксонометрических проекций чаще всего применяют изометрическую и диметриче-скую, а из косоугольных - диметрическую, которую иначе называют фронтальной диметрической проекцией.
В изометрической проекции углы между аксонометрическими осями х"
, у"
и z"
одинаковы (по 120°); ось z"
расположена вертикально; следовательно, оси х"
и у"
наклонены к горизонтальной линии на угол 30° (фиг.271,а).
При таком положении осей показатели искажения для всех осей одинаковы и равны 0,82
.
Показателем искажения называют отношение размера аксонометрической проекции отрезка, имеющего направление какой-либо оси координат, к его действительному размеру. Например, при действительном размере 100 мм
и показателе искажения 0,82
размер аксонометрической проекции равен 100 × 0,82 = 82 мм
.
В диметрической проекции угол между аксонометрическими осями z"
и х"
равен 97°10"
, а углы между аксонометрическими осями х"
и у"
, а также z"
и у"
одинаковы, т.е. по 131°25"
. Аксонометрическая ось z"
имеет вертикальное положение, следовательно, ось х"
наклонена к горизонтальной линии на угол 7°10"
а ось у"
на угол 41° 25"
(фиг.271,б).
При таком наклоне аксонометрических осей показатель искажения для осей z"
и х"
равен 0,94,
а для оси у"
- 0,47
.
Во фронтальной диметрической проекции угол между аксонометрическими осями z"
и х"
равен 90°
, а углы между аксонометрическими осями х"
и у"
, а также между аксонометрическими осями z"
и y"
одинаковы, т. е. по 135°
. Ось z"
имеет вертикальное положение, следовательно, ось х"
будет иметь горизонтальное положение, а ось у"
наклонена к горизонтальной линии на угол 45°
(фиг.271,в).
Показатели искажения по аксонометрическим осям х"
и z"
равны 1,0
а по оси у"
- 0,5
.
Такую фронтальную диметрическую проекцию называют кабинетной; ее рекомендуется применять тогда, когда хотят показать без изменения очертания фигур, расположенных в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций.
Для сравнения изображений, выполненных в аксонометрических проекциях, на (фиг.272) показаны различные аксонометрические проекции одного и того же куба.
Для упрощения вычисления показателей искажения ГОСТ 3453-59 рекомендует строить изометрическую проекцию без сокращения по аксонометрическим осям x" , у" и z" , а диметрическую проекцию без сокращения по аксонометрическим осям х" и y" , и с сокращением 0,5 по аксонометрической оси у" . В этом случае изображение получается несколько увеличенным, но наглядность его не ухудшается.