Словарь uzbek русский online. Не только узбекский язык
Составила учитель математики
МБОУ СШ №18 г. Красноярск
Андреева Инга Викторовна
Взаимное расположение прямой и окружности
О R – радиус
С D – диаметр
AB - хорда
- Окружность с центром в точке О радиуса r
- Прямая, которая не проходит через центр О
- Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s
Возможны три случая:
- 1) s
- меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки .
Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.
Возможны три случая:
- 2 ) s = r
- Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
s = r
r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. sr r O" width="640"
Возможны три случая:
- 3 ) sr
- Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Касательная к окружности
Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
s = r
- прямая – секущая
- прямая – секущая
- общих точек нет
- прямая – секущая
- прямая - касательная
- r = 15 см, s = 11 см
- r = 6 см, s = 5 ,2 см
- r = 3,2 м, s = 4 ,7 м
- r = 7 см, s = 0,5 дм
- r = 4 см, s = 4 0 мм
Решите № 633.
- OABC- квадрат
- AB = 6 см
- Окружность с центром O радиуса 5 см
секущие из прямых OA , AB , BC , АС
Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
m – касательная к окружности с центром О
М – точка касания
OM - радиус
Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной.
окружность с центром О
радиуса OM
m – прямая, которая проходит через точку М
m – касательная
Свойство касательных, проходящих через одну точку:
Отрезки касательных к
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
составляют равные углы
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
▼ По свойству касательной
∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные
∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету:
ОА – общая,
Пусть на плоскости даны окружность и некоторая прямая. Опустим на эту прямую перпендикуляр из центра окружности С; обозначим через основание этого перпендикуляра. Точка может занимать относительно окружности три возможных положения: а) лежать вне окружности, б) на окружности, в) внутри окружности. В зависимости от этого и прямая будет занимать относительно окружности одно из трех возможных различных положений, описываемых ниже.
а) Пусть основание перпендикуляра опущенного из центра С окружности на прямую а, лежит вне окружности (рис. 197). Тогда прямая не пересекает окружности, все ее точки лежат во внешней области. Действительно, в указанном случае по условию удалена от центра на расстояние, большее радиуса). Тем более для любой точки М прямой а имеем т. е. каждая точка данной прямой лежит вне круга.
б) Пусть основание перпендикуляра попадет на окружность (рис. 198). Тогда прямая а имеет с окружностью ровно одну общую точку . Действительно, если М - любая другая точка прямой, то (наклонные длиннее перпендикуляра) и точка М лежит во внешней области. Такая прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности в этой точке. Покажем, что и обратно, если прямая имеет с окружностью единственную общую точку, то радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен к данной прямой. Действительно, опустим из центра перпендикуляр на данную прямую. Если бы его основание лежало внутри окружности, то прямая имела бы с ней, как показано в в), две общие точки. Если бы оно лежало вне окружности, то в силу а) прямая не имела бы с окружностью общих точек.
Поэтому остается допустить, что перпендикуляр попадает в общую точку прямой и окружности - в точку их касания. Доказана важная
Теорема. Прямая, проходящая через точку окружности, тогда и только тогда касается окружности, когда она перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.
Заметим, что определение касательной к окружности, данное здесь, не переносится на другие кривые. Более общее определение касательной прямой к кривой линии связано с понятиями теории пределов и рассматривается подробно в курсе высшей математики. Здесь мы дадим о нем только общее понятие. Пусть даны окружность и на ней точка А (рис. 199).
Возьмем еще точку А на окружности и соединим обе точки прямой АА. Пусть точка А двигаясь по окружности, занимаетпоследовательно ряд новых положений приближаясь все больше к точке А. Прямая АА, вращаясь вокруг А, принимает ряд положений: при этом по мере сближения движущейся точки с точкой А прямая стремится к совпадению с касательной АТ. Поэтому можно говорить о касательной как о предельном положении секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно с ней сближающуюся. В такой форме определение касательной применимо к кривым весьма общего вида (рис. 200).
в) Пусть, наконец, точка лежит внутри окружности (рис. 201). Тогда . Будем рассматривать наклонные, проведенные к прямой а из центра С окружности, с основаниями удаляющимися от точки в любом из двух возможных направлений. Длина наклонной будет монотонно возрастать по мере удаления ее основания от точки это возрастание длины наклонной происходит постепенно («непрерывно») от значений, близких к до значений, сколь угодно больших, поэтому кажется ясным, что при некотором положении оснований наклонных длина их будет точно равна соответствующие точки К и L прямой будут лежать на окружности.
Дидактическая цель: формирование новых знаний.
Цели урока.
Обучающие:
- сформировать математические понятия: касательная к окружности, взаимное расположение прямой и окружности, добиться понимания и воспроизведения учащимися данных понятий через выполнение практической работы исследовательского характера.
Здоровьесберегающие:
- создание благоприятного психологического климата на уроке;
Развивающие:
- развивать у учащихся познавательный интерес, умение объяснять, обобщать полученные результаты, сравнивать, сопоставлять, делать выводы.
Воспитательные:
- воспитание средствами математики культуры личности.
Формы обучения:
- по содержанию – беседа, практическая работа;
- по организации деятельности – индивидуальная, фронтальная.
План урока
| Блоки | Этапы урока |
| 1 блок | Организационный момент. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. |
| 2 блок | Постановка цели. |
| 3 блок | Ознакомление с новым материалом. Практическая работа исследовательского характера. |
| 4 блок | Закрепление нового материала через решение задач |
| 5 блок | Рефлексия. Выполнение работы по готовому чертежу. |
| 6 блок | Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания. |
Оборудование:
- компьютер, экран, проектор;
- раздаточный материал.
Образовательные ресурсы:
1. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; / Г.В.Дорофеев, М., Просвещение, 2009 г.
2. Маркова В.И. Особенности преподавания геометрии в условиях реализации государственного образовательного стандарта: методические рекомендации, Киров, 2010 г.
3. Атанасян Л.С. Учебник “Геометрия 7-9”.
Ход урока
| 1. Организационный момент. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. |
Приветствие учеников. Сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность” |
Записывают в тетради число и
тему урока. Отвечают на вопрос учителя. |
| 2. Постановка цели урока | Обобщает цели, сформулированные учащимися, ставит цели урока | Формулируют цели урока. |
| 3. Ознакомление с новым материалом. | Организует беседу, на моделях
просит показать, как могут располагаться
окружность и прямая. Организует практическую работу. Организует работу с учебником. |
Отвечают на вопросы учителя. Выполняют практическую работу, делают вывод. Работают с учебником, находят вывод и сравнивают со своим. |
| 4. Первичное осмысление, закрепление через решение задач. | Организует работу по готовым
чертежам. Работа с учебником: с. 103 № 498, №499. Решение задач |
Устно решают задачи и
комментируют решение. Выполняют решение задач, комментируют. |
| 5. Рефлексия. Выполнение работы по готовому чертежу | Инструктирует выполнение работы. | Самостоятельно выполняют задание. Самопроверка. Подводят итоги. |
| 6. Подведение итогов. Постановка домашнего задания | Учащимся предлагается проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний. | Подводят итоги. Учащиеся обращаются к целям, которые были поставлены, анализируют результаты: что нового узнали, чему научились на уроке |
1. Организационный момент. Актуализация знаний.
Учитель сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”.
Чему равен диаметр окружности, если радиус равен 2,4 см?
Чему равен радиус, если диаметр равен 6,8 см?
2. Целеполагание.
Учащиеся ставят свои цели на урок, учитель обобщает их и ставит цели урока.
Составляется программа деятельности на уроке.
3. Ознакомление с новым материалом.
1) Работа с моделями: “Покажите на моделях, как могут располагаться прямая и окружность на плоскости”.
Сколько они имеют общих точек?
2) Выполнение практической работы исследовательского характера.
Цель. Установить свойство взаимного расположения прямой и окружности.
Оборудование: окружность, нарисованная на листе бумаги и палочка в качестве прямой, линейка.
- На рисунке (на листе бумаги) установить взаимное расположение окружности и прямой.
- Измерьте радиус окружности R и расстояние от центра окружности до прямой d.
- Результаты исследования запишите в таблицу.
| Рисунок | Взаимное расположение | Число общих точек | Радиус окружности R | Расстояние от центра окружности до прямой d | Сравните R и d |
4. Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности в зависимости от соотношения R и d.
Вывод: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, прямая касается окружности и имеет одну общую т очку с окружностью. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, окружность и прямая не имеют общих точек. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность и имеет с ней две общих точки.
5. Первичное осмысление, закрепление через решение задач.
1) Задания учебника: №498, № 499.
2) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:
- 1. R=16cм, d=12см
- 2. R=5см, d=4,2см
- 3. R=7,2дм, d=3,7дм
- 4. R=8 см, d=1,2дм
- 5. R=5 см, d=50мм
а) прямая и окружность не имеют общих точек;
б) прямая является касательной к окружности;
в) прямая пересекает окружность.
- d-расстояние от центра окружности до прямой, R- радиус окружности.
3) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 10,3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 4,15 см; 2 дм; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.
4) Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.
6. Рефлексия
Чему научились на уроке?
Какую закономерность установили?
Выполнить на карточках следующее задание:
Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью.
Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.
Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.
Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие точки.
7. Подведение итогов. Постановка домашнего задания:
1) проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний;
2) учебник: № 500;
3) заполнить таблицу (на карточках).
| Радиус окружности | 4 см | 6,2 см | 3,5 см | 1,8 см | ||
| Расстояние от центра окружности до прямой | 7 см | 5,12 см | 3,5 см | 9,3 см | 8,25 м | |
| Вывод о взаимном расположении окружности и прямой | Прямая пересекает окружность |
Прямая касается окружности |
Прямая не пересекает окружность |