Дата: ________________

Предмет: алгебра

Тема: «Графический способ решения систем уравнений».

Цели: Использовать графики для решения систем уравнений.

Задачи:

Образовательная: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

Развивающая: развитие исследовательских способностей учащихся, самоконтроля, речи.

Воспитывающая: воспитание культуры общения, аккуратности.

Тип урока: комбинированный

Формы: Фронтальный опрос, работа в парах.

Ход урока:

Организационный этап. Сообщение темы урока, постановка целей урока. (в тетради записать число, тему)

Повторение и закрепление пройденного материала:

1. Проверка домашнего задания (разбор нерешенных задач);

   Контроль усвоения материала:

Вариант №1	Вариант №2
Постройте график функции: (ху-1)(х+1)=0 (х-2) 2 +(у+1) 2 =4	Постройте график функции: (ху+1)(у-1)=0 (х-1) 2 +(у+2) 2 =4

Актуализация опорных знаний:

Определение линейного уравнения с двумя переменными.

Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Сколько точек определяет прямую?

Что значит решить систему уравнений?

Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными?

Когда две прямые на плоскости пересекаются?

Когда две прямые на плоскости параллельны?

Когда две прямые на плоскости совпадают?

Изучение нового материала:

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными . Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство . Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений графический способ.

Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными.

Выразить переменную у через х.

«Взять» точки, определяющие график.

Построить график уравнения

Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

Построить графики каждого из уравнений системы.

Найти координаты точки пересечения.

Записать ответ.

Пример 1

Решим систему уравнений:

Построим в одной системе координат графики первого х 2 + у 2 = 25
(окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно что
графики уравнений пересекаются в четырех точках А (3; 4), В (4; 3)
С(-3;-4) и Д(-4; 3), координаты которых являются решениями
одной системы.

Т
ак как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой.

Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Задание на уроке: №415 (б); № 416; № 419 (б); № 420 (б); № 421 (а, б); № 422 (а); №424(б); №426 стр. 115-117.

Подвести итоги (оценки).

Рефлексия.

Повторим алгоритм решения систем уравнений графическим способом.

Сколько решений может иметь система уравнений?

Кто научился решать системы л уравнений графическим способом?

Кто не научился?

Кто ещё сомневается?

Поднимите руки, кому урок понравился? Кому нет? Кто равнодушен?

Домашнее задание: §18 стр. 114-115 выучить правила.

§17 стр.108-110 повторить правила.

Рассмотрим следующие уравнения:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными .

График уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x 2 + y 2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.

У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.

Графический способ решения систем уравнения

Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{ x 2 + y 2 = 25

{y = -x 2 + 2*x + 5.

Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.

Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.

Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое - точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Обобщить графический способ решения систем уравнений;
• Сформировать умения графически решать системы уравнений второй степени, привлекая известные учащимся графики;
• Дать наглядные представления, что система двух уравнений с двумя переменными второй степени может иметь от одного до четырех решений, или не иметь решений.

Структура урока:

1. Орг. момент
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Объяснение нового материала.
4. Закрепление изученного материала. Работа в табличном процессоре Excel с последующей проверкой..
5. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент

Объявляется тема, цель, ход урока.

2. Актуализация знаний.

1) Повторить элементарные функции и их графики.

Учитель математики задает вопрос об изученных ранее элементарных функциях и их графиках и через проектор обобщает ответы учащихся.

2) Устная работа.

Учитель проводит устную работу с использованием проектора с целью подготовки учащихся к восприятию новой темы.

3. Объяснение нового материала.

1) Объяснение нового материала через проектор и разбор решения стандартной математической задачи.

2) Учитель информатики и ИКТ через проектор напоминает учащимся алгоритм решения системы уравнений графическим способом в табличном процессоре Excel.

4. Закрепление изученного материала. Работа в табличном процессоре Excel с последующей проверкой.

1) Учитель предлагает учащимся пересесть за компьютеры и выполнить задания в табличном процессоре Excel.

2) Решение каждой системы уравнений проверяется через проектор.

5. Домашнее задание.

Список используемой литературы:

1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений «Алгебра», авторы Ю.Н. Макарычев Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, «Просвещение», ОАО «Московские учебники», Москва, 2008 г.
2. Поурочное планирование по алгебре к учебнику Ю.Н.Макарычева и др. «Алгебра. 9 класс», «Экзамен», Москва, 2008 г.
3. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы к учебнику Ю.Н.Макарычева и др., автор-составитель С.П.Ковалева, Волгоград, 2007 г.
4. Тетрадь-конспект по алгебре, авторы Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф., ИЛЕКСА, Москва, 2006 г.
5. Учебник Информатика. Базовый курс. 9 класс, автор Угринович Н.Д., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 г.
6. Современные открытые уроки информатики 8-11 классы, авторы В.А. Молодцов, Н.Б. Рыжикова, Феникс, 2006 г.