ТЕМА 10.3. ПАРАЛЛЕЛИПИПЕД И ЕГО СВОЙСТВА.

Определение параллелепипеда. Свойства параллелепипеда с доказательствами. Куб.

Параллелепи́пед - призма , основанием которой служит параллелограмм .

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники;
• Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани - прямоугольники;
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными , а имеющие общее ребро - смежными . Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок , соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями .

Свойства

1. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
2. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
3. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности S п =S б +2S о, где S о - площадь основания

Объём V=S о *h

] Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

На рисунке 12, а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 12, б) - прямой параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Доказательство: Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например и (рис. 13). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая параллельна прямой , а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

72. Теорема. В параллелепипеде:

1) противоположные грани равны и параллельны;

2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

1) Грани (черт. 80) ВВ 1 С 1 С и AA 1 D 1 D параллельны, потому что две пересекающиеся прямые ВВ 1 и В 1 С 1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА 1 и A 1 D 1 другой (§ 15); эти грани и равны, так как В 1 С 1 = A 1 D 1 , В 1 В= А 1 А (как противоположные стороны параллелограммов) и / ВВ 1 С 1 = / АA 1 D 1 .

2) Возьмём (черт. 81) какие-нибудь две диагонали, например АС 1 и ВD 1 , и проведём вспомогательные прямые АD 1 и ВС 1 .

Так как рёбра АВ и D 1 С 1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD 1 С 1 В есть параллелограмм, в котором прямые С 1 А и ВD 1 -диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС 1 , с третьей диагональю, положим, с В 1 D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B 1 D и АС 1 и диагонали АС 1 и BD 1 (которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС 1 . Наконец, взяв эту же диагональ АС 1 с четвёртой диагональю А 1 С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС 1 . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

73. Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали (АС 1 , черт. 82) равен сумме квадратов трёх его измерений .

Проведя диагональ основания АС, получим треугольники АС 1 С и АСВ. Оба они прямоугольные: первый потому, что параллелепипед прямой и, следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямоугольный и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из этих треугольников находим:

АС 1 2 = АС 2 + СС 1 2 и АС 2 = АВ 2 + ВС 2

Следовательно,

AC 1 2 = АВ 2 + ВС 2 + СС 1 2 = АВ 2 + AD 2 + АА 1 2 .

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

• прямой;
• наклонный;
• прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано : прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение : Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

параллелепипед, параллелепипед фото
Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον от др.-греч. παρ-άλληλος - «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον - «плоскость») - призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм .

• 1 Типы параллелепипеда
• 2 Основные элементы
• 3 Свойства
• 4 Основные формулы
  • 4.1 Прямой параллелепипед
  • 4.2 Прямоугольный параллелепипед
  • 4.3 Куб
  • 4.4 Произвольный параллелепипед
• 5 математическом анализе
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Типы параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=Ро*h, где Ро - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо - площадь основания

Объём V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Основная статья: Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности:
Объём: , где - ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения:215.

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Примечания

1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «παραλληλ-επίπεδον»
2. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1985. - 232 с.

Ссылки

В Викисловаре есть статья «параллелепипед»

• Прямоугольный параллелепипед
• Параллелепипед, учебный фильм

Многогранники
Правильные (Платоновы тела)
Правильные невыпуклые	Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Усечённый куб Усечённый додекаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбоусечённый кубооктаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр Усечённый кубооктаэдр Усечённый икосододекаэдр Правильная призма Антипризма Каталановы тела Ромбододекаэдр Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Пентакисдодекаэдр Триакисоктаэдр Триакисикосаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Пентагональный икоситетраэдр Пентагональный гексеконтаэдр Дисдакисдодекаэдр Дисдакистриаконтаэдр Без полной пространственной симметрии Пирамида Призма Бипирамида Антипризма Зоноэдр Ромбоэдр Призматоид Тетраэдр Усечённая пирамида Пентагондодекаэдр Параллелоэдр
Формулы, теоремы, теории	Теорема Александрова о выпуклых многогранниках Теорема Бликера Теорема Коши о многогранниках Теорема Линделёфа о многограннике Теорема Минковского о многогранниках Теорема Сабитова Теорема Эйлера для многогранников Формула Шлефли
Прочее	Ортоцентрический тетраэдр Равногранный тетраэдр Прямоугольный параллелепипед Группа многогранника Двенадцатигранники Телесный угол Единичный куб Изгибаемый многогранник Развёртка Символ Шлефли Многогранник Джонсона Многомерные (N-мерный тетраэдр Тессеракт Пентеракт Хексеракт Хептеракт Октеракт Энтенеракт Декеракт Гиперкуб) Паркет

параллелепипед, параллелепипед дэлгэмэл, параллелепипед зураг, параллелепипед и параллелограмм, параллелепипед из картона, параллелепипед картинки, параллелепипед обьем, параллелепипед определение, параллелепипед формулы, параллелепипед фото

Параллелепипед Информацию О

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 , которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 или АD 1 (рис. 1.).

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 10, 11, 12 стр. 50

2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:

а) А, С, В1

б) В1, D1 и середину ребра АА1.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?