Когда мы говорим о размерности величины, мы имеем в виду основные единицы или основные величины, с помощью которых можно построить данную величину.
 Размерность площади, например, всегда равна квадрату длины (сокращенно ; квадратные скобки здесь и далее обозначают размерность); единицами измерения площади могут быть квадратный метр, квадратный сантиметр, квадратный фут и т.п.
 Скорость же может измеряться в единицах км/ч, м/с и миль/ч, но размерность ее всегда равна размерности длины [L] , деленной на размерность времени [Т] , т. е. мы имеем . Формулы, описывающие величину, в разных случаях могут быть различны, но размерность сохраняется той же самой. Например, площадь треугольника с основанием b и высотой h равна S = (1/2)bh , а площадь круга радиусом r равна S = πr 2 . Эти формулы отличаются друг от друга, но размерности в обоих случаях совпадают и равны .
 При определении размерности величины обычно пользуются размерностями основных, а не производных величин. Например, сила, как мы увидим ниже, имеет размерность массы [М] , умноженной на ускорение т.е. ее размерность равна .
 Правило подбора размерностей может помочь при выводе различных соотношений; такая процедура называется анализом размерностей. Один из полезных методов − это применение анализа размерностей для проверки правильности того или иного соотношения. В этом случае используются два простых правила. Во-первых, складывать или вычитать можно величины только одинаковой размерности (нельзя складывать сантиметры и граммы); во-вторых, величины, стоящие в обеих частях любого равенства, должны иметь одинаковые размерности.
 Пусть, например, получено выражение v = v o + (1/2)at 2 , где v − скорость тела по прошествии времени t , v o − начальная скорость тела, а − испытываемое им ускорение. Для проверки правильности этой формулы произведем анализ размерностей. Запишем равенство для размерности, учитывая, что скорость имеет размерность , а ускорение - размерность :

В этой формуле с размерностью не все в порядке; в правой части равенства стоит сумма величин, размерности которых не совпадают. Отсюда можно сделать вывод о том, что при выводе исходного выражения была допущена ошибка.
 Совпадение размерности в обеих частях еще не доказывает правильности выражения в целом. Например, может быть неверным безразмерный числовой множитель вида 1/2 или 2π . Поэтому проверка размерности может указать только на ошибочность выражения, но не может служить доказательством его правильности.
 Анализ размерностей можно также использовать как быструю проверку правильности соотношения, в котором вы не уверены. Предположим, вы не можете вспомнить выражение для периода Т (времени, необходимого для совершения полного колебания) простого математического маятника длиной l : то ли эта формула выглядит как

то ли

где g − ускорение свободного падения, размерность которого, как и у любого ускорения, равна .
 Нас будет только интересовать, входят ли в нее величины l и g в виде отношения l/g или g/l .) Анализ размерностей показывает, что верна первая формула:

в то время как вторая ошибочна, поскольку

 Обратите внимание на то, что постоянный множитель 2π является безразмерным и не входит в окончательный результат.
 Наконец, важное применение анализа размерностей (которое, впрочем, требует большой осторожности) − это нахождение вида искомого соотношения. Такая необходимость может возникнуть, если требуется определить лишь то, как одна величина зависит от других.
 Рассмотрим конкретный пример получения формулы для периода Т колебаний математического маятника. Сначала определим, от каких величин может зависеть Т . Период может зависеть от длины нити l , масса на конце маятника m , угла отклонения маятника α и ускорение свободного падения g . Он может также зависеть от сопротивления воздуха (мы будем использовать здесь вязкость воздуха), силы гравитационного притяжения Луны и т.д. Однако повседневный опыт указывает на то, что сила притяжения к Земле значительно превышает все остальные силы, которыми поэтому мы пренебрежем. Предположим, что период Т является функцией величин l , m , α и g , причем каждая из этих величин возведена в некоторую степень:

здесь С − безразмерная постоянная; α , β , и δ − показатели степени, которые нужно определить.
Запишем формулу размерности для этого соотношения:

После некоторых упрощений мы получаем

 В силу того что семь основных величин системы СИ (Система Интернациональная) − международная система единиц, вариант метрической системы используемый с 1960 г., когда на XI Генеральной конференции по мерам и весам был принят стандарт, который впервые получил название «Международная система единиц (СИ)». СИ является наиболее широко используемой системой единиц в мире, как в повседневной жизни, так и в науке и технике
Основные единицы СИ, названия единиц СИ пишутся со строчной буквы, после обозначений единиц СИ точка не ставится.

 Задача 3 . Определите энергию взаимодействия двух точечных масс m 1 и m 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.

 Задача 4 . Определите силу взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.

 Задача 5 . Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом r o и плотностью ρ на расстоянии R (R > r o ) от оси цилиндра.

 Задача 6 . Оценить дальность полета и высоту тела, брошенного под углом α к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 Вывод:
 1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.
 2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.
 3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.
 4. Анализ размерностей при решении задачи широко используется в научных исследованиях.
 5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

Читайте еще статьи из

Метрология

Промежуточный отдел

Хвостик

Плазмолемма

Митохондрии

Аксонема жгутика

Дистальная центриоль, формирующая аксонему жгутика

Проксимальная центриоль

Связующий отдел

Ядро

Разме́рность физической величины - выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записывается в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены.

Говоря о размерности, следует различать понятия система физических величин и система единиц. Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин.

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными.

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита, далее размерности производных величин обозначаются с использованием этих символов.

Основная величина Символ для размерности

Электрический ток I

Термодинамическая температура Θ

Количество вещества N

Сила света J

В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные (положительные или отрицательные, целые или дробные) степени. Показатели степеней в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют размерной, если все показатели размерности равны нулю - безразмерной.

Размер физической величины - значения чисел, фигурирующих в значении физической величины.

Например, автомобиль может быть охарактеризован с помощью такой физической величины, как масса. При этом, значением этой физической величины будет, например, 1 тонна, а размером - число 1, или же значением будет 1000 килограмм, а размером - число 1000. Этот же автомобиль может быть охарактеризован с помощью другой физической величины - скорости. При этом, значением этой физической величины будет, например, вектор определённого направления 100 км/ч, а размером - число 100

Размерность физической величины - единица измерения, фигурирующая в значении физической величины. Как правило, у физической величины много различных размерностей: например, у длины - метр, миля, дюйм, парсек, световой год и т. д. Часть таких единиц измерения (без учёта своих десятичных множителей) могут входить в различные системы физических единиц - СИ, СГС и др.

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик , уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин .

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными .

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. В различных системах физических величин используются следующие обозначения размерностей :

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин . Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT . На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС , МКС и МТС . На основе системы LFT , в которой основными величинами являются длина, сила и время, создана система единиц МКГСС .

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Так, например, размерность силы в системе LMT , как указано выше, выражается равенством dim F =LMT -2 , а в системе LFT выполняется dim F =F . Кроме того, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу - безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия , постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха , Рейнольдса , Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Проверка размерности

В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды . Из этого правила, в частности, следует, что левые и правые части уравнений должны иметь одинаковую размерность.

Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций должны быть безразмерными величинами.

Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что в вычислениях была допущена ошибка.

Анализ размерности

Анализ размерности - метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы. Иногда анализ размерности можно использовать для получения готовых формул (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность.

При анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не даёт стопроцентной гарантии верности формулы.

Размерность физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные.

Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р.

Так, например, Р. скорости LT -1 , где Т представляет собой Р. времени, а L - Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами

Размерность измеряемой величины является качественной ее характеристикой и обозначается символом dim, происходящим от слова dimension.

Размерностьосновных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами. Например, для длины, массы и времени dim l = L; dim m = M; dim t = T.

При определении размерностипроизводных величин руководствуются следующими правилами

1. Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя левые и правые части уравнений, можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2. Алгебра размерностей мультипликативная, т. е. состоит из одного единственного действия - умножения.

2.1. Размерность произведения нескольких величин равна произведе­нию их размерностей. Так, если зависимость между значениями величин Q, А,В, С имеет вид Q = А × В × С, то

dim Q = dim A × dim B × dim C.

2.2. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, т. е. если Q = А/В, то

dim Q = dim A/dim B.

2.3. Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени. Так, если Q = А n , то

dim Q = dim n А,

Например, если скорость определять по формуле V = l / t, то dim V = dim l/dim t = L/Т = LТ -1 . Если сила по второму закону Ньютона F = m×а, где а = V/ t - ускорение тела, то dim F = dim m × dim а = МL/Т 2 = MТ -2 .

Таким образом, всегда можно выразить размерность производной физической величины через размерности основных физических величин с помощью степенного одночлена:

dim Q = L a M b T g …,

где L, М, Т, . . . - размерности соответствующих основных физических величин; a, b, g, … - показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем. Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Она может быть относительной, определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость), и логарифмической, определяемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений). В гуманитарных науках, искусстве, спорте, квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения.