В этой задаче нам нужно разобраться с понятие равенства фигур.

Геометрическая фигура

Разберемся с понятием геометрическая фигура. Для этого введем определение.

Определение: Геометрическая фигура - это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.

Равные фигуры

• Геометрические фигуры будут называться если они имеют одинаковую форму, размеры, их площади и периметры равны;
• Например длина квадрата 4 см. Площадь квадрата можно найти по следующей формуле: S = a^2 = 16 см^2. Ширина прямоугольника 2 см, а его длина 8 см. Площадь прямоугольника можно найти по следующей формуле: S = a * b = 2 * 8 = 16 см^2. Площади двух фигур равны. Но сами фигуры равны не будут, потому что у них разная форма;
• Если взять два круга, очевидно, что их формы равны. Но если у них разные радиусы, но фигуры не будут является равными;
• Равными фигурами будут называться два квадрата с равной стороной, два круга с одинаковым радиусом.

Фигуры называют равными, если совпадает их форма и размеры. Из этого определения следует, например, что если заданные прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то они всё-равно не становятся равными фигурами, так как это разные фигуры по форме. Или, два круга однозначно имеют одну и туже форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры. Равными фигурами являются, например, два отрезка одинаковой длины, два круга с одинаковым радиусом, два прямоугольника с попарно равными сторонами (короткая сторона одного прямоугольника равна короткой стороне другого, длинная сторона одного прямоугольника равна длинной стороне другого).

На глаз бывает трудно определить, равны ли фигуры, имеющие одинаковую форму. Поэтому для определения равенства простых фигур их измеряют (с помощью линейки, циркуля). У отрезков длину, у кругов радиус, у прямоугольников длину и ширину, у квадратов только одну любую сторону. Тут следует отметить, что не все фигуры можно сравнивать. Нельзя, например, определить равенство прямых, т. к. любая прямая бесконечна и, следовательно, все прямые, можно сказать, равны между собой. То же самое касается лучей. Хотя у них есть начало, но нет конца.

Если же мы имеем дело со сложными (произвольными) фигурами, то бывает даже сложно определить, имеют ли они одинаковую форму. Ведь фигуры могут быть перевернуты в пространстве. Посмотрите на рисунок ниже. Трудно сказать, одинаковые ли это по форме фигуры или нет.

Таким образом, нужно иметь надежный принцип сравнения фигур. Он таков: равные фигуры при наложении друг на друга совпадают .

Чтобы сравнить две изображенные фигуры наложением, на одну из них накладывают кальку (прозрачную бумагу) и копируют (срисовывают) на нее форму фигуры. Копию на кальке пытаются наложить на вторую фигуру так, чтобы фигуры совпали. Если это удастся, то заданные фигуры равные. Если нет, то фигуры не равные. При наложении кальку можно поворачивать как угодно, а также переворачивать.

Если можно вырезать сами фигуры (или они представляют собой отдельные плоские объекты, а не нарисованы) то калька не нужна.

При изучении геометрических фигур можно заметить множество их особенностей, связанных с равенством их частей. Так, если сложить круг вдоль диаметра, то две его половинки окажутся равными (они совпадут наложением). Если разрезать прямоугольник по диагонали, то получится два прямоугольных треугольника. Если один из них повернуть на 180 градусов по часовой или против часовой стрелки, то он совпадет со вторым. То есть диагональ разбивает прямоугольник на две равные части.

«Цилиндром называется тело» - Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Цилиндр, осевое сечение, которого-квадрат называется равносторонним. Проект «Математика в профессии «Повар, кондитер». Задача № 3. Цилиндры. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Высота цилиндра 8 м, радиус основания 5 м. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат.

«Площади фигур геометрия» - Равные фигуры имеют равные площади. в). чему будет равна площадь фигуры составленной из фигур А и Г. Фигуры разбиты на квадраты со стороной 1см. Равные фигуры б). Площадь параллелограмма. Фигуры имеющие равные площади называются равновеликими. Площади различных фигур. Единицы измерения площадей. Площадь треугольника.

«Площади фигур» - Площадь треугольника. Площадь плоской фигуры – неотрицательное число. Пусть S – площадь треугольника АВС. Решение: Теорема: Площадь параллелограмма. Решение. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Задача. Разрезания и складывания. Равные многоугольники имеют равные площади. Четвертое свойство: Теорема доказана.

«Построение геометрических фигур» - Методы изображения и построения пространственных фигур на плоскости. Построения на проекционном чертеже. П4: Построить (найти) точку пересечения данных прямой и окружности. Требования – искомая фигура (совокупность фигур) с указанными свойствами. Алгебраический метод. Этапы решения задач на построение.

«Геометрическая прогрессия» - 1073741823 > 3000000, значит купец проиграл! Геометрическая прогрессия. Бесконечная сумма оказалась равна вполне конечной величине – высоте треугольника. Свойство геометрической прогрессии: Решение задачи: b1 = 1, q =2, n =30. Bn = b1· qn – 1 – формула n-го члена прогрессии. Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

«Подобие фигур» - Растения. Геометрия. Подобие нас окружает. Игрушки. Подобие в нашей жизни. Вот некоторые примеры из нашей жизни. Если изменить (увеличить или уменьшить) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными. Использовались материалы Интернета.

Плоские фигуры с одинаковыми площадями или геометрические тела с одинаковыми объемами … Большой Энциклопедический словарь

Плоские фигуры с одинаковыми площадями или геометрического тела с одинаковыми объёмами. * * * РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ, плоские фигуры с одинаковыми площадями или геометрические тела с одинаковыми объемами … Энциклопедический словарь

Плоские фигуры с одинаковыми площадями или геом. тела с одинаковыми объёмами … Естествознание. Энциклопедический словарь

Равновеликие фигуры плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма); равносоставленные фигуры фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей. Обычно понятие… … Большая советская энциклопедия

Две фигуры в R2, имеющие равные площади и соответственно два многоугольника M1 и М 2 такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющие М 1, соответственно конгруэнтны частям, составляющим М 2. Для, равновеликость… … Математическая энциклопедия

РАВНОВЕЛИКИЙ, ая, ое; ик. 1. Равный по силе, возможностям, значению (книжн.). Равновеликие явления. 2. равновеликие фигуры (тела) в математике: фигуры (тела), равные по площади или объёму. | сущ. равновеликость, и, жен. Толковый словарь Ожегова.… … Толковый словарь Ожегова

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Одним из основных понятий в геометрии является фигура. Под этим термином подразумевается множество точек на плоскости, ограниченное конечным числом линий. Некоторые фигуры могут рассматриваться как равные, что тесно связано с понятием движения. Геометрические фигуры могут рассматриваться не изолированно, а в том или ином соотношении друг с другом – их взаимное расположение, соприкосновение и прилегание, положение «между», «внутри», соотношение, выраженное в понятиях «больше», «меньше», «равно».

Геометрия изучает инвариантные свойства фигур, т.е. те, которые остаются неизменными при тех или иных геометрических преобразованиях. Такое преобразование пространства, при котором остается неизменным расстояние между точками, составляющими ту или иную фигуру, называется движением.

Движение может выступать в разных вариантах: параллельный перенос, тождественное преобразование, поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой или плоскости, центральная, поворотная, переносная симметрия.

Движение и равные фигуры

Если возможно такое движение, которое приведет к совмещению одной фигуры с другой, такие фигуры называют равными (конгруэнтными). Две фигуры, равные третьей, равны и между собою – такое утверждение было сформулировано еще Евклидом, основоположником геометрии.

Понятие конгруэнтных фигур может быть объяснено и более простым языком: равными называются такие фигуры, которые полностью совпадут при наложении их друг на друга.

Это достаточно легко определить, если фигуры даны в виде неких предметов, которыми можно манипулировать – например, вырезаны из бумаги, поэтому в школе на уроках нередко прибегают к такому способу объяснения данного понятия. Но две фигуры, начерченные на плоскости, нельзя физически наложить друг на друга. В данном случае доказательством равенства фигур выступает доказательство равенства всех элементов, составляющих эти фигуры: длина отрезков, размер углов, диаметр и радиус, если речь идет об окружности.

Равновеликие и равносоставленные фигуры

С равными фигурами не следует смешивать равновеликие и равносоставленные фигуры – при всей близости данных понятий.
Равновеликими называются такие фигуры, которые имеют равную площадь, если это фигуры на плоскости, или равный объем, если речь идет о трехмерны телах. Совпадение всех элементов, составляющих данные фигуры, не является обязательным. Равные фигуры будут равновеликими всегда, но не всякие равновеликие фигуры можно назвать равными.

Понятие равносоставленности чаще всего применяют к многоугольникам. Оно подразумевает, что многоугольники можно разбить на одинаковое количество соответственно равных фигур. Равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.