Импульс тела все формулы. Школьная энциклопедия. Импульс системы тел. Закон изменения импульса
Любые задачи на движущиеся тела в классической механике требуют знания концепции импульса. В данной статье рассматривается эта концепция, дается ответ на вопрос, куда направлен вектор импульса тела, а также приводится пример решения задачи.
Количество движения
Чтобы выяснить, куда направлен вектор импульса тела, следует, в первую очередь, понять его физический смысл. Впервые термин был объяснен Исааком Ньютоном, однако важно отметить, что итальянский ученый Галилео Галилей в своих работах уже использовал похожее понятие. Для характеристики движущегося объекта он ввел величину, которая называлась стремление, натиск или собственно импульс (impeto на итальянском). Заслуга же Исаака Ньютона заключается в том, что он смог связать эту характеристику с действующими на тело силами.
Итак, изначально и более правильно то, что большинство понимают под импульсом тела, называть количеством движения. Действительно, математическая формула для рассматриваемой величины пишется в виде:
Здесь m - масса тела, v¯ - его скорость. Как видно из формулы, ни о каком импульсе речь не идет, имеется лишь скорость тела и его масса, то есть количество движения.
Важно отметить, что эта формула не следует из математических доказательств или выражений. Ее возникновение в физике имеет исключительно интуитивный, бытовой характер. Так, любой человек хорошо представляет, что если муха и грузовик будут двигаться с одинаковой скоростью, то грузовик остановить гораздо тяжелее, поскольку он обладает намного большим количеством движения, чем насекомое.
Откуда возникло понятие вектор импульса тела, рассмотрено далее.
Импульс силы - причина изменения количества движения
Интуитивно введенную характеристику Ньютон смог связать со вторым законом, носящим его фамилию.
Импульс силы - это известная физическая величина, которая равна произведению приложенной внешней силы к некоторому телу на время ее действия. Воспользовавшись известным законом Ньютона и полагая, что сила от времени не зависит, можно прийти к выражению:
F¯ * Δt = m * a¯ * Δt.
Здесь Δt - время действия силы F, a - это линейное ускорение, сообщаемое силой F телу массой m. Как известно, умножение ускорения тела на промежуток времени, который оно действует, дает приращение скорости. Этот факт позволяет переписать формулу выше в несколько ином виде:
F¯ * Δt = m * Δv¯, где Δv¯= a¯ * Δt.
Правая часть равенства представляет собой изменение количества движения (см. выражение в предыдущем пункте). Тогда получится:
F¯ * Δt = Δp¯, где Δp¯ = m * Δv¯.
Таким образом, пользуясь законом Ньютона и понятием об импульсе силы, можно прийти к важному выводу: воздействие внешней силы на объект в течение некоторого времени приводит к изменению его количества движения.
Теперь становится понятным, почему количество движения принято называть импульсом, ведь его изменение совпадает с импульсом силы (слово "сила", как правило, опускают).
Векторная величина p¯
Над некоторыми величинами (F¯, v¯, a¯, p¯) стоит черта. Это означает, что речь идет о векторной характеристике. То есть количество движения так же, как и скорость, сила и ускорение, помимо абсолютной величины (модуля), описывается еще направлением.
Так как каждый вектор можно разложить на отдельные компоненты, то, пользуясь декартовой прямоугольной системой координат, можно записать следующие равенства:
1) p¯ = m * v¯;
2) p x = m * v x ; p y = m * v y ; p z = m * v z ;
3) |p¯| = √(p x 2 + p y 2 + p z 2).
Здесь 1-е выражение - это векторная форма представления количества движения, 2-й набор формул позволяет рассчитать каждую из компонентов импульса p¯, зная соответствующие компоненты скорости (индексы x, y, z говорят о проекции вектора на соответствующую ось координат). Наконец, 3-я формула позволяет вычислить длину вектора импульса (абсолютное значение величины) через его компоненты.
Куда направлен вектор импульса тела?
Рассмотрев понятие количества движения p¯ и его основные свойства, можно легко ответить на поставленный вопрос. Вектор импульса тела направлен так же, как и вектор линейной скорости. Действительно, из математики известно, что умножение вектора a¯ на число k приводит к образованию нового вектора b¯, обладающего следующими свойствами:
- его длина равна произведению числа на модуль исходного вектора, то есть |b¯| = k * |a¯|;
- он направлен так же, как исходный вектор, если k > 0, в противном случае он будет направлен противоположно a¯.
В данном случае роль вектора a¯ играет скорость v¯, импульс p¯ - это новый вектор b¯, а число k - это масса тела m. Поскольку последняя всегда является положительной (m>0), то, отвечая на вопрос: чему сонаправлен вектор импульса тела p¯, следует сказать, что он сонаправлен скорости v¯.
Вектор изменения количества движения
Интересно рассмотреть еще один похожий вопрос: куда направлен вектор изменения импульса тела, то есть Δp¯. Для ответа на него стоит использовать полученную выше формулу:
F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.
Исходя из рассуждений в предыдущем пункте, можно сказать, что направление изменения количества движения Δp¯ совпадает с направлением вектора силы F¯ (Δt > 0) или с направлением вектора изменения скорости Δv¯ (m > 0).
Здесь важно не путать, что речь идет именно об изменении величин. В общем случае векторы p¯ и Δp¯ не совпадают, поскольку они никак не связаны друг с другом. Например, если сила F¯ будет действовать против скорости v¯ перемещения объекта, тогда p¯ и Δp¯ будут направлены в противоположные стороны.
Где важно учитывать векторный характер количества движения?
Рассмотренные выше вопросы: куда направлен вектор импульса тела и вектор его изменения, обусловлены не простым любопытством. Дело в том, что закон сохранения импульса p¯ выполняется для каждой его компоненты. То есть в наиболее полной форме он записывается так:
p x = m * v x ; p y = m * v y ; p z = m * v z .
Каждая компонента вектора p¯ сохраняет свое значение в системе взаимодействующих объектов, на которые не действуют внешние силы (Δp¯ = 0).
Как пользоваться этим законом и векторными представлениями величины p¯, чтобы решать задачи на взаимодействие (соударение) тел?
Задача с двумя шарами
На рисунке ниже изображены два шара разной массы, которые летят под разными углами к горизонтальной линии. Пусть массы шаров равны m 1 = 1 кг, m 2 = 0,5 кг, их скорости v 1 = 2 м/с, v 2 = 3 м/с. Необходимо определить направление импульса после удара шаров, полагая последний абсолютно неупругим.
Начиная решать задачу, следует записать закон неизменности количества движения в векторной форме, то есть:
p 1 ¯ + p 2 ¯ = const.
Поскольку каждая компонента импульса должна сохраняться, то нужно переписать это выражение, учитывая также, что после столкновения два шара начнут двигаться, как единый объект (абсолютно неупругий удар):
m 1 * v 1x + m 2 * v 2x = (m 1 + m 2) * u x ;
M 1 * v 1y + m 2 * v 2y = (m 1 + m 2) * u y .
Знак минус для проекции импульса первого тела на ось y появился вследствие ее направленности против выбранного вектора оси ординат (см. рис.).
Теперь нужно выразить неизвестные компоненты скорости u, а затем подставить известные значения в выражения (соответствующие проекции скоростей определяются умножением модулей векторов v 1 ¯ и v 2 ¯ на тригонометрические функции):
u x = (m 1 * v 1x + m 2 * v 2x) / (m 1 + m 2), v 1x = v 1 * cos(45 o); v 2x = v 2 * cos(30 o);
u x = (1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,866) / (1 + 0,5) = 1,8088 м/с;
u y = (-m 1 * v 1y + m 2 * v 2y) / (m 1 + m 2), v 1y = v 1 * sin(45 o); v 2y = v 2 * sin(30 o);
u y = (-1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,5) / (1 + 0,5) = -0,4428 м/с.
Это две компоненты скорости тела после удара и "слипания" шаров. Поскольку направление скорости совпадает с вектором импульса p¯, то ответить на вопрос задачи можно, если определить u¯. Угол его относительно горизонтальной оси будет равен арктангенсу отношения компонент u y и u x:
α = arctg(-0,4428 / 1,8088) = -13,756 o .
Знак минус указывает, что импульс (скорость) после удара будет направлен вниз от оси x.
Импульс... Понятие, довольно часто используемое в физике. Что понимают под этим термином? Если задать этот вопрос простому обывателю, в большинстве случаев мы получим ответ, что импульс тела - это определенное воздействие (толчок или удар), оказываемое на тело, благодаря чему оно получает возможность двигаться в заданном направлении. В целом довольно верное объяснение.
Импульс тела - определение, с которым мы впервые сталкиваемся в школе: на уроке физики нам показывали, как по наклонной поверхности скатывалась небольшая тележка и сталкивала со стола металлический шарик. Именно тогда мы рассуждали, что может оказать влияние на силу и длительность этого Из подобных наблюдений и умозаключений много лет назад и родилось понятие импульса тела как характеристики движения, напрямую зависящей от скорости и массы объекта.
Сам термин в науку ввел француз Рене Декарт. Произошло это в начале XVII века. Ученый объяснял импульс тела не иначе как «количество движения». Как говорил сам Декарт, если одно движущееся тело сталкивается с другим, оно теряет столько своей энергии, сколько отдает другому объекту. Потенциал тела, по мнению физика, никуда не исчезал, а лишь передавался от одного предмета другому.
Основной характеристикой, которой обладает импульс тела, является его направленность. Иначе говоря, он представляет собой Отсюда следует и такое утверждение, что всякое тело, находящееся в движении, обладает определенным импульсом.
Формула воздействия одного объекта на другой: p = mv, где v - скорость тела (векторная величина), m - масса тела.
Однако импульс тела - не единственная величина, определяющая движение. Почему одни тела, в отличие от других, не теряют его продолжительное время?
Ответом на этот вопрос стало появление еще одного понятия - импульса силы, который определяет величину и продолжительность воздействия на предмет. Именно он позволяет нам определять, как изменяется импульс тела за определенный промежуток времени. Импульс силы представляет собой произведение величины воздействия (собственно силы) на продолжительность его приложения (время).
Одним из наиболее примечательных особенностей ИТ является его сохранение в неизменном виде при условии замкнутой системы. Иначе говоря, при отсутствии иных воздействий на два предмета, импульс тела между ними будет оставаться стабильным сколько угодно долго. Принцип сохранения можно учитывать и в ситуации, когда внешнее воздействие на объект присутствует, но его векторное воздействие равно 0. Также импульс не изменится и в том случае, когда воздействие этих сил незначительно или действует на тело весьма непродолжительный период времени (как, например, при выстреле).
Именно этот закон сохранения не одну сотню лет не дает покоя изобретателям, ломающим голову над созданием пресловутого «вечного двигателя», так как именно он лежит в основе такого понятия, как
Что касается применения знаний о таком явлении, как импульс тела, то их используют при разработке ракет, вооружения и новых, пусть и не вечных, механизмов.
Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.
С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.
Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.
Импульс силы равен изменению импульса тела:
Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:
Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:
Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.
Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:
Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:
Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.
Домашнее задание
- Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
- Как связаны импульс тела с импульсом силы?
- Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?
- Интернет-портал Questions-physics.ru ().
- Интернет-портал Frutmrut.ru ().
- Интернет-портал Fizmat.by ().
Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.
С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.
Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.
Импульс силы равен изменению импульса тела:
Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:
Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:
Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.
Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:
Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:
Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.
Домашнее задание
- Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
- Как связаны импульс тела с импульсом силы?
- Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?
- Интернет-портал Questions-physics.ru ().
- Интернет-портал Frutmrut.ru ().
- Интернет-портал Fizmat.by ().
Основные динамические величины: сила, масса, импульс тела, момент силы, момент импульса.
Сила – это векторная величина, являющаяся мерой действия на данное тело других тел или полей.
Сила характеризуется:
· Модулем
· Направлением
· Точкой приложения
В системе СИ сила измеряется в ньютонах.
Для того чтобы понять, что такое сила в один ньютон, нам нужно вспомнить, что сила, приложенная к телу, изменяет его скорость. Кроме того, вспомним о инертности тел, которая, как мы помним, связана с их массой. Итак,
Один ньютон – это такая сила, которая меняет скорость тела массой в 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.
Примерами сил могут служить:
· Сила тяжести – сила, действующая на тело в результате гравитационного взаимодействия.
· Сила упругости – сила, с которой тело сопротивляется внешней нагрузке. Ее причиной является электромагнитное взаимодействие молекул тела.
· Сила Архимеда – сила, связанная с тем, что тело вытесняет некий объем жидкости или газа.
· Сила реакции опоры – сила, с которой опора действует на тело, находящееся на ней.
· Сила трения – сила сопротивления относительному перемещению контактирующих поверхностей тел.
· Сила поверхностного натяжения – сила, возникающая на границе раздела двух сред.
· Вес тела – сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.
И другие силы.
Сила измеряется с помощью специального прибора. Этот прибор называется динамометром (рис. 1). Динамометр состоит из пружины 1, растяжение которой и показывает нам силу, стрелки 2, скользящей по шкале 3, планки-ограничителя 4, которая не дает растянуться пружине слишком сильно, и крючка 5, к которому подвешивается груз.
Рис. 1. Динамометр (Источник)
На тело могут действовать многие силы. Для того чтобы правильно описать движение тела, удобно пользоваться понятием равнодействующей сил.
Равнодействующая сил – это сила, действие которой заменяет действие всех сил, приложенных к телу (Рис. 2).
Зная правила работы с векторными величинами, легко догадаться, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу – это векторная сумма этих сил.
Рис. 2. Равнодействующая двух сил, действующих на тело
Кроме того, поскольку мы с вами рассматриваем движение тела в какой-либо системе координат, нам обычно выгодно рассматривать не саму силу, а ее проекцию на ось. Проекция силы на ось может быть отрицательной или положительной, потому что проекция – это величина скалярная. Так, на рисунке 3 изображены проекции сил, проекция силы – отрицательна, а проекция силы – положительна.
Рис. 3. Проекции сил на ось
Итак, из этого урока мы с вами углубили свое понимание понятия силы. Мы вспомнили единицы измерения силы и прибор, с помощью которого измеряется сила. Кроме того, мы рассмотрели, какие силы существуют в природе. Наконец, мы узнали, как можно действовать в случае, если на тело действует несколько сил.
Масса , физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают Массу инертную и Массу гравитационную (тяжелую, тяготеющую).
Понятие Масса было введено в механику И. Ньютоном. В классической механике Ньютона Масса входит в определение импульса (количества движения) тела: импульс р пропорционален скорости движения тела v , p = mv (1). Коэффициент пропорциональности - постоянная для данного тела величина m - и есть Масса тела. Эквивалентное определение Массы получается из уравнения движения классической механики f = ma (2). Здесь Масса - коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела a . Определенная соотношениями (1) и (2) Масса называется инерциальной массой, или инертной массой; она характеризует динамические свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше Масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, т. е. тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).
Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения Масса этих тел: m 1: m 2: m 3 ... = а 1: а 2: а 3 ... ; если одну из Масс принять за единицу измерения, можно найти Массу остальных тел.
В теории гравитации Ньютона Масса выступает в другой форме - как источник поля тяготения. Каждое тело создает поле тяготения, пропорциональное Массе тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна Массе тел). Это поле вызывает притяжение любого другого тела к данному телу с силой, определяемой законом тяготения Ньютона:
(3)
где r - расстояние между телами, G - универсальная гравитационная постоянная, a m 1 и m 2 - Массы притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для веса Р тела массы m в поле тяготения Земли: Р = mg (4).
Здесь g = G*M/r 2 - ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, а r » R - радиусу Земли. Масса, определяемая соотношениями (3) и (4), называется гравитационной массой тела.
В принципе ниоткуда не следует, что Масса, создающая поле тяготения, определяет и инерцию того же тела. Однако опыт показал, что инертная Масса и гравитационная Масса пропорциональны друг другу (а при обычном выборе единиц измерения численно равны). Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности. Его открытие связано с именем Г.Галилея, установившего, что все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. А.Эйнштейн положил этот принцип (им впервые сформулированный) в основу общей теории относительности. Экспериментально принцип эквивалентности установлен с очень большой точностью. Впервые (1890-1906) прецизионная проверка равенства инертной и гравитационной Масс была произведена Л.Этвешем, который нашел, что Массы совпадают с ошибкой ~ 10 -8 . В 1959-64 годах американские физики Р.Дикке, Р.Кротков и П.Ролл уменьшили ошибку до 10 -11 , а в 1971 году советские физики В.Б.Брагинский и В.И.Панов - до 10 -12 .
Принцип эквивалентности позволяет наиболее естественно определять Массу тела взвешиванием.
Первоначально Масса рассматривалась (например, Ньютоном) как мера количества вещества. Такое определение имеет ясный смысл только для сравнения однородных тел, построенных из одного материала. Оно подчеркивает аддитивность Массы - Масса тела равна сумме Массы его частей. Масса однородного тела пропорциональна его объему, поэтому можно ввести понятие плотности - Массы единицы объема тела.
В классической физике считалось, что Масса тела не изменяется ни в каких процессах. Этому соответствовал закон сохранения Массы (вещества), открытый М.В.Ломоносовым и А.Л.Лавуазье. В частности, этот закон утверждал, что в любой химической реакции сумма Масс исходных компонентов равна сумме Масс конечных компонентов.
Понятие Масса приобрело более глубокий смысл в механике специальной теории относительности А. Эйнштейна, рассматривающей движение тел (или частиц) с очень большими скоростями - сравнимыми со скоростью света с ~ 3 10 10 см/сек. В новой механике - она называется релятивистской механикой - связь между импульсом и скоростью частицы дается соотношением:
(5)
При малых скоростях (v << c ) это соотношение переходит в Ньютоново соотношение р = mv . Поэтому величину m 0 называют массой покоя, а Массу движущейся частицы m определяют как зависящий от скорости коэффициент пропорциональности между p и v :
(6)
Имея в виду, в частности, эту формулу, говорят, что Масса частицы (тела) растет с увеличением ее скорости. Такое релятивистское возрастание Массы частицы по мере повышения ее скорости необходимо учитывать при конструировании ускорителей заряженных частиц высоких энергий. Масса покоя m 0 (Масса в системе отсчета, связанной с частицей) является важнейшей внутренней характеристикой частицы. Все элементарные частицы обладают строго определенными значениями m 0 , присущими данному сорту частиц.
Следует отметить, что в релятивистской механике определение Массы из уравнения движения (2) не эквивалентно определению Массы как коэффициента пропорциональности между импульсом и скоростью частицы, так как ускорение перестает быть параллельным вызвавшей его силе и Масса получается зависящей от направления скорости частицы.
Согласно теории относительности, Масса частицы m связана с ее энергией Е соотношением:
(7)
Масса покоя определяет внутреннюю энергию частицы - так называемую энергию покоя Е 0 = m 0 с 2 . Таким образом, с Массой всегда связана энергия (и наоборот). Поэтому не существует по отдельности (как в классической физике) закона сохранения Массы и закона сохранения энергии - они слиты в единый закон сохранения полной (т. е. включающей энергию покоя частиц) энергии. Приближенное разделение на закон сохранения энергии и закон сохранения Массы возможно лишь в классической физике, когда скорости частиц малы (v << c ) и не происходят процессы превращения частиц.
В релятивистской механике Масса не является аддитивной характеристикой тела. Когда две частицы соединяются, образуя одно составное устойчивое состояние, то при этом выделяется избыток энергии (равный энергии связи) DЕ , который соответствует Массе Dm = DE/с 2 . Поэтому Масса составной частицы меньше суммы Масс образующих его частиц на величину DE/с 2 (так называемый дефект масс). Этот эффект проявляется особенно сильно в ядерных реакциях. Например, Масса дейтрона (d ) меньше суммы Масс протона (p ) и нейтрона (n ); дефект Масс Dm связан с энергией Е g гамма-кванта (g ), рождающегося при образовании дейтрона: р + n -> d + g , E g = Dmc 2 . Дефект Массы, возникающий при образовании составной частицы, отражает органическую связь Массы и энергии.
Единицей Массы в СГС системе единиц служит грамм , а вМеждународной системе единиц СИ - килограмм . Масса атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы. Масса элементарных частиц принято выражать либо в единицах Массы электрона m e , либо в энергетических единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, Масса электрона составляет 0,511 Мэв, Масса протона - 1836,1 m e , или 938,2 Мэв и т. д.
Природа Массы - одна из важнейших нерешенных задач современной физики. Принято считать, что Масса элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и другими). Однако количественная теория Массы еще не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему Масса элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.
В астрофизике Масса тела, создающего гравитационное поле, определяет так называемый гравитационный радиус тела R гр = 2GM/c 2 . Вследствие гравитационного притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R =< R гр . Звезды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали "черными дырами". Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.
Импульс силы. Импульс тела
Понятие импульса было введено еще в первой половине XVII века Рене Декартом, а затем уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, который называл импульс количеством движения, – это есть мера такового, пропорциональная скорости тела и его массе. Современное определение: импульс тела – это физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
Прежде всего, из приведенной формулы видно, что импульс – величина векторная и его направление совпадает с направлением скорости тела, единицей измерения импульса служит:
= [ кг· м/с]
Рассмотрим, каким же образом эта физическая величина связана с законами движения. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что ускорение есть изменение скорости с течением времени:
Налицо связь между действующей на тело силой, точнее, равнодействующей сил и изменением его импульса. Величина произведения силы на промежуток времени носит название импульса силы. Из приведенной формулы видно, что изменение импульса тела равно импульсу силы.
Какие эффекты можно описать с помощью данного уравнения (рис. 1)?
Рис. 1. Связь импульса силы с импульсом тела (Источник)
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆ ), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
МОМЕНТ СИЛЫ - величина, характеризующая вращательный эффект силы; имеет размерность произведения длины на силу. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.
M. с. относительно центра О наз. векторная величина M 0 , равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведённого из O в точку приложения силы F , на силуM 0 = [rF ] или в др. обозначениях M 0 = r F (рис.). Численно M. с. равен произведению модуля силы на плечо h , т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы, или удвоенной площади
треугольника, построенного на центре O и силе:
Направлен вектор M 0 перпендикулярно плоскости, проходящей через O и F . Сторона, куда направляется M 0 , выбирается условно (M 0 - аксиальный вектор). При правой системе координат вектор M 0 направляют в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки.
M. с. относительно оси z наз. скалярная величина M z , равная проекции на ось z вектора M. с. относительно любого центра О , взятого на этой оси; величину M z можно ещё определять как проекцию на плоскость ху , перпендикулярную оси z, площади треугольника OAB или как момент проекции F xy силы F на плоскость ху , взятый относительно точки пересечения оси z с этой плоскостью. T. о.,
В двух последних выражениях M. с. считается положительным, когда поворот силы F xy виден с положит. конца оси z против хода часовой стрелки (в правой системе координат). M. с. относительно координатных осей Oxyz могут также вычисляться по аналитич. ф-лам:
где F x , F y , F z - проекции силы F на координатные оси, х, у, z - координаты точки А приложения силы. Величины M x , M y , M z равны проекциям вектора M 0 на координатные оси.