Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости по трем точкам
Периметр - это сумма длин всех сторон многоугольника.
- Для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, где периметр обозначается буквой «P». Название фигуры рекомендуется писать маленькими буквами под знаком «P», чтобы знать чей периметр ты находишь.
- Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т.д.
Отличительные особенности прямоугольника
- Прямоугольник – это четырехугольник.
- Все параллельные стороны равны
- Все углы = 90º.
- Например в повседневной жизни прямоугольник может встречаться в виде - книги, монитора, крышки от стола или двери.
Как вычислить периметр прямоугольника
Существует 2 способа его нахождения:
- 1 способ. Складываем все стороны. P = a + а + b + b
- 2 способ. Сложить ширину и длину, и умножить на 2. P = (a + b) · 2. ИЛИ Р = 2 · а + 2 · b. Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), называются длиной и шириной.
«a» - длина прямоугольника, более длинная пара его сторон.
«b» - ширина прямоугольника, более короткая пара его сторон.
Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:
Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина - 6.
Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!
Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины.
- Полупериметр прямоугольника - когда выполняешь первое действие в скобках – (a+b) .
- Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, т.е. умножить на 2.
Как найти площадь прямоугольника
Формула площади прямоугольника S= a*b
Если в условии известна длина одной стороны и длина диагонали, то площадь найти можно, используя в таких задачах, теорему Пифагора, она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника если известны длины двух других сторон.
- : a 2 + b 2 = c 2 , где a и b – стороны треугольника, а с – гипотенуза, самая длинная сторона.
Помни!
- Все квадраты – прямоугольники, но не все прямоугольники – квадраты. Так как:
- Прямоугольник - это четырехугольник со всеми прямыми углами.
- Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
- Если ты находишь площадь, ответ всегда будет в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т.д.)
Пери́метр (др. -греч. περίμετρον - окружность, др. -греч. περιμετρέο - измеряю вокруг) - общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина. Иногда периметром называют границу геометрической фигуры.
Пло́щадь - численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры , неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.
Периметр фигуры обладает только одним параметром - протяжённостью, или длиной, выраженной в единицах длины: метр, ярд, аршин, локоть. Или производных от них: километр, сантиметр, дециметр.
Площадь фигуры обладает двумя параметрами - например, длиной и шириной, или радиусом и коэффициентом Пи, в зависимости от формы. Величина площади выражается в единицах в квадрате: квадратных метрах, гектарах, квадратных милях
Периметр и его определение
Периметром принято называть протяжённость границы плоской фигуры, состоящей из прямых отрезков, где начало каждого последующего примыкает к окончанию предыдущего.
Строго говоря, окружность тоже обладает периметром, но для криволинейных границ принято говорить о длине окружности, или длине дуги
Для определения длины периметра, необходимо измерить, или вычислить, длину каждой стороны фигуры, а затем суммировать полученные числа.
Площадь фигуры и её определение
Площадь простейших геометрических фигур определяется по формулам.
Площадь прямоугольника равна произведению длин сторон.
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число Пи=3,1415
Свои формулы есть для треугольника, сектора, трапеции, параллелограмма.
Площадь сложных криволинейных фигур вычисляется интегралом. Взятие интеграла формулы, описывающей границу фигуры, даст в результате площадь. В этом и есть геометрический смысл интеграла - он вычисляет площадь, ограниченную графиком функции на заданном участке.
Сложная фигура, lkz которой нет общей формулы, для определения площади мысленно разбивается на простейшие фигуры. Площади простых фигур вычисляются и затем суммируются.
Периметр и площадь геометрической фигуры связаны и один параметр всегда может быть вычислен из другого с минимальными дополнительными данными.
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
()
= 0
Таким
образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Пусть заданы точки
М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2)
и вектор.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М 1
и М 2
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору .
Векторы
и
вектор
должны быть
компланарны, т.е.
()
= 0
Уравнение
плоскости:
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
коллинеарным плоскости.
Пусть заданы два
вектора
и
,
коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х, у,z),
принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали .
Теорема.
Если в пространстве задана точка М
0
(х
0
,
у
0
,
z
0
),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М
0
перпендикулярно вектору нормали
(A
,
B
,
C
)
имеет вид:
A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.
Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор
- вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда скалярное произведение
=
0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)
,
заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
где
-
радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
, и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние
от произвольной точки М 0 (х 0 ,
у 0 ,
z 0)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и
Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то
Таким образом, вектор нормали
(11,
-7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112 + 71
- 24 +D= 0;D= -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Найти длину ребра А 1 А 2 .
Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .
Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .
Сначала
найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3
как векторное произведение векторов
и
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.
-4
– 4 = -8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 90 0 - .
Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .
Найти объем пирамиды.
Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.
Для запуска программы дважды щелкните на значке:
В
открывшемся окне программы введите
координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter.
Таким образом, поочередно могут быть
получены все пункты решения.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.