Изучение арифметических действий в начальной школе

Задачи изучения темы:

2) Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

3) Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В работе над числовыми выражениями можно выделить 2 основных этапа:

1) Изучение простейших выражений вида: сумма (2 + 3); разность (5 -1); произведение (3 4); частное (12:4).

2) Изучение усложненных выражений, содержащих два и более действий, со скобками и без них.

1) При работе с простейшими выражениями в соответствии с требованиями программы перед учителем стоит задача сформировать у детей умения читать и записывать такие выражения.

Первая встреча учащихся с выражениями происходит в первом классе в теме "Числа от 1 до 10", где дети впервые знакомятся со знаками действий "+" и "-". На этом этапе дети записывают выражения, и читают их, ориентируясь на смысл знаков действий, которые осознаются ими как краткое обозначение слов "добавить" и "отбросить". Это находит отражение в чтении выражений: 3 + 2 (3 да 2); 3 - 1 (3 без одного).

Постепенно представления детей об этих действиях расширяются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц к числу, мы увеличиваем его на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем. Это находит отражение при чтении выражений: 4 + 2 (4 увеличить на две единицы); 7 - 1 (7 уменьшить на одну единицу).

Затем дети узнают названия знаков действий "плюс" и "минус". (При изучении сложения и вычитания чисел первого десятка). Этиже выражения читаются иначе: 4 + 2 (4 "плюс" 2); 7 - 1 (7 "минус" 1).

И только при ознакомлении с названиями компонентов и результатов действия сложения вводится строгая математическая терминология, дается название данного математического выражения – «сумма», а несколько позже аналогично вводится термин «разность».

Названия следующих двух математических выражений «произведение» и «частное» вводятся аналогично при изучении действий умножения и деления во втором классе. Здесь же во втором классе вводятся термины "выражение", "значение выражения", которые как и другие математические термины должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими другие новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике.

2) Наряду с простейшими математическими выражениями изучаются и усложненные выражения, содержащие два и более действий, со скобками и без них. Такие выражения появляются в зависимости от рассмотрения соответствующих вопросов курса математики. Однако их рассмотрение в основном подчинено одной дидактической цели – сформировать умение находить значение выражения, а это непосредственно связано с правилами порядка выполнения арифметических действий.

а) Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Первые такие выражения вида 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 встречаются в самом начале изучения сложения и вычитания чисел в пределах 10. Уже здесь основное внимание уделяется выяснению вопроса, как вести рассуждения при вычислении значения выражений. В I-II классе встречаются упражнения: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; во II классе встречаются упражнения: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. При дальнейшем рассмотрении аналогичных выражений делается вывод: в выражениях без скобок действия сложения и вычитания (умножения и деления) выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

б) Затем появляются выражения, содержащие скобки и опять главное внимание уделяется правилу о порядке выполнения действий в выражениях со скобками. Так мы фактически знакомим детей со вторым правилом о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Упражнения: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2 ·5).

Во втором классе при изучении действий умножения и деления происходит встреча с выражениями, содержащими действия сложения, вычитания, умножения и деления. Чтобы выяснить вопрос о порядке выполнения действий в таких выражениях, целесообразно для первого рассмотрения взять выражение 3 · 5 + 3. Используя смысл действия умножения, приходим к выводу, что значение этого выражения равно 18. Отсюда следует порядок выполнения действий. В результате мы фактически получаем третье правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, содержащих действия сложения, вычитания, умножения и деления: в выражениях без скобок вначале выполняются действия умножения или деления, а затем действия сложения или вычитания в том порядке, как они записаны. При этом дается и образец рассуждении, где обращается внимание на проговаривание промежуточного результата, что позволяет предупреждать возможные ошибки детей. Упражнения: 21 + 9: 3, 34 – 12 · 2, 90: 30 – 2, 25 · 4 + 100.

Правила о порядке выполнения арифметических действий заслуживают особого внимания. Это один из сложных и отвлеченных вопросов начального курса математики. Работа над ним требует многочисленных распределенных во времени тренировочных упражнений. Умение применять эти правила в практике вычислений вынесено в основные требования программы в конце каждого года, начиная со второго класса и на конец обучения в начальных классах.

Упражнения:

1. Из заданных пар примеров выбрать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка выполнения действий: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 · 5 + 40: 2 = 50, 6 · 5 + 40: 2 = 35.

После объяснения ошибок дать задание: изменить порядок действия так, чтобы выражение имело заданное значение.

2. Расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

На последнем году обучения в начальных классах рассмотренные правила дополняются новыми для детей правилами о порядке выполнения действий в выражениях содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок. Например: 90 · 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 · 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.) Например: Продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) · 5 = 10 · 5…

60: (2 · 10) = 60: 10…

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся выполняют преобразования выражений вида:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

Необходимо понять, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения.

Тождественные преобразования выражений выполняют также и на основе конкретного смысла действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 4, и наоборот, 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5, 7 · 6 – 7 = 7 · 5.

Если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 · 6) : 4 = 10 · 6: 4 и т.п.

В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например: записать выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65 + 30) – 20, (20 + 4) · 3, 96 – (46 + 30)

При изучении данной темы учащиеся должны овладеть приемами вычисления, получить прочные вычислительные навыки, заучить результаты сложения и вычитания в пределах 10, а также состав чисел первого 10, узнавать и показывать компоненты и результаты двух арифметических действий и понимать их названия в речи учителя.

По мере овладения учащимися натуральной последовательностью чисел и свойством этого ряда нужно знакомить и с приемами сложения и вычитания, опирающимся на это свойство натурального ряда чисел. Дети учатся этим приемам прибавлять и вычитать единицу из числа, т.е. присчитывать и отсчитывать по 1.

Когда учащиеся овладели приемами присчитывания, учитель знакомит их с приемами отсчитывания.

Если приемами присчитывания ученики первого класса овладевают довольно быстро, то приемами отсчитывания - намного медленнее.

Трудность состоит в том, что прием отсчитывания основан на хорошем знании обратного счета, а обратный счет для многих учащихся первого класса труден. Кроме того, ученики плохо запоминают - сколько нужно отнять, сколько уже отняли, сколько ещё надо отнять.

При изучении каждого числа первого десятка учащиеся получают представление и о составе этих чисел.

В начале необходимо давать такие упражнения, в которых одно из слагаемых воспринимаются детьми наглядно, а второе они отыскивают по представлению.

При выполнении действий сложения и вычитания в пределах данного числа вводятся решение примеров с отсутствующим компонентом. Его обозначают точками, рамками, знаками вопросов и т.д., например:

I – 3, 4 +... = б, ? – 2 = 4. б - ? = 2.

Запишем 1-1=0 (отсутствие предметов обозначают цифры О) Решаются еще примеры, когда разность равна нулю.

Вводить число ноль в качестве вычитаемого, а потом и слагаемого следует на большом числе упражнений. Смысл действий с нулем будет лучше понять учащимся, если ноль в качестве вычитаемого и ноль в качестве слагаемого будет вводиться не одновременно. Затем проводятся упражнения на дифференциацию примеров, в которых ноль будет слагаемым и вычитаемым.
Учитель первого класса должен обращать внимание учащихся на то, что сумма всегда больше каждого из слагаемых, а остаток всегда меньше уменьшаемых.

Уменьшаемое больше или равно вычитаемому, в противном случае вычитание произвести нельзя.

Уже с первого класса ученики должны быть приучены к проверке правильности решения примеров.

Анализ учебника Моро

Обучающийся будет знать:

Конкретный смысл и название действий сложения и вычитания;

Знать и использовать при чтении и записи числовых выражений названия компонентов и результатов сложения и вычитания;

Знать переместительное свойство сложения;

Знать таблицу сложения в пределах 10 и соответствующие случаи вычитания;

Единицы длины: см и дм, соотношение между ними;

Единицу массы: кг.

Находить значение числовых выражений в 1 – 2 действия без скобок;

Применять приемы вычислений:

при сложении – прибавление по частям; перестановка чисел;

при вычитании – вычитание числа по частям и вычитание на основе знания соответствующего случая сложения;

Выполнять сложение и вычитание с числом 0;

Находить число, которое на несколько единиц больше или меньше данного;

Уметь решать задачи в одно действие на сложение и вычитание.

Обучающийся в совместной деятельности с учителем получит возможность научиться:

- группировать предметы по заданному признаку;

- решать ребусы, магические квадраты, круговые примеры, задачи на смекалку, головоломки, цепочки примеров, задачи-шутки, логические задачи;

- строить многоугольники, ломанные линии.

Познавательные УУД :

1. Ориентироваться в учебниках (система обозначений, структура текста, рубрики, словарь, содержание).

2. Осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий, используя справочные материалы учебника (под руководством учителя).

3. Понимать информацию, представленную в виде текста, рисунков, схем.

4. Сравнивать предметы, объекты: находить общее и различие.

5. Группировать, классифицировать предметы, объекты на основе существенных признаков, по заданным критериям .

Регулятивные УУД :

1. Организовывать свое рабочее место под руководством учителя.

2. Осуществлять контроль в форме сличения своей работы с заданным эталоном.

3.Вносить необходимые дополнения, исправления в свою работу, если она расходится с эталоном (образцом).

4. В сотрудничестве с учителем определять последовательность изучения материала, опираясь на иллюстративный ряд «маршрутного листа».

Коммуникативные УУД :

1. Соблюдать простейшие нормы речевого этикета: здороваться, прощаться, благодарить.

2. Вступать в диалог (отвечать на вопросы, задавать вопросы, уточнять непонятное).

3. Сотрудничать с товарищами при выполнении заданий в паре: устанавливать и соблюдать очерёдность действий, корректно сообщать товарищу об ошибках.

4.Участвовать в коллективном обсуждении учебной проблемы.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный.

Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения.

Использовать математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия (сложения, вычитания).

Моделировать изученные арифметические зависимости.

Прогнозировать результат вычисления.

Контролировать и осуществлять пошаговый контроль правильности и полноты выполнения алгоритма арифметического действия.

Использовать различные приёмы проверки правильности нахождения числового выражения (с опорой на алгоритмы выполнения арифметических действий, прикидку результата).

Планировать решение задачи.

Объяснять выбор арифметических действий для решений.

Действовать по заданному плану решения задачи.

Использовать геометрические образы для решения задачи.

Контролировать : обнаруживать и устранять ошибки арифметического (в вычислении) характера.

Наблюдать за изменением решения задачи при изменении её условия.

Выполнять краткую запись разными способами, в том числе с помощью геометрических образов (отрезок, прямоугольник и др.).

Исследовать ситуации, требующие сравнения величин, их упорядочения.

Характеризовать явления и события с использованием величин.

11) Методика изучения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел второго десятка (задачи темы, рассматриваемые случаи, сложение и вычитание на основе знания нумерации, случаи сложения и вычитания без перехода через разряд – включить обоснование приемов!!!).

Изучение нумерации и действий в пределах 20, т. е. второго и 1ентра, происходит во 2-м классе коррекционной школы.

Задачи второго концентра: дать понятие о десятке как новой единице; научить считать до 20, присчитывая и отсчитывать по единице, по десятку и равными числовыми группами (по 2, но 5, по 4); познакомить с десятичным составом числа; сформировать представление об однозначных и двузначных числах; научить обозначать числа от 1 до 20 цифрами; познакомить с принципом местного значения цифр; научить складывать и вычитать в приделах 20; дать понятие о новых действиях: умножении и делении; (ознакомить с табличным умножением и делением в пределах 20.

При подборе или изготовлении специальных пособий надо помнить, что на них необходимо показать десятичный состав чисел второго десятка, поэтому десяток и единицы должны быть ярко выделены.

К таким пособиям относятся: 20 палочек (10 палочек рассыпанных и 10, связанных в пучок, т. е. 1 десяток); 20 кубиков и 2 бруска из 10 кубиков; 20 квадратов и 2 полосы по 10 квадратов; линейка длиной 20 см, все картонные полоски длиной по 10 см каждая, разделенные на 10 равных частей; монетная касса; счеты классные и индивидуальные; разрядная таблица с разрядами единиц и десятков; цифровая касса; таблица с числами от 1 до 20, записанными в один и два ряда; таблицы для счета равными числовыми группами по 2, 3, 4, 5; таблица с числами от 1 до 20 с изображением четных и нечетных чисел разным цветом; набор табличек (10 штук) с числом 10 для составления и разложения чисел (на десятки и единицы) от 11 до 20; таблички с числом 20.

Основой в понимании нумерации чисел второго десятка является выделение десятка и ясное представление, что десяток - это десять единиц и в то же время это новая единица счета, которой можно считать так же, как единицами, добавляя к числам один, т. д. названия этой счетной единицы, например один десяток- десятка.

Над нумерацией чисел в пределах 20 складывается из нескольких этапов: 1) получение одного десятка; 2) получение второго десятка от 11 до 19 путем присчитывания к одному у нескольких единиц; 3) получение числа 20 из двух десят 1) письменная нумерация чисел от 11 до 20; 5) получение второго десятка путем присчитывания к предыдущему числу единицы и отсчитывания от последующего числа одной птицы.

Счет в пределах 20.

Вначале с учащимися нужно повторить нумерацию чисел пер1го десятка: получение чисел числового ряда путем прибавления к предшествующему числу и вычитания 1 из последующего, отношение между соседними числами, название чисел и их значение цифрами. Учитель обращает внимание учащихся на, что каждое число от 0 до 10 обозначается новым, не связан с другим, словом, а для обозначения каждого из чисел от О) 9 существует особый знак, который называется цифрой. Число м обозначается двумя цифрами 1 и 0. Учитель сообщает, что существует всего 10 цифр. Вначале повторяется счет единицами в пределах 10 и показывается получение десятка. Важно дифференцировать понятия «десять единиц» и «од > десяток». Десяток - это целое, единое.

Следующим этапом в работе над числами второго десятка яв- счет до 20. Учащиеся должны запомнить названия числительных в порядке числового ряда, считать предметы, их изобразить звуками, прыжками, удары мяча, сами отхлопывать заданное число несколько раз, отсчитывать заданное число предметов в приделах 20, счет ведется путем присчитывания и считывания по единице. При ознакомлении с нумерацией в пределах 20 целесообразно. , знакомить учащихся с единицей измерения дм.

Сложение и вычитание чисел в пределах 20 без перехода через разряд
Повторить десятичный состав чисел от 10 до 20, прямой и обратный счёт от 1 до 20

Закрепить вычислительные навыки в пределах 20 без перехода через разряд

(Числовой ряд).

Числовой ряд от 10 до 20, но в некоторых числах не хватает цифры.

каждый из вас должен из моего мешочка достать цифру, с закрытыми глазами угадать её и поставить на своё место.

10,1., 1., 1., 14, 1., 1., 1., 1., 1., 2..

Повторение десятичного состава числа

Учитель называет десятичный состав числа, а ученики показывают это число.

1дес.3ед., 1дес. 6ед., 1дес.9ед., 2дес., 1дес.2ед.,1дес.8ед.

Сколько десятков и единиц в числе 15? (В числе 15 - 1десяток и 5 единиц.)

Как можно получить число 15?

Математический диктант.

Учитель говорит пример, а ученики записывают только ответ.

10 + 5 15 – 1 15 – 10 14 + 1 15 – 5

Ответы: 15, 14, 5, 15, 10, 10.

Проверка: один ученик читает ответы, а все остальные проверяют.

Подчеркните одной чертой однозначные числа.

Какие числа вы подчеркнули?

Решение текстовой задачи.

Задача: «Ребята на уроке труда готовили украшения на ёлку. В первый день они сделали 12 игрушек, а во второй – на 2 игрушки меньше. Сколько игрушек сделали ребята во второй день?

Работа над содержанием задачи.

О чём говорится в задаче?

Кто делал игрушки?

Сколько дней делали игрушки?

Составление краткой записи.

Сколько игрушек сделали в первый день?

Что говорится про второй день? (Сказано, что на 2 игрушки меньше)

Что спрашивается в задаче? (В задаче спрашивается, сколько игрушек сделали ребята во второй день?)

1 – 12 игр.

2 – ? игр., на 2 игр. меньше.

Поиск решения задачи.

Итак, сколько игрушек сделали в первый день? (12)

Что сказано про второй день?

Что значит «на 2 игрушки меньше?» (на 2 игрушки меньше – это столько же, сколько в первый день, но без двух).

Каким действием узнаем, сколько игрушек во второй день? (Вычитанием)

Как запишем решение задачи?

Ответили на вопрос задачи?

Запись решения задачи.

12 игр. – 2 игр. = 10 игр.

Запись ответа.

Ответ: 10 игрушек.

последовательность и приемы изучения сложения и вычитания в пределах 20.

I. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава числа (10+3, 13-3, 13-10) и нумерации чисел в пределах 20 (16+1, 17-1).

При решении этих примеров закрепляются взаимосвязь сложения и вычитания, переместительное свойство сложения, названия компонентов и результатов действий. При этом учащиеся постепенно перестают пользоваться наглядными пособиями, но от них требуется пояснение действий.

II. Сложение и вычитание без перехода через десяток.

Выполнение действий основано на разложении компонентов на десятки и единицы: к двузначному числу прибавляется однозначное. Из двузначного числа вычитается однозначное. Сначала нужно рассмотреть случаи, когда количество единиц в 1слаг. числе больше, чем во втором слагаемом (13+2, 1+3), и только потом включать случаи вида 11+6, 13+5, хотя их решения одинаковы,--5

Объяснение сопровождается использованием наглядных пособий и подробной записью решения, например: 13+2. Первое слагаемое (13) состоит из 1 десятка и 3 единиц: 1 десяток палочек и 1е 3 палочки. Второе слагаемое 2. Прибавляем 2 палочки. 3 палочки и 2 палочки - 5 палочек и 1 десяток палочек. Получить 1 десяток (палочек) и 5 единиц (палочек) - это число 15. шчит, 13+2=15. Подобным образом объясняются и случаи вы.

Важно постоянно подчеркивать, что складываются и вычитают-при решении таких примеров единицы. При записи примера 1ащиеся могут подчеркивать единицы: 14+2 = 16, 16-2 = 14. иногда целесообразно единицы и десятки записывать разным цветом. На доске их можно обводить кружочком.

При решении примеров на сложение закрепляется умение учащихся пользоваться переместительным законом сложения: решение примера 2 + 14 проводится на основе решения примера 14+2. Полезно сопоставлять примеры на сложение и вычитание в пределах 20 с примерами на те же действия в пределах 10:

7+ 2= 9 9-2= 7 5+ 3= 8- 3=

2+ 7= 9 9-7= 2 3+...= 8-...=

17+ 2=19 19-2 = 17 17+ 2= 19- 2=

2+17=19 19-7=12 2+...= 19-...=

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20:

Решение примеров такого вида, особенно на вычитание, вызывает значительные трудности у многих умственно отсталых школьников. Учащихся смущает то, что при сложении единиц в разряде единиц получается нуль. Разложив 20 на два десятка и вычтя из одного десятка заданное количество единиц, дети забывают этот результат прибавить к десятку и получают ошибочный ответ: 20-3 = 7.

Использование наглядных пособий, актуализация имеющихся знаний и опора на них помогают преодолеть эти трудности. Необходимо повторить таблицу сложения и вычитания в пределах 10. дополнение однозначного числа до десятка, вычитание из 10.

Объяснение сложения не представляет ничего нового по сравне нию с объяснением решения примеров вида 13+2, кроме образова ния 1 десятка: 5+5=10 (или 1 дес.); 1 дес. + 1 дес.=2 дес.=20. ^"Рассмотрим пример на вычитание: 20-3. В числе 20 нуль единиц, а нужно вычесть 3 единицы. Занимаем 1 десяток, раздроб ляем его на 10 единиц и вычитаем 3 единицы, получаем 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17. Проведенное рассуж-

Ш дение записывается так: 20-3=17.

В случае затруднений при понимании и приема вычислений объяснение можно провести с помощью палочек, связанных н пучки. Например, 20 - это 2 десятка (берем 2 пучка палочек) и нуль единиц. Занимаем 1 десяток и раздробляем его на 10 единиц (развязываем пучок палочек). 10 единиц минус 3 единицы получается 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17.

Решаются примеры на перестановку слагаемых, составляются по образцу, по аналогии:

Действия сложения и вычитания сопоставляются: 15+5=20; 20-5=15;

в) вычитание из двузначного числа двузначного: 15-12; 20-15. х Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1. разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц;

2. разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

Учащимся трудно знакомиться сразу с двумя приемами и даже трудно последовательно знакомиться сначала с одним, а потом с другим приемом. Умственно отсталые школьники самостоятельно не могут выбрать, когда целесообразнее использовать тот или иной прием. Поэтому знакомство с двумя, приемами только запутывает их. Лучше отработать хорошо один прием вычислений и научить учащихся самостоятельно пользоваться им.

Начало формы

Конец формы

12) Методика изучения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел второго десятка (задачи темы, рассматриваемые случаи, сложение и вычитание с переходом через разряд; методика ознакомления с сочетательным свойством сложения, правилом вычитания числа из суммы и суммы из числа).

Сложение и вычитание в пределах 20.

Овладение вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 20 основано на хорошем знании сложения и вычитания в пределах 10, знание нумерации и состава чисел в пределах 20.

При изучении действий сложения и вычитания в пределах 20, как и при изучении соответствующих действий в пределах 10, большое значение имеет наглядность и практическая деятельность с пособиями самих учащихся. Поэтому все виды наглядных пособий, используемых при изучении нумерации, найдут применение и при изучении арифметических действий.

Действия сложения и вычитания целесообразнее изучать параллельно после знакомства с определенным случаем сложения изучать соответствующий случай вычитания сопоставления со сложением.

Во втором классе учащиеся должны знать название компонентов действий сложения и вычитания.

1. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава чисел.

2. Сложение и вычитание без перехода через десяток:

а) к двухзначному числу прибавляется однозначное число. Из двухзначного числа вычитается однозначное число;

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20;

в) вычитание из двухзначного числа двухзначного: 15-12, 20-15.

Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1. Разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц.

2. Разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

3. Сложение и вычитание с переходом через ряд представляет наибольшие трудности для учащихся, с психофизическими нарушениями. вычитание с переходом через десяток тоже требует ряд операций;

Уменьшаемое разложить на десяток и единицы

Вычитаемое разложить на два числа, одно из которых равно числу уменьшаемого единицы

Вычесть единицы

Вычесть из десятка оставшееся число единиц

Подготовительная работа должна заключаться в повторении:

а) таблица сложения и вычитания в пределах 10,

б) состава чисел первого десятка (всех возможных вариантов

из двух чисел)

в) дополнение чисел до 10

г) разложение двухзначного числа на десятки и единицы

д) вычитание из десяти однозначных чисел

е) рассмотрение случаев вида 17-8, 15-5.

учащиеся работают с составом чисел 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

ученик: «9+8=. Надо дополнить 9 до 10, 8 – это 1 и 7. 9 и 1 - это 10. Осталось прибавить 7, 10+7=17, значит, 9+8=17. Выполню другим способом 8+9=. 9 – это 2 и 7, 8+2=10, 10 +7=17, значит, 8+9=17. От перестановки слагаемых сумма не меняется. Значит вычисление выполнено, верно. Запишем выражение в тетрадь 9+8=17.

ложение однозначных чисел с переходом через десяток

Выполним сложение по частям:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16 Ответ: 7 + 9 = 16.

Рассмотрим, какие вопросы теории и практического характера изучаются в теме «Арифметические действия», каков уровень их раскрытия и порядок введения.

Конкретный смысл арифметических действий , т. е. связи между операциями над множествами и соответствующими арифметическими действиями (например, связь между операцией объединения непересекающихся множеств и действием сложения). Знание конкретного смысла арифметических действий должно быть усвоено на уровне эмпирического обобщения: учащиеся должны научиться практически устанавливать связи между операциями над множествами и арифметическими действиями при нахождении в ряде случаев результатов арифметических действий, а также выбирая арифметические действия при решении текстовых арифметических задач.

Свойства арифметических действий. Это математические положения о тождественных преобразованиях математических выражений, в них отражается, при каких преобразованиях данного математического выражения его значение не изменяется. В начальный курс математики включены свойства, являющиеся теоретической основой вычислительных приемов.

В начальном курсе математики изучаются следующие свойства арифметических действий: переместительное и сочетательное свойства сложения, свойство вычитания числа из суммы, свойство вычитания суммы из числа, свойство вычитания суммы из суммы, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения, свойство деления суммы на число, свойство деление числа на произведение.

Свойства арифметических действий, предусмотренные программой, должны быть усвоены на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать их формулировку и практически применять их при обосновании вычислительных приемов, при решении задач, уравнений, упражнений на тождественные преобразования и др.

Другие свойства арифметических действий (существование и единственность результата, монотонность суммы и произведения и др.) раскрываются на уровне эмпирического обобщения: учащиеся практически оперируют ими, формулировка свойств не дается.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие, как выражается каждый из компонентов арифметических действий через результат и другой его компонент.

В начальном курсе математики сначала изучается связь между компонентами и результатом действия сложения, а затем - связи между компонентами и результатом действий вычитания, умножения и деления.

Знание связей должно быть усвоено на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать соответствующую формулировку и практически использовать эти знания при решении уравнений и обосновании вычислительных приемов.

Изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов, т. е. математические положения, характеризующие, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения одного из его компонентов.

По отношению к этому материалу предусматривается эмпирический уровень обобщения: учащиеся, выполняя специальные упражнения, наблюдают соответствующие изменения и на конкретных примерах устанавливают либо характер изменения результатов арифметических действий в зависимости от увеличения или уменьшения одного из компонентов, либо устанавливают количественные изменения – как изменится результат, если увеличить или уменьшить один из компонентов на несколько единиц или в несколько раз. Такие наблюдения послужат в дальнейшем основой для введения понятия функции, вместе с тем они являются прекрасными упражнениями развивающего характера.

Отношения между компонентами и между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие отношения «больше», «меньше», «равно» либо между компонентами (уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему), либо между компонентами и результатами арифметических действии (сумма может быть больше каждого из слагаемых, а может быть равна одному или каждому из слагаемых). Этот материал также усваивается на уровне эмпирического обобщения: учащиеся устанавливают соответствующие отношения, выполняя специальные упражнения. Знания названных отношений используются для проверки вычислений, они служат также целям функциональной пропедевтики.

Правила. Это, прежде всего положения, являющиеся следствиями из определения арифметических действий и их конкретного смысла: правила сложения и вычитания с числом 0, умножения и деления с числами 1 и 0, а также исторически сложившиеся положения – правила о порядке выполнения арифметических действий в математических выражениях. Учащиеся должны усвоить формулировку правил и уметь практически пользоваться ими.

Термины и символы. В связи с изучением названных вопросов, относящихся к теоретическому материалу, вводится соответствующая терминология и символика: название арифметических действий, символы их обозначающие и их название, название компонентов и результатов арифметических действий, название соответствующих математических выражений. Термины должны войти в активных словарь учащихся и использоваться ими при формулировке математических положений, учащиеся должны также научиться правильно пользоваться соответствующими символами. Термины и символы вводятся в тесной связи с изучением соответствующих арифметических действий.

Наряду с теоретическим материалом и в органической связи с ним рассматриваются вопросы практического характера: вычислительные приемы и решение арифметических задач . Вычислительные приемы – это приемы нахождения результатов арифметических действий. Вычислительные приемы раскрываются на основе явного использования соответствующих теоретических положений. Например, на основе переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых. В каждом концентре изучаются вычислительные приемы над целыми неотрицательными числами соответствующего отрезка натурального ряда (в первом концентре – в пределах 10, во втором – в пределах 100 и т. д.). В концентре «Десяток» изучаются только приемы сложения и вычитания, а в остальных концентрах – приемы всех четырех арифметических действий.

Порядок введения всех названных вопросов подчиняется главной цели изучения арифметических действий – формированию осознанных, прочных, доведенных до автоматизма вычислительных навыков.

3. Общие положения методики формирования понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников.

Усвоение учащимися теоретического материала сводится к усвоению ими существенных сторон изучаемых математических положений на уровне обобщения, предусмотренном программой. Следовательно, вся деятельность учащихся по овладению знаниями должна быть направлена на выделение и осознание ими существенных сторон изучаемых теоретических положений. Это осуществляется главным образом путём выполнения учащимися соответствующей системы упражнений, которая подчиняется целям каждого из этапов формирования знаний. В методике формирования знаний выделяют следующие этапы: подготовительный этап, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний.

На этапе подготовки к ознакомлению с новым теоретическим материалом , прежде всего, предусматриваются упражнения на воспроизведение ранее усвоенных знаний, которые являются средствами для усвоения нового знания. В большинстве случаев в этот период целесообразно создать в представлении детей «предметные модели» формируемых знаний с помощью выполнения операций над множествами. Например, до ознакомления с конкретным смыслом действия сложения следует провести достаточное количество упражнений на выполнение операции объединения непересекающихся множеств (к 4 мячам присоединить 3 мяча и узнать, сколько мячей станет), что в дальнейшем послужит основой для ознакомления со смыслом действия сложения.

На этапе ознакомления с новым материалом раскрываются существенные стороны изучаемых математических положений с помощью системы упражнений, выполняемых учащимися. При ознакомлении со свойствами арифметических действий, связями и зависимостями между их компонентами и результатами целесообразнее использовать метод эвристической беседы , подводя учащихся индуктивным путём к «открытию» соответствующей закономерности и убеждая в её справедливости с помощью средств наглядности. При ознакомлении с правилами, при введении терминологии и символики используется метод объяснения , т.е. учитель излагает материал, а учащиеся его воспринимают.

При ознакомлении индуктивным путём с конкретным смыслом арифметических действий, с их свойствами, связями и зависимостями между компонентами и результатами учащимся предлагаются такие упражнения, при выполнении которых проявляются соответствующие закономерности. Анализируя их, ученики выделяют существенные признаки формируемого знания и в зависимости от уровня его обобщения либо формулируют ряд частных выводов (при эмпирическом уровне), либо от них переходят к общему выводу (при понятийном уровне). При этом важно выделить не только существенные признаки, но и ряд несущественных признаков. Например, рассмотрим, как можно ознакомить с переместительным свойством умножения. Ученикам предлагается разложить в 4 ряда по 6 квадратов в каждом ряду и узнать общее количество квадратов, которые разложили. При этом обращается внимание учеников на то, что подсчёт общего числа квадратов можно осуществлять двумя способами: 6* 4 = 24 и 4* 6 = 24. При сравнении полученных записей, ученики устанавливают сходные признаки (даны произведения, одинаковые множители, значения произведений равны) и отличительные признаки (множители переставлены местами). Далее выполняются аналогичные упражнения, причем одно- два из них составляют дети. После выполнения достаточного количества упражнений на сравнение пар произведений ученики устанавливают, что во всех парах произведений одинаковые множители и значения произведений в каждой паре равны, при этом множители переставлены местами. Эти наблюдения позволяют ученикам прийти к обобщающему выводу, который является формулировкой переместительного свойства умножения: «Если множители поменять местами значение произведения не изменится».

При таком пути введения нового материала система упражнений должна отвечать ряду требований:

· Система упражнений должна обеспечивать наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность: операции над множествами (в рассмотренном примере – объединение равночисленных непересекающихся множеств квадратов) и соответствующие математические записи (6* 4 = 24 и 4* 6 = 24). Это создаёт возможность для «открытия» самими детьми изучаемых закономерностей.

· Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Так, для переместительного свойства умножения существенными признаками будут: в произведениях одинаковые множители, произведения отличаются порядком множителей, значения произведений равны; несущественными признаками являются сами числа и их отношение. Поэтому, подбирая пары произведений, надо брать их с различными числами, а числа в разном отношении (6* 4 и 4* 6; 2*5 и 5* 2; 7* 3 и 3* 7 и т.д.). Это позволит выделить ученикам не только существенные, но и несущественные признаки нового знания, что будет способствовать правильному обобщению.

· Следует предлагать учащимся самим составлять упражнения, аналогичные рассмотренным. Умение составлять такие упражнения будет свидетельствовать о том, что учащиеся выделили существенные стороны формируемого знания.

· При ознакомлении с новым материалом часто возникают ситуации, когда предшествующий опыт детей оказывает как положительное, так и отрицательное влияние на овладение новым материалом. Это необходимо учитывать при введении нового материала и предусматривать специальные упражнения на сопоставление и противопоставление вопросов, имеющих какое-то сходство. Например, до изучения переместительного свойства умножения, надо повторить переместительное свойство сложения, и использовать ту же методику. В этом случае поможет аналогия при усвоении нового свойства. До изучения распределительного свойства умножения относительно сложения полезно повторить сочетательное свойство сложения, чтобы предупредить смешение этих свойств и появление ошибок при усвоении нового свойства.

Итак, в результате выполнения специальных упражнений учащиеся подводятся либо к обобщенной формулировке изучаемого математического положения, либо только к частным выводам.

На этапе закрепления знаний в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение изученного материала, их знания обогащаются новым конкретным содержанием и включаются в систему уже имеющихся знаний. Закрепление знаний каждого математического положения совершается в результате выполнения учащимися специальной системы упражнений, подчиняющейся общим требованиям:

· Каждое упражнение системы должно иметь потенциальную возможность применения формируемого знания. Тогда ученик, выполняя их, будет всякий раз выделять существенные свойства формируемого знания и тем самым лучше усваивать его. При этом первыми надо включать такие упражнения, которые могут быть выполнены как на основе применения формируемых знаний, так и других ранее усвоенных знаний. Выполнение таких упражнений при соответствующей методике создаёт реальные возможности для обобщения формируемых знаний каждым учеником.

· Упражнения на применение знаний должны строиться на различном конкретном содержании (решение арифметических задач, сравнение математических выражений и др.). Это обеспечит формирование содержательных и гибких знаний, предупредит их формальное усвоение.

· Система упражнений должна обеспечить установление внутрипонятийных связей (связи между арифметическими действиями, между их свойствами и др.) и межпонятийных связей (связи между компонентами и результатами арифметических действий с решением уравнений). Этим и определяется включение нового знания в систему уже имеющихся знаний.

· Упражнений должно быть достаточное количество, чтобы была обеспечена прочность формируемых знаний.

· Упражнения должны быть доступны учащимся и располагаться от простого к сложному.

· В системе должны предусматриваться специальные упражнения, готовящие учеников к усвоению вопросов практического характера: выполнение вычислений, решение арифметических задач, решение уравнений и т.д.

· На этом этапе, больше, чем на предыдущем, должны быть предусмотрены упражнения на сопоставление и противопоставление нового материала и ранее усвоенного, что предупредит смешение сходных вопросов и поможет установлению внутрипонятийных и межпонятийных связей.

· При организации деятельности учащихся на этом этапе следует чаще использовать метод самостоятельных работ, всемерно способствовать умственному развитию учащихся.

· Кроме того, надо учесть, что младшие школьники лучше усваивают материал, если его включать в уроки небольшими частями, но достаточно длительное время.

Приложение №1

Арифметические действия

Название действия	Знаки	Название знака	Название компонентов	Название выражений	Примеры прочтения
Сложение	+	«Плюс»	3 – слагаемое 5 – слагаемое 8 – сумма или значение суммы	3 + 5 сумма	Сложить Прибавить Увеличить на… Больше на … Сумма 1-е слагаемое, 2-е слагаемое
Вычитание	-	«Минус»	7–уменьшаемое 4 – вычитаемое 3 – разность или значение разности	7 – 4 разность	Вычесть Уменьшить на … Меньше на … Разность Уменьшаемое, вычитаемое
Умножение	*, х	Знак умножения	2 – множитель 3 – множитель 6–произведение или значение произведения	2* 3 произведение	Умножить Увеличить в … Больше в … Произведение 1-й множитель, 2-й множитель
Деление	:	Знак деления	8 – делимое 2 – делитель 4 – частное или значение частного	8: 2 частное	Разделить Уменьшить в … Меньше в … Частное Делимое, делитель

Приложение №2

Похожая информация.

→ Арифметические действия

Арифметические действия

Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием . В арифметике рассматривается шесть действий: сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в степень , извлечение корня .

1. Сложение . Это действие состоит в том, что по нескольким числам, называемым слагаемыми , находится число, называемое их суммой .

Пример : 4+3=7, где 4 и 3 – слагаемые, а 7 – их сумма.

2. Вычитание – действие, посредством которого по данной сумме (уменьшаемое ) и данному слагаемому (вычитаемое ) находят искомое слагаемое (разность ).
Это действие обратно сложению.

Пример : 7 – 3 = 4, где 7 – уменьшаемое, 3 – вычитаемое, а 4 – разность.

3. Умножение. Умножить некоторое число (множимое ) на целое число (множитель ) – значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе. Результат умножения называется произведением .

Пример : 2 ∙ 3 = 6, где 2 – множимое, 3 – множитель, а 6 – произведение. (2 ∙ 3 = 2 + 2+ 2 = 6)

Если множитель и множимое меняются ролями, то произведение остается тем же. Поэтому множитель и множимое также называются сомножителями .

Пример : 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2, то есть (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Полагают, что если множителем является 1, то a ∙ 1 = a.

Например : 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. Деление. Посредством деления по данному произведению (делимое ) и данному сомножителю (делитель ) находят искомый сомножитель (частное ).
Это действие обратно умножению.

Пример : 8: 2 = 4, где 8 – делимое, 2 – делитель, а 4 – частное.

Проверка деления : произведение делителя 2 и частного 4 дает делимое 8. 2 ∙ 4 = 8

Деление с остатком

Если при делении целого числа на целое число в частном получается целое число, то такое деление целых чисел называется точным , или, что первое число нацело делится (или просто – делится) на второе.

Например : 35 делится (нацело) на 5, частное есть целое число 7.

Второе число при этом называется делителем первого, первое же – кратным второго.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое (см. признаки делимости).

Точное деление возможно далеко не всегда. В таком случае выполняют так называемое деление с остатком . В этом случае находят такое наибольшее число, которое при умножении на делитель даст произведение, не превосходящее делимого. Это число называется неполным частным . Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком от деления .
Делимое равно делителю, умноженное на неполное частное, плюс остаток. Остаток всегда меньше делителя.

Пример : Неполное частное от деления числа 27 на 4 равно 6, а остаток равен 3. Очевидно, 27 = 4∙6 + 3 и 3˂4.

5. Возведение в степень. Возвести некоторое число в целую степень (во вторую, в третью и т.д.) – значит взять это число сомножителем два, три раза и т.д. Иначе говоря, возведение в степень выполняется повторным умножением.
Число, которое берётся сомножителем, называется основанием степени ; число, показывающее, сколько раз повторяется основание, называется показателем степени ; результат возведения числа в степень называется степенью этого числа.

Пример : 2∙2∙2 = 2³ = 8; где 2 – основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.

Вторую степень числа иначе называют квадратом , третью степень – кубом . Первой степенью числа называют само это число.

6. Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени (подкоренное число ) и данному показателю степени (показатель корня ) находят искомое основание (корень ).
Это действие обратно возведению в степень.

Пример : ³√64 = 4; где 64 – подкоренное число, 3 – показатель корня, 4 – корень.

Проверка извлечения корня : 4³=64. Возведение числа 4 в 3-ю степень даёт 64.

Корень второй степени иначе называют квадратным ; корень третьей степени – кубическим .
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √36 = 6 означает ²√36 = 6.

Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике - Выгодский М.Я., "Наука", 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9-11 кл. - Шахно К. У., "Учпедгиз", 1961 г.

Арифметических действий