Передачу энергии по длинной линии можно рассматривать так же как и распространение электромагнитных волн по направляющим системам, которыми, кроме двухпроводных линий, могут быть металлические, диэлектрические и полупроводниковые поверхности, трубки, стержни и т.д. Электромагнитные волны в направляющих системах движутся вдоль граничных поверхностей. Направляемые волны, подобно плоской электромагнитной волне, распространяются только в каком - то заданном направлении. Они делятся на поперечные , электрические , магнитные и смешанные . Названия определяются ориентацией векторов напряженности электрического Е и магнитного Н полей распространяющейся волны.

Поперечными , или волнами типа Т (от англ. transversal - поперечный), называются волны, у которых в направлении распространения энергии отсутствуют составляющие векторов Е и Н , то есть эти векторы лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения энергии.

Электрическими , или волнами типа Е Е Н - только поперечные.

Магнитными , или волнами типа Н называются волны, у которых вектор Н имеет и поперечные и продольную составляющие, а вектор Е - только поперечные.

Смешанными , или гибридными типа НЕ или ЕН называются волны, у которых векторы Е и Н имеют как поперечные, так и продольные составляющие.

Для пояснения этого используем следующий пример. Пусть в некоторой направляющей системе энергия распространяется вдоль ось декартовой системы координат. Тогда оси , будут поперечными, так как они лежат в плоскости, перпендикулярной оси . В этом случае будем иметь: для волн Т ; для волн Е , ; для волн Н , ; для смешанных , .

Все направляющие системы делятся на два широких класса: открытого и закрытого типов. В линиях передачи открытого типа переносимая энергия распределена во всем окружающем линию пространстве. Чаще всего конструкции линий этого типа выполняют так, чтобы большая часть энергии электромагнитного поля была сосредоточена в непосредственной близости от линии. Примером линии открытого типа являются симметричные кабели. Эти линии подвержены влиянию среды и окружающих предметов, то есть в них практически всегда наблюдаются потери на излучения.

В линиях передачи закрытого типа вся передаваемая энергия сосредоточена в пределах объема, экранированного от окружающей среды металлической оболочкой той или иной формы. Из линий закрытого типа широко используются коаксиальные кабели. Линия этого типа является двухпроводной экранированной, а поэтому потери на излучение в ней отсутствуют.

По мере увеличения частоты электромагнитной энергии в коаксиальных линиях передачи растут потери в диэлектрике, поэтому они применяются до частот не более 1-3 ГГц. Если в коаксиальной линии убрать внутренний проводник, то не будет необходимости в жестком диэлектрике, который обеспечивает соосность проводника и экрана. Потери резко упадут. Но ток проводимости по одному проводу (металлической трубке - экрану) проходить не будет. На низких частотах передача электрической энергии при этом отсутствует. Однако при определенных условиях электромагнитные волны могут распространяться по полым металлическим трубам различной формы поперечного сечения, которые называются волноводами .

Процесс передачи энергии по волноводам эквивалентен радиопередаче, но здесь распространяется волна не во все стороны, а лишь в заданном направлении.

Физические процессы в волноводах.

Электромагнитное поле в волноводе . Рассмотрим двухпроводную линию , нагруженную на сопротивление, равное волновому.

Пояснение принципа образования волновода.

В такой линии наблюдается режим бегущей волны. Для того чтобы закрепить провода и в воздухе, используем четвертьволновые короткозамкнутые шлейфы, расположенные на произвольных расстояниях друг от друга. Так как входное сопротивление таких шлейфов теоретически бесконечно, то их можно рассматривать как металлические изоляторы и они не нарушают работу исходной двухпроводной линии. Устремив число шлейфов к бесконечности, а расстояние между ними к нулю, получим конструкцию, которая называется прямоугольным волноводом .

Металлические волноводы: а) - прямоугольный; б) - круглый.

Таким же образом можно перейти от двухпроводной линии к круглому волноводу . Только в этом случае металлическим изоляторам следует придать не прямоугольную, а круглую форму.

Режим работы волновода в сильной степени отличается от режима работы двухпроводной линии с согласованной нагрузкой. В волноводе, кроме бегущей волны, распространяющейся в направлении оси, будут существовать стоячие волны в поперечном сечении. Эти волны образуются за счет энергии, ответвляющейся от бегущей вдоль оси волны в металлический изолятор.

Структура поля в поперечном сечении волновода:

Густота силовых линий здесь характеризует напряженность (интенсивность) поля.

Критическая длина волны в волноводе.

Если изменить рабочую длину волны так, что размер широкой стенки волновода станет меньше , то передача энергии по волноводу прекратится, так как сопротивление металлических изоляторов резко уменьшится, увеличится количество ответвляющейся в них энергии, и уровень бегущей вдоль оси волны резко упадет. Поэтому, существует определенная длина волны , которая называется критической , при превышении которой распространение энергии вдоль волновода невозможно. Следовательно, для передачи энергии по волноводу требуется, чтобы рабочая длина волны , была меньше критической:

Критическая длина волны зависит от размеров волновода. Для прямоугольного волновода , то есть:

Типы волн в волноводе .

В волноводе могут существовать различные типы волн, отличающиеся структурой силовых линий, которые называются модами волновода. Для нахождения выражений, описывающих векторы поля Е и Н в волноводе, необходимо решить систему уравнений Максвелла с учетом геометрии конструкции. Полученная конкретная структура поля указывается индексами и , то есть волны обозначаются как , , , и т.д.

Число равно числу полуволн широкой стенки волновода , число - числу полуволн изменения интенсивности поля, укладывающихся вдоль узкой стенки волновода . Для круглого волновода индекс характеризует число волн поля по периметру , а - полуволн по диаметру .

Структура силовых линий вектора Н для волн типа и показана на рисунке.

Магнитное поле в продольном сечении волновода:

а) - волны типа ; б) - волны типа .

Структура поля волны типа в поперечном сечении прямоугольного волновода.

Зная тип волны, можно качественно построить картину поля в сечениях волновода и без применения формул для векторов поля Е и Н .

Волны различных типов отличаются не только структурой силовых линий. Различными у них являются и критические длины волны. Например, в прямоугольном волноводе:

.

Тип волны, критическая длина которой является наибольшей из всех возможных типов волн, называется основным типом волны, или основной волной (модой) данного волновода.

Применение волноводов.

Волноводы используются в различных радиотехнических устройствах в качестве фидеров, колебательных систем, называемых объемными резонаторами, фильтров, линий связи и т.д.

Фидеры . На частотах выше 1 ГГц для передачи электроэнергии от радиопередатчика к антенне или от антенны к приемнику в качестве фидера повсеместно используются волноводы. Поскольку фидер должен иметь малые собственные потери, внутренние стенки волновода тщательно шлифуются и покрываются слоем серебра. Этим и отсутствием изоляторов внутри волновода достигаются потери, значительно меньшие, чем в коаксиальных фидерах.

По волноводному фидеру можно передавать значительно большую энергию, чем по коаксиальному фидеру тех же размеров.

Волноводные линии связи . Возможность работы на высоких частотах (десятки гигагерц), большая широкополосность (сотни мегагерц), малое затухание явились предпосылками для использования металлических волноводов в качестве линий связи в сверхширокополосных многоканальных системах. Однако были построены только экспериментальные линии, так как экономически они оказались невыгодными. Более широкое применение нашли световодные волноводы.

Объемные резонаторы . Колебательная система может быть построена на базе волноводов прямоугольной и круглой формы.

Для перестройки волноводных резонаторов одна из короткозамыкающих волновод пластин выполняется в виде подвижного поршня. Возбуждение резонаторов и отвод энергии от них осуществляется так же, как и в волноводах, - с помощью штыря, рамки или отверстия связи.

Отличительной особенностью объемных резонаторов является высокая добротность, а следовательно, высокая фильтрующая способность их, как колебательных систем, и высокая стабильность резонансных частот. Величина добротности, в зависимости от конструкции, диапазона частот, тщательности обработки внутренней поверхности резонатора, колеблется от нескольких тысяч до нескольких сотен тысяч.

Основным недостатком объемных резонаторов является наличие множества резонансных частот.

Отметим также, что индексам m и n , которые определяют тип волны, можно придать четкий физический смысл. Именно, индекс m (n ) определяет число стоячих полуволн, укладывающихся вдоль широкой (узкой) стенки волновода.

2. Критическая длина волны как для волн Е mn , так и для волн H mn , зависит от размеров поперечного сечения волновода, типа волны и может быть определена по формуле

, (3.8)

где a и b – размеры широкой и узкой стенок волновода.

3. Из формулы (3.8) следует, что в случае a > b величина l кр принимает наибольшее значение при m = 1, n = 0. Отсюда следует, что основным типом волны в прямоугольном волноводе является волна H 10 . При этом критическая длина волны H 10 равна удвоенному размеру широкой стенки волновода, т.е.

l кр = 2а . (3.9)

4. Векторы и волны H 10 в волноводе без потерь определяются следующими формулами:

, (3.10)

где Н 0 – любая постоянная, которая определяется мощностью источников, возбудивших волну,

. (3.12)

5. Из формул (3.10) и (3.11) видно, что в поперечном сечении волновода вектор направлен перпендикулярно широкой стенке волновода, вектор – параллельно. При этом амплитуда вектора меняется по закону . Она максимальна в точках посреди широкой стенки, и убывает до нуля при приближении к узким стенкам.

Поперечные составляющие векторов и имеют одинаковые фазы, а продольная составляющая вектора опережает их на 90 0 .

На рис. 3.8 показана структура поля волны H 10 (поведение силовых линий векторов и в фиксированный момент времени). При этом пунктирными линиями обозначены силовые линии вектора напряженности магнитного поля, а сплошными – вектора напряженности электрического поля.

6. Подставим формулу (3.9) в соотношения (3.5), (3.6) и (3.7), тогда получим, что для основного типа волны прямоугольного волновода:

, , .

7. Коэффициент затухания волны Н 10 в стенках волновода можно рассчитать по формуле:

,

гдеR S – поверхностное сопротивление материала, из которого выполнен волновод, может быть определено по формуле:

.

8. Условие одноволнового режима в прямоугольном волноводе при а ³ 2b имеет вид

9. На поверхности стенок волновода протекают поверхностные токи, которые связаны с вектором магнитного поля следующей формулой:

где – орт внутренней нормали к стенкам волновода; – значение магнитного поля волны на поверхности стенок волновода.

На рис. 3.9. в качестве примера представлена структура токов (силовые линии вектора ) для волны Н 10 .

Рисунок 3.9 – Структура токов на стенках волновода для волны Н 10

Распределение тока по стенкам волновода важно знать как при конструировании самого волновода, так и при конструировании волноводных устройств. Большая плотность токов через ребро прямоугольного волновода требует хорошей проводимости этих участков. При создании на базе волноводов устройств различного назначения приходится прорезать в нем узкие щели. Щели не вызывают заметных потерь на излучение и не искажают структуру поля волны, если они расположены вдоль линий тока. Для волны Н 10 такими щелями являются поперечные щели на узких стенках и продольная щель, расположенная посредине широкой стенки волновода. На практике часто возникает задача создания излучающей щели, которая является элементом щелевой антенны или используется для ввода энергии в волновод. Излучающая щель хотя бы часть периода пересекается линиями тока.

10. Как отмечалось, в прямоугольном волноводе могут распространяться также высшие типы волн, которые могут быть использованы в тех или других волноводных устройствах. Структура поля высших типов волн имеет более сложный характер. В качестве примера на рис. 3.10 и рис. 3.11 представлены в поперечном сечении волновода структуры поля волн Н 11 и Е 11 .

3.5. Волны в круглом волноводе

Распространение волн в круглом волноводе удобно изучать в цилиндрической системе координат. В этой системе положение вектора в пространстве определяется координатами и соответствующими ортами . На рис. 3.12 представлено сечение круглого волновода радиуса .

Рассмотрим особенности распростране­ния волн в круглом волноводе.

1. В круглом волноводе, как и в прямо­угольном, могут распространяться волны электрического (Е mn ) и магнитного (Н mn ) типов. Для круглого волновода критические длины волн зависят от радиуса поперечного сечения волновода, типа волны и могут быть определены по следующим формулам:

где v mn – значение n -го корня функции Бесселя m -го порядка; – значение n -гокорня производной функции Бесселя m -гo порядка, – радиус волновода.

Отметим также, что для круглого волновода индексам m и n , которые определяют тип волны, также можно придать четкий физический смысл. Именно, индекс n определяет число полуволн, укладывающихся от оси волновода до его стенки, а индекс m определяет периодичность поля по полярному углу j.

В табл. 3.1 приведены корни функций Бесселя и ее производной, а также критические частоты волн в круглом волноводе с воздушным заполнением.

Таблица 3.1 – Корни функций Бесселя и ее производной

Н -волны	Е -волны
m – n	n ¢	f кр, ГГц см	m – n	n	f кр, ГГц см
1–1	1,8412	8,7849	0–1	2,4048	11,4743
2–1	3,0542	14,5728
0–1	3,8317	18,2824	1–1	3,8317	18,2824
3–1	4,2012	20,045
4–1	5,3176	25,372	2–1	5,1356	24,504
1–2	5,3314	25,438	0–2	5,5201	26,338
5–1	6,4156	30,611	3–1	6,3802	30,442
2–2	6,7061	31,997
0–2	7,0156	33,474	1–2	7,0156	33,474

2. Из табл. 3.1 и формул (3.13) видно, что критическая частота принимает наименьшее значение (l кр – наибольшее) при m = 1, n = 1. Отсюда следует, что основным типом волны в круглом волноводе является волна H 11 . При этом критическая длина волны H 11 определяется по формуле

3. Проекции векторов и волны Н 11 на орты цилиндричес­кой системы координат для случая волновода без потерь имеют вид

Волны типа Н характепизуются тем, что здесь магнитное поле имеет продольную составляющую , в то время как электрическое поле поперечно, т.е. .

Будем предполагать, что геометрия и физические параметры волновода остаются такими же, как при рассмотрении волн типа Е. Все составляющие электромагнитного поля могут быть выражены через составляющую с помощью формул перехода:

По аналогии с рассмотрением волны типа Е, составляющая должна удовлетворять уравнению Гельмгольца, решение которого должно искаться в виде

Здесь амплитудная функция является решением двумерного поперечного уравнения

.

Как и ранее, − поперечное волновое число.

Волновое уравнение должно быть дополнено граничными условиями, обеспечивающими обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического поля на идеально проводящих стенках волновода. Эти условия записываются следующим образом:

Формулы перехода позволяют записать данные условия через искомую функцию :

Таким образом, исследование распространения волн типа Н в прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению краевой задачи, описанной предыдущими формулами. Данная краевая задача отличается от задачи, которая описывала распространение волн типа Е, тем, что здесь на границе области, т. е. на контуре сечения волновода, обращается в нуль не сама искомая функция, а ее производная по направлению нормали. В математической физике такие краевые задачи носят название однородных краевых задач Неймана. В частности, задача, полностью подобная рассматриваемой, встречается в механике при рассмотрении колебаний упругой мембраны прямоугольной формы с незакрепленными краями. Равенство нулю нормальной производной ка краях означает отсутсвие в этих точках мембраны внутренних натяжений.

Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения переменных. Аналогично рассмотрению волны типа Е, запишем общее решение уравнения Гельмгольца в виде

Граничные условия при , могут быть удовлетворены тогда, когда . Далее, обозначая произведение как , будем иметь

Из граничных условий при , ледует, что

Здесь , − целые положительные числа, не равные нулю одновременно. Как и раньше, поперечное волновое число определяется соотношением

.

Каждой паре индексов , соответствует магнитный тип волны, обозначаемый как . Критическая длина волны для этого типа колебаний находится по общей формуле для критической длины волны:

Аналогично общему рассмотрению критической длины волны, для волн Н-типов справедливы выражения

,

.

Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямоугольном волноводе является низшим, т. е. обладает наибольшей критической длиной волны. Из анализа формулы критической длины волны следует, что наибольшей критической длиной волны будет характеризоваться тот тип колебаний, которому соответствуют наименьшие индексы. Поскольку для волн Н-типов

,

в данном случае один из индексов, но не оба вместе, может равняться нулю, так как при и все составляющие напряженностей поля равны нулю. В то же время известно, что для волн Е-типа такая ситуация невозможна. Это значит, что низший тип колебаний в прямоугольном волноводе принадлежит к классу волн Н-типа.

Наименьшими значениями и , при которых напряженность и отличаются от нуля, будут , и , , то есть волны типа и соответственно. Критические длины волн для этих типов волн в соответствии с общим выражением будут:

При обсуждении постановки задачи условились считать, что размер сечения волновода по координате больше, чем по координате , т. е. . Отсюда следует, что , то есть из двух колебаний с наименьшими из возможных индексов, наибольшей критической длиной волны будет обладать тип колебаний .

1.12.2. Волна типа

Рассмотрим этот тип колебаний в прямоугольном волноводе более подробно как из-за большей наглядности, так и из-за широкого практического использования этого типа колебаний.

Начнем с построения качественной картины поля. При этом в качестве исходной можно использовать структуру поля волны в волноводе, образованиом двумя идеально проводящими плоскостями.

Рисунок 20 − Построение картины распределения электромагнитного поля типа

Обращаясь к рисунку 20, заметим, что поскольку силовые линии электрического вектора здесь параллельны поперечной координате , во внутреннем пространстве волновода можно установить две идеально проводяшие перегородки. отстоящие друг от друга на расстояние . В силу перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам граничные условия на последних будут выполняться автоматически. Таким образом, можно рассматривать лишь поля, существующие в замкнутой области с прямоугольной формой сечения, то есть перейти к прямоугольному волноводу.

Чрезвычайно важно отметить, что данная картина поля останется справедливой при любом расстоянии между перегородками или, согласно принятой здесь терминологии, при любом размере узкой стенки волновода. Отсюда следует, что величина не должна входить в выражение, определяющее критическую длину волны для данного типа колебаний. Действительно, при , будем иметь

Поскольку волна типа в рассматриваемом волноводе является низшим типом колебаний, можно сформулировать полученный результат следующим образом: по прямоугольному волноводу могут передаваться лишь колебания с длинами волн, меньшими, чем удвоенный размер широкой стенки; более длинноволновые колебания по волноводу принципиально распространяться не могут.

Передачу электромагнитной энергии от генератора к нагрузке по волноводу следует вести на основном типе колебаний , так как анализ показывает, что при этом потери энергии в волноводе минимальны. Для того, чтобы в волноводе имели место только колебания типа , необходимо выбрать рабочую длину волны менее , но более , , и других критических длин волн. Практически необходимо соблюдать условие

Запишем сводку аналитических выражений для составляющих электромагнитного поля волны :

,

где − продольное волновое число, − постоянная распространения (волновое число) в свободном пространстве..

Данные формулы получены с помощью правил перехода от продольных компонет к поперечным. Как видно, в векторах поля волны типа присутствуют всего три составляющие. Рассмотрим их распределение внутри волновода подробнее.

Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, определим мгновенные значения каждой компоненты в зависимости от времени. Для этого нужно будет заменить на и умножить комплексные амплитуды на временной экспоненциальный множитель . Взяв затем от полученных формул действительную часть по формуле Эйлера, получим

.

Остальные компоненты поля равны нулю. Построим теперь точное распределение силовых линий для момента времени . Из выражений следует, что напряженность электрического поля имеет лишь одну составляющую , паралелльную оси . При этом величина составляющей не зависит от координаты . Поэтому электрические силовые линии представляют собой прямые, параллельные узкой стенке волновода (рисунок 21). Напряженность электрического поля в любом поперечном сечении волновода, параллельном плоскости , зависит лишь от координаты и меняется в соответствии с зависимостью . Наибольшее значение напряженность принимает при , т.е. в середине широкой стенки волновода. Следовательно, зависимость напряженности поля от координаты характеризуется полусинусоидой.

Рисунок 21 − Распределение поля в поперечном сечении волновода

В направлении оси величина при фиксированном времени изменяется по закону синуса и при в плоскости напряженность . Поэтому на рисунке 21 построено распределение в плоскости при , когда имеет максимальное значение, направленное сверху вниз. В середине силовые линии располагаются густо, указывая на максимум напряженности поля, и становятся более редкими по направлению к краям. Через половину периода времени направление силовых линий становится обратным.

Величина составляющей напряженности магнитного поля изменяется по координатам, как это следует из выражений для поля, аналогично изменению величины напряженности электрического поля.

Величина же составляющей по координате изменяется по закону косинуса , т.е. имеет максимальные противоположные по знаку значения у вертикальных (узких) стенок волновода , , и нулевое значение на середине поперечного сечения волновода .

Свойства волны . Как уже отмечалось, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н 10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а . На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (1.17) m =1 и n = 0 и учитывая формулы (1.16), получаем следующие выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов Е и Н в случае волны Н 10:

где: - скорость света в среде, заполняющей волновод.

Структура поля волны Н 10, построенная в соответствии с формулами (1.18), показана на рис. 1.3 и 1.6. Остановимся на картине распределения поля волны Н 10 в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Согласно уравнениям Максвелла, замкнутые линии магнитного поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В волноводе замкнутые линии магнитного поля пронизываются токами смещения. В случае волны Н 10 (см. рис.1.6) линии магнитного поля охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси Y. В распространяющейся волне максимальная плотность тока смещения получается в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю. Это следует из того, что вектор

Рис. 1.6. Структура поля волны H10

плотности тока смещения и, следовательно, сдвинут по фазе относительно вектора напряженности электрического поля на угол π/2, т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и максимумом напряженности электрического поля вдоль оси Z в фиксированный момент времени равно

Фазовая скорость vф,скорость распространения энергии vэ,длина волны в волноводе Λ и характеристическое сопротивление Zcв случае волны Н 10 вычисляются по формулам:

(1.19)

В соответствии с концепцией Бриллюэна (см. раздел 5 пособия 2) представим волну Н 10 в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.

Поле волны Н 10 не зависит от переменной у. Следовательно, поля парциальных волн также не должны зависеть от у , т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и х = а ) стенок волновода.

Пусть парциальная волна распространяется под углом φ к оси Z (волна 1на рис. 1.7). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля этой волны определяется выражением:

где А - некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н 10 имеет пучность на плоскости х = а/2 и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому кроме волны (1.20) должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна (волна 2), распространяющаяся, как показано на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Распространение парциальной волны под углом φ к оси Z

Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна , причем . Для образования пучности электрического поля в плоскости х = а /2 необходимо, чтобы векторы и при х = а /2 складывались синфазно. Для этого достаточно, например, чтобы фаза вектора в точке (а , 0, 0) совпадала с фазой вектора в точке (0, 0, 0). С учетом данного условия вектор:

Рис. 1.8. К определению угла φ

Для определения угла φ учтем, что на поперечном размере а широкой стенки волновода должна укладываться половина длины волны λх, а на отрезке ОА - половина длины волны ТЕМ (λ/2). Из треугольника ОАВ (см. рис. 1.8) следует равенство.