Существует несколько определений понятия вероятности. Приведем классическое определение. Оно связано с понятием благоприятствующего исхода. Те элементарные исходы (э.и.), в кот. интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому событию. Опр. : Вер.ю события А назыв. отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных э. и., образующих полную группу. P(A) = m/n, где m – число э. и., благоприятствующих событию А; n – число всех возможных э. и. испытания. Из определения вероятности вытекают ее св-ва :1)вер.(в) достоверного события всегда равна 1. Т.к. событие достоверно, то все э. и. испытания благоприятствуют этому событию, т.е. m=n. P(A)=n/n = 1; 2) В. невозможного соб. равна 0. Т.к. событие невозможно, то нет ни одного э. и., благоприятствующего этому событию, значит m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) В. случайного события есть неотрицательная вел-на, заключенная между 0 и 1, т.е. 0

4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительной частотой (ОЧ) события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. (НЕ омега!!!). W(A) = m/n, где m – число появления события А, n – общее число испытаний. Определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Определение ОЧ предполагает, что испытания были произведены фактически, т.е. вер. вычисляют до опыта, а ОЧ после опыта. Если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из кот. число испытаний достаточно велико, то ОЧ обнаруживает св-во устойчивости. Это св-во состоит в том, что в различных опытах ОЧ изменяется мало, тем меньше, чем больше произведено испытаний, колеблаясь около некоторого постоянного числа. Это число есть вер. появления события. Т.о. опытным путем установлено, что ОЧ можно принять за приближенное значение вероятности.

5.Статистическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов кот. бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наряду с классич. опр. используют статистическое. Опр.: стат. вер. (ст.в.) события – относительная частота (ОЧ) или число близкое к ней. Св-ва вероятности, вытекающие из классич. определения, сохраняются и при статистическом. Если событие достоверно, то его ОЧ =1, т.е. ст.в. также =1. Если событие невозможно, то ОЧ = 0, т.е. ст.в. тоже = 0. Для любого события 0W(A) 1, сл-но. ст.в. заключена между 0 и 1. Для существования ст.в. требуется: 1) возможность хотя бы принципиально проводить неограничен. число испытаний, в каждом из кот. событие наступает или не наступает; 2) устойчивость ОЧ появления события в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистич. определения является неоднозначность ст.в. Например, если в рез-те достаточно большого числа испытаний оказалось, что ОЧ весьма близка к 0,6, то это число можно принять за ст.в. Но в кач-ве вероятности события можно принять не только 0,6, но и 0,59 и 0,61.

Определение . Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n A раз.

Число n A называется частотой события А , а отношение

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.

Свойства относительной частоты

Относительная частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.

2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.

3. Частота достоверного события равна 1, т.е.

4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то

Частость обладает свойством , называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n ) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р .

Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n .

Вероятность события А обозначается символом Р (А ) или р (А ). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.

Согласно данному определению

Свойства статистической вероятности

1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.

3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.

4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то

Классическое определение вероятности

Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А , называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А , w А .

Определение . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

Свойства «классической» вероятности

1. Аксиома неотрицательности : вероятность любого события А неотрицательна, т.е.

Р (А ) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности : вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:

3. Аксиома аддитивности : вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то

Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).

Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными , и тогда Р (А·В ) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:

Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми .

Полезный алгоритм

При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.

1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.

2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А , вероятность которого необходимо найти.

3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.

6. Следуя классическому определению вероятности, определить

При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w , а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.

Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, имеющие место в массовых однородных испытаниях (МОИ).

Испытание – это комплекс каких-либо условий, действий.

МОИ – это такие испытания, которые теоретически могут быть продолжены до бесконечности (учёба, соц.опросы, подбрасывание монеты).

Исход испытания – возможный результат испытания.

Событие – это абстракция исхода испытания (произошло явление в МОИ или нет).

НАПР., подбрасывание монеты – испытание, а появление «орла» - событие.

Событие принято обозначать большими лат. буквами A, B, C.

ВИДЫ СОБЫТИЙ:

1. Достоверным называется событие, которое произойдёт при любом исходе испытания.

2. Невозможное – не произойдет ни при каком исходе испытания.

3. Случайное – может произойти в результате испытания или нет.

НАПР., Подбрасывается игральный кубик.

Событие А – число очков не > 6: достоверное.

Событие В – число очков > 6: невозможное.

Событие С – от 1 до 6: случайное.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1. Равновозможные – такие, для которых сущ-вуют равноправие отдельных исходов испытания.

НАПР., извлечение короля, туза, дамы, валета из колоды карт.

2. Единственновозможные - такие, если в испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

НАПР., В семье 2 детей: А – 2 мальчика, В – 2 девочки, С – 1 м. и 1 д.

Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика – наука о соединениях. Под соединением понимают любую совокупность элементов некоторого множ-ва.

НАПР., множ-во студентов, сидящих в аудитории.

Все соединения делятся на 3 группы:

1)Размещения. Р-ми из n эл-тов по m () называются такие соед-я, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком соединения эл-тов, либо тем и другим вместе.

Аnm = n!/(n-m)!

Задача. Сколько различных 2значных чисел можно составить из множ-ва цифр {1;2;3;4}, причем так, чтобы цифры числа были различными.

А из 4 по 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) Сочетания. Сочетаниями из n эл-тов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом эл-тов (порядок следования не важен)

С из n по m = n!/m!*(n-m)!

Задача. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить путевки в санаторий Уссури.

C из 30 по 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Перестановки (Pn). Перестановками из n эл-тов называются такие соединения, которые включают в себя все n эл-тов и отличаются друг от друга только порядком их соединения.

Задача. Скольким числом способов можно расставить в шеренгу 6 курсантов на плацу.

ПРАВИЛО СУММЫ – если объект а может быть выбран из множ-ва различными s способами, а объект b – различными r способами, тогда выбор одного из эл-тов a или bar может быть осуществлен различными r+s способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ – если объект а может быть выбран различными s способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран различными r способами, тогда выбор пары эл-тов может быть осуществлен различными r*s способами (а и b = r*s).

Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).

СВОЙСТВА В-ТИ:

1) В-ть достоверного события = 1.

Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0

0

Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1.

Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.

W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний.

В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после.

УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A).

СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события A определяется формулой

W (A ) = m /n ,

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты, предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту - после опыта.

Пример 1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

W (A ) =3/80.

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

W (A ) =19/24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний ), колеблясь около некоторого постоянного числа . Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной частотой и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935г. По месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно, то же значение относительной частоты.

Пример 4. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления «герба». Результаты нескольких опытов приведены в табл.1.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24000 испытаний – лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

§ 7. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определениенеприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. § 8) и, конечно, использованием аксиоматической вероятности (см. § 3, замечание).

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображения симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности вытекающие из классического определения (см. § 3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m = n и относительная частота

m /n = n /n = 1,

т.е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно,то m = 0 и, следовательно, относительная частота

0/n = 0,

т.е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события 0 m n и, следовательно, относительная частота

0 m / n 1,

т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события A требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие A наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления A в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т.д.

Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L , вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P = Длина l / Длина L .

Пример 1 . На отрезок OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B (x ). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, большую L

Решение. Разобьем отрезок OA точками C и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка B (x ) попадает на отрезок CD длины L /3. Искомая вероятность

P = (L /3)/ L = 1/3.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G , вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G , ни от формы g . В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

P = Площадь g / Площадь G.

Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g )

S g = p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Площадь большого круга (фигуры G )

S G = p10 2 = 100 p.

Искомая вероятность

P = 75 p/(100 p) = 0,75.

Пример 3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью T . Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает если разность между моментами поступления сигналов меньше t ( t < T ). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время T ,если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Решение. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через x и y . В силу условия задачи должны выполнятся двойные неравенства: 0 x T, 0 y T .Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy . В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата OTAT (рис.1).

Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G , координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t , т.е. если y -x <t при y >x и x -y <t при x >y , или, что то же,

y <x +t при y >x , (*)

y >x -t при y <x . (**)

Неравенство (*) выполняется для тех точек фигуры G , которые лежат выше прямой y = x и ниже прямой y = x +t ;неравенство (**)имеет место для точек, расположенных ниже прямой y = x и выше прямой y = x -t .

Как видно из рис.1. все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g , координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени x и y .

Искомая вероятность

P = Пл. g / Пл. G = (T 2 - (T - t ) 2)/ T 2 = (t (2 T - t ))/ T 2 .

Замечание1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру(длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g – часть области G , равна

P = mes g / mes G .

Замечание 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Задачи

1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной

Отв . p = 0,1.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Отв . p = 0,5.

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

Отв . p = 0,81.

4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того что на вытянутых по одному и расположенных «одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

Отв . p = 1/120.

5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».

Отв . p = 1/ = 1/360.

6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б)две; в) три.

Отв . а)0,384; б)0,096; в)0,008.

7. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.

Отв . а)2/9; б)4/9.

8. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

Отв . p = 1/6 5 .

9. Восемь различных книг расставляют наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставлены рядом.

Отв . p = 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

Отв . p =

11. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Отв . w = 0,05.

12. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Отв . 102 попадания.

13. На отрезок OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B (x ).Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, меньшую, чем L /3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Отв . p = 2/3.

14. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

P = 7/16.

Глава вторая

Известно, что случайное событие вследствие испытания может произойти или не произойти. Но при этом для разных событий в одном и том же испытании существуют разные возможности. Давайте разберём пример. Если в урне сто тщательно перемешанных одинаковых шариков, причем среди них лишь десять черных, а остальные - белые, то при извлечении наугад одного шарика больше возможностей, что появится имеет именно белый. Возможность появления того или иного события в данном испытании имеет численную меру, которая называется вероятностью этого события и согласно теории вероятностей, можно посчитать, каков же шанс увидеть чёрный или белый шар.

Классическое определение вероятности

Предположим, что при проведении определенного испытания возможно появление $n$ элементарных равновозможных событий. Из этого количества число $m$ - это количество тех элементарных событий, которые благоприятствуют появлению определенного события $A$. Тогда вероятностью события $A$ называется отношение $P\left(A\right)=\frac{m}{n} $.

Пример № 1.

В урне 3 белых и 5 черных шариков, которые отличаются лишь цветом. Испытание заключается в том, что из урны наугад вынимают один шарик. Событием $A$ считаем "появление белого шарика". Вычислить вероятность события $A$.

При испытании можно извлечь любой из восьми шариков. Все эти события являются элементарными, поскольку они несовместны и образуют полную группу. Понятно также, что все эти события - равновозможны. Итак, для вычисления вероятности $P\left(A\right)$ можно применить классическое ее определение. Как решение имеем: $n=8$, $m=3$, а вероятность извлечь из шаров именно белый будет равна $P\left(A\right)=\frac{3}{8} $.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

• вероятность достоверного события $V$ всегда равна единице, то есть $P\left(V\right)=1$; это объясняется тем, что достоверному событию благоприятствуют все элементарные события, то есть $m=n$;
• вероятность невозможного события $H$ всегда равна нулю, то есть $P\left(H\right)=0$; это объясняется тем, что невозможному событию не благоприятствует ни одно из элементарных, то есть $m=0$;
• вероятность любого случайного события $A$ всегда удовлетворяет условию $0

Таким образом, в общем случае вероятность любого события удовлетворяет неравенству $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Относительная частота и её устойчивость

Определение 1

Предположим, что выполняется довольно большое количество испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти определенное событие $A$. Такие испытания называют серией испытаний.

Предположим, что проведена серия из $n$ испытаний, в которых событие $A$ состоялось $m$ раз. Здесь число $m$ называют абсолютной частотой события $A$, а отношение $\frac{m}{n} $ называют относительной частотой события $A$. Например, из $n=20$ использованных во время пожара огнетушителей не сработали (событие $A$) $m=3$ огнетушителя. Здесь $m=3$ - абсолютная частота события $A$, а $\frac{m}{n} =\frac{3}{20} $ - относительная.

Практический опыт и здравый смысл подсказывают, что при малых $n$ значения относительной частоты не могут быть устойчивыми, но если количество испытаний увеличивать, то значения относительной частоты должны стабилизироваться.

Пример № 2.

Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти. Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных мальчика, образующих костяк команды, должны войти в команду?

В соответствии с условием задачи, двое мальчиков войдут в команду сразу. Следовательно, остается отобрать трех мальчиков из восьми. При этом важен только состав, так роли всех членов команды не различаются. Это значит, что мы имеем дело с сочетаниями.

Сочетаниями из $n$ элементов по $m$ называются комбинации, состоящие из $m$ элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, но не порядком расположения элементов.

Количество сочетаний вычисляется по формуле $C_{n}^{m} =\frac{n!}{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.

Таким образом, количество различных способов формирования команды в количестве трех мальчиков, выбирая их из восьми мальчиков - это число сочетаний из 8 элементов по 3:

$C_{8}^{3} =\frac{8!}{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$

Пример № 3.

На полке в кабинете в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них по алгебре. Преподаватель берет наудачу три книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг окажется по алгебре.

Событие $A$ (хотя бы одна из взятых трех книг - книга по алгебре) и $\bar{A}$ (ни одна из взятых трех книг не является книгой по алгебре) - противоположные, поэтому Р(А) + Р($\bar{A}$) = 1. Отсюда Р(А) = 1-Р($\bar{A}$). Таким образом, искомая вероятность Р(А) = 1 - $C_{10}^{3} \, /C_{15}^{3} \, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Пример № 4.

Из двадцати акционерных обществ четыре являются иностранными. Гражданин приобрел по одной акции шести акционерных обществ. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями иностранных акционерных обществ?

Общее число комбинаций выбора акционерных обществ равно числу сочетаний из 20 по 6, то есть ${\rm C}_{{\rm 20}}^{{\rm 6}} $. Число благоприятствующих исходов определяется как произведение ${\rm C}_{{\rm 4}}^{{\rm 2}} \cdot {\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} $, где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора иностранных акционерных обществ из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться акционерные общества, не являющиеся иностранными. Число комбинаций таких акционерных обществ будет ${\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} $. Поэтому искомая вероятность запишется в виде ${\rm P}=\frac{{\rm C}_{{\rm 4}}^{{\rm 2}} \cdot {\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} }{{\rm C}_{{\rm 20}}^{{\rm 6}} } =0,28$.

Пример № 5.

В партии из 18 деталей находятся 4 нестандартных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся нестандартными.

Число всех равновозможных несовместных исходов $n$ равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е. $n=C_{18}^{5} =8568$.

Подсчитаем число исходов $m$, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 стандартных и 2 нестандартных. Число способов выборки двух нестандартных деталей из 4 имеющихся нестандартных равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_{4}^{2} =6$.

Число способов выборки трех стандартных деталей из 14 имеющихся стандартных равно $C_{14}^{3} =364$.

Любая группа стандартных деталей может комбинироваться с любой группой нестандартных деталей, поэтому общее число комбинаций $m$ составляет $m=C_{4}^{2} \cdot C_{14}^{3} =6\cdot 364=2184$.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов $m$, благоприятствующих событию, к числу $n$ всех равновозможных и несовместных событий $P(A)=\frac{2184}{8568} =0,255.$

Пример № 6.

В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется хотя бы один белый шар.

Пусть событие $ $ - среди вынутых шаров хотя бы один белый.

Рассмотрим противоположное событие $\bar{}$ - среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.

Используем формулы комбинаторики.

Количество способов вынуть четыре шара из одиннадцати:

$n=!_{11}^{4} =\frac{11!}{4!\cdot (11-4)!} =330$

Количество способов вынуть четыре черных шара из одиннадцати:

$m=!_{5}^{4} =\frac{5!}{4!\cdot (5-4)!} =5$

Получаем: $\; (\bar{})=\frac{m}{n} =\frac{5}{330} =\frac{1}{66} $; $P(A)=1-\; (\bar{A})=1-\frac{1}{66} =\frac{65}{66} $.

Ответ: вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого равна $\frac{65}{66} $.