На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях

Определение

Рациональное выражение - это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень.

Рассмотрим пример рационального выражения:

Частные случаи рациональных выражений:

1. степень: ;

2. одночлен: ;

3. дробь: .

Преобразование рационального выражения - это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).

Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений.

Пример 1

Решение:

Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках.

Ответ:

Пример 2

Решение:

Ответ:

Пример 3

Решение:

Ответ: .

Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом.

Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым.

На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования , а также несколько конкретных примеров данных преобразований.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.

Транскрипт

1 8 класс Алгебра Тема "Рациональные дроби" 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей. Теперь настало время специально заняться изучением этого непростого раздела алгебры. Определение. Алгебраической дробью называют выражение, где Р и Q многочлены; Р числитель алгебраической дроби, Q знаменатель алгебраической дроби. Примеры алгебраических дробей: Иногда алгебраическое выражение по форме является алгебраической дробью, а по существу нет. Так обстоит дело в последних двух из пяти приведенных выше примеров. Действительно, это одночлен (с коэффициентом); дробь можно переписать в виде,а это уже не алгебраическая дробь, а многочлен (двучлен). Да и в третьем из приведенных примеров после сокращения получается не дробь, а двучлен а - 2. Но, в сущности, это не столь важно, так было и с обыкновенными дробями. Скажем, по форме обыкновенная дробь, а по содержанию натуральное число 2. Пример 1. Найти значение алгебраической дроби если: а) а = 2, b = 1; б) а = 5, b = 0; в) а = 4, b = 4. Р е ш е н и е. а) При а = 2, b = 1 получаем б) При а = 5, b = 0 получаем в) При а = 4, b = 4 выражение а - b обращается в нуль, а потому знаменатель данной дроби обращается в нуль. Но на нуль делить нельзя. Значит, пара значений а = 4, b = 4 является для заданной дроби недопустимой, т. е. числитель алгебраическая дробь в этом случае не имеет знаменатель смысла. Условимся в дальнейшем, что переменные, входящие в состав алгебраической дроби, принимают лишь допустимые значения, т. е. такие значения, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

2 Замечание. Пример 1 решен правильно, но «некультурно». Ведь алгебраическую дробь, можно сократить. Напомним, как мы это делали в 7-м классе: Согласитесь, что если бы мы начали с сокращения дроби, то все вычисления существенно упростились. Поэтому у математиков как бы выработался рефлекс: если им встретилась алгебраическая дробь, то прежде всего они выясняют, нельзя пи ее сократить. Пример 2. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч собственная скорость лодки, тогда по течению реки она плывет со скоростью (х + 2) км/ч, а против течения со скоростью (х 2) км/ч. По течению реки, т. Е. со скоростью (х + 2) км/ч, лодка прошла путь 10 км. Значит, время, затраченное на этот путь, выражается формулой. Против течения реки, т. Е. со скоростью (х 2) км/ч, лодка прошла путь 6 км. Следовательно, время, затраченное на этот путь, выражается формулой. По условию задачи на весь путь (т. Е. на 10 км по течению и 6 км против течения) суммарно затрачено 2 ч. Итак, получаем Это уравнение математическая модель задачи. Второй этап. Работа с составленной моделью. Обратите внимание на левую часть уравнения. Она представляет собой сумму алгебраических дробей. Таким образом, приходим к следующим выводам: 1) алгебраические дроби могут входить в состав той или иной математической модели; 2) надо научиться оперировать с алгебраическими дробями, чтобы, в частности, уметь складывать дроби; 3) пока мы не научимся оперировать с алгебраическими дробями, мы не сможем осуществить второй этап решения задачи этап работы с составленной моделью. Придется нам вернуться к этой задаче позднее, когда мы будем готовы довести ее до конца, это произойдет в 7. Итак, теперь вы не сомневаетесь в том, что алгебраические дроби нужны и что мы должны научиться оперировать с ними. Этим и займемся в следующих параграфах.

3 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ Памятка учащимся. Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Например: (и числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось); (и числитель и знаменатель мы одно временно разделили на одно и то же число 11; значение дроби не определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. Эти преобразования можно описать так: 1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это тождественное преобразование заданной алгебраической дроби. 2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби. Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби. Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно дробь заменить (если, конечно, в этом есть необходимость) дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на х - 2) или дробью (числитель и знаменатель

4 одновременно умножили на 2х). Напротив, пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно заменить дробь более простой дробью (числитель и знаменатель одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь). Пример. Преобразовать заданные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями: Р е ш е н и е. а) Имеем: Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно говорят «к общему знаменателю»). Для этого пришлось числитель и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный множитель 5, а числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3; сделать это позволяет основное свойство дроби. б) Имеем Дроби приведены к общему знаменателю 12b 3 с помощью дополнительных множителей соответственно 3b и 2. в) Имеем Дроби приведены к общему знаменателю х 2 - у 2 с помощью дополнительных множителей соответственно х - у и х + у. Приводя в этом примере алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой. Однако если при сокращении дроби мы ее упрощаем, то в рассмотренном примере каждая дробь заменялась более сложной. Наверное у вас возник вопрос: а нужно ли такое «усложняющее» преобразование? Оказывается, нужно, и в этом мы с вами скоро убедимся. С основным свойством алгебраической дроби связаны правила изменения знаков у числителя и знаменателя. Так, имеет место равенство здесь числитель и знаменатель первой дроби мы одновременно умножили на одно и то же число - 1. Если же изменить знаки только в числителе или только в знаменателе, то следует изменить знак и перед дробью:

5 Задания: «Рациональные дроби и их свойства». 1. Укажите допустимые значения переменной в выражении: А) ; Б) ; В) 2. Сократите дроби: А) ; Б) ; В) ; Г) 3. Найдите значение выражения: A) ; Б) ; В) 4. Вычислите: А) ; Б) 5. Найдите значение дроби: при a=1.8, b= СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби: т. е. составляют соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставляют без изменений. Пример. Выполнить действия: Решение. Применив правило сложения и вычитания алгебраических дробей, получим Теперь можно упростить числитель, выполнив обычным образом соответствующие операции над многочленами: (2а 2 + 5) +(2аb + b) - (b + 5) = = 2а аb + b - b - 5 = 2а 2 + 2аb. Таким образом, заданную алгебраическую сумму трех дробей нам удалось преобразовать в дробь. А теперь вспомните то, что мы говорили в предыдущем параграфе: получив алгебраическую дробь, нужно посмотреть, нельзя ли ее сократить. Имеем Приведем теперь решение рассмотренного примера без комментариев (как это вы будете делать у себя в тетрадях):

6 Как видите, в результате преобразований получилось более простое алгебраическое выражение, чем было задано в условии примера. Именно в упрощении и состоит цель преобразований, поэтому часто, вместо словосочетания «выполнить действия», используют словосочетание «упростить выражение». Задания по теме: «Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями» 1. Выполните сложение или вычитание дробей. А) ; Б) ; В) 2. Найдите значение выражения: А) при y=3.1, y=-2; Б) при с=3, с=-3 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей. Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей Пример 1. Выполнить действия: Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

7 Самое трудное в приведенном алгоритме это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из 2. Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1. Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным). Для дробей общим знаменателем является одночлен 12b 3. Он делится и на 4b 2 и на 6b 3, т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе. Для дробей общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у. При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение. Теперь можно оформить соответствующий алгоритм. Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

8 Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1. Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b, может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4. Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3, чем 48а 2 b 4? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя. Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби, надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно- жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби. Обычно используют следующую запись: Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3. Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

9 Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку. Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю Пример 2. Упростить выражение Решение. Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители. Имеем 4а 2-1 = (2а - 1) (2а + 1), 2а 2 + а = а(2а + 1). Первый знаменатель берем целиком, а из второго добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель a(2a - 1) (2a +1). Удобно расположить записи в виде таблицы: Второй этап. Выполним преобразования:

10 При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом. В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих). Пример 3. Упростить выражение Решение. Первый этап. Разложим все знаменатели на множители: 1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ; 2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а); 3) 6а 4-6а 3 b = 6а 3 (а- b). Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a b), из третьего недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3). Алгебраические дроби Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак. Второй этап. Выполним преобразования: Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих случаях знаменатели обращаются в нуль).

11 Задания по теме «СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ». 1. Выполните сложение или вычитание дробей: А) ; Б) ; В) 2. Представьте в виде дроби: А) ; Б) 3. Докажите тождество: 4. Зная, что, найдите значение дроби: 5. При каком значении a выражение, тождественно равно дроби

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Конспект открытого урока алгебры в 7 классе по теме «Сложение и вычитание одночленов» Класс: 7 Учитель: Абрамова Т.А. Дата проведения: 18.0.01 Количество учащихся: 5 Место урока в системе уроков: второй

Алгебра 7 класс Задания для самостоятельного решения Задания А1-А соответствуют уровню обязательной подготовки Тема: Числовые выражения и выражения с переменными А1 Запишите в виде выражения: сумму чисел

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

П/п Тема урока (кол-во часов) Код элемента содержания (КЭС) Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) Элемент содержания Раздел 1: Математический язык. Математическая модель (14 ч) 1 Числовые выражения

Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.6 Алгебра (учебник Никольский С.М.) Тема модуля: «Одночлены. Многочлены» Теоретическая часть 1. Числовые выражения. Буквенные выражения 2. Понятие одночлена 3. Произведение

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Урок а Наименование разделов и тем Календарно-тематическое планирование по алгебре 7 класс (3 часа в неделю, 102 часа в год) По учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой и др. Характеристика основных

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 15» РАССМОТРЕНО на заседании ШМО МБОУ «СОШ 15» Руководитель ШМО /Асланова С. Ш./ Протокол 1от 2016 г СОГЛАСОВАНО

Рабочая программа предмета «Алгебра» для 7 а, 7г классов на 2016-2017 учебный год Программа рассмотрена на ШМО учителей математики и информатики 15 июня 2016 года Составитель: С.С..Костикова, учитель математики

АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ класс МОСКВА «ВАКО» 2014 УДК 33:16.1:51 ББК 4.262.21 Р8 Р8 Рурукин А.Н. Поурочные

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0, коэффициентами

Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Итоговый тест по алгебре 7 класс Вариант 1 Базовый уровень А1. Найдите значение выражения: 7,8 6,3+7,8 13,7 1)156 2)78 3)-78 4) 146. А2. Решите уравнение: 5у-3,5=2у+5,5 1)5. 2)-3. 3) 3. 4) 4. А3. Упростите

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Рабочая программа по алгебре, 7 класс по учебнику: А.Г. Мордкович «Алгебра 7» п\п Темы учебных занятий. Практическая работа Знания и умения по теме Глава. Математический язык. Математические модели. 3.

Http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА алгебра (наименование учебного курса, предмета, дисциплины, модуля) ДЛЯ _7 «А»_КЛАССА НА 014/015 УЧЕБНЫЙ ГОД Составитель программы Фирсова О.В. (Ф.И.О. учителя-составителя программы,

Глава 5 «Уравнения» Методический комментарий к главе, советы и решения некоторых заданий к главе по параграфам. (Материал взят из «Книги для учителя» к учебникам по алгебре М.И. Башмакова, 7 9 класс, издательство

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа (M N) d () p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Севастополя «Средняя общеобразовательная школа 52 имени Ф.Д.Безрукова РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету «Алгебра» для 7 класса на 2016 2017 учебный

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МОСКВА

Демонстрационный вариант итоговой работы по математике для учащихся классов Для заданий -7 запишите ответ в указанном месте. Для заданий -0 запишите полное решение и ответ.. Решите уравнение: 0.. Вычислите

4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Рабочий лист 1 Арифметические действия на множестве рациональных чисел Напомним важные правила, которые нужно соблюдать, проводя арифметические вычисления Порядок действий в арифметических вычислениях

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для учащихся 7 класса представлена в соответствии с ФГОС примерной программы по алгебре для основного общего образования и авторской программы, разработанной

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 8 КЛАССОВ (общеобразовательный уровень) Составители: Тихонов В.А., учитель математики; Срок реализации программы: 1 год Рабочая программа составлена на основе федерального

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Основой для рабочей программы по алгебре на 2015-2016 учебный год в 8 классе является авторская программа А.Г. Мордковича для общеобразовательных учреждений.(программы. Математика. 5-6 кл. Алгебра 7 9

Глава Рациональная дробь 77 Учебные задания Алгоритмы А-0 Конструирование рациональных выражений А-0 Допустимые значения букв А-0 Сокращение дробей А-04 Умножение и деление дробей А-05 Сложение и вычитание

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Часцовская средняя общеобразовательная школа «Утверждаю» Директор МБОУ сош Абдюшев Д.Р. Пр. от 0 г. «Согласовано» Заместитель директора школы по УВР

Алгебра 8 класс Учебник «Алгебра» Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Издательство «Просвещение» Учитель Щербакова Виктория Борисовна 1.Рациональные дроби Знать основное свойство дроби,

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29 города Чебоксары» Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю» Директор

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль. Многочлен, определение. Деление многочлена с остатком. Теорема Безу.. Иррациональные числа. Доказательство существования иррационального числа.

Пояснительная записка. Рабочая программа по алгебре в 7 классе разработана на основе Примерной программы основного общего образования по математике, по учебнику алгебра автора А.Г. Мордкович, с учѐтом

МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

64 7 класс Алгебра (5 ч в неделю, 175 ч) Алгебраический компонент (3 ч в неделю) 105 ч и геометрический компонент (2 ч в неделю) 70 ч Используемые учебные пособия: 1. Арефьева, И. Г. Алгебра: учеб. пособие

8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Рабочая программа по алгебре для 7 класса 4 часа в неделю, 136 часов за год учебник «Алгебра 7» под редакцией Мордковича А. Г. Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для учащихся 7 класса представлена

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 1» г. Богородска Рассмотрено на заседании ШМО учителей математики и информатики Протокол от «29» августа 2016г. 1 Согласовано Заместитель директора

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Пояснительная записка Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 7 класса и реализуется на основе следующих документов: 1. Государственный стандарт начального общего, основного общего и среднего

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ АЛГЕБРА 7 КЛАСС К учебнику Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Всего 102 часа (3 часа в неделю) урока Тема урока 1. Числовые выражения Колво часо

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тема Количество часов Количество контрольных работ 1 Математический язык. Математическая модель 16 1 2 Линейная функция 15 1 3 Степень с натуральным показателем

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7) ()

Пояснительная записка Общая характеристика программы Рабочая программа по алгебре ориентирована на учащихся 7 класса и разработана на основе следующих документов: - Федеральный компонент государственного

Учитель математики Санжиева туяна Баировна. Урок 1 Приведение дробей к общему знаменателю Цель урока: закрепить основное свойство дроби, научить учащихся применять это свойство на практике приведения к

Класс 7.3, 7.5 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Тема модуля «Уравнения. Разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА

Глава 5 Рациональные уравнения и неравенства Рациональные уравнения Алгебраические дроби и их свойства имея возможность обратиться к математическому обоснованию, большой глупостью было бы искать какое-либо

7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Определение. Сумма целых неотрицательных степеней неизвестного Х, взятых с некоторыми числовыми коэфйфициентами, называется многочленом.

Здесь: - действительные числа.

n - cтепень многочлена.

Операции над многочленами.

1). При сложении (вычитании) двух многочленов складываются (вычитаются) коэффициенты при одинаковых степенях неизвестнолго х.

2). Два многочлена равны, если они имеют одинаковую степень и равные коэффициенты при одинаковых степенях Х.

3). Степень многочлена, получаемого при перемножении двух многочленов, равна сумме степеней перемножаемых многочленов.

4). Линейные операции над многочленами обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.

5) Деление многочлена на многочлен можно осуществить по правилу «деление уголком».

Определение. Число х=а называется корнем многочлена, если подстановка его в многочлен обращает его в нуль, т. е.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена
на двучлен (х-а) равен значению многочлена при х=а, т. е.

Доказательство.

Пусть , где

Полагая в равенстве х=а, получим

1). При делении многочлена на двучлен (х-а) остатком всегда будет число.

2). Если а – корень многочлена, то многочлен делится на двучлен (х-а) без остатка.

3) При делении многочлена степени n на двучлен (х-а) в частном получаем многочлен степени (n-1).

Основная теорема алгебры. Любой многочлен смтепени n (n >1) имеет хотябы один корень (приводим без доказательства).

Следствие. Всякий многочлен степени n имеет ровно n корней и над полем комплексных чисел разлагается в произведение n линейных множителей, т. е. Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся числа (кратные корни). У многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни могут появляться только сопряжёнными парами. Докажем последнее утверждение.

Пусть
- комплексный корень многочлена, тогда На основании общего свойства комплексных чисел можно утверждать следовательно
- тоже корень.

Каждой паре комплексных сопряжённых корней многочлена соответствует квадратный трёхчлен с действительными коэфйфициентами.

здесь p , q - действительные числа (показать на примере).

Вывод. Всякий многочлен представим в виде произведения линейных множителей и квадратных трёхчленов с действительными коэффициентами.

Рациональные дроби.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

Если
, то рациональная дробь называается правильной. В противном случае дробь – неправильная. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (частного) и правильной рациональной дроби путём деления многочлена, стоящего в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе.

- неправильная рациональная дробь.

Данную неправильную рациональную дробь теперь можно представить в следующем виде.

С учётом показанного, в дальнейшем будем рассматривать только правильные рациональные дроби.

Существуют так называемые простейшие рациональные дроби – это дроби, не поддающиеся никакому упрощению. Эти простейшие дроби имеют вид:

Правильную рациональную дробь более сложного вида всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей. Набор дробей определяется набором корней многочлена, стоящего в знаменателе правильной несократимой рациональной дроби. Правило разложения дроби на простейшие следующее.

Пусть рациональная дробь представлена в следующем виде.

Здесь в числителе простейших дробей стоят неизвестные коэффициенты, которые всегда могут быть определены методом неопределённых коэффициентов. Суть метода состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях Х у многочлена, стоящего в числителе исходной дроби и многочлена, стоящего в числителе дроби, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Х.

Решая систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов, получим.

Итак, данная дробь представима набором следующих простейших дробей.

Приведением к общему знаменателю убеждаемся в правильности решения задачи.

ГБОУ СОШ пос.Прогресс

муниципального района Хворостянский

Самарской области

Открытый урок в 8 классе «Рациональные дроби и их свойства»

(Интегрированный урок: алгебра-английский язык)

Подготовила Сукманова С.В.- учитель математики ГБОУ СОШ пос.Прогресс 2013г.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока:

Совершенствовать навыки действий с рациональными дробями;

Формировать умения выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

Учить проводить доказательные рассуждения, используя математическую речь;

Учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности и предупреждать ошибки по невнимательности (развивать самоконтроль);

Развивать творчество учеников.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Тест.
3. «Логические задачи».
4. Работа в группах.
5. Рефлексия.

6.Домашнее задание.

7.Итог урока.

Ход урока

1. Организационный момент.

Multiplication is vexation,

Division is as bad,

The rule of three perplexes me,

And fractions drive me mad.

(Английские стихи. «Умножение есть мучение, деление – столь же противно,

Тройное правило наводит досаду, а дроби сводят с ума»)

1. Тест.

Задания	Ответы
1.Среди следующих одночленов укажите подобные: 1) x 2 ; 2) y 2 ; 3) –x 2 .	r. 1) u 2) m. 1)u 3) k. 2) u 3)
2.Преобразуйте в многочлен(3+2а) (2а-3).	u. 4a 2 -9 h. 9-4a 2 t. 9+4a 2
3.Разложите на множители 25с-с 2 .	n. (5-c) (5+c) l. c(25-c) a. c(5-c) (5+c)
4.Представьте трехчлен 2x 2 -8x+6 в виде произведения двух двучленов.	f. 2x(x-8+6) g. (x-1) (x-3) t. 2(x-1) (x-3)
5.Найдите значение выражения 1/3 (2x+7) при х=0,4.	w. 7,8 s. 5 i. 2,6
6.Составьте дробь, числитель которой является произведением переменных x u y, а знаменатель – суммой их квадратов.	o. xy: (x+y) 2 p. xy: (x 2 +y 2 ) b. (x 2 +y 2 ): xy
7.Укажите допустимые значения переменной в выражении (y-2):(y 2 -4)	i. =0 e. >0

1. «Веселая пчелка» (Психогимнастика)

Вдох свободный. На вдохе произнести звук «з-з-з». Представим, что пчелка села на нос, руку, ногу. Упражнение учит направлять дыхание и внимание на определенный участок тела.

1. Логические задачи.

1 задача

Summer 7xy:(3x-y)

Autumn

Winter

Spider (-1;3),(1;3),(0;3),(1;-3)

Ответ

1колонка: summer-лето, spider-паук, autumn- осень, winter-зима.

«Лишнее» слово – паук, т.к. все остальные – времена года. Таким образом, нужно убрать лишнее.

2 колонка: «лишняя пара»- (1;3), т.к. при х=1 и y= 3 дробь не имеет смысла.

2 задача

Telephone ______ Phone

30a 2 c 3 : (48a 5 c) _______ ?

Ответ

1 колонка: оба слова переводятся одинаково – телефон, но второе слово – сокращение от первого. Таким образом нужно сократить.

2 колонка: сократим дробь, получится 5с 2 :8а 3 .

3 задача

Переведите на английский язык и определите закономерность.

Учебный кабинет (3x+2y): (2x-3y)

Комната – класс (x-8y): (3y-2x) ?

Ответ

1 колонка: Classroom

Room_________ Class

Очевидно, что нужно отнять.

1. колонка: вычтем из первой дроби вторую, получится 2.

1. Работа в группах (дифференцированные задания)

Класс делится на четыре группы. Каждая группа получает карточку с заданием.

Задание 1 – ой группе.

M. При каком значении а значение дроби (а+6):6 равно 1?

Е. Найдите значение выражения (2х+0,7):3 при х=0,4.

D. Найдите значение дроби (6а 2 -3аb): (8ab-4b 2 ) при а=0,5; b=0,25.

A. Вычислите: 25:125.

R. Зная, что x+3y=8, найдите значение дроби (2x-6y):(0,25x 2 -2,25y 2 ).

(Ответ: M. 0; E. 0,5; D. 1,5; A. 0,2; R. 1. Получилось слово dream.)

Задание 2-ой группе.

Составьте слово, расставив полученные значения в порядке возрастания.

I.При каком значении х значение дроби 3х:(8-х) равно 0?

N.Найдите значение выражения (m-2):m при m=2,5.

H.Найдите значение дроби (10xy-5x 2 ): (4xy-8y 2 ) при x=0,2; y=0,25.

K.Вычислите: 64:32.

T.Зная, что a+2b=-5,найдите значение дроби (2a-4b):(0,2a 2 -0,8b 2 ).

Получилось слово think.

Задание 3- ей группе.

Составьте слово, расставив полученные значения в порядке убывания.

S.Найдите значение выражения (3p+1):4 при р=0,2.

А. Вычислите: 16 2 :8 3 .

Запиши в тетрадь тему урока

"Рациональные дроби".

Что это такое?
Это алгебраические выражения, которые содержат деление на выражение с переменными.

Например:
- дробное выражение.

Целое, потому, что оно равно , т. е. целому выражению с рациональными коэффициентами.

Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями.

Вот с ними нам и предстоит работать в дальнейшем!

Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных, а вот дробное... делить-то на 0 нельзя!

Например:
определено при всех значениях переменной а и при всех значениях b, кроме b=3.

При каких значениях переменной выражение
?

Запомни:
Для любых значений а, b и с, где и , верно равенство

Если мы домножим дробь на число (т. е. умножим числитель и знаменатель дроби на одно и тоже число), то получаем равную дробь, но уже с другим знаменателем.

Если делим числитель и знаменатель на одно и тоже число, то сокращаем дробь.
Например:
1) Приведем дробь к дроби со знаменателем 35у3 .
Сначала поделим новый знаменатель 35у3 на старый 7у и получим дополнительный множитель 5у2 .
А потом умножим числитель и знаменатель на этот дополнительный множитель:
.

2) Cократим дробь .
Решение:

Запомни:
Чтобы сократить дробь надо числитель и знаменатель разложить на множители и затем поделить их на равный множитель, т.е. сократить.

Для разложения выражения на множители существует несколько методов.
Нам с тобой пока знакомы два из них:
1 метод
Вынесение за скобку общего множителя.
2 метод
Применение формул сокращенного умножения.

Первый и самый простой способ разложения на множители -
вынесение общего множителя за скобку.

Ac + bc = (a + b)c

Пример 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

Правило:

Если все члены многочлена имеют общий множитель (или несколько общих множителей), то этот множитель (эти множители) можно вынести за скобку,
при этом каждое слагаемое делим на выражение, которое выносим за скобку: 5ab2c3: 5abc = bc2 , - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 и, наконец, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (следите за знаками!!!)

И надо помнить - за скобку выносится степень с меньшим показателем.

Самостоятельно:
Вынесите общий множитель за скобку

Проверь:

Иногда все члены алгебраического выражения не имею общего множителя, но в отдельных группах слагаемых он есть, например,

ах + ay + bx + by.

Этот многочлен можно разложить на множители, соединяя его члены в отдельные группы

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).

Пример:

Применяя метод группировки слагаемых разложите выражение на множители
3x + xy2 - x2y - 3y

Решение:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

Потренируемся еще:
1) a3 - ab - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x .

Решение:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).

А теперь о 2-м методе.
Если слагаемые алгебраического выражения не имеют повторяющихся множителей, то можно попытаться применить формулы сокращенного умножения...

Примеры
а) Разность квадратов:
0,49х4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),

Б) Разность кубов:
1 - 27с3 = 13 - (3с)3 = (1 - 3с)(1 + 3с + 9с2),

В) Квадрат разности:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 или (2a - 3b)(2a - 3b),

Г) Куб разности:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 или (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) т.е. три равных множителя!

Алгоритм:
- сначала "подгоняем внешний вид выражения" под возможную для применения формулу...
- если получилось - действуем далее как она (формула) того требует...
- если не получилось, то начинаем "примерять" другую формулу...
- и так пока не получится разложить выражение на произведение множителей!