Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

Топология (греч. τόπος - Место, logos - наука) - раздел математики, который приближен к геометрии. В то время как алгебра начинается с рассмотрения операций, геометрия - фигур, а математический анализ - функций; фундаментальные понятия топологии - непрерывность. Непрерывное отображение деформирует пространство, не разрывая его, при этом отдельные точки или части пространства могут склеиться (соединиться), но близкие точки остаются близкими. В отличие от геометрии, где рассматриваются преимущественно метрические характеристики, такие как длина, угол и площадь, в топологии эти характеристики считаются несущественными на фоне изучаются такие фундаментальные свойства фигуры, как связность (количество кусков, дыр и т.п.) или возможность непрерывно здеформуваты ее к сфере и обратно (возможно для поверхности куба, но невозможно для поверхности тора).

Аксиоматика топологии построена на принципах теории множеств, но ведущую роль в исследованиях по современной топологии играют прежде алгебраические и геометрические методы. Объектами исследования топологии является топологические пространства, общее обобщения таких структур как граф, поверхность в трехмерном пространстве и множество Кантора, и отображения между ними. При этом исследуются свойства топологических пространств как в малом (локальные), так и в целом (глобальные). Среди различных направлений топологии отметим приближенную к теории множеств общую топологию, которая изучает такие общие свойства абстрактных топологических пространств как компактность или связность, и алгебраическую топологию, которая пытается описать топологические пространства с помощью их алгебраических инвариантов, например чисел Бетти и фундаментальной группы. Геометрическая топология изучает топологические пространства геометрического происхождения, в частности узлы в трехмерном евклидовом пространстве и трехмерные многообразия. Геометрической топологии принадлежит одна из крупнейших и известнейших математических проблем, гипотеза Пуанкаре, которую наконец (2003 г.) доказал российский математик Григорий Перельман.

Наряду с алгеброй и геометрией, топологические методы широко используются в функциональном анализе, теории динамических систем и современной математической физике.

Термин топология используется для обозначения как математической дисциплины, так и для определенной математической структуры, смотри топологическое пространство.

Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром. Интуитивна ясно, что высказывания о геометрических свойствах фигур не вполне исчерпываются сведениями об их «метрических» свойствах (размерах, углах и т. д.). Остается еще «кое-что» за пределами старой геометрии. Какой бы длинной ни была линия (веревка, провод, длинная молекула), она может быть замкнутой или нет; если линия замкнута, то она может сложным образом «заузляться». Две (или более) замкнутые линии могут «зацепляться» одна с другой и притом различными способами. Тела, их поверхности, могут иметь «дырки». Эти свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. Такие свойства и называются топологическими. Кроме элементарных геометрических фигур, топологическими свойствами обладают многие чисто математические объекты, и именно это определяет их важность.

Однако легче подметить существование топологических свойств фигур, чем создать их «исчисление», т. е. раздел математики, обладающий точными понятиями, строгими законами и методами, математическими формулами, изображающими тонпологические величины.

Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены еще Эйлером, Гауссом и Риманом. Тем не менее, без преувеличения можно сказать, что топология как раздел науки основана в конце XIX века А. Пуанкаре. Процесс построения топологии и решения ее внутренних задач оказался трудным и длительным: он продолжался не менее 70-80 лет, наполненных глубокими открытиями и, в ряде случаев, даже пересмотром основ. В нем принял участие ряд наиболее выдающихся математиков своего времени). На протяжении многих лет, приблизительно до конца 50-х годов, топология рассматривалась даже математиками других областей как красивая, но бесполезная игрушка.

Однако лишь с начала 70-х годов началось интенсивное проникновение методов топологии в аппарат современной физики. Сейчас важность топологических методов для различных разделов физики уже не вызывает сомнений - для теории поля и общей теории относительности, физики анизотропных сплошных сред и низких температур, современной квантовой теории и т. д. Это приводит к необходимости появления достаточно элементарных популярных книг по топологии и ее приложениям, доступных (хотя бы частично) для школьников старших классов и студентов младших курсов с естественнонаучными и техническими интересами.

July 30th, 2013

Всякий, кто читал труды Лакана встречал у него многочисленные отсылки к математике. Среди любимых французским психоаналитиком областей — топология и абстрактная алгебра.
Вот, например: "В этом пространстве наслаждения взять нечто ограниченное, закрытое - это взять место, и говорить о нем - это значит заниматься топологией. " (ЛАКАН 1975а, с. 14) или вот "Этот вид тора в самом деле присутствует на определенном участке реальности. Он существует на самом деле, и он является точной структурой невротика. " (ЛАКАН 1970, с. 195-196) . К сожалению, не многие гуманитарии утруждат себя уточнением смысла всех этих вполне математических выражений. Увы.
Впрочем топология и без Лакана весьма интересная наука. Именно за работы в этой области Перельмана хотели наградить миллионом и более того еще несколько аналогичных наград ожидают любителей этой науки (в частности Гипотеза Ходжа ).
Кроме того, в топологии как известно возможны всякие чудеса, доступные только самым могучим волшебникам. Думаю многие слышали, что в топологии бублик (тот самый тор невротика) легко превращается в кружкую Именно с этого факта начинается большинство популярных введений. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серъезном уровне часто возникают трудности. Так, скажем, Википедия даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. В вики говорится, что это наука изучающая топологические пространства . В статье про топологические пространства любознательный читатель может узнать, что топологические пространства — это пространства снабжённые топлогией. Такие объяснения в стиле лемовских сепулек существенно затрудняют понимание. Далее я попробую изложить это в относительно ясной форме. Впрочем, так как я не математик, то вполне возможно, что все написанное ниже — враньё!

Итак, фундаментальное понятие современной математики—это множество. Поэтому считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Конечно, можно описать множества иносказательно и объяснить, что является множеством, а что нет. Кантор—один из содздателей теории множеств— говорил так: "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M )". С теорией множеств, кстати, был связан знаменитый математический кризис в начале 20-го века. Не стоит и говорить, что эта теория преподносит множество удивитиельных парадоксов о которых можно много где почитать. Например.
Некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве основ использовать теорию категорий, о которой тоже можно почитать в википедии.
Но перейдем к множествам.

Выше пример множества элементами которого являются 7 разноцветных звездочек. Множествам обычно дают имена в виде прописных латинских букв. Разумеется имена целиком произвольны, за исключением некоторых устоявшихся соглашений насчет ряда важных множеств. Если вы хотите сказать, что какой-то элемент принадлежит множеству используется похожий на вилку знак ∈ . Например, 2 ∈ ℤ т.е. число два принадлежит множеству целых чисел.

Множество состоящее из трех цветных треугольников. Эти два множества являются конечными .
Вот еще конечное множество.

Есть уйма бесконечных множеств. Например, множество целых чисел, уоторое называется ℤ.

Некоторые важные множества, как я уже сказал выше, имеют собственные имена. Так, множество целых чисел называется ℤ , множество натуральных числел ℕ , множество рациональных чисел ℚ . Ну и так далее. Обратите внимание, на эти оригинальные ажурные буквы. Конечно, если на вашей клавиатуре их нет, то можно использовать обычные Z , N , Q .
Да, совсем забыл, элементами множества могут быть не только отдельные штуки, вроде синего треугольника или числа 2 но идругие множества. Это очень важно знать.
Множества характеризуются разными качествами. Одно из них мощность .
Мощность показывает насколько множество велико. Если множство конечно, то мощность равна числу его элементов. Например, для множеств S₁ и S₂ выше мощности равны 7 и 2. Если мощностьи множеств одинаковы, то эти множества одинаковы "по размеру". Например множества A={1,2,3} и B={a,b,c} и множество S₂ на картинке имеют одинаковые мощности, которые обозначаются числом 3. С бесконечными множествами все выглядит несколько сложнее. Мощность множества нтуральных чисел (ℕ) обозначается красивой еврейской буквой с индексом ℵ 0 (алеф-ноль).Бесконечные множества этой мощности называются счётными , по той причине, что их элементы можно пересчитать (если жить вечно, ясное дело). Т.е. их элементы можно перенумеровать натуральными числами, так, что для каждого элемента найдется свое натуральное число, по-крайней мере принципиально. Т.е. есть какая-то методика, которая позволит поставить натуральный номер для любого элемента счетного множества.

Какие множества счётны? Например, сами натуральные числа. Действительно, нет ничего проще, чем перенумеровать натутральные числа с помощью натуральных чисел. Пусть единица будет первым номером, два вторым номером и т.д.
Менее очевидно, что целые числа и даже рациональные имеют такую же мощность—им всем можно сопоставить натуральные номера. Т.е. с точки зрения теории множеств их как бы одинаково много, хотя казалось бы целых чисел должно быть раза в два больше, чем натуральных, а рациональных так вообще намного больше. (Напомню, что рациональные — это числа вроде 2,3678 и т.д.) Удивительно, но всех их одинаково много.
Вот пример, как можно "пересчитать", все целые числа. Или, говоря по-простому, как им можно сопоставить порядковый номер. Конечно, на картинке я не все числа выписал, но главное, что я показал саму процедуру, которая все эти числа захватит. Это означает, что как и в случае с натуральными числами их мощность ℵ 0.

Для нумерации рациональных чисел применяется более сложная процедура. Но тем не менее и они счетны и также имеют мощность ℵ 0 . Способ их нумерации называется диагональным процессом . Надеюсь, на картинке ниже видно почему. Мы хитрым зигзагом движемся по рациональным числам, начиная с 1, при этом каждому числу, которое у нас появляется присваиваем четный номер. Отрицательные рациональные числа считаются тем же способом, только номера нечетные, начиная с 3. 0 традиционно получает первый номер. Таким образом, видно, что все рациональные числа можно пронумеровать. Никакого рационального числа за пределами этой схемы вам не придумать.

Все числа вроде 4,87592692976340586068 или 1,000000000000000000000001 или -99 получают какой-то номер в этой таблице.
Может показаться, что таким образом мы пересчитали уже все числа, которые существуют, и что мощности множеств кончаются на "бесконечном" числе алеф-ноль, но на самом деле это лишь самая маленькая мощность бесконечных множеств.Увы. Некоторые числа в таблицу выше не попали. Например, √2 (можете попробовать поискать, если не верите мне). Для древних греков было разочарованием узнать, что кроме рациональных существуют и другие числа, вроде √2. Говорят, парня, который их открыл утопили.
Так вот множество иррациональных чисел несчетно. Эти числа нельзя пронумеровать, даже если у вас есть бесконечно много натуральных чисел. Даже если вы используете хитрый способ нумерации. Собственно диагональный процесс и был изобретен Кантором, чтобы продемонстрировать этот удручающий факт. Таким образом их больше, чем рациональных, целых и натуральных чисел. Удивительно, как редко при этом они нам встречаются в жизни!
Первая несчетная мощность — это мощность континуума, т.е. мощность множества вещественных чисел (к которым относятся рациональные, иррациональные, целые). Это множество обозначается знаком ℝ, а его мощность ℵ 1 или𝔠 . Понятно, что мощность множества иррациональных числе также ℵ 1. На самом деле существует гипотеза о том, что ℵ 1 = 𝔠 . Эта гипотеза называется континуум-гипотеза и о ней много всего написано. Углублятся в нее мы не станем.
Существуют множества и с мощностью больше континуума и вообще любой сколь угодно большой мощностью. Они обозначаются ℵ 2 , ℵ 3 , ℵ 4 , ℵ 5 ... ну и так далее . Про кардинальные числа написано в вики более подробно.

Среди различных множеств существует одно весьма важное. Это пустое множество, которое не содержит элементов. Оно обозначается знаком ∅ . Довольно трививально правда?

Подмножество — это часть множества. Тем, кто не привык к математическому мышлению и точности, следует знать, что пустое множество и само множество всегда являются подмножествами любого множества. Если одно множество является частью другого, используют знаки ⊂ и ⊆ , о различиях между которыми мне лень писать. Все подмножества множества, кроме него самого и пустого называются собственными .

Над множествами можно проводить разные операции, кторые приводят к появлению новых множеств.

Например, объединять. Это обозначается знаком похожим на латинскую букву U. Думаю тут все ясно без пояснений. Единственное, на что стоит обратить внимание, это то, что элементы множества не дублируются. Т.е. рыжая звёздочка, которая есть в двух множествах — это одна и та же звёздочка и при объединении она остается одним элементом. Скажем, если вы объедините {1,2}U{2,3} , то будет {1,2,3}, и не в коем случае, не {1,2,2,3} . Во вселенной только одна 2 и одна рыжая звездочка. Это похоже на историю со спорными териториями. Например, англичане и аргентинцы называют одни и те же острова Фолклендскими и Мальвинскими, и считают их частью множеств британских и аргентинских земель. Но как ни крути острова от этого не удваиваются и в множестве территорий планеты Земля присутствуют только в одном экземпляре.

Пересечение множеств — это выделение тех элементов, которые в них совпадают. Обозначается ∩. Если вы занимались векторной графикой все эти операции вам должны быть знакомы очень хорошо. Они есть и в Кореле, и в Заре, и в Иллюстраторе. Если у множеств нет общих элементов, то их пересечение пусто. Вообщем-то, пустое множество позволяет проводить над любыми множествами эти операции и не думать, можно это делать или нет. Так что от пустого множества много пользы.

Кроме этих операций существует и понятие разности множеств, которое называется дополнение. На рисунке внизу, надеюсь понятна суть.

Если вычесть из множества пустое множество, то оно никак не изменится. Если из пустого множества вычесть любое непустое получится пустое.
Все сказанное относится к теории множеств — разделу математики, который изучает множества на самом общем уровне. Это очень важная и интересная дисциплина, которая лежит у самых корней математики. Что-бы в математике вы не изучали, теорию множеств надо знать.
Топология — изучает множества с определенными свойствами, о которых мы поговорим дальше.

Итак, пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:

1. Само S и ∅ принадлежат T


2. Любое объединение произвольных семейств подмножеств T принадлежит T


3. Персечение произвольного конечного семейства подмножеств T принадлежит T

Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T.
Ура. Ура. Наконец-то добрались. Собственно, это должен был быть первый абзац в учебнике по общей топологии. Шучу, эти математические книги тоже часто начинаются с теории множеств.
Что надо иметь в виду. 1) На одном множестве можно задать разные топологии. 2) одна структура может быть топологией на одном нможестве, но совсем не обязательно на другом или на подмножестве множества.
Как лучше всего понимать T? Я бы советовал представить, его как составленный по специальным правилам список подмножеств данного множества, которые согласно этому списку считаются открытыми. Для чего это нужно, пока возможно не ясно, но в конечном итоге это позволяет превращать бублики в кружки и претендовать на миллионы $.
Сейчас покажу примеры двух самых простых топологий, которые бывают в природе.
усть у нас есть множество из трех треугольников S₂ . Топология заданная на этом множестве, называется антидискретной, если она выглядит как на рисунке ниже.

Выше я нарисовал множество T, которое состоит из самого множества S и пустого множества. Это топология на S₂. Она удовлетворяет первому пункту определения. Это сразу видно. Посмотрим на два других. Объединение трех треугольников и ∅ — это множество трех треугольников и оно, очевидно, лежит в T. Пересечением будет пустое множество и оно тоже есть на картинке. Больше объединять и пересекать тут нечего. Отсюда следует, что T есть топология на S. Эта топология называется антидискретной и она очень-очень скучна. Если бы наша вселенная имела такую топологию, ничего хорошего вы бы в ней не нашли. Эта топология называется еще тривиальной или топологией слипшихся точек, потому что в ней все тривиально и все точки как-бы слились в одно целое.
Полной противоположностью, но такой же тоскливой является топология дискретная. Зададим ее на том же множестве.

Дискретная топология — это топология состоящая из всех подмножеств множества. Попробуйте посмотреть на картинку сверху и попересекать и пообъединять разные подмножества. результат всех этих операций должен быть где-то на картинке, иначе я нарисовал не топологию, а какую-то чепуху. Например,
{фиолетовый, желтый} U {красный, фиолетовый} = {фиолетовый, желтый, красный} и т.д.

А вот еще одна топология труднее. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я на всякий случай обозначил буквами. Специального названия у нее нет. Убедитесь, что это топология. Честно говоря, я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение.
Если в множестве много точек, то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4 уже 16, для 5 — 32, для 6 —64 и так далее. А если в множестве бесконечно много точек? Для того, чтобы не перечислять все открытые множества изпользуется как бы сокращенная запись—выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все остальные открытые множества. Это называется базой топологии. например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию.
Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии описываетс целых 32 открытых множества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии—гораздо удобнее.

Конечно, база какой-нибудь другой не дискретной топологии, может быть гораздо сложнее. Существует понятие предбазы — это множество элементы которой при объединении дают базу данной топологии.
Ну вот мы почти достигли завершения. Осталось сказать, что пара из множества и топологии на нем называется топологическим пространством.
Ниже я сотворил маленькую вселенную, которая состоит из трех цветных треугольников. Эти треугольники являются точками моей вселенной. Вселенная имеет, как можно видеть, дискретную топологию. То что точками "вселенной" оказались цветные треугольники удивлять не должно. В математике пространство может состоять из разных вещей, например, из векторов (стрелок) или функций, или операторов или еще чего-нибудь столь же странного. Все эти штуки в таком случае называются точками пространства, независимо от того, что они на самом деле.

Именно такие пространства изучает топология.

Что такое топология

Введение

1. Основные этапы развития топологии

2. Общая характеристика топологии

3. Общая топология

4. Топологическое пространство

5. Важные проблемы и результаты

Заключение

Введение

Топология – сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.

Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.

Топология делится на два раздела – общую или теоретико-множественную топологию и алгебраическую топологию. Деление это в значительной мере условно. Одна из основных задач общей топологии – анализ математической концепции непрерывности в ее наиболее общей форме. Для этого было введено понятие топологического пространства. В топологии разработана весьма изощренная алгебраическая и аналитическая техника, значение которой выходит далеко за пределы первоначальной сферы ее применения. Сюда входит, в частности, так называемая гомологическая алгебра, которая является рабочим инструментом также и в теории уравнений с частными производными, в теории функций многих комплексных переменных и т.д. Один из разделов общей топологии – теория размерности. Что значит, что некоторое пространство двумерно, трехмерно или, вообще, n-мерно? Размерность есть одна из фундаментальных характеристик топологического пространства. Определение ее в общем случае оказывается весьма непростым. В. Кузьминовым был построен ряд примеров, показывающих парадоксальность поведения размерности в определенных ситуациях. И. Шведовым изучалась задача об аксиоматическом определении размерностей, и он опроверг, в частности, некоторые известные гипотезы, связанные с этой задачей. Другой раздел топологии носит название теории Ходжа. Эта теория объединяет в себе представления, относящиеся к теории уравнений в частных производных, римановой геометрии и топологии. В. Кузьминовым, И. Шведовым и В. Гольдштейном в серии работ было построено некоторое обобщение теории Ходжа, применимое к изучению многообразий с особенностями и многообразий, удовлетворяющих пониженным (в сравнении с обычной теорией Ходжа) требованиям гладкости. Отличие этой обобщенной теории Ходжа, – с точки зрения дифференциальных уравнений, – в том, что эта теория существенно нелинейно.

1. Основные этапы развития топологии

2. Общая характеристика топологии

Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлет науки, известной под названием топология.

Топология (от греч. τόπος – место и λόγος – слово, учение) – раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.

Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности». Это малопонятное и туманное описание позволяет, тем не менее, уловить суть предмета. Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается ломать и рвать. (Однако, с одной оговоркой: когда речь идет о преобразованиях, нас не интересует, что происходит в процессе этих преобразований, важны только начальное положение и конечный результат. Поэтому допускаются, скажем, разрезы по каким-то линиям, которые потом склеиваются по тем же линиям. Например, если шнурок завязан узлом и его концы соединены, можно разрезать его где-то, развязать узел и снова соединить на месте разреза).

Топологию можно подразделить на три области:

1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;

2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;

3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.

Какого рода свойства являются топологическими? Ясно, что не те, которые изучаются в обычной евклидовой геометрии. Прямолинейность не есть топологическое свойство, потому что прямую линию можно изогнуть и она станет волнистой. Треугольник – тоже не является топологическим свойством, ибо треугольник можно непрерывно деформировать в окружность.

Итак, в топологии треугольник и окружность – одно и то же. Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях, и о них следует забыть. Очень немногие привычные понятия геометрии годятся для топологии, поэтому приходится искать новые. Этим топология трудна для начинающих, пока они не постигнут сути дела.

Образцом топологического свойства объекта служит наличие дырки у бублика (причем довольно тонкая сторона этого дела – тот факт, что дырка не является частью бублика). Какую бы непрерывную деформацию ни претерпел бублик, дырка останется. Существует крылатая фраза, что тополог (математик, занимающийся топологией) – это человек, не отличающий бублик от чайной чашки. Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).

Другое топологическое свойство – наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая полусфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить.

Основные объекты изучения в топологии называются топологическими пространствами. Интуитивно их можно представлять себе как геометрические фигуры. Математически это – множества (иногда – подмножества евклидова пространства), наделенные дополнительной структурой под названием топология, которая позволяет формализовать понятие непрерывности. Поверхность сферы, бублика (правильнее – тора) или двойного тора – это примеры топологических пространств.

Два топологических пространства топологические эквиваленты, если можно непрерывным образом перейти от одного из них к другому и непрерывным же образом вернуться обратно.

Нам приходится вводить требование непрерывности, как прямого отображения, так и обратного к нему, по следующей причине. Возьмем два куска глины и слепим их вместе. Такое преобразование непрерывно, поскольку близкие друг к другу точки останутся таковыми.

Однако при обратном преобразовании один кусок распадается на два, и, следовательно, близкие точки по разные стороны от линии раздела окажутся далеко друг от друга, т.е. обратное преобразование не будет непрерывным. Такие преобразования нам не подходят.

Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства . В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства - это пространства снабжённые топологией . Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.

Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже - враньё! Ну, или по крайней мере часть.

Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.

Начнем с краткого повторения теории множеств. Думаю, большинство читателей хорошо с ней знакомы, но тем не менее напомню основы.

Итак, считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Кантор говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». Конечно, это просто иносказательное описание, а не математическое определение.
Теория множеств известна (прошу простить за каламбур) множеством удивительных парадоксов. Например . С ней также связан кризис математики в начале XX-го века.

Теория множеств существует в нескольких вариантах, таких как ZFC или NBG и других. Вариантом теории являетсятеория типов , которая весьма важна для программистов. Наконец, некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве фундамента математики использовать теорию категорий, о которой много написано на Хабре. Теория типов и теория множеств описывают математические объекты как бы «изнутри», а теория категорий не интересуется их внутренним строением, а только как они взаимодействуют, т.е. даёт их «внешнюю» характеристику.
Для нас важны только самые начальные основы теории множеств.

Множества бывают конечными.

Бывают бесконечными. Например, множество целых чисел, которое обозначается буквой ℤ (или просто Z, если у вас на клавиатуре нет фигурных букв).

Наконец, есть пустое множество. Оно ровно одно во всей Вселенной. Имеется простое доказательство этого факта, но я не буду его здесь приводить.

Если множество бесконечно, оно бывает счетным . Счетные - те множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Само множество натуральных чисел, как вы догадались, тоже счетно. А вот как можно пронумеровать целые числа.

С рациональными числами сложнее, но и они поддаются нумерации. Этот способ называется диагональным процессом и выглядит, как на картинке внизу.

Мы зигзагом движемся по рациональным числам, начиная с 1. При этом каждому числу, которое у нас получается, присваиваем четный номер. Отрицательные рациональные числа считаются тем же способом, только номера нечетные, начиная с 3. Ноль традиционно получает первый номер. Таким образом видно, что все рациональные числа можно пронумеровать. Все числа вроде 4,87592692976340586068 или 1,00000000000001, или -9092, или даже 42 получают свой номер в этой таблице. Тем не менее, сюда попадают не все числа. Например, √2 не получит номера. Когда-то это очень огорчило греков. Говорят, того парня, который открыл иррациональные числа, утопили.

Обобщением понятия размера для множеств является мощность . Мощность конечных множеств равна числу их элементов. Мощность бесконечных множеств обозначается еврейской буквой алеф с индексом. Самая маленькая бесконечная мощность-это мощность ℵ 0 . Она равна мощности счетных множеств. Как видим, таким образом, натуральных чисел, так же много, как и целых или рациональных. Странно, но факт. Следующая - мощность континуума . Она обозначается ℵ 1 . Это мощность множества вещественных чисел ℝ, например. Существует гипотеза о том, что мощность континуума и мощность алеф-один - одно и то же. Т.е. что нет никакой промежуточной мощности меду счетными множествами и континуумом.

Над множествами можно проводить различные операции и получать новые множества.

1. Множества можно объединять.

3. Можно искать пересечение множеств.

Собственно это все о множествах, что нужно знать для целей этой заметки. Теперь мы можем приступить к самой топологии.
Топология - это наука, которая изучает множества с определенной структурой. Эта структура также называется топологией.
Пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:

1. Само S и ∅ принадлежат T.
2. Любое объединение произвольных семейств элементов T принадлежит T.
3. Пересечение произвольного конечного семейства элементов T принадлежит T.

Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T. Дополнением к открытым множествам являются замкнутые множества. Важно отметить, что если множество открыто, это еще не означает, что оно не замкнуто и наоборот. Кроме того в данном множестве относительно некоторой топологии могут быть подмножества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми.

Приведем пример. Пусть у нас есть множество, состоящее из трех цветных треугольников.

Самая простая топология на нем называется антидискретной топологией . Вот она.

Эту топологию, также называют топологией слипшихся точек . Она состоит из самого множества и из пустого множества. Это действительно удовлетворяет аксиомам топологии.

На одном множестве можно задать несколько топологий. Вот еще одна очень примитивная топология, которая бывает. Она называется дискретной. Это топология, которая состоит из всех подмножеств данного множества.

А вот еще топология. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я обозначил буквами. Убедитесь, что это топология. Я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение. На этой картинке должно быть само множество S, пустое множество, пересечения и объединения всех остальных элементов топологии также должны быть на картинке.

Пара из топологии и множества на котором она задана называется топологическим пространством .

Если в множестве много точек (не говоря уже о том, что их может быть бесконечно много), то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4-элементного множества дискретная топология будет насчитывать уже 16, для 5 - 32, для 6 -64 и так далее. Для того, чтобы не перечислять все открытые множества используется как бы сокращенная запись - выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все открытые множества. Это называется базой топологии. Например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников - это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их, можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию. Множества, элементы которого генерируют базу, называют предбазой.

Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии целых 32 подмножества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии - гораздо удобнее.

Для чего нужны открытые множества? В каком-то смысле они дают представление о «близости» между точками и о различии между ними. Если точки принадлежат двум разным открытым множествам или если одна точка находится в открытом множестве, в котором не находится вторая, то они топологически различаются. В антидискретной топологии все точки в этом смысле неразличимы, они как бы слиплись. Наоборот, в дискретной топологии все точки имеют различие.

С понятием открытого множества неразрывно связано понятие окрестности . Некоторые авторы дают определение топологии не через открытые множества, а через окрестности. Окрестность точки p - это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке. Например, на рисунке ниже показаны окрестности и не окрестности точек. Множество S 1 является окрестностью точки p, а множество S 2 нет.

Связь между открытым множеством и октестностью можно сформулировать так. Открытое множество - такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность. Или наоборот можно сказать, что множество открыто, если оно является окрестностью любой своей точки.

Все это самые базовые понятия топологии. Отсюда еще не ясно как выворачивать сферы наизнанку. Возможно в будущем, я смогу добраться и до такого рода тем (если сам разберусь).

Топология - сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в "мир топологии " для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.

Книга написана просто и наглядно. В форме, доступной для понимания школьников, она знакомит читателя с идеями топологии, ее основными понятиями и фактами. Большое количество рисунков облегчает усвоение материала. Этому же способствуют свыше двухсот задач. Для школьников, преподавателей, студентов.

ПРЕДИСЛОВИЕ .
Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром. Интуитивно ясно, что высказывания о геометрических свойствах фигур не вполне исчерпываются сведениями об их «метрических» свойствах (размерах, углах и т. д.). Остается еще «кое-что» за пределами старой геометрии. Какой бы длинной ни была линия (веревка, провод, длинная молекула), она может быть замкнутой или нет; если линия замкнута, то она может сложным образом «заузляться».

Две (или более) замкнутые линии могут «зацепляться» одна с другой и притом различными способами. Тела, их поверхности, могут иметь «дырки». Эти свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. Такие свойства и называются топологическими. Кроме элементарных геометрических фигур, топологическими свойствами обладают многие чисто математические объекты, и именно это определяет их важность.

Однако легче подметить существование топологических свойств фигур, чем создать их «исчисление», т. е. раздел математики, обладающий точными понятиями, строгими законами и методами, математическими формулами, изображающими топологические величины.

Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены еще Эйлером, Гауссом и Риманом. Тем не менее, без преувеличения можно сказать, что топология как раздел науки основана в конце XIX века А. Пуанкаре.

Содержание:
Предисловие редактора Предисловие авторов
Часть первая. ТОПОЛОГИЯ ЛИНИЙ
1. Идея непрерывности
2. Чей занимается топология?
3. Простейшие топологические инварианты
4. Эйлерова характеристика графа
5. Индекс пересечения в Теорема Жордана
7. Что такое линия?
8. Кривая Право.
Часть вторая. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
9. Теорема Эйлера
10. Поверхности
11. Эйлерова характеристика поверхности
12. Классификация замкнутых ориентируемых поверхностей
13. Классификация замкнутых поверхностей
14. Векторные поля на поверхностях
15. Проблема четырех красок
16. Раскрашивание карт на поверхностях
17. «Дикая сфера»
18. Узлы
19. Коэффициент зацепления
Часть третья. ГОМОТОПИИ И ГОМОЛОГИИ
20. Периоды многозначных функций
21. Фундаментальная группа
22. Клеточные разбиения и полиэдры
23. Накрытия
24. Степень отображения н основная теорема алгебры
25. Группа узла
26. Циклы и гомологии
27. Топологическое произведение
28. Расслоения
29. Теория Морса.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Наглядная топология, Болтянский В.Г., Ефремович В.А., 1982 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.