Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Первообразная в ЕГЭ по математике задание №7 10-11 класс Курганская Л.В. МОБУ «СОШ №4», гп Пойковский Нефтеюганский район

1. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисуном, вычислите, где - одна из первообразных функции

2. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисуном, вычислите, где - одна из первообразных функции

3. На рисунке изображён график некоторой функции. Функция - одна из первообразных функции. Найдите площадь закрашенной фигуры.

4. На рисунке изображён график некоторой функции. Функция - одна из первообразных функции. Найдите площадь закрашенной фигуры.

5. На рисунке изображён график функции y = F (x) - одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [−2;4].

6. На рисунке изображён график функции y = F (x) - одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [−2;5].

7.Функция f(x) определена при всех действительных х. На рисунке изображен график её производной. Найдите значение выражения f (3) - f (6) .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Об оформлении решений задач ЕГЭ по математике группы С.

В статье подробно разъясняются правила оформления заданий группы С Единого Государственного Экзамена По математике...

Решение задач ЕГЭ по математике

Данный открытый урок был проведен в рамках Юбилея нашей школы. Задания ЕГЭ к уроку готовили сами учащиеся, причем данные задания должны были быть связаны с юбилеем родной школы, с самим г.Среднеколы...

Задания из открытого банка задач ЕГЭ по математике (с ответами)

Данный материал удобно использовать учителям и учащимся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике....

Авторское пособие "ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ". Издательство БГУ г.Улан-Удэ

Начиная с 2015 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая практико-ориентированная задача №17, так называемая «банковская» задача. В данных задачах у...

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Здравствуйте, друзья! В данной статье рассмотрим с вами задания на первообразную. Эти задания входят в ЕГЭ по математике. Несмотря на то, что сами разделы — дифференцирование и интегрирование довольно ёмки в курсе алгебры и требуют ответственного подхода к пониманию, но сами задачи, которые входят в открытый банк заданий по математике и будут на ЕГЭ чрезвычайно просты и решаются в одно-два действия.

Важно понять именно суть первообразной и в частности геометрический смысл интеграла. Рассмотрим кратко теоретические основы.

Геометрический смысл интеграла

Кратко об интеграле можно сказать так: интеграл – это площадь.

Определение: Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции f, заданной на отрезке . Подграфиком (или криволинейной трапецией) называется фигура, ограниченная графиком функции f, прямыми х = а и х= b и осью абсцисс.

Определение: Пусть дана положительная функция f, определённая на конечном отрезке . Интегралом от функции f на отрезке называется площадь её подграфика.

Как уже сказано F′(x) = f (x). Какой можем сделать вывод?

Он простой. Нам нужно определить сколько имеется точек на данном графике, в которых F′(x) = 0. Мы знаем, что в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси ох. Покажем эти точки на интервале [–2;4]:

Это точки экстремума данной функции F (x). Их десять.

Ответ: 10

323078. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x) - одна из первообразных функции f (x).

Ещё раз запишем теорему Ньютона–Лейбница: Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда

А это, как уже сказано, есть площадь подграфика функции.

Таким образом, задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал от 2 до 8):

Её не сложно вычислить по клеткам. Получаем 7. Знак положительный, так как фигура расположена выше оси ох (или в положительной полуплоскости оси оу).

Ещё в данном случае можно было сказать так: разность значений первообразных в точках есть площадь фигуры.

Ответ: 7

323079. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x). Функция F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 - одна из первообразных функции y= f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Как уже сказано о геометрическом смысле интеграла это есть площадь фигуры ограниченной графиком функции f (x), прямыми х = а и х = b и осью ox.

Теорема (Ньютона–Лейбница):

Таким образом, задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –11 до –9, или другими словами нам необходимо найти разность значений первообразных вычисленных в указанных точках:

Ответ: 6

323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x).

Функция F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 - одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Теорема (Ньютона–Лейбница):

Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8:

Ответ: 4 можете посмотреть .

Производные и правила дифференцирования ещё есть в . Знать их нужно обязательно, не только для решения таких заданий.

Также можете посмотреть справочную информацию на сайте и .

Посмотрите небольшой ролик, это отрывок из фильма «Невидимая сторона». Можно сказать, что это фильм об учёбе, о милосердии, о важности якобы «случайных» встреч в нашей жизни... Но этих слов будет недостаточно, рекомендую посмотреть сам фильм, очень рекомендую.

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Файл к занятию 23

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функ­ции на от­рез­ке

Задание 1. Найдите наибольшее значение функции y=x 5 +20x 3 −65x на отрезке [− 4; 0]. Ответ: 44

Задание 2. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y = на от­рез­ке [−38; -3]. Ответ: -54
Задание 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y = на от­рез­ке .
Ответ: -6

Дополнительно. Найдите наименьшее значение функции y = e 2 x − 2 e x + 8 на отрезке [−   2 ;   1 ] . Ответ: 7

Задание 4. Найдите наибольшее значение функции y=15x−3sinx+5 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 5

Дополнительно. Найдите наибольшее значение функции y=59x−56sinx+42 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 42

Задание 5. Найдите наименьшее значение функции y=13cosx+17x+21 на отрезке . Ответ: 34

Задание 6. Найдите наибольшее значение функции y=25x−25tgx+41 на отрезке . Ответ: 41

Задание 7. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y = 3x -ln (x +3) 3 на от­рез­ке [−2,5; 0]. Ответ: -6
Дополнительно. Най­ди­те точку минимума функ­ции y = 2x -ln (x +8) 2 . Ответ: -7

Задание 8. Най­ди­те точку минимума функ­ции y = (1-2x )cosx + 2sinx +7 на от­рез­ке Ответ: 0,5

Дополнительно . Найдите точку максимума функции y=(x+5) 2 ​⋅e 2 − x .

Первообразная.

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F " ( x )= f ( x ).

Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Пример. Функция F (x )= x 3 является первообразной функции f (x )= 3x 2 так как (x 3 )"= 3x 2 . Функции F 1 (x )= x 3 + 5 и F 2 (x )= x 3 - 7 также являются первообразными функции f (x ). Любая функция вида F (x )= x 3 +с , где с – произвольное число, является первообразной функции f (x ).

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое.

За­да­ние 9. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке . Ответ:1

За­да­ние 10. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y =F (x ) - одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f (x ), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2;4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f (x ) = 0 на от­рез­ке [−1; 3]. Ответ: 6

Дополнительно.

1 . На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2]. Ответ: 3

2 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y =F (x ) и одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f (x ), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2;4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f (x ) = 0на от­рез­ке [−1; 3]. Ответ: 7.

Задание 11 . На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 . В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Решение: Т.к f (x )= F `(x ), то функция f (x ) отрицательна, если F (x ) убывает и функция f (x ) положительна, если F (x ) возрастает. По рисунку определим, сколько точек попали на промежуток убывания F (x ). Это точки х 1 , х 4 , х 8.

Значит, таких точек 3. Ответ: 3

Задание 12. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x 1 ,x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 9 , x 10 . В скольких из этих точек функция f(x) положительна? Ответ:6

Криволинейная трапеция

Пусть на отрезке [а; в] задана непрерывная функция, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; в] и прямыми х=а и х= b называют криволинейной трапецией .

Если функция непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; в], а F- ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на этом отрезке [а; в] .

S = F ( b )- F ( a )

За­да­ние 13. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции y =f (x ) (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F (8) − F (2), где F (x ) - одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f (x ). Ответ:7

Решение: Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции ABCD . По­это­му

S= F(b) – F(a)= Ответ: 7.

За­да­ние 14. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(− 1)−F(− 8), где F(x) - одна из первообразных функции f(x). Ответ: 20

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Совокупность всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Если F(x) - некоторая первообразная данной функции, то = F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.

Площадь S криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а; в] .

S= F(b)-F(a)=

Задание 15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f (x ). Функ­ция F (x )= x 3 +30x 2 +302x - одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f (x ). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры. Ответ: 6

Задание 16 . На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 - одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592

Задание 17. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=− x 3 −92x 2 −6x+2 - одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 263

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №56 с углубленным изучением математики» города Магнитогорска

Методическая разработка урока

по математике

Первообразные и определённый интеграл на ЕГЭ. Обзор заданий ЕГЭ на тему «Первообразная»)

для учащихся 11 класса

(обобщающий урок)

Филимонова Татьяна Михайловна

Магнитогорск 2018

Аннотация

Занятие предназначено для обучающихся 11класса. Тема урока «Первообразная и определенный интеграл на ЕГЭ. Обзор заданий ЕГЭ на тему «Первообразная». Этап обучения по данной теме - завершающий. Мотивация изучения данной темы обеспечивается за счет, применения ИКТ, использования различных видов заданий, привлечения заданий ФИПИ и заданий сайта Решу ЕГЭ. Приоритетная цель на уроке применение полученных знаний, отработка умений, решение задач с ЕГЭ.

Пояснительная записка

Методическая разработка представляет собой разработку конкретного урока по математике с использованием средств ИКТ. Актуальность разработки заключается в том, что учащиеся решают задачу нахождения площади фигуры разными методами Различные способы решения одной задачи, наглядность, исторические сведения и наличие межпредметных связей способствуют развитию познавательного интереса к математике, осознание значения математики в повседневной жизни человека.

В процессе выполнения теста обучающиеся повторяют теоретические сведения о первообразной и интеграле, что поможет им систематизировать теорию по данной теме, подготовиться к предстоящему экзамену.

Конспект урока

Тип урока: обобщающий урок.

Цели:

Образовательные:

Формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме « Первообразная. Интеграл».

Развивающие :

Формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

Воспитательные :

Формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Оборудование: ПК, проектор, экран.

Ход урока

I. Организационный момент:

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Ц ель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме «Первообразная. Интеграл», подготовиться к предстоящему ЕГЭ.

II . Проверка домашнего задания:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , у=. Решение приготовлено на слайде.

На доске заранее приготовлено задание по выведению формулы объема шара.

2 человека по очереди выходят к доске кратко объясняют решение, которое

Остальные в это время проверяют.

I II . Разминка.

Каждому ученику раздается тест.

Заполненные тесты собрать.

Разбор заданий проводится фронтально по выведенным заданиям на экране.

I V . Математическая эстафета.

Теперь в путь! Подъем к «Пику знаний» будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вас ждут не только задания. Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Учащиеся на каждую парту получают листы с заданиями по теме «Первообразная».

1. Значение первообразной F ( x ) функции f ( x )=11 x +5 в точке 0 равно 6. Найдите F (-3).

2. Значение первообразной F ( x ) функции f ( x )=8 cos x в точке -π равно 13. Найдите F ( π /6).

3. Значение первообразной функции F ( x ) функции f ( x )=6 в точке 0 равно -18. Найдите F(ln3) .

4. На рисунке изображен график первообразной y = F ( x ) функции f ( x ) и восемь точек на оси абсцисс: , , …, . В скольких из этих точек функция f ( x ) положительна?

5. На рисунке изображен график первообразной у= F ( x ) функции f ( x ) и восемь точек на оси абсцисс: , , , …,. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

V . Привал.

«Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» (Луи Пастер).

Зачитываются сведения из истории интегрального исчисления. Демонстрируются газеты, приготовленные учащимися по истории интегрального исчисления. Газеты посвящены Ньютону и Лейбницу.

VI. Самое трудное восхождение.

Следующее задание предполагается выполнять в письменной форме, поэтому учащиеся работают в тетрадях.

Задача. Сколькими способами можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями (слайд)

У кого есть предложения? (фигура состоит из двух криволинейных трапеций и прямоугольника) (выбирайте способ решения, слайд)

После обсуждения данной проблемы на слайде появляется запись

1 способ: S=S 1 +S 2 +S

2 способ: S=S 1 +S ABCD -S OCD

Двое учащихся решают у доски с последующим объяснением решения, остальные учащиеся работают в тетрадях, выбрав один из способов решения.

Вывод (делают учащиеся): мы нашли два способа решения данной задачи, получив один и тот же результат. Обсудить какой способ проще.

Все очень устали, но чем ближе к цели, тем задания становятся все легче и легче.

VШ. Итог урока (слайды)

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления - могучий источник желания знать; от удивления к знаниям - один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Интегралы используются при:

решении задач из области физики;

решении экономических задач (на оптимизацию работы фирмы в условиях конкуренции, расчет о доходности потребительского кредита);

решении социально - демографических задач (математическая модель народонаселения Земли и др.).

IX . Домашнее задание. (слайд)

Задание составленное учителем на сайте «Решу ЕГЭ».

X . Выставление отметок.

Список литературы

Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В. Ч.2. (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2009. - 264 с.

Александрова Л.А. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Самостоятельные работы. - М.: Мнемозина, 2009. - 100 с.

3. Шипова Т.А. Алгебра и начала анализа: Производная. Определенный интеграл. Тесты. - М.: Школа-Пресс, 1996. - 64 с.

4. Сайт metaschool.ru разработки уроков.

5. Сайт Решу ЕГЭ, каталог заданий, первообразная.