Введение

На лабораторном занятии были изучены возможности по дискретному тригонометрическому преобразованию (ДТП) со следующих точек зрения:

1. Проверили свойство обратимости заданного ДТП.

2. Исследовали линейность предложенного ДТП.

3. Изучили особенности повтора спектра у проверяемого ДТП.

4. Определили наличие симметричного отражения спектра у ДТП, а именно

4.1. наличие центральной симметрии,

4.2. наличие осевой (вертикальной) симметрии.

5. Рассмотрели влияние фазовых сдвигов сигнала на результирующее ДТП.

6. Проверили наличие свойства подобия для заданного преобразования.

7. Исследовали возможность фильтрации сигналов с помощью заданного ДТП.

8. Проверили экспериментально сохранение энергии исследуемым ДТП.

9. Обнаружили связь данного ДТП с дискретным преобразованием Фурье.

Так же были рассмотрены различные входные сигналы для более представительного анализа.

Наиболее известным среди дискретных функциональных преобразований является дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье определяет линейчатый спектр дискретизованной периодической функции времени. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. Эти преобразования обычно сокращенно называют соответственно ДПФ и ОДПФ.

ДПФ служит для анализа периодических функций, и его можно получить исходя из теории рядов Фурье. Пусть x0(t) - непрерывная периодическая функция с периодом Р и частотой f0 = 1/P так что

Функцию x0(t) можно разложить в ряд Фурье:

где коэффициенты разложения Х0(n) заданы формулой

Обычно x0(t) является действительной функцией, и тогда Х0(n) - комплексные (но это ограничение не обязательно). Поскольку мы рассматриваем x0 как функцию времени, то Х0(n) можно назвать комплексным спектром x0(t). По действительной и мнимой частям X0(n).можно найти амплитуду и фазу составляющих, образующих колебание x0(t).

Рассмотрим дискретизацию периодической функции x0(t). Для того чтобы эту функцию можно было дискретизовать однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотой, выше некоторой частоты f1 т. е.

где n1 - целое значение n, задающее частоту f1.

На фиг. 1 показаны такой ограниченный спектр и колебание, которому он соответствует.

интервал дискретизации Т равен

так что число отсчетов на период будет

Фиг. 1. Периодическая функция x0(t) с ограниченной полосой частот и ее спектр X0(n).

1В результате дискретизации получаем периодическое, нормализованное относительно Т колебание вида

Это колебание определено на интервале, равном его периоду, т. е.

Поскольку x(t/T) – периодическая функция для расчета коэффициентов ряда Фурье используется соотношение (2)

(Замена Р на /V в делителе и пределах интегрирования соответствует переходу к нормализованной переменной.) Подставляя выражение (3), получаем

Известно, что

Окончательно с учетом того, что по определению

Соотношение, связывающее x(k) с Х(n), может быть получено непосредственно из формулы (1), если подставить t=kT и учесть, что при ограниченной ширине спектра функции x0(t) сумма содержит конечное число членов. Итак,

Следует заметить, что x(k) -периодическая функция, т. е.

и аналогично

Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется периодичностью спектра любой дискретизованной функции, а его дискретный характер связан с тем, что сама дискретизуемая функция также периодическая.

Итак, при дискретизации периодической функции x0(t) соотношение (4) позволяет по выборкам x0(t) найти спектр Х(n), который на интервале 0 ≤ n ≤ N - 1 в точности равен спектру Х0(n) исходной периодической функции. Функция x(k) и ее спектр графически представлены на фиг. 2. Поскольку соотношение (5.4) получено на основании теоремы отсчетов, оно является точным и экономичным (при расчетах) эквивалентом исходного интегрального соотношения (2) и может быть использовано для вычисления коэффициентов разложения на ЭВМ. Соотношения (4) и (5) будем называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) соответственно. Заметим, что переменная n меняется здесь от нуля до N-1. Получаемый спектр можно интерпретировать следующим образом. Первые (N/2-1) точек Х(n) -соответствуют (N/2 - 1) спектральным линиям Х0(n) на положительных частотах, как показано на фиг. 5.3, а последние (N/2-1) точек Х(n) соответствуют (N/2-1) спектральным линиям на отрицательных частотах.

Пара преобразований, заданная соотношениями (4) и (5), встречается и в другом виде. Например, множитель 1 / N и знак минус у экспоненты могут быть записаны как в прямом, так и в обратном преобразовании, общий смысл при этом не меняется.

Естественно, спектр в этом случае нельзя непосредственно отождествлять с тем, который определен формулой (2). Иногда оба преобразования приводятся с одинаковыми множителями (1 / N)1/2.

Фиг. 2. Дискретизированная периодическая функция x(k) и ее периодический спектр Х(n).

Фиг. 3. Соотношение между коэффициентами ряда Фурье и ДПФ.

Свойства ДПФ

Некоторые свойства ДПФ играют в практических вопросах обработки сигналов важную роль.

Линейность

Если xр(n) и ур(n) - периодические последовательности (с периодом в N отсчетов каждая), а Хр(k) и Yp(k) - их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности хр(n) + + ур(n) равно Хр(k) + Yp(k). Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины.

Сдвиг

Если последовательность хр(n) периодическая с периодом в N отсчетов, а ее ДПФ равно Хр(k), то ДПФ периодической последовательности вида хр(n-n0) будет равно.

Фиг. 4. К определению ДПФ сдвинутой последовательности.

При анализе последовательностей конечной длины необходимо учитывать специфический характер временного сдвига последовательности. Так, на фиг. 4, а изображена конечная последовательность х (п) длиной в N отсчетов. Там же крестиками изображены отсчеты эквивалентной периодической последовательности хр(n), имеющей то же ДПФ, что и х(n). Чтобы найти ДПФ сдвинутой последовательности х(n - n0), причем n0 < N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ j принять отрезок последовательности хр(n - n0) в интервале 0 ≤ n ≤ N - 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х(n – n0) получается путем кругового сдвига элементов последовательности х(n) на n0 отсчетов

Свойства симметрии

Если периодическая последовательность хр(n) с периодом в./V отсчетов является действительной, то ее ДПФ Хр(k) удовлетворяет следующим условиям симметрии:

Аналогичные равенства справедливы и для конечной действительной последовательности х(n), имеющей N-точечное ДПФ X(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последовательности хp(n), т. е. считать, что

то окажется, что Хр(k) может быть только действительной.

Поскольку чаще всего приходится иметь дело с действительными последовательностями, то, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (6). Рассмотрим действительные периодические последовательности хр(n) и ур(n) с периодами в N отсчетов и N-точечными ДПФ Хр(k) и Yp(k) соответственно. Введем комплексную последовательность zp(n) вида

Ее ДПФ равно

Выделяя действительную и мнимую части равенства (10), получим

Действительные части Хр(k) и Yp(k) симметричны, а мнимые - антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя операции сложения и вычитания:

Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N отсчетов. Если эти последовательности являются еще и симметричными, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.

Похожая информация.

Преобразования Фурье

Многие сигналы удобно анализировать, раскладывая их на синусоиды (гармоники). Тому есть несколько причин. Например, подобным образом работает человеческое ухо. Оно раскладывает звук на отдельные колебания различных частот. Кроме того, можно показать, что синусоиды являются «собственными функциями» линейных систем (т.к. они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а могут изменять лишь фазу и амплитуду). Еще одна причина в том, что теорема Котельникова формулируется в терминах спектра сигнала.

Преобразование Фурье (Fourier transform)– это разложение функций на синусоиды (далее косинусные функции мы тоже называем синусоидами, т.к. они отличаются от «настоящих» синусоид только фазой). Существует несколько видов преобразования Фурье.

1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.

2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье.

3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.

4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.

Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных, следовательно, реально он способен вычислять только последний вид преобразования Фурье. Рассмотрим его подробнее.

ДПФ вещественного сигнала

Пусть дискретный сигнал x имеет периодN точек. В этом случае его можно представить в виде конечного ряда (т.е. линейной комбинации) дискретных синусоид:

		2π k (n + ϕ k )
	x = ∑ C k cos		(ряд Фурье)
	k = 0

Эквивалентная запись (каждый косинус раскладываем на синус и косинус, но теперь – без фазы):

	2 π kn		2 π kn
x = ∑ A k cos		+ ∑ B k sin		(ряд Фурье)
k = 0		k = 0

Рис. 6 . Базисные функции ряда Фурье для 8-точеченого дискретного сигнала. Слева – косинусы, справа – синусы. Частоты увеличиваются сверху вниз.

Базисные синусоиды имеют кратные частоты. Первый член ряда (k =0) – это константа, называемаяпостоянной составляющей (DC offset ) сигнала. Самая первая синусоида (k =1) имеет такую частоту, что ее период совпадает с периодом самого исходного сигнала. Самая высокочастотная составляющая (k =N /2) имеет такую частоту, что ее период равен двум отсчетам. КоэффициентыA k и

B k называютсяспектром сигнала (spectrum ). Они показывают амплитуды си-

нусоид, из которых состоит сигнал. Шаг по частоте между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.

На рис. 6 показаны синусоиды, по которым происходит разложение дискретного сигнала из 8 точек. Каждая из синусоид состоит из 8 точек, то есть является обычным дискретным сигналом. Непрерывные синусоиды показаны на рисунке для наглядности.

вить исходный сигнал, вычислив сумму ряда Фурье в каждой точке. Разложение сигнала на синусоиды (т.е. получение коэффициентов) называется прямым преобразованием Фурье . Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называетсяобратным преобразованием Фурье (inverse Fourier transform ).

Алгоритм обратного преобразования Фурье очевиден (он содержится в формуле ряда Фурье; для проведения синтеза нужно просто подставить в нее коэффициенты). Рассмотрим алгоритм прямого преобразования Фурье, т.е. нахождения коэффициентов A k иB k .

			2 π kn		2 π kn			от аргумента n является ор-
	Система функций					K = 0,...,

тогональным базисом в пространстве периодических дискретных сигналов с периодом N . Это значит, что для разложения по ней любого элемента пространства (сигнала) нужно посчитать скалярные произведения этого элемента со всеми функциями системы, и полученные коэффициенты нормировать. Тогда для исходного сигнала будет справедлива формула разложения по базису с коэффициентамиA k иB k .

Итак, коэффициенты A k иB k вычисляются как скалярные произведения (в не-

прерывном случае – интегралы от произведения функций, в дискретном случае

– суммы от произведения дискретных сигналов):

N − 1

2 π ki , приk = 1,...,

A k=

∑ x cos

−1

N i = 0

N − 1

A k=

∑ x cos2 π ki , приk = 0,

N i = 0

N − 1

2 π ki

NB 0 иB N 2 всегда равны нулю (т.к. соответствующие им «базисные» сигналы тождественно равны нулю в дискретных точках), и их можно отбросить при вычислении обратного и прямого преобразований Фурье. Итак, мы выяснили, что спектральное представление сигнала полностью эквивалентно самому сигналу. Между ними можно перемещаться, используя прямое и обратное преобразования Фурье. Алгоритм вычисления этих преобразований содержится в приведенных формулах. Вычисление преобразований Фурье требует очень большого числа умножений (около N 2 ) и вычислений синусов. Существует способ выполнить эти преобразования значительно быстрее: примерно заN log2 N операций умножения. Этот способ называется быстрым преобразованием Фурье(БПФ, FFT, fast Fourier transform). Он основан на том, что среди множителей (синусов) есть много повторяющихся значений (в силу периодичности синуса). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями, значительно сокращая число умножений. В результате быстродействие БПФ может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма (в зависимости от N). При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ является точным. Он даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления. Однако у большинства алгоритмов БПФ есть особенность: они способны работать лишь тогда, когда длина анализируемого сигнала N является степенью двойки. Обычно это не представляет большой проблемы, так как анализируемый сигнал всегда можно дополнить нулями до необходимого размера. Число N называется размеромили длиной БПФ(FFT size). Комплексное ДПФ До сих пор мы рассматривали ДПФ от действительных сигналов. Обобщим теперь ДПФ на случай комплексных сигналов. Пусть x , n =0,…,N -1 – исходный комплексный сигнал, состоящий изN комплексных чисел. ОбозначимX , k =0,…N -1 – его комплексный спектр, также состоящий изN комплексных чисел. Тогда справедливы следующие формулы прямого и обратного преобразо- ваний Фурье (здесь j = − 1): N − 1 X [ k] = ∑ x[ n] e− jnk (2 π N ) n= 0 N − 1 ∑ X [ k ] e jnk(2 π N) N k = 0 Если по этим формулам разложить в спектр действительный сигнал, то первые N /2+1 комплексных коэффициентов спектра будут совпадать со спектром «обычного» действительного ДПФ, представленным в «комплексном» виде, а остальные коэффициенты будут их симметричным отражением относительно

Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трёхмерные.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Обозначения:

§ N - количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

§ - измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

§ - N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

§ - обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

§ arg(X k ) - фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

§ k - частота k-го сигнала, равная , где T - период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены - возникает муаров эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Рассмотрим некоторый периодический сигнал x (t ) c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:

Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов: x n = x (t n ), где , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:

Используя соотношение: , получаем:

где

Таким образом, мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.

Умножим теперь скалярно выражение для x n на и получим:

Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:

Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье .

В литературе принято писать множитель в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом, преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:

Исследуем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке своими отсчётами
, взятыми соответственно в моменты времени
; полное число отсчётов
(- интервал дискретизации).

Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчётных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим.

Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов. Тогда исходное колебание будет выражено формулой:

(5.1)

Где
– выборочные значения аналогового сигнала.

- дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (5.4)

Основные свойства ДПФ

1. ДПФ- линейное преобразование т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ

2. Число различных коэффициентов
, вычисляемых по формуле (5.4), равно числу N за период; при коэффициент

3. Коэффициент (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчётов:

5. Пусть отсчётные значения – вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно /2, образуют сопряжённые пары:

Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты , образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (5.2)
и учтём, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала.

Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчётных значений

(5.5)

Очевидно, что (5.5) представляет собой формулу обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) .

11 Алгоритм быстрого преобразования Фурье. Число вычислительных операций. Сравнение дискретного и быстрого преобразования Фурье.

=0, 1, 2,…,( /2)-1 (5.7)

Учтём, что последовательности коэффициентов, относящихся к чётной и нечётной частям входного массива, являются периодическими с периодом N/2:

Кроме того, входящий в формулу (5.7) множитель при
можно преобразовать так:

Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ

(5.8)

Формулы (5.7) и (5.8) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчётов с чётными и нечётными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получается последовательность, состоящая из единственного элемента. ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.

Число операций, необходимых для вычисления БПФ оценивается как
.

Выигрыш в скорости вычислений по сравнению с традиционным ДПФ достигает сотен и даже тысяч при достаточных длинах входных массивов.

12.. Z - преобразование и его свойства. Применение Z - преобразования.

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.

Пусть
– числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменнойZ:

(5.9)

Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности
. Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя ихZ-преобразования обычными методами математического анализа.

Данное выражение имеет смысл при |Z|> .

Обратное Z- преобразование

Пусть x(z) – функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов (
).

Действительно, умножим обе части ряда (5.9) на множитель
:

Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:

(5.11)

Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.

Важнейшие свойства Z -преобразования:

1. Линейность . Если
и
- некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующиеZ-преобразования x(z) и y(z), то сигналу
будет отвечать преобразованиепри любых постоянныхи. Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (5.9).

2. Z -преобразование смещённого сигнала . Рассмотрим дискретный сигнал
, получающийся из дискретного сигнала
путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда
. Непосредственно вычисляяZ-преобразование, получаем следующий результат:

Таким образом, символ
служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) вZ-области.

3. Z -преобразование свёртки . Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:

(5.13)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (5.13) принято вводить дискретную свёртку
– последовательность чисел общий член которой:

Подобную дискретную свёртку называют линейной

Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:

(5.15)

Итак, свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.