Урок и презентация на темы: "Арккосинус. Таблица арккосинусов. arccos(0), arccos(1), arccos(2)"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Что такое арккосинус?
2. Обозначение арккосинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арккосинуса.
6. Примеры.

Что такое арккосинус?

Ребята, мы с вами уже изучили функцию Y=cos(X), построили ее график и решали некоторые уравнения, например cos(x)= 1/2. Для решения этого уравнения требовалось провести прямую x= 1/2 и посмотреть, в каких точках она пересекает числовую окружность.

Видно что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и являются решением уравнения. Переобозначим F как x1, а G - как x2. Решение уравнения мы нашли довольно легко и определили, что x1 = π/3 + 2πk, а x2 = -π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение cos(x)=4/7. Очевидно, что решением уравнения будут две точки, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности?

Обозначение арккосинуса

Давайте внимательно посмотрим на уравнение cos(x)=4/7.

Как мы и говорили, решениями нашего уравнения будут две точки: F=x1+2πk и G=x2+2πk, но, что это за точки? Много лет назад столкнувшись с этой проблемой математики решили, что надо придумать некоторый способ описания решения на математическом языке. И был придуман новый символ – arccos(x). Будем читать как арккосинус.

Тогда решения нашего уравнения запишутся как: x1=arccos(4/7) и x2=-arccos(4/7). И решение в общем виде: x=arccos(4/7) + 2πk и x=-arccos(4/7) + 2πk. Арккосинус - это угол (длина дуги AF, AG), косинус которого равен 4/7.

Немного истории

Символ arccos появляется впервые в 18 веке в работах математика Шерфера и известного французского ученого Жозефа Луи Лагранжа, портрет которого вы видите на этой странице. Несколько ранее понятие арккосинус уже рассматривал Д. Бернули, но записывал его совсем другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия:
arccos x - это угол (можно сказать и дуга), косинус которого равен x.

Определение арккосинуса.

Если |а|≤ 1, то arccos(a) – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)=a имеет решение: x=±arccos(a) + 2πk

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

cos(x)=0, то x= π/2 + πk

cos(x)=1, то x= 2πk

cos(x)=-1, то x= π + 2πk

Также стоит записать важное равенство:

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arccos(a) + arccos(-a) = π ; при решение заданий удобнее использовать: arccos(-a) = π - arccos(a), где -1 ≤ а ≤ 1

Таблица значений арккосинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арккосинуса

Примеры

1. Найти значение функции arccos(-√3/2).
Решение: Пусть arccos(-√3/2)=x, тогда cos(x)=-√3/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=5π/6, т.к. cos(5π/6)= -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Ответ: arccos(-√3/2)=5π/6

2. Найти значение функции arccos(√2/2).
Решение: Пусть arccos(√2/2) = x, тогда cos(x)= √2/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=π/4, т.к. cos(π/4)= √2/2 и 0 ≤ π/4 ≤ π.
Ответ: arccos(√2/2)=π/4

3. Найти значение функции arccos(1).
Решение: Пусть arccos(1) = x, тогда cos(x)= 1 и по определению 0≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: значит x=0, т.к. cos(0)= 1 и 0 ≤ 0 ≤ π.
Ответ: arccos(1)=0

4. Решить неравенство cos(x)> -0.3.
Решение: Косинус - это абсцисса точки числовой окружности. Значит необходимо найти такие точки, абсциссы которых больше -0.3. Нарисуем прямую x=-0.3. Она пересекает числовую окружность в двух точках: F и G. Неравенству x>-0.3 соответствуют точки дуги GF. Точкам F и G соответствуют абсциссы: ±arccos(-0.3)= ±(π - arccos(0.3)). Запишем аналитическую запись дуги GF: -π + arccos(0.3) Ответ: -π + arccos(0.3)

Задачи для самостоятельного решения

1)Вычислить:
а) $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$,
б) $arccos(-\frac{1}{2})$,
в) $arccos(0)$,
г) $arccos(-0,5)$.
2) Решить уравнения:
а) $cos(x)=-\frac{1}{2}$,
б) $cos(x)=1$,
в) $cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
г) $cos(x)=0,25$,
д) $cos(x)=-1,2$.
3) Решить неравенства:
а) $cos(x)>0,6$,
б) $cos(x)≤0,2$.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — .
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.