Несобственный интеграл - реферат. Использование интегральных вычислений в экономических теориях

До сих пор мы говорили о несобственных интегралах с одной особенностью, связанной с неограниченностью функции у одного из пределов интегрирования или с неограниченностью самого этого предела. Здесь мы укажем, в каком смысле понимаются другие возможные варианты несобственного интеграла.

Если оба предела интегрирования являются особенностями того или другого из указанных выше типов, то полагают по определению

где с - произвольная точка промежутка

При этом предполагается, что каждый из несобственных интегралов в правой части соотношения (12) сходится. В противном случае говорят, что интеграл, стоящий в левой части (12), расходится.

В силу замечания 2 и свойства аддитивности несобственного интеграла, определение (12) корректно в том смысле, что оно на самом деле не зависит от выбора точки с

Пример 13.

Пример 14. Интеграл

называется интегралом Эйлера - Пуассона, а иногда еще и интегралом Гауеса. Он, очевидно, сходится в указанном выше смысле. Позже будет показано, что он равен

Пример 15. Интеграл

расходится, поскольку при любом а разойдется по крайней мере один из двух интегралов

Пример 16. Интеграл

сходится, если сходится каждый из интегралов

Первый из этих интегралов сходится, если ибо

при Второй интеграл сходится при что можно проверить непосредственно интегрированием по частям, аналогичным проделанному в примере 12, или сославшись на признак Абеля-Дирихле. Таким образом, исходный интеграл имеет смысл при

В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в окрестности одной из внутренних точек и отрезка интегрирования полагают

требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла существовали.

Пример 17. В смысле соглашения (13)

Пример 18. Интеграл - не определен.

Существует и отличное от (13) соглашение о вычислении интеграла от функции, неограниченной в окрестности внутренней точки и отрезка интегрирования. А именно, полагают

если стоящий справа предел существует. Этот предел называют, следуя Коши, интегралом в смысле главного значения и, чтобы отличить определения (13) и (14), во втором случае перед знаком интеграла ставят начальные буквы V. Р. французских слов valeur principal (главное значение). В англоязычном варианте используется обозначение . (от principal value).

В соответствии с этим соглашением имеем

Пример 19.

Принимается также следующее определение:

Пример 20.

Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько (конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри промежутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками промежуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как сумму интегралов по отрезкам разбиения.

Можно проверить, что результат такого расчета не зависит от произвола в выборе разбиения.

Пример 21. Точное определение интегрального логарифма теперь можно записать в виде

В последнем случае символ V. Р. относится к единственной внутренней для промежутка особенности, расположенной в точке 1. Заметим, что в смысле определения (13) этот интеграл не является сходящимся.

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте , исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

    Расчет суммы издержек для плана выпуска продукции. Коэффициенты линейного уравнения парной регрессии. Характеристика графической интерпретации результатов. Развитие экономических процессов. Особенности эконометрического моделирования временных рядов.

    контрольная работа , добавлен 22.02.2011

    Метод имитационного моделирования, его виды, основные этапы и особенности: статическое и динамическое представление моделируемой системы. Исследование практики использования методов имитационного моделирования в анализе экономических процессов и задач.

    курсовая работа , добавлен 26.10.2014

    Характеристика и описание метода линейного программирования, основные области его применения и ограничения использования. Решение экономических задач, особенности формирования оптимизационной модели, расчет и анализ результатов оптимизации прибыли.

    курсовая работа , добавлен 23.03.2010

    Расчет доверительных интервалов прогноза для линейного тренда с использованием уравнения экспоненты. Оценка адекватности и точности моделей. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании. Экспоненциальные средние для временного ряда.

    контрольная работа , добавлен 13.08.2010

    Математическое моделирование. Сущность экономического анализа. Математические методы в экономическом анализе. Теория массового обслуживания. Задача планирования работы предприятия, надежности изделий, распределения ресурсов, ценообразования.

    контрольная работа , добавлен 20.12.2002

    Выполнение кластерного анализа предприятий с помощью программы Statgraphics Plus. Построение линейного уравнения регрессии. Расчет коэффициентов эластичности по регрессионным моделям. Оценка статистической значимости уравнения и коэффициента детерминации.

    задача , добавлен 16.03.2014

    Сведения о методе скользящей средней, коэффициенте линейной парной корреляции, регрессионном анализе. Построение графиков изменения значений показателей по данным варианта. Обработка динамических рядов методом скользящей средней и построение графиков.

    курсовая работа , добавлен 08.06.2012

Эффективные методы решения
определенных и несобственных интегралов

Данная статья содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыками интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов, предназначенных для чайников: Неопределенный интеграл, примеры решений .

Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл , с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры .

Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала я рассмотрю особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой . Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!

Второй раздел предназначен для читателей, знакомых с несобственными интегралами . Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных, нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основную статью: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.

Если вам интересно что-то конкретное, сразу ссылки :

Метод решения определенного интеграла от четной функции

Рассмотрим определенный интеграл вида . Легко заметить, что отрезок интегрирования симметричен относительно нуля.

Если функция подынтегральная является чётной , то интеграл можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить : .

Многие догадались, почему так, тем не менее, рассмотрим конкретный пример с чертежом:

Пример 1


О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций . Повторим один раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство . Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо «икс» подставить .

В данном случае:
, значит, данная функция является чётной.

Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:

А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….

Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси :

Определенный интеграл численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а значит, симметричности её графика относительно оси , достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые же половинки!
Именно поэтому справедливо действие

Аналогичная история происходит с любой чётной функцией по симметричному относительно нуля отрезку:

Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:

Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Замечу, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.

Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов , тройных интегралов , где вычислений и так хватает.

Короткий разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Полное решение и ответ в конце урока.

Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Иллюстрация к Примеру 1 дана только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:

Пример 3

1) Вычислить определенный интеграл .
2) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и осью на интервале .

Это две разные задачи! Об этом уже говорилось в статье Как вычислить площадь плоской фигуры? Сначала разберемся с первым пунктом:

1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:

Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!

2) Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:

Если у вас возникло затруднение с наивным косинусом, пожалуйста, обратитесь к статье Геометрические преобразования графиков .

На отрезке график функции расположен ниже оси , поэтому:

Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять споловинили отрезок, и удвоили интеграл.

Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла
Тригонометрическая подстановка

Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.

Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности . Уравнение вида задаёт окружность с центром в точке радиуса . В частности, уравнение задаёт окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример 4

Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением

– это окружность с центром в начале координат радиуса .

Выполним чертёж:

Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна:

Для того чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения окружности выразить функцию «игрек» в явном виде:

Верхняя полуокружность задается уравнением
Нижняя полуокружность задается уравнением

Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.

Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-й четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.

Таким образом:

Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы , он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены :

Проведём замену:

Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:

Выясним, во что превратится корень, я распишу очень подробно:

Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, схлопочете от преподавателя «приходите в следующий раз».

После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.

Осталось вычислить новые пределы интегрирования:
Если , то

Новый нижний предел интегрирования:
Новый верхний предел интегрирования:

Таким образом:

Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:

Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула ? А фишка состоит в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа (хотя уже в древности площадь круга рассчитывали с приличной точностью).

Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула !

Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла , а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение элементарно сводится к оптимальной версии:

Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций . Будьте внимательны! Полное решение и ответ в конце урока.

Метод решения определенного интеграла от нечетной функции
по симметричному относительно нуля отрезку

Вам понравится.

Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования: .
Если подынтегральная функция является нечётной , то .

Почему такой интеграл равен нулю?

Пример 6

Вычислить определенный интеграл

Выполним чертеж:

Вот, заодно и график функции , который ещё нигде у меня не встречался, график представляет собой перевёрнутую кубическую параболу.

Проверим нашу функцию на четность/нечетность:
, значит, данная функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Из симметрии графика следует равенство площадей, которые заштрихованы красным и синим цветом .

При вычислении определенного интеграла площадь, которая заштрихована синим цветом, формально является отрицательной. А площадь, которая заштрихована красным цветом – положительной. Поскольку площади равны и формально противоположны по знаку, то они взаимно уничтожаются, следовательно .

И еще раз подчеркиваю разницу между заданиями:

1) Любой определенный интеграл (само собой он должен существовать) – это всё равно формально площадь (пусть даже отрицательная). В частности, поэтому , так как в силу нечётности функции площади взаимно уничтожатся. Что и проиллюстрировано на конкретном примере.

2) Задача на нахождение площади – это совершенно другая задача . Так, если бы нам было предложено найти площадь фигуры в данном примере, то её следовало бы вычислить следующим образом:

Еще несколько коротких примеров на тему данного правила:

И, аналогично для любой нечетной функции и симметричного относительно нуля отрезка.

Применять ли данный метод на практике? На самом деле вопрос не такой простой. Когда вам предложен сложный пример с большим количеством вычислений, то можно, и даже уместно указать, что такой интеграл равен нулю, сославшись на нечетность функции и симметричность отрезка интегрирования относительно нуля. Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила.

Но когда вам предложен короткий пример, то преподаватель вполне обоснованно может заставить прорешать его подробно: взять интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Например, вам предложено вычислить тот же определенный интеграл . Если вы сразу запишите, что и поясните словами, почему получается ноль, то это будет не очень хорошо. Намного лучше «прикинуться дурачком» и провести полное решение:

А то, что интеграл равен нулю, вы будете знать заранее;-) И это знание 100%-но позволит избежать ошибки.

Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом

Второй раздел статьи предназначен для тех, кто хорошо разобрался с уроком Несобственные интегралы. Примеры решения , или, по крайне мере, понял бОльшую его часть. Речь пойдет о несобственных интегралах первого рода с бесконечным нижним пределом: .

Пример 7

Чем отличается данный интеграл от «обычного» несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом? По технике решения практически ничем. Так же нужно найти первообразную (неопределенный интеграл), так же нужно использовать предел при вычислении интеграла. Отличие состоит в том, что необходимо устремить нижний предел интегрирования к «минус бесконечности»: .

Из вышесказанного следует очевидная формула для вычисления такого несобственного интеграла:

В данном примере, подынтегральная функция непрерывна на и:
, то есть, несобственный интеграл расходится.

Вот тут, главное, быть аккуратным в знаках , и не забывать, что . Нужно внимательно разобраться, что куда стремится.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Метод решения несобственного интеграла
с бесконечными пределами интегрирования

Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:

Как его решить? Данный интеграл нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов:
(всё гениальное просто) и смотреть по ситуации:
Примечание : вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.

Пример 9

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой . Представляем интеграл в виде суммы двух интегралов:

и разделываемся с ними по отдельности:

Таким образом:
, то есть несобственный интеграл существует и сходится.

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной .
В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричным интервалом интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО . Аналогично определенному интегралу, промежуток выгодно споловинить, а результат – удвоить:

Почему такое возможно? График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси . Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна. Если половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться. И не забываем о третьем случае: если половины не существует, то второй, и всего интеграла – тоже. Например:
– данного предела не существует, а значит, не существует и несобственного интеграла .

Переходим ещё к более любопытному случаю:

Пример 10

Исследовать несобственный интеграл на сходимость.

Обратите внимание на задание – здесь в условии уже не констатируется факт существования интеграла.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой, и мы в академичном стиле распиливаем пациента на две части:

Решаем первый:

и второй:

И, несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – итогового интеграла в общем случае не существует , ибо сумма не определена. Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус бесконечности», например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс бесконечности» (или наоборот) .

Но существует особый частный случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям одинаково. Это выражается пределом:

и называется сходимостью интеграла по Коши . Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла .

И поскольку условие требовало от нас исследования , то здесь будет грамотным следующий ответ : в общем случае несобственного интеграла не существует, однако имеет место сходимость по Коши и главное значение интеграла равно нулю. Главное значение принято обозначать так:

А сейчас очень важный момент : подынтегральная функция является нечётной , и как вы правильно догадываетесь, в несобственных интегралах с бесконечными пределами нечётностью пользоваться НЕ СЛЕДУЕТ!!!

В этом состоит отличие от определенного интеграла . Там можно смело записать, что , а здесь так поступать не следует . Почему? Потому что в ряде случаев, как, например, в рассмотренном примере, получится автоматическая ошибка , что не соответствует действительности.

Тонкость же состоит в том, что интегралы от некоторых нечётных функций и в самом деле равны нулю! И как раз этой тонкости посвящен следующий пример для самостоятельного решения.

Несобственный интеграл

с несколькими особенностями.

Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов





Рассмотрим сначала

П


ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание.

Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке выглядит примерно так:



Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале  .(8)

0 a b X 0 a b X

рис.,поясняющий интеграл (7) рис.,поясняющий интеграл (8)

Если же функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов




Рассмотрим сначала

П

ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость,полезно внимательно изучить подынтегральную функцию,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке выглядит примерно так(рисунок 5)

ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ.

1)Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на

т

.е. сходится,а для fg=1/x

И
нтеграл расходится,функция fg=1/x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ.

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы,значение которых точно вычислить затруднительно,например (8.1)

и

тогда перед студентом ставится задача:исследовать несобственный интеграл на сходимость,не вычисляя его значения.Для этого необходимо применять следующие методы:

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ.

Основной признак для исследования сходимости несобтвенных интегралов от знакопостоянных функций.Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения,несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить,и дать заключение о сходимости исходного интеграла,используя следующие утверждения:

П

усть функции f(x) и g(x) неотрицательны на полуинтервале :

В

случае,если подынтегральная функция имеет особую точку x=b ,необходимо искать функцию сравнения в виде

И

сследование которой при замене переменной y=x-b приведёт нас к тоько что рассмотренному случаю на интервале (0;a]

Пример 10:

С
ледовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале }