Формулировка теоремы о пределе элементарных функций. Предел функции – определения, теоремы и свойства
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX
§ 212. Основные теоремы о пределах функций
Прежде всего заметим, что не для всякой функции у = f (х ) существует предел f (х ). Так, например, при x -> π / 2 значения функции у = tg х (рис. 303) или неограниченно растут (при х < π / 2), или неограниченно убывают (при х > π / 2).
Поэтому нельзя указать никакого числа b , к которому стремились бы значения этой функции.
Другой пример. Пусть
График этой функции представлен на рисунке 304.
Когда значений аргумента х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, соответствующие значения функции стремятся к 1. Когда значения аргумента х приближаются к 0, оставаясь положительными, соответствующие значения функции стремятся к -2. В самой же точке х = 0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к которому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэтому данная функция не имеет предела при х -> 0.
Говоря в дальнейшем о пределе функции, мы всегда будем предполагать, что этот предел существует.
Предположение о существовании предела f (х ) еще не означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х ) в точке х = а . Для примера рассмотрим функцию, график которой представлен на рисунке 305.
Очевидно, что предел f (х ) существует и равен 1. Но в самой точке х = 0 функция принимает значение, равное 2. Поэтому в данном случае
f (х ) =/= f (0).
Если функция у = f (х ) удовлетвoряет условию
f (х ) = f (a ),
то она называется непрерывной в точке х = а . Если же указанное условие не выполняется, то функция f (х ) называется разрывной в точке х = а ."
Все элементарные функции (например, у = х п , у = sin х , у = tg х , у = tg 2 х + tg х и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Функция у = f (х ) называется непрерывной в интервале [а, b ], если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Например, функция у = tg x непрерывна в интервале[- π / 4 , π / 4 ], функции у = sin x и y = cos x непрерывны в любом интервале и т. д.
Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.
1. Предел константы равен самой этой константе:
с = с .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[ k f (х )] = k f (х ).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
[ f (х ) ± g (х )] = f (х ) ± g (x ).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
[ f (х ) g (х )] = f (х ) g (x ).
5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:
Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.
Пример 1. Найти
При х -> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:
(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х ), то обычно предполагаем, что функция f (х ) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а . Однако функция определена лишь для положительных значений х . Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х -> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)
Пусть f(x) и j (x) – функции, для которых существуют пределы при х ® х 0 (¥):
,
Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:
3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:
4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):
(B ¹ 0)
Пример. Вычислить предел .
◄ Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:
Пример. Вычислить .
◄ Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. Имеем неопределенность . В подобных случаях для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:
.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел :
Второй замечательный предел :
,
где –число Эйлера, которое является основанием для натуральных логарифмов. Последний предел можно записать в других формах:
,
.
Пример. Вычислить .
◄ Для раскрытия подобных неопределенностей используется первый замечательный предел:
Непрерывность функции.
Функция f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если она удовлетворяет следующим условиям:
1) она определена в точке ,т.е. существует f(х 0);
2) она имеет конечный предел функции при х ® х 0 ;
3) этот предел равен значению функции в точке х 0 ,
т.е.
Например, в точке х = 0 функция не является непрерывной (нарушено 1-е условие).
Функция, заданная выражением:
в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х ® 0, хотя существуют пределы слева и справа (см. рис.).
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.
Точка разрыва 1-го рода : существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х ® х 0 , не равные друг другу.
х = 0 для рассмотренной выше функции .
Точка разрыва 2-го рода : хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .
Свойства функций непрерывных в точке:
1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частные () являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция y = f (x ) непрерывна в точке х 0 и f(x 0) > 0, то существует такая окрестность точки x 0 , в которой и f(x) > 0.
3. Если функция y = f (u ) непрерывна в точке u 0 и f(x 0) > 0, а функция непрерывна в точке х 0 , то сложная функция y = f [j (х )] непрерывна в точке х 0 .
Функция y = f (x ) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства функций непрерывных на отрезке:
1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она ограничена на этом отрезке.
2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.
3. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка x Î (a, b ) такая, что f (x)=0.
Лекция 2.7.2 «Производная. Дифференциал»
Учебные вопросы:
1. Производная
2. Дифференциал
Производная
Производной от функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Другие обозначения производной: .
Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке.
Геометрический смысл производной: производная равна тангенсу угла между осью Ox и касательной, проведенной к графику функции в точке (см. рис.).
Механический смысл: производная пути по времени есть скорость точки в момент т.е. .
Производительность труда в момент есть производная объема произведенной продукции по времени .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке , например, функция в точке .
Правила дифференцирования
1. Производная константы равна нулю, т.е. , где С - const.
2. Производная аргумента равна 1, т.е. .
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
Основные теоремы о пределах.
1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.
lim (u 1 + u 2 + … + u n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n
2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.
lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n
3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0 .
3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b , то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.
Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом . (2.1)
Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.
y |
y = sin x |
x |
y = x |
Рис. 2.3 |
Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет
вид:
(2.2)
Число е – иррациональное (также как и число p ) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828… ; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log e x . Функцию у = е х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х ). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:
Непрерывность функций. Функцию у = f(х) а если:
1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;
2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х 0 получит приращение Dх и примет значение х = х 0 + Dх . В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0) .
Функцию f(х) называют непрерывной в точке х 0 , если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
(2.3) или (2.3`)
Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена
и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде
или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела
(символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .
Пример:
В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:
Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b) , где a < b , то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b 1 , b 2 и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода . Эти точки подразделяются на точки скачка , когда b 1 ¹ b 2 (скачок равен b 2 - b 1 ) и точки устранимого разрыва, когда b 1 = b 2 . Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода . В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).
Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).
1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х 1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 1) ³ f(x) , где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х 2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 2) ≤ f(x) .
y 1 |
y 2 |
y 3 |
x |
a |
m |
M |
в |
Рис. 2.4 |
(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b !)
у |
у 2 |
а |
в |
х |
у 1 |
Рис. 2.5 |
х |
3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m , заключенное между числами А и В , найдется такая точка х = с , заключенная между a и b , что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Доказательство . Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть.Тогда f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) , где б и в - бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (б(x) + в(x)) .
Так как b + c есть постоянная величина, а б(x) + в(x) - функция бесконечно малая, то
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Доказательство . Пусть. Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) и
fg = (b + б)(c + в) = bc + (bв + cб + бв).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bв + c б + бв на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
Пример. .
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Доказательство . Пусть. Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) , где б, в - бесконечно малые. Рассмотрим частное
Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ?0.
3. Рассмотрим. При x>1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как, т.е. есть бесконечно малая функция при x> 1, то.
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)?f(x)? v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x>a (или x>? ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 - М.: Наука, 1985.
Теорема 5. Если при x>a (или x>? ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y?0 и при этом стремится к пределу b , то этот предел не может быть отрицательным: b?0 .
Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y - b|?|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x>a . Но тогда y не стремится к пределу b при x>a , что противоречит условию теоремы.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)? g(x) и имеют пределы, то имеет место неравенство b?c .
Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ?0 , следовательно, по теореме 5 , или.