В сегодняшней статье речь пойдет о том, как переменные могут быть связаны друг с другом. С помощью корреляции мы сможем определить, существует ли связь между первой и второй переменной. Надеюсь, это занятие покажется вам не менее увлекательным, чем предыдущие!

Корреляция измеряет мощность и направление связи между x и y. На рисунке представлены различные типы корреляции в виде графиков рассеяния упорядоченных пар (x, y). По традиции переменная х размещается на горизонтальной оси, а y - на вертикальной.

График А являет собой пример положительной линейной корреляции: при увеличении х также увеличивается у, причем линейно. График В показывает нам пример отрицательной линейной корреляции, на котором при увеличении х у линейно уменьшается. На графике С мы видим отсутствие корреляции между х и у. Эти переменные никоим образом не влияют друг на друга.

Наконец, график D - это пример нелинейных отношений между переменными. По мере увеличения х у сначала уменьшается, потом меняет направление и увеличивается.

Оставшаяся часть статьи посвящена линейным взаимосвязям между зависимой и независимой переменными.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции, r, предоставляет нам как силу, так и направление связи между независимой и зависимой переменными. Значения r находятся в диапазоне между — 1.0 и + 1.0. Когда r имеет положительное значение, связь между х и у является положительной (график A на рисунке), а когда значение r отрицательно, связь также отрицательна (график В). Коэффициент корреляции, близкий к нулевому значению, свидетельствует о том, что между х и у связи не существует график С).

Сила связи между х и у определяется близостью коэффициента корреляции к - 1.0 или +- 1.0. Изучите следующий рисунок.

График A показывает идеальную положительную корреляцию между х и у при r = + 1.0. График В - идеальная отрицательная корреляция между х и у при r = — 1.0. Графики С и D - примеры более слабых связей между зависимой и независимой переменными.

Коэффициент корреляции, r, определяет, как силу, так и направление связи между зависимой и независимой переменными. Значения r находятся в диапазоне от — 1.0 (сильная отрицательная связь) до + 1.0 (сильная положительная связь). При r= 0 между переменными х и у нет никакой связи.

Мы можем вычислить фактический коэффициент корреляции с помощью следующего уравнения:

Ну и ну! Я знаю, что выглядит это уравнение как страшное нагромождение непонятных символов, но прежде чем ударяться в панику, давайте применим к нему пример с экзаменационной оценкой. Допустим, я хочу определить, существует ли связь между количеством часов, посвященных студентом изучению статистики, и финальной экзаменационной оценкой. Таблица, представленная ниже, поможет нам разбить это уравнение на несколько несложных вычислений и сделать их более управляемыми.

Как видите, между числом часов, посвященных изучению предмета, и экзаменационной оценкой существует весьма сильная положительная корреляция. Преподаватели будут весьма рады узнать об этом.

Какова выгода устанавливать связь между подобными переменными? Отличный вопрос. Если обнаруживается, что связь существует, мы можем предугадать экзаменационные результаты на основе определенного количества часов, посвященных изучению предмета. Проще говоря, чем сильнее связь, тем точнее будет наше предсказание.

Использование Excel для вычисления коэффициентов корреляции

Я уверен, что, взглянув на эти ужасные вычисления коэффициентов корреляции, вы испытаете истинную радость, узнав, что программа Excel может выполнить за вас всю эту работу с помощью функции КОРРЕЛ со следующими характеристиками:

КОРРЕЛ (массив 1; массив 2),

массив 1 = диапазон данных для первой переменной,

массив 2 = диапазон данных для второй переменной.

Например, на рисунке показана функция КОРРЕЛ, используемая при вычислении коэффициента корреляции для примера с экзаменационной оценкой.

На объем продаж. Делим 900 тыс. рублей на 156000 тыс. рублей, получаем 0,005769. Это и есть рентабельность предприятия за рассматриваемый период.

Обратите внимание

Аналогичным образом можно вычислять коэффициенты ликвидности, капитализации, активности и прибыльности любой организации. Имейте ввиду, что на практике специалистами используются десятки и сотни различных финансовых коэффициентов. Не дайте сбить себя с толку - в основном все они являются производными от коэффициентов вышеуказанных категорий и вычисляются аналогично.

Полезный совет

Потренируйтесь вычислять коэффициенты рентабельности для любых других данных из отчета о прибылях и убытках предприятия. Также можно брать за основу данные из балансового отчета компании.

Существует масса определений рентабельности: доходность вложенного капитала, прибыльность хозяйственной деятельности, относительный показатель экономической эффективности и т.д. Говоря проще, показывает, сколько предприятие заработало на каждый вложенный рубль, например, рентабельность 10% говорит о том, что на каждый вложенный рубль предприятие получило 10 копеек прибыли.

Инструкция

Зачем нужно вычислять рентабельность предприятия и отдельных направлений его деятельности? Дело в том, что наличие прибыли как таковой не позволяет судить об эффективности деятельности предприятия. Предположите, что предприятие получило прибыль в размере 1 млн. рублей. Хорошо ли это? Да, если речь идет о небольшом предприятии, арендующем офис и имеющее единственный в виде . Но если речь идет о крупном заводе, то с в 1 млн.руб. предприятие еле держится на плаву. Поэтому в и существует рентабельности.

Как вычислить рентабельность ? Все зависит от того, какую именно рентабельность вы хотите вычислить.
Вычислите рентабельность капитала (активов) одним из следующих способов:
- отношение чистой прибыли к акционерному (собственному) капиталу;
- отношение чистой прибыли к инвестиционному капиталу;
- отношение чистой прибыли ко всем предприятия.

Вычислите рентабельность продаж, произведя следующие расчеты:
- Р1 = К1/N, где К1 - прибыль от продаж; N - выручка от продаж в ценах;
- Р1 = К1/N, где К1 - прибыль от продаж; N - выручка от продаж в отпускных ценах;
- Р3 = К3/N, где К3- чистая (нераспределенная) прибыль.
Вычислите общую рентабельность предприятия, определив отношение чистой прибыли к затратам, расходу ресурсов предприятия.

Источники:

• для чего нужна рентабельность

Эпюра - графическая схема решения задачи сопромата при расчете прочностных характеристик и действующих нагрузок на материал. Она отражает зависимость изгибающих моментов от длины нагруженного участка какого-либо элемента. Это может быть балка или ферма, другая несущая конструкция.

Инструкция

Обычно строят эпюры крутящих и изгибающих моментов, как наиболее опасных для прочностных характеристик конструкций. При необходимости изучения распределения продольных и поперечных сил по длине нагруженного элемента, рассчитывают и строят также эпюры продольных Q и поперечных сил N.

Строить эпюру начинают с решения задач по теоретической механике и сопромату. Установите характер рассматриваемого элемента и тип его связей (способы закрепления в пространстве). При этом учитывайте следующие основные : - система, находящаяся в покое, находится в равновесии;- сумма сил, действующих на уравновешенную систему равна 0, также как и сумма моментов, создаваемых этими силами;- момент - произведение силы на плечо, перпендикулярное силе расстояние от точки приложения силы до точки момента;- направленная вверх сила - положительна, направленная вниз – отрицательна;- если система при приложении момента повернуться по часовой стрелке – момент положительный, если против – отрицательный.

Возьмите карандаш, линейку, бумагу. Нарисуйте с соблюдением масштаба схематичное изображение рассматриваемого элемента (стержень) и его соединения ().

В соответствии с расчетами укажите точки приложения и направления сил, их величину. Укажите точку приложения момента, его направление.

Разбейте элемент на участки (сечения), укажите в них поперечные силы, постройте для них эпюры. Определите в сечениях изгибающие моменты. Постройте эпюры изгибающих моментов.

Источники:

• как построить эпюры

Физики университета Лейчестера (Великобритания), используя законы аэродинамики, вычислили скорость главного героя комиксов и фильмов Бэтмена. Для расчетов они проанализировали эпизод фильма К. Нолана «Начало» (2005), где человек-летучая мышь, раскрыв свой плащ, летит вниз с небоскреба.

Рассмотрев эпизод полета Бэтмена с высокого здания, будущие ученые Дэвид Маршалл и его друзья с факультета физики и астрономии рассчитали величины сил, действующих на человека во время такого полета. За основу расчетов была принята условная масса супергероя в 90 килограммов, высота здания - 150 метров. Студенты-физики вычислили также размах специальной накидки Бэтмена. Когда эта накидка встречает поток воздуха, она выпрямляется и делается жесткой, при этом ее размах составляет 4,7 м.

Все расчеты были сделаны в соответствии с законами аэродинамики. По полученным данным студенты сделали вывод, что подъемной силы плаща - накидки будет достаточно для поддержания Бэтмена в воздухе, при этом скорость полета супергероя составит от 60 до 100 километров в час.

Согласно этим любопытным вычислениям, при прыжке вниз со здания высотой 150 метров человек-летучая мышь пролетит 350 метров за три секунды, при этом его максимальная скорость составит 109 километров в час, а скорость приземления – 80 километров в час. После выполнения всех расчетов юные физики сделали вывод, что Бэтмен действительно может летать с помощью своего плаща, однако резкое приземление будет опасным для жизни из-за высокой скорости в последние секунды полета - супергерой просто врезался бы в землю.

Как сказал один из авторов расчетов: «Если бы Бэтмен хотел выжить после такого полета, ему бы определенно понадобился плащ побольше». Физики также посоветовали создателям фильма придумать реактивную тягу для продления скорости полета и снижения скорости приземления в том случае, если они хотят оставить размер накидки Бэтмена неизменным.

Эта работа четырех студентов-физиков под названием «Trajectory of a Falling Batman» («Траектория падающего Бэтмена») была опубликована в декабре 2011 года в журнале "Journal of Special Physics Topics" («Специальные вопросы физики») и вызвала неоднозначную реакцию общественности.

Источники:

• Тормоза для Бэтмена в 2019

Суперкомпенсация – основная цель практически любого похода в тренажерный зал. Это тот период времени, за который мышцы спортсмена не просто восстанавливаются после тренировки, а становятся сильнее, выносливее, объемнее, чем они были раньше.

Суперкомпенсация: что это?

После окончания спортивной тренировки утомленные мышцы постепенно начинают восстанавливаться. Этот длительный процесс можно разделить на несколько стадий. В течение первой стадии мускулы возвращаются к дотренировочному уровню. На следующей стадии происходит рост мышц, их работоспособность увеличивается. Период, за который мышцы не просто отдохнули после тренировки, но и стали сильнее – и есть суперкомпенсациия. Достигнув своего пика, спортивные показатели начинают снижаться и постепенно возвращаются к дотренировочному уровню.

Пик суперкомпенсации – это идеальный момент для следующего похода в спортзал. Если дать нагрузку мышцам, которые не успели максимально восстановиться, эффект от тренировки будет незначительным, а то и вовсе негативным: уставшим мускулам грозит перетренированность. Эффективность тренинга снизиться и в том случае, если упустить подходящий момент: на пике суперкомпенсации работоспособность мышц может увеличиваться на 10-20%, что дает возможность спортсмену увеличить нагрузку.

Это – важный момент, поскольку только постоянное увеличение нагрузки может обеспечить стабильный рост спортивных показателей. Без увеличения нагрузки спортсмен сможет только поддерживать уже достигнутый уровень.

Как определить идеальный момент для тренировки?

К сожалению, точно определить период суперкомпенсации невозможно. Этот процесс протекает индивидуально и зависит от множества факторов: обмена веществ спортсмена, исходного уровня тренированности, интенсивности нагрузки, питания, общего состояния организма. К тому же разные функции и группы мышц восстанавливаются по-разному и период суперкомпенсации для них различный.

Необходимо учесть и такой нюанс: если тренировка не была интенсивной и мышцы не получили достаточной нагрузки, суперкомпенсации не будет, работоспособность не увеличится. В случае же чрезмерной нагрузки возникает перетренированность, и, как следствие, остановка развития спортивных показателей, а то и вовсе регресс.

Циклический тренинг – решение проблемы суперкомпенсации

Решение проблемы суперкомпенсации – грамотная тренировочная программа, составленная с учетом индивидуальных особенностей спортсмена. Один из важнейших принципов такой программы – циклическое чередование интенсивности нагрузки, которую получают различные группы мышц.

Суть циклировния в тренинге сводится к тому, чтобы разделить спортивную программу на отдельные периоды, которые повторяются с разной степенью интенсивности: легкий, средний, высокий. Идеальный вариант – тренинг в сплите, когда программа разбивается на несколько тренировочных дней, в ходе которых спортсмен прорабатывает отдельную группу мышц.

Стоит также учесть, что для разных параметров (таких как сила, выносливость, объем мышц и т.п.) период суперкомпенсации различный и требует нагрузок разной интенсивности. Поэтому именно сплит-тренировки с циклическим изменением нагрузки обеспечивает равномерное развитие всех тренируемых параметров.

Источники:

• Изображение: как вычислить период суперкомпенсации
• Суперкомпенсация: чтобы тело было супер!
• Суперкомпенсация
• Роль суперкомпенсации в бодибилдинге

Уравнением реакции в химии называется запись химического процесса с помощью химических формул и математических знаков.

Такая запись является схемой химической реакции. Когда возникает знак «=», то это называется «уравнение». Попробуем его решить .

Пример разбора простых реакций

В кальции один атом, так как коэффициент не стоит. Индекс здесь тоже не написан, значит, единица. С правой стороны уравнения Са тоже один. По кальцию нам не надо работать.

Смотрим следующий элемент - кислород. Индекс 2 говорит о том, что здесь 2 иона кислорода. С правой стороны нет индексов, то есть одна частица кислорода, а с левой – 2 частицы. Что мы делаем? Никаких дополнительных индексов или исправлений в химическую формулу вносить нельзя, так как она написана правильно.

Коэффициенты – это то, что написано перед наименьшей частью. Они имеют право меняться. Для удобства саму формулу не переписываем. С правой части один умножаем на 2, чтобы получить и там 2 иона кислорода.

После того как мы поставили коэффициент, получилось 2 атома кальция. С левой стороны только один. Значит, теперь перед кальцием мы должны поставить 2.

Теперь проверяем итог. Если количество атомов элементов равно с обеих сторон, то можем поставить знак «равно».

Другой наглядный пример: два водорода слева, и после стрелочки у нас тоже два водорода.

• Два кислорода до стрелочки, а после стрелочки индексов нет, значит, один.
• Слева больше, а справа меньше.
• Ставим коэффициент 2 перед водой.

Умножили всю формулу на 2, и теперь у нас изменилось количество водорода. Умножаем индекс на коэффициент, и получается 4. А с левой стороны осталось два атома водорода. И чтобы получить 4, мы должны водород умножить на два.

Вот тот случай, когда элемент в одной и в другой формуле с одной стороны, до стрелочки.

Один ион серы слева, и один ион - справа. Две частицы кислорода, плюс еще две частицы кислорода. Значит, что с левой стороны 4 кислорода. Справа же находится 3 кислорода. То есть с одной стороны получается четное число атомов, а с другой – нечетное. Если же мы умножим нечетное в два раза, то получим четное число. Доводим сначала до четного значения. Для этого умножаем на два всю формулу после стрелочки. После умножения получаем шесть ионов кислорода, да еще и 2 атома серы. Слева же имеем одну микрочастицу серы. Теперь уравняем ее. Ставим слева уравнения перед серой 2.

Уравняли .

Сложные реакции

Этот пример более сложный, так как здесь больше элементов вещества.

Это называется реакцией нейтрализации. Что здесь нужно уравнивать в первую очередь:

• С левой стороны один атом натрия.
• С правой стороны индекс говорит о том, что здесь 2 натрия.

Напрашивается вывод, что надо умножить всю формулу на два.

Теперь смотрим, сколько серы. С левой и правой стороны по одной. Обращаем внимание на кислород. С левой стороны мы имеем 6 атомов кислорода. С другой стороны – 5 . Меньше справа, больше слева. Нечетное количество надо довести до четного значения. Для этого формулу воды умножаем на 2, то есть из одного атома кислорода делаем 2.

Теперь с правой стороны уже 6 атомов кислорода. С левой стороны также 6 атомов. Проверяем водород. Два атома водорода и еще 2 атома водорода. То есть будет четыре атома водорода с левой стороны. И с другой стороны также четыре атома водорода. Все элементы уравнены. Ставим знак «равно».

Следующий пример.

Здесь пример интересен тем, что появились скобки. Они говорят о том, что если множитель стоит за скобкой, то каждый элемент, стоящий в скобках, умножается на него. Начать необходимо с азота, так как его меньше, чем кислорода и водорода. Слева азот один, а справа, с учетом скобок, его два.

Справа два атома водорода, а нужно четыре. Мы выходим из положения, просто умножая воду на два, в результате чего получили четыре водорода. Отлично, водород уравняли. Остался кислород. До реакции присутствует 8 атомов, после – тоже 8.

Отлично, все элементы уравнены, можем ставить «равно».

Последний пример .

На очереди у нас барий. Он уравнен, его трогать не нужно. До реакции присутствует два хлора, после нее – всего один. Что же нужно сделать? Поставить 2 перед хлором после реакции.

Теперь за счет коэффициента, который только что поставлен, после реакции получилось два натрия, и до реакции тоже два. Отлично, все остальное уравнено.

Также уравнивать реакции можно методом электронного баланса. Этот метод имеет ряд правил, по которым его можно осуществлять. Следующим действием мы должны расставить степени окисления всех элементов в каждом веществе для того, чтобы понять где произошло окисление, а где восстановление.

В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение числового коэффициента. Примеры

Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:

Определение 1

Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения .

Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.

Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.

Пример 1

Рассмотрим произведение числа 5 и буквы a , которое будет иметь следующий вид: 5 · a . Число 5 является числовым коэффициентом выражения согласно определению выше.

Еще пример:

Пример 2

В заданном произведении x · y · 1 , 3 · x · x · z десятичная дробь 1 , 3 – единственным числовой множитель, который и будет служить числовым коэффициентом выражения.

Также разберем такое выражение:

Пример 3

7 · x + y . Число 7 в данном случае не служит числовым коэффициентом выражения, поскольку заданное выражение не является произведением. Но при этом число 7 – числовой коэффициент первого слагаемого в заданном выражении.

Пример 4

Пусть дано произведение 2 · a · 6 · b · 9 · c .

Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.

Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.

К примеру:

Пример 5

Выражение 3 · x 3 · y · z 2 – по сути оптимизированная версия выражения 3 · x · x · x · y · z · z , где коэффициент выражения – число 3 .

Отдельно поговорим о числовых коэффициентах 1 и - 1 . Они очень редко записаны в явном виде, и в этом их особенность. Когда произведение состоит из нескольких букв (без явного числового множителя), и перед ним обозначен знак плюс или вовсе нет никакого знака, мы можем говорить, что числовым коэффициентом такого выражения является число 1 . Когда перед произведением букв обозначен знак минус, можно утверждать, что в этом случае числовой коэффициент – число - 1 .

Пример 6

К примеру, в произведении - 5 · x + 1 число - 5 будет служить числовым коэффициентом.

По аналогии, в выражении 8 · 1 + 1 x · x число 8 – коэффициент выражения; а в выражении π + 1 4 · sin x + π 6 · cos - π 3 + 2 · x числовой коэффициент - π + 1 4 .

Нахождение числового коэффициента выражения

Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.

Пример 7

Задано выражение − 3 · x · (− 6) . Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

Осуществим тождественное преобразование, а именно произведем группировку множителей, являющихся числами, и перемножим их. Тогда получим: − 3 · x · (− 6) = ((− 3) · (− 6)) · x = 18 · x .

В полученном выражении мы видим явный числовой коэффициент, равный 18 .

Ответ: 18

Пример 8

Задано выражение a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 . Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 = = 2 · a 2 - 6 · a - a + 3 - 2 · a 2 + 6 · a - 3 = - a

Числовым коэффициентом полученного выражения будет являться число - 1 .

Ответ: - 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке мы узнаем о таком понятии, как коэффициент. Также мы рассмотрим несколько задач, на примере которых сможем без труда находить коэффициенты различных выражений.

Это произведение: число 2 умножается на букву .

В таком произведении договорились число называть коэффициентом .

Коэффициент - это числовой множитель в произведении, где есть буква.

Например:

Поэтому коэффициент равен 4.

Поэтому коэффициент 1.

Поэтому коэффициент -1.

Поэтому коэффициент равен 5.

В математике договорились писать коэффициент в начале, поэтому:

Букв может быть несколько, но это не влияет на коэффициент. Например:

Коэффициент -17.

Коэффициент 46.

Если в произведении несколько числовых множителей, то такое выражение может быть упрощено:

Коэффициент в данном выражении - 100.

Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом.

Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.

В одном произведении есть только один коэффициент.

Если есть сумма, например, такая:

То у каждого слагаемого есть коэффициенты: и .

Если числа нет, то можно поставить единицу. Это и есть коэффициент.

, коэффициент 1.

Найти коэффициент: а) ; б) .

а) , коэффициент -50.

б) ,коэффициент .

Итак, коэффициент - это число, которое стоит в произведении с одной или несколькими переменными. Оно может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.

При посадке картошки урожай получается в 10 раз больше, чем количество посаженной картошки. Каков будет урожай, если посадили 65 кг?

Решение

А если посажено 90 кг картошки?

А если неизвестно, сколько посажено? Как тогда решать в таком случае?

Если посадили кг, то урожай будет кг.

Итак, 10 - здесь коэффициент (назовем его урожайность), а - переменная. может принимать любые значения, а формула будет рассчитывать величину урожая.

Если урожайность другая, например 9, то формула выглядит так: .

Коэффициент в формуле изменился.

Если рассматривать разные урожайности, то формула по виду будет оставаться такой же, меняться будет только коэффициент.

Значит, можно записать общий вид всех таких формул.

Где - коэффициент; - переменная.

Это урожайность, она может быть равна, например, 10 или 9, как раньше, или другому числу.

Итак, как ответить на вопрос «какой коэффициент в записи ?»?

Если ничего не известно про эту запись, то и являются просто буквами, переменными. Коэффициент единица.

Если же известно, что это часть формулы для расчета урожая картофеля, тогда - это и есть коэффициент.

Иными словами, часто коэффициент может обозначаться буквой.

В математике, физике, других науках много формул, где одна из букв является коэффициентом.

Пример

Плотность вещества в физике обозначается буквой .

Чем больше плотность, тем больше весит один и тот же объем вещества.

Если знать объем вещества и его плотность, то найти массу легко по формуле:

Любой человек, который знаком с этой формулой, на вопрос «какой здесь коэффициент?» ответит «».

Коэффициент - это число в произведении, где есть одна или несколько переменных.

Есть договоренность писать коэффициент перед переменными.

Если числа в произведении нет, то можно поставить множитель 1, он и будет коэффициентом.

Если перед нами известная нам формула, то одна из букв вполне может быть коэффициентом.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.

1. Интернет портал «Uchportal.ru» ()
2. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» ()
3. Интернет портал «School-assistant.ru» ()

Домашнее задание